Решение неравенств с одной переменной 11 класс мордкович конспект урока

Обновлено: 07.07.2024

Загрузить презентацию (501 кБ)

Тип урока: урок применения знаний, умений, навыков в новой ситуации.

Цели урока:

Оборудование компьютер, мультимедийный проектор.

Ход урока

I. Актуализация опорных знаний

Чтобы решать сложные неравенства, надо хорошо знать решение простейших неравенств.

1. Виды неравенств и их решение.

Вопрос учащимся: Какие преобразования используют при решении неравенств?

Учащиеся называют: возведение в чётную или нечётную степень, логарифмирование, потенцирование, применение формул, позволяющие привести неравенство к более простому виду.

Вопрос: Что может произойти с множеством решений неравенства в процессе преобразований?

Учащиеся отмечают, что множество решений либо не меняется, либо расширяется (можно получить посторонние решения), либо сужается (можно потерять решения).

Поэтому важно знать какие преобразования неравенств, являются равносильными и при каких условиях.

2. Равносильность неравенств.

Перечислим некоторые преобразования неравенств, приводящие данное неравенство к неравенству, равносильному ему на множестве всех действительных чисел.

Перенос члена неравенства (с противоположным знаком) из одной части неравенства в другую;
Умножение (деление) обеих частей неравенства на положительное число;
Применение правил умножения многочленов и формул сокращённого умножения;
Приведение подобных членов многочлена;
Возведение неравенства в нечётную степень;
Логарифмирование неравенства , т.е замена этого неравенства неравенством

Назовем преобразования неравенств, приводящие исходное неравенство к неравенству равносильному ему на некотором множестве чисел

Возведение неравенства в чётную степень; (на множестве где обе функции неотрицательны)
Потенцирование неравенства; (на множестве где обе функции положительны)
Умножение обеих частей неравенства на функцию; (на множестве где функция положительна)
Применение некоторых формул (логарифмических, тригонометрических и др.) (на множестве где одновременно определены обе части применяемой формулы)

Вопрос учащимся: Равносильны ли неравенства? Почему?

II. Изучение нового материала

Учитель: В зависимости от интерпретации неравенства различают

алгебраический
функциональный
графический
геометрический

подходы в решении неравенств. При алгебраическом подходе выполняют равносильные общие или частичные преобразования неравенств. При функциональном подходе используют свойства функций (монотонность, ограниченность и т.д.). Основой геометрического подхода является интерпретация неравенств и их решений на координатной прямой, координатной плоскости или в пространстве. В некоторых случаях алгебраический и функциональный подходы взаимно заменяемые.

Среди алгебраических методов решения неравенств выделяют:

Сведение неравенства к равносильной системе или совокупности систем
Метод замены
Разбиение области определения неравенства на подмножества

Говорят, что лучше решить одно неравенство, но разными способами, чем несколько неравенств одним и тем же способом. Поиски разных способов решения, рассмотрение всех возможных случаев, критическая оценка их с целью выделения наиболее рационального, красивого, является важным фактором развития математического мышления, уводят от шаблона. Поэтому сегодня мы попытаемся искать наиболее рациональные способы решения неравенств.

Логарифмическое неравенство можно свести к равносильной совокупности систем неравенств

Ответ:

Учитель: Оказывается, что данное неравенство можно решить иначе.

Зная свойства логарифма о том, что log_а b 0, если a и b по одну сторону от 1, можно получить очень интересный и неожиданный способ решения неравенства. Об этом способе написано в статье “Некоторые полезные логарифмические соотношения” в журнале “Квант” № 10 за 1990 год.

Решите это неравенство, используя новые соотношения (ученик у доски)

Оказывается, что при решении некоторых логарифмических неравенств можно использовать и другие соотношения

Заменяемое выражение

Используемое выражение

Решите неравенство

у доски составляем систему, которую решают самостоятельно

III. Домашнее задание

1. Решите неравенство

2. Повторите методы решения тригонометрических неравенств.

+ для сильных учащихся

2. Решите неравенство

IV. Итог урока

Что нового узнали на уроке?

Можно ли данный материал использовать при выполнении заданий ЕГЭ?

Каждый ученик получает буклет Решение неравенств. Приложение

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобретя в каталоге.

Получите невероятные возможности

Конспект урока "Решение неравенств с одной переменной"

• на подробных примерах рассмотреть основные методы решения неравенств с одной переменной;

• повторить теоремы равносильности для неравенств;

Сегодня на уроке мы постараемся обобщить все наши сведения о неравенствах, вспомним основные типы неравенств и основные методы решения неравенств с одной переменной.

Прежде всего, начнем с такого понятия как равносильность неравенств. Напомним, что решением неравенства f(x) > g(x) называют всякое значение переменной x, которое обращает данное неравенство в верное числовое неравенство.

Дадим определение: два неравенства с одной переменной f(x) > g(x) и p(x) > h(x) называют равносильными, если их решения (или по другому – множество частных решений) совпадают.

Отметим, что знак больше в данных неравенствах необязателен, здесь может стоять любой знак неравенства как строгий так и нестрогий. Это же справедливо для всех утверждений, с которыми мы будем встречаться на сегодняшнем уроке.

Сформулируем еще одно определение: если решения неравенства f(x) > g(x) содержится в решении неравенства p(x) > h(x), то неравенство p(x) > h(x) называют следствием неравенства f(x) > g(x).

При решении уравнений получить уравнение следствие было не страшно, поскольку посторонние корни всегда можно было отсеять с помощью проверки. В неравенствах, как правило, решениями являются бесконечные множества чисел, поэтому доводить дело до проверки нецелесообразно. Поэтому при решении неравенств надо стараться выполнять только равносильные преобразования.

Как и при решении уравнений при решении неравенств пользуются шестью теоремами равносильностью.

Теорема 1. Если какой-либо компонент неравенства перенести из одной части неравенства в другую с противоположным знаком, оставив знак неравенства без изменения, то получится неравенство, равносильное данному.

Теорема 2. Если обе части неравенства возвести в одну и ту же нечетную степень, оставив знак неравенства без изменения, то получится неравенство, равносильное данному.

Теорема 3.

Теорема 4.

Теорема 5.

Теорема 6.

Прежде чем перейти к решению конкретных примеров, давайте вспомним определения систем и совокупностей неравенств и определим их отличия.

Определение.

Говорят, что несколько неравенств с одной переменной образуют систему неравенств, если ставится задача найти все такие значения переменной, каждое из которых является частным решением всех заданных неравенств. Значение переменной, при котором каждое из неравенств системы обращается в верное числовое неравенство, называют частным решением системы неравенств. Множество всех частных решений системы неравенств представляет собой общее решение системы неравенств (чаще говорят просто решение системы неравенств).

Решить систему неравенств – значит найти все ее частные решения. Решение системы неравенств представляет собой пересечение решений неравенств, образующих систему.

Говорят, что несколько неравенств с одной переменной образуют совокупность неравенств, если ставится задача найти все такие значения переменной, каждое из которых является решением хотя бы одного из заданных неравенств. Каждое такое значение переменной называют частным решением совокупности неравенств. Множество всех частных решений совокупности неравенств представляет собой решение совокупности неравенств.

Решение совокупности неравенств представляет собой объединение решений неравенств, образующих совокупность.

Неравенства, образующие систему, объединяются фигурной скобкой, а неравенства, образующие совокупность, – квадратной скобкой. Иногда неравенства, составляющие совокупность записывают в строчку, разделяя их точкой с запятой.

Рассмотрим пример.

Рассмотрим еще один пример.

Рассматривая логарифмические неравенства, мы говорили, что при решении логарифмических неравенств переходят от неравенства:

Первые два неравенства каждой из этих систем определяют ОДЗ переменной для исходного неравенства, а знак последнего неравенства каждой из систем либо совпадает со знаком исходного неравенства, в случае, когда а > 1, любо противоположен знаку исходного неравенства, в случае, когда 0 Оцените видеоурок

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Зарегистрироваться 15–17 марта 2022 г.

Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ План урока Решение неравенств с одной переменной.docx

МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

средняя общеобразовательная школа №30 имени А.И.Колдунова

Конспект урока по алгебре и началам анализа

Автор: Кутоманова Е.М.

развитие логического мышления формируя умения и навыки решения систем и совокупностей неравенств, выполняя равносильные переходы;

развитие умения кратко отвечать на вопрос и ставить его;

развитие учебно-коммуникативных умений при работе в группе (слушать, аргументировать, доходчиво объяснять);

развитие умений работать во времени;

развитие навыков самостоятельной деятельности и самоконтроля.

1.Объяснение нового материала проводится в соответствии с презентацией:

Объявляется тема урока

Ставятся цели урока

3.Закрепление нового материала.

Предлагается классу разделиться на группы и выполнить задание по группам на время, с последующей проверкой и обсуждением в классе.

Выполнение задания:

При наличии времени предложить самостоятельно выполнить задание.

-6 -3 х

Выбранный для просмотра документ Решение неравенств с одной переменной.pptx

Описание презентации по отдельным слайдам:

Решение неравенств с одной переменной Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа №30 имени А.И.Колдунова

Цели: развитие логического мышления формируя умения и навыки решения систем и совокупностей неравенств, выполняя равносильные переходы; развитие умения кратко отвечать на вопрос и ставить его; развитие учебно-коммуникативных умений при работе в группе (слушать, аргументировать, доходчиво объяснять); развитие умений работать во времени; развитие навыков самостоятельной деятельности и самоконтроля.

Определение Таким образом, два неравенства являются равносильными на множестве Х, если множества решений этих неравенств совпадают. Два неравенства f₁(х)>g₁(х) и f₂(х)

подготовка к ЕГЭ/ОГЭ и ВПР
по всем предметам 1-11 классов

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Сейчас обучается 922 человека из 80 регионов

Курс повышения квалификации

Инструменты онлайн-обучения на примере программ Zoom, Skype, Microsoft Teams, Bandicam

Курс добавлен 31.01.2022
Сейчас обучается 28 человек из 18 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Сейчас обучается 684 человека из 75 регионов

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Дистанционные курсы для педагогов

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 612 532 материала в базе

ЗП до 91 000 руб.
Гибкий график
Удаленная работа

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Другие материалы

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

09.02.2016 1049
RAR 1.8 мбайт
25 скачиваний
Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Кутоманова Евгения Михайловна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

40%

Подготовка к ЕГЭ/ОГЭ и ВПР
Для учеников 1-11 классов

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Россияне ценят в учителях образованность, любовь и доброжелательность к детям

Время чтения: 2 минуты

Рособрнадзор предложил дать возможность детям из ДНР и ЛНР поступать в вузы без сдачи ЕГЭ

Время чтения: 1 минута

Онлайн-тренинг: нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни

Время чтения: 2 минуты

В Госдуме предложили ввести сертификаты на отдых детей от 8 до 17 лет

Время чтения: 1 минута

Время чтения: 2 минуты

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Бесплатное участие. Свидетельство СМИ сразу.
До 500 000 руб. ежемесячно и 10 документов.

Опорный конспект по алгебре по теме «Решение неравенств с одной переменной" (11 класс) помогает учащимся эффективно усваивать новый учебный материал и упорядочить самостоятельную работу по устранению пробелов в математической подготовке. Конспект содержит образцы решений типовых примеров и упражнений, дается алгоритм выполнения элементарных операций для решения любой из задач, принадлежащих данному типу.

опорн конспРешение неравенств с одной переменной 11 кл.docx

Решение неравенств с одной переменной Решением неравенства f(x) > g(x) называют всякое значение переменной x, которое обращает данное неравенство в верное числовое неравенство. Определение: два неравенства с одной переменной f(x) > g(x) и p(x) > h(x) называют равносильными, если их решения совпадают. Определение: если решения неравенства f(x) > g(x) содержится в решении неравенства p(x) > h(x), то неравенство p(x) > h(x) называют следствием неравенства f(x) > g(x). Например: Теорема 1. Если какойлибо компонент неравенства перенести из одной части неравенства в другую с противоположным знаком, оставив знак неравенства без изменения, то получится неравенство, равносильное данному. Теорема 2. Если обе части неравенства возвести в одну и ту же нечетную степень, оставив знак неравенства без изменения, то получится неравенство, равносильное данному. Теорема 3. Теорема 4. Теорема 5. Теорема 6. Прежде чем перейти к решению конкретных примеров, давайте вспомним определения систем и совокупностей неравенств и определим их отличия. Неравенства, образующие систему, объединяются фигурной скобкой, а неравенства, образующие совокупность, – квадратной скобкой. Иногда неравенства, составляющие совокупность записывают в строчку, разделяя их точкой с запятой. Рассмотрим пример. Рассмотрим еще один пример. Логарифмические неравенства Пример. Иррациональные неравенства. Рассмотрим неравенство: Запишем условие, определяющее ОДЗ Таким образом, данное иррациональное неравенство равносильно совокупности систем неравенств: Рассмотрим пример: Неравенства с модулями. Пример.

Опорный конспект по алгебре по теме «Решение неравенств с одной переменной" (11 класс)

Бесплатный просмотр. Свидетельства участникам
для аттестации за минуту.

Читайте также: