Решение логарифмических уравнений конспект

Обновлено: 05.07.2024

2. Изучить способы решения логарифмических уравнений.

3. Создать условия для развития для развития у обучаемых навыков самоконтроля, взаимоконтроля, самостоятельного выполнения заданий, умения теоретически обосновывать результат практической работы.

3. Создать условия для развития коммуникативных навыков в ходе работы в малых группах; развивать интерес к предмету.

Тип урока: изучение и первичное закрепление знаний и способов деятельности.

Вид урока: урок – практикум.

Форма организации урока: фронтальная, индивидуальная, групповая.

Методы обучения: словесный, наглядно-демонстративный, практический, самостоятельная работа обучающихся.

1. Организационный момент

5. Объяснение нового материала, закрепление и первичный контроль

5.1. Объяснение нового материала

5.2. Решение логарифмических уравнений по определению логарифма числа

5.4. Способ потенцирования

5.5. Способ введения новых переменных

5.6. Способ логарифмирования

5.7. Применение основного логарифмического тождества

6. Подведение итогов

7. Домашнее задание

I. Организационный момент.

Приветствие, проверка явки обучающихся.

II. Формулирование цели, задач урока.

Эта тема вам знакома. Материал по теме мы изучали. Поэтому цели обозначить вам не составит труда. Какие цели урока ставит перед собой каждый из вас?

Повторить определение логарифма числа, его свойства.

Повторить свойства логарифмической функции.

Выяснить какое уравнение называется логарифмическим.

Рассмотреть способы решения логарифмических уравнений.

Закрепить знания, умения и навыки при решении заданий по теме.

Отработать полученные знания, умения и навыки при решении заданий по теме.

Проверить знания, умения и навыки.

Итак, цели нашего урока:

повторить свойства логарифма числа и его свойства;

изучить способы решения логарифмических уравнений;

отработать навыки и умения применения знаний по теме путем решения проверочных упражнений.

Для достижения целей обозначим основные этапы урока:

2) Способы решения логарифмических уравнений.

(После выступления) Я думаю, что прослушанная информация пригодится при изучении других предметов.

Отвечают по цепочке.

1)Повторить определение, свойства логарифмов. Слайд 6-8

3) График функции. Слайд 10

VI. Изучение нового материала (решение логарифмических уравнений).

Что значит решить уравнение?

Что такое корень уравнения?

Какие уравнения называют логарифмическими?

А если в уравнении неизвестное содержится под знаком логарифма, как его назвать?

(логарифмическое). Предложить обучающимся дать определение логарифмического уравнения.

Итак, определение логарифма (электронное приложение)

Определение: Уравнение, в котором неизвестное содержится под знаком логарифма или в основании логарифма, называется логарифмическим уравнением.

Рассмотрим простейшее логарифмическое уравнение

Logа x = b (где а>0, a ≠ 1).

Так как логарифмическая функция возрастает (или убывает) на множестве положительных чисел и принимает все действительные значения, то по теореме о корне следует, что для любого b данное уравнение имеет, и притом только одно, решение.

По определению логарифма x=ab.

Какое преобразование называют логарифмированием? (Действие нахождения логарифма числа называют логарифмированием).

Какое преобразование называют потенцированием? (Действие, которое заключается в нахождении числа по данному логарифму, называют потенцированием).

При решении логарифмических уравнений часто приходится выполнять эти преобразования и свойства логарифмов. Следует иметь в виду, что указанные операции могут привести к уравнениям, не равносильным данным.

Логарифмирование – это опасная операция, т.к. при ней может произойти потеря корней.

Избежать этой ошибки поможет нахождение ОДЗ уравнения.

При потенцировании потери корней не происходит, но могут получиться посторонние корни, которые легко обнаруживаются при подставке их в исходное уравнение.

Если при подстановке какого – либо корня в уравнение под знаком логарифма получается отрицательное число или нуль, то этот корень надо отбросить как посторонний.

При решении логарифмических уравнений часто используют следующие способы:

1.Решение логарифмических уравнений по определению логарифма числа.

2. Способ потенцирования.

3. Способ введения новой переменной.

4. Способ логарифмирования.

5. Применение основного логарифмического тождества.

Запишите себе в тетрадь.

Некоторые из этих методов мы рассмотрим на занятии.

Рассмотрим способ решения логарифмических уравнений используя определение логарифма на конкретном примере. На партах находится раздаточный материал для решения уравнений. В раздаточном материале это уравнение №1. Решаю с комментариями.

Методическая разработка урока алгебры в 10 классе в соответствии с ФГОС.

АВТОРЫ УМК: Ш. А. АЛИМОВ, Ю.М. КОЛЯГИН И ДР.

Учитель Медведева Виктория Валентиновна, учитель математики, МБОУ СОШ 5, г. Белореченска

Образовательные: систематизировать знания о логарифмах, выработать умения решать логарифмические уравнения различных видов, уметь различать их и способы их решения.

развивающая: расширение математического кругозора учащихся, развитие интереса к предмету, развивать коммуникативные навыки и волевые качества личности .

воспитательная: воспитание умения принимать решение и нести за него ответственность внимания, сосредоточенности, навыков самоконтроля и взаимоконтроля, воли, упорства в достижении цели.

Закрепление понятия логарифма, повторение его основных свойств и свойств логарифмической функции:

1. Разминка по теории:

1. Дайте определение логарифма. (слайд № 2)

2. От любого ли числа можно найти логарифм?

3. Какое число может стоять в основании логарифма?

4. Функция y=log_0,8 x является возрастающей или убывающей? Почему?

5. Какие значения может принимать логарифмическая функция?

6. Какие логарифмы называют десятичными, натуральными?

7. Назовите основные свойства логарифмов. (слайд № 3)

8. Можно ли перейти от одного основания логарифма к другому? Как это сделать? (слайд № 4)

3. Работа по карточкам (3-4 ученика):

Карточка №1: Вычислить: а) log₆4 + log₆9 =

Решить уравнение: log₅х = 4 log₅3 – 1/3 log₅27

Вычислить: а) log211 – log244 =

б) log1/64 + log1/69 =

Решить уравнение: log₇х = 2 log₇5 + 1/2 log₇36 – 1/3 log₇125.

В этом видеоуроке мы поговорим о логарифмических уравнениях. Рассмотрим методы решения логарифмических уравнений.

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобретя в каталоге.

Получите невероятные возможности

Конспект урока "Логарифмические уравнения"

Прежде, чем приступить к рассмотрению новой темы, давайте вспомним, что логарифмом положительного числа по основанию , где , , называется показатель степени, в которую надо возвести число , чтобы получить .

Обозначают: .

Таким образом, равенство означает, что .

Вспомним также свойства логарифмов. Пусть , , , , а – любое действительное число. Тогда справедливы следующие свойства:

1. ,

2. ,

3. .

Так какие же уравнения называют логарифмическими?

Запомните! Логарифмическим уравнением называют уравнение, содержащее переменные под знаком логарифма и (или) в его основании.

Существуют различные методы решения логарифмических уравнений.

В первую очередь рассмотрим с вами решение логарифмических уравнений по определению логарифма. Так решаются уравнения вида , где , . Они равносильны уравнению . При этом, так как выражение под знаком логарифма должно принимать только положительные значения, должно выполняться условие .

Решим уравнение: . Сразу отметим, что должно выполняться условие . Воспользуемся определением логарифма и запишем: . Теперь возведём в квадрат. Перенесём в левую часть уравнения и получим квадратное уравнение: . Решим его. Вычислим дискриминант: . Тогда первый корень квадратного уравнения , второй – .

Мы будем проверять, удовлетворяют ли найденные значения икс условию ?

Обязательно проверим, удовлетворяют ли найденные корни условию. Подставляем в неравенство: . Получаем верное неравенство. Затем подставляем в неравенство : . И тоже получаем верное неравенство.

А значит, и , и являются корнями логарифмического уравнения.

Следующий метод – метод потенцирования.

Потенцированием называют действие нахождения числа по его логарифму. При решении логарифмических уравнений под потенцированием понимается переход от равенства, содержащего логарифмы, к равенству, не содержащему их. Метод заключается в том, что мы от уравнения вида , где , , переходим к уравнению . Причём должны выполняться условия и .

Решим следующее уравнение: . Следует отметить, что должны выполняться условия: и . Потенцируем уравнение (то есть избавимся от знаков логарифма) и получаем: . Перенесём и в левую часть уравнения и приведём подобные слагаемые: . Решим полученное квадратное уравнение. Запишем его дискриминант: . Находим корни и получаем и .

Теперь проверим, удовлетворяют ли найденные корни условиям. Подставляем первый корень в первое неравенство и выполняем преобразования: . Затем подставляем во второе неравенство и тоже выполняем преобразования: . Получаем, что удовлетворяет каждому из неравенств, а значит, является корнем исходного логарифмического уравнения.

Затем подставляем второй корень в первое неравенство, выполняем преобразования и получаем: . Следовательно, не удовлетворяет первому неравенству, а значит, не является корнем данного логарифмического уравнения.

В ответ запишем: .

Следующий метод решения логарифмических уравнений – это метод введения новой переменной.

Посмотрите на уравнение. Здесь переменная может принимать только положительные значения.

Так это же квадратное уравнение относительно логарифма икс по основанию два. Давайте введём новую переменную . Тогда наше уравнение примет вид: . Находим корни этого квадратного уравнения по теореме Виета. Тогда, согласно этой теореме, можем записать, что , а . Легко увидеть, что этим равенствам удовлетворяют значения: и .

Теперь можем вернуться к замене? Да, теперь мы вернёмся к замене. Имеем: и . Таким образом, по определению логарифма из первого равенства получаем , а из второго – . Найденные значения икс больше нуля, а значит, каждое из них является корнем исходного логарифмического уравнения.

Таким образом мы с вами рассмотрели основные методы решения логарифмических уравнений.

А сейчас рассмотрим вот такое уравнение: икс в степени логарифм икс по основанию два равняется шестнадцати. Решим его методом логарифмирования, который заключается в переходе от уравнения к уравнению . То есть берётся логарифм от правой и левой частей уравнения.

Сразу отметим, что переменная может принимать только положительные значения. Возьмём от обеих частей уравнения логарифмы по основанию . Воспользуемся известным нам свойством и в левой части уравнения вынесем показатель степени за знак логарифма: . В правой части уравнения найдём значение логарифма: . Теперь произведение в левой части уравнения запишем в виде квадрата логарифма икс по основанию : . Отсюда получаем: и . По определению логарифма из первого равенства получаем , а из второго – . Оба значения больше нуля, а значит, и , и являются корнями исходного уравнения.

И давайте рассмотрим пример решения системы, состоящей из логарифмического уравнения и линейного уравнения:

Сразу отметим, что . Воспользуемся определением логарифма и запишем первое уравнение системы как . Откуда . Подставим найденное значение во второе уравнение системы: . И, решив линейное уравнение, найдём .

Вид урока: традиционный с применением компьютера.

Форма проведения: групповая.

Оборудование: индивидуальные карточки, компьютер, мультимедийный проектор, презентация.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Актуализация знаний учащихся.

1) Устная работа.

1. Дайте определение логарифмической функции. (Слайд 2 приложения 1)

Ответ: Функцию, заданную формулой , называют логарифмической функцией с основанием а.

2. Перечислите основные свойства логарифмической функции. (Слайд 3 приложения 1)

Область определения логарифмической функции – множество всех положительных действительных чисел.
Область значений логарифмической функции – множество всех действительных чисел.
Логарифмическая функция на всей области определения возрастает (при а>1) или убывает (при 0 9.05.2010

Читайте также: