Преобразования галилея и их следствия 10 класс конспект

Обновлено: 05.07.2024

Преобразования Галилея позволяют переходить от одной системы отсчёта к другой.

Пусть дана система неподвижная отсчета и другая система отсчета, которая движится равномерно и прямолинейно относительно неподвижной системы отсчета.

Тогда расстояние, которое проходит тело в движушейся системе отсчета равно расстоянию, пройденному телом в неподвижной системе отсчета, за минусом произведения скорости на время для движущейся системы отсчета. Это преобразование Галилея.

Преобразования Галилея формула

В математическом виде преобразование Галилея:

где S_m – расстояние, пройденное телом в движущейся системе отсчета,
S_n — расстояние, пройденное телом в неподвижной системе отсчета,
vt – произведение скорости движущейся системы отсчета на время.

Соотношение между скоростями

Соотношение между скоростями в неподвижной системе отсчета и в системе отсчета, которая движится равномерно и прямолинейно относительно неподвижной системы отсчета, таково:

где v_m – скорость тела в движущейся системе отсчета,
v_n – скорость тела в неподвижной системе отсчета,
v – скорость движущейся системы отсчета.

Что касается ускорения, то они одинаковы в обеих данных системах отсчета.

Найдем связь между координатами, проекциями скоростей и ускорений в двух системах отсчета К и К₁, движущихся относительно друг друга с постоянной скоростью . Для простоты будем считать, что координатные оси Х и X₁, обеих систем совпадают, а оси Y, Y₁ и Z, Z₁ параллельны друг другу. Пусть в начальный момент времени начала координат обеих систем совпадают.

Если в момент времени t движущаяся точка находилась в положении А (рис. 1.92), то ее положения в системах отсчета К и К₁ можно задать радиусами-векторами . Тогда . За время t начало координат системы отсчета Кх переместилось на . Поэтому предыдущее равенство примет вид:

Запишем соотношение (1.30.1) в проекциях на ось X:

Координаты у, z и y₁, z₁ одинаковы в обеих системах отсчета. Поэтому преобразования координат при переходе от системы отсчета К₁ к системе отсчета К будут иметь вид:

Считается само собой разумеющимся, что время течет одинаково в системах отсчета К и К₁, так что t = t₁. Преобразования (1.30.1) или (1.30.3) вместе с утверждением о независимости течения времени от движения (t = t₁) называются преобразованиями Галилея.

Учитывая, что u_x = u, преобразования Галилея запишем так:

Закон сложения скоростей

Найдем теперь преобразования скоростей при переходе от одной системы отсчета к другой.

При движении точки А ее радиус-вектор в системе отсчета К за малый интервал времени Δt изменится на Δ и станет равным + Δ. За то же время в системе отсчета К₁ вектор ₁ изменится на Δ₁ и станет равным 1 +Δ₁. Согласно равенству (1.30.1) эти новые векторы должны быть связаны соотношением: + Δ = ₁ + Δ₁ + (t + Δt).

Учитывая, что = Δ₁ + t, получим

Но — есть мгновенная скорость точки в системе отсчета К, a — мгновенная скорость этой же точки относительно системы отсчета K₁.

Таким образом, скорости точки в различных системах отсчета, движущихся относительно друг друга с постоянной скоростью , связаны соотношением

Преобразование скоростей (1.30.6) называется законом сложения скоростей в классической механике.

Учитывая, что при движении вдоль совпадающих осей координат X и Х₁ проекции скорости на оси Y и Z равны нулю (u_у = 0, u_x = 0), закон сложения проекций скоростей можно записать так:

Абсолютная, относительная и переносная скорости

Часто для большей наглядности и удобства используют понятия абсолютного, относительного и переносного движений(1). Для этого одну из систем координат, например XOY, считают условно неподвижной. Движение тела относительно неподвижной системы координат называют а б-солютным. Движение тела относительно подвижной системы координат (относительно X₁O₁Y₁) называют относительным. Движение подвижной системы координат относительно неподвижной называют переносным.

Скорость, ускорение, перемещение, путь и траекторию точки в неподвижной системе координат называют абсолютными, а в подвижной системе — относительными. В формуле (1.30.6) — абсолютная скорость (_a), ₁ — относительная скорость (_от) и — переносная скорость (_п). Теперь закон сложения скоростей (1.30.6) можно записать так:

Абсолютная скорость равна векторной сумме относительной и переносной скоростей.

Закон сложения скоростей (1.30.8) геометрически осуществляется по правилу параллелограмма (рис. 1.93, а) или треугольника (рис. 1.93, б). Он справедлив и в том случае, когда скорость _п направлена произвольным образом по отношению к системе отсчета К и меняется с течением времени.

Преобразование ускорений

Пусть в системе отсчета К₁ ускорение тела равно от. Каким оно будет в системе отсчета К?

Прежде всего договоримся, что система отсчета К₁ движется относительно системы отсчета К не вращаясь, т. е. так, что оси X, Y, Z и X₁, Y₁, Z₁ остаются параллельными. Только при этом условии будет справедлив следующий ниже вывод.

Запишем закон сложения скоростей (1.30.8) для двух моментов времени t₀ = 0 и t:

Вычтем почленно из второго уравнения первое и разделим обе части полученного равенства на интервал времени Δt:

Это равенство означает, что

Итак, ускорение тоже относительно. Но есть один очень важный случай, когда ускорение одинаково, абсолютно. Это случай, когда _п = 0, т. е. вторая система отсчета движется относительно первой равномерно и прямолинейно.

Независимость расстояний от выбора системы отсчета

Из преобразований Галилея вытекает равенство расстояний между двумя точками во всех системах отсчета, движущихся относительно друг друга. Расстояние между двумя точками А и В в системе отсчета К представляет собой модуль вектора _А - _В, т. е. r_АВ = |_А - _B|. Согласно преобразованиям Галилея (1.30.1)

Вычитая из первого уравнения второе, получим:

Но модуль вектора _1A - _1В есть расстояние г_1АВ между точками А и В в системе отсчета К₁ Следовательно,

так как модули равных векторов одинаковы. В координатной форме это уравнение запишется следующим образом:

Относительная скорость двух тел

Рассмотрим два тела А и В, имеющих в системе отсчета К скорости _A и _B. Найдем скорость движения _BA тела В относительно тела А. Для этого свяжем систему отсчета К₁ с телом А (рис. 1.94). Тогда искомая относительная скорость _BA есть скорость тела В относительно системы отсчета K₁.

Воспользуемся далее законом сложения скоростей (1.30.8). Для данного случая скорость тела В относительно системы отсчета К представляет собой абсолютную скорость: _B = _a. Скорость тела А в системе отсчета К — это переносная скорость. Наконец, скорость _BA — это есть относительная скорость: _ВА = _oт. Согласно закону сложения скоростей (1.30.8) имеем

Скорость движения тела В относительно тела А равна разности скоростей этих двух тел. Она не зависит от системы отсчета. В любой системе отсчета, движущейся со скоростью й относительно системы отсчета К,

Преобразования Галилея (1.30.4) вместе с утверждением о независимости течения времени от движения (t = t₁) отражают суть классических представлений о пространстве — времени. Согласно этим представлениям расстояния между телами одинаковы во всех системах отсчета и течение времени не зависит от систем отсчета.

(1) Все эти понятия ни в коем случае не надо понимать буквально, так как никакого абсолютного движения нет. Но при использовании этих понятий формула сложения скоростей становится проще для запоминания и применения, чем использование безликих индексов у скоростей.

сформулировать принцип относительности Галилея; продолжить формирование умений решать вычислительные и качественные задачи на применение основных законов механики.

Вложение	Размер
printsip_otnositelnosti_galileya.docx	84.65 КБ

Предварительный просмотр:

Принцип относительности Галилея.

Словарь : принцип относительности, неинерциальная система отчета, инерциальная система отчета.

Записать математическое выражение 2-го закона Ньютона.
Единица массы в СИ ?
Единица силы в СИ ?
Какая сила сообщает телу массой 1 кг, ускорение 5 м/с 2 , 1 м/с 2 .
Математическое выражение 3-его Закона Ньютона.

Принцип относительности Галилея : все механические явления во всех инерциальных системах отсчёта протекают одинаково при равных начальных условиях.

Наряду с приведённой выше формулировкой принципа относительности допускается и ряд других, ей эквивалентных.

Все законы классической механики во всех инерциальных системах отсчёта имеют один и тот же вид.
Никакими механическими опытами, проводимыми в изолированной лаборатории, невозможно установить, покоится она или движется равномерно и прямолинейно относительно данной инерциальной системы отсчёта.
В механике все инерциальные системы отсчёта равноправны, то есть среди них нет преимущественной, главной системы отсчёта.

Закрепление материала

Вопрос 1. На рисунке изображен график скорости движения тела массой 800 кг. Какова величина действующей силы?

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Относительность движения. Преобразования Галилея. Границы применения классического закона сложения скоростей .

Механическое движение относительно. Оно различно относительно различных систем отсчета (тел отсчета и связанных с ними различных систем координат).

Например: рассмотрим поезд, движущийся относительно Земли. Пусть в вагоне этого поезда пассажир выпускает из рук мяч. Он видит, как мяч падает относительно вагона вертикально вниз.

Покой также относителен. Если относительно какой-либо системы отсчета тело покоится, то всегда можно найти такие системы отсчета, относительно которых оно движется. Абсолютно покоящихся тел не существует. Относительность механического движения заключается в том, что некоторые величины, характеризующие механическое движение различны в различных системах отсчета.

Однако есть величины, которые не изменяются при переходе от одной системы отсчета к другой. Такие величины называются инвариантными ( ).

В механике часто приходится решать задачи, в которых требуется определить кинематические характеристики (или уравнения движения) относительно одной системы отсчета, если они известны в другой. Поэтому важно уметь устанавливать связи между кинематическими величинами, характеризующими механическое движение в двух различных системах отсчета, движущихся друг относительно друга. Уравнения пересчета впервые были выведены Г.Галилеем и получили название преобразования Галилея .

Выберем две системы отсчета :

1) К – ЛСО – лабораторная система отсчета – система отсчета, связанная с неподвижным относительно Земли наблюдателем (то есть является ИСО).

2) К’ – ССО – собственная система отсчета – система отсчета, связанная с наблюдателем, движущимся с постоянной скоростью относительно системы К и движущаяся вместе с ним (то есть является ИСО).

1) В начальный момент времени K и K ’ совпадают;

2) ОХ и O ’ X ’ совпадают; OY || OY ’; OZ || OZ ’;

3) ; , где с = 3∙10 8 м/с – скорость света в вакууме.

Зададим положение материальной точки А в системах XOYZ и X ’ O ’ Y ’ Z ’ с помощью радиус-векторов. В момент времени t для точки А имеем:

- радиус-вектор материальной точки А в системе К;

- радиус-вектор материальной точки А в системе К’;

- радиус-вектор подвижного начала отсчета (точки O ’) относительно неподвижного (точки О).

х, у, z - координаты материальной точки А относительно системы К;

x ’, y ’, z ’ – координаты материальной точки относительно системы К’;

х₀ – координата подвижного начала отсчета относительно неподвижного (расстояние, на которое переместится начало координат за время t ).

По правилу сложения векторов (см. чертеж):

– преобразование Галилея в векторном виде .

Из чертежа, с учетом того, что время для всех систем отсчета течет одинаково, можно также получить следующие равенства:

- преобразования Галилея в скалярном виде .

Следствия из преобразований Галилея :

1) Инвариантность времени : течение времени не зависит от системы отсчета → .

2) Инвариантность расстояний между двумя точками : расстояние между двумя точками одинаково во всех системах отсчета.

Пусть имеются две материальные точки, расстояние между которыми определяется модулем вектора: ( по правилам действия над векторами).

Но из преобразований Галилея:

, т.к. модули равных векторов одинаковы.

В координатной форме это уравнение запишется следующим образом:

3) Закон сложения перемещений .

Запишем преобразования Галилея для двух моментов времени:

Воспользуемся формулой, связывающей радиус-вектор материальной точки с ее перемещением:

Перемещение материальной точки относительно системы К: ;

Перемещение материальной точки относительно системы К’: ;

Перемещение системы К’ относительно системы К: .

Тогда: – классический закон сложения перемещений.

Закон сложения перемещений : перемещение тела относительно неподвижной системы отсчета равно геометрической сумме перемещения тела относительно подвижной системы отсчета и перемещения подвижной системы относительно неподвижной.

Абсолютное движение – движение тела относительно неподвижной системы отсчета.

Относительное движение – движение тела относительно движущейся системы отсчета.

Переносное движение – движение подвижной системы отсчета относительно неподвижной.

- абсолютное перемещение – перемещение тела относительно неподвижной системы отсчета;

- относительное перемещение – перемещение тела относительно подвижной системы отсчета ;

переносное перемещение – перемещение подвижной системы отсчета относительно неподвижной.

С учетом введенных понятий, закон сложения перемещений формулируется следующим образом: абсолютное перемещение равно сумме относительного и переносного перемещений.

4) Закон сложения скоростей .

Запишем преобразования Галилея для двух моментов времени:

при (то есть при таком промежутке времени, когда изменение средней скорости перестает улавливаться физическими приборами):

- классический закон сложения скоростей.

Закон сложения скоростей : скорость тела относительно неподвижной системы отсчета равна геометрической сумме скорости тела относительно подвижной системы отсчета и скорости подвижной системы относительно неподвижной.

- абсолютная скорость – скорость тела относительно неподвижной системы отсчета;

- относительная скорость – скорость тела относительной подвижной системы отсчета;

– переносная скорость – скорость подвижной системы отсчета относительно неподвижной.

С учетом введенных понятий, закон сложения скоростей формулируется следующим образом: абсолютная скорость равна сумме относительной и переносной скоростей.

Следствия из закона сложения скоростей:

a) Если два тела движутся навстречу со скоростями и , направленными в противоположные стороны ( ), тогда скорость первого тела относительно второго , а скорость второго тела относительно первого ;

b) Если два тела движутся со скоростями и , направленными в одну сторону ( ), тогда скорость первого тела относительно второго а скорость второго тела относительно первого .

c) Если два тела движутся с одинаковыми по модулю и направлению скоростями , то .

5) Инвариантность относительной скорости двух тел : относительная скорость двух тел не зависит от системы отсчета.

Рассмотрим два тела, имеющие в системе отсчета К скорости и . Найдем скорость движения тела В относительно тела А. Для этого свяжем систему отсчета К’ с телом А. Тогда:

- скорость тела В относительно системы отсчета К – абсолютная скорость ;

– скорость тела В относительно системы отсчета К’ – относительная скорость ;

- скорость системы К’ (связанной с телом А) относительно системы К – переносная скорость .

Тогда, согласно закону сложения скоростей:

Скорость движения тела В относительно тела А равна разности скоростей этих двух тел.

В любой системе, движущейся со скоростью относительно системы отсчета К, согласно закону сложения скоростей, имеем:

Следовательно, относительная скорость двух тел не зависит от системы отсчета.

6) Закон сложения ускорений .

Пусть система ХО YZ движется относительно X ’ O ’ Y ’ Z ’ с некоторым ускорением . Тело относительно этих систем также движется ускоренно. Запишем закон сложения скоростей для двух моментов времени:

- классический закон сложения ускорений

Закон сложения ускорений : ускорение тела относительно неподвижной системы отсчета равна геометрической сумме ускорения тела относительно подвижной системы отсчета и ускорения подвижной системы относительно неподвижной.

- абсолютное ускорение – ускорение тела относительно неподвижной системы отсчета;

- относительное ускорение – ускорение тела относительной подвижной системы отсчета;

– переносное ускорение – ускорение подвижной системы отсчета относительно неподвижной.

С учетом введенных понятий, закон сложения ускорений формулируется следующим образом: абсолютное ускорение равно сумме относительного и переносного ускорений.

Следствие из закона сложения ускорений:

1) Если (т.е. система отсчета X ’ O ’ Y ’ Z ’ движется равномерно и прямолинейно относительно системы XOYZ ), то абсолютное и относительное ускорение одинаково: . Тело движется относительно неподвижной системы отсчета XOYZ и относительно системы отсчета X ’ O ’ Y ’ Z ’, движущейся равномерно и прямолинейно, с одинаковым ускорением.

Электронное учебное пособие по разделу курса физики Механика

Механика – это раздел физики, который изучает наиболее простой вид движения материи – механическое движение и причины, вызывающие или изменяющие это движение.

Механика состоит из трех разделов: кинематики, динамики и статики. Кинематика дает математическое описание движения, не касаясь причин, которыми вызвано движение. Динамика – основной раздел механики, она изучает законы движения тел и причины, которыми вывзывается движение и его изменение. Статика изучает законы равновесия системы тел под действием приложенных сил. Мы ограничимся изучением двух основных разделов – кинематики и динамики.

Введение

Механическое движение – это изменение во времени взаимного расположения тел или частей одного и того же тела. Причиной, вызывающей механическое движение тела или его изменение, является воздействие со стороны других тел.

Развитие механики началось еще в древние времена, однако, как наука она формировалась в средние века. Основные законы механики установлены итальянским физиком и астрономом Г. Галилеем (1564-1642) и английским ученым И. Ньютоном (1643-1727).

Механику Галилея-Ньютона принято называть классической механикой. В ней изучается движение макроскопических тел, скорости которых значительно меньше скорости света с в вакууме. Законы движения тел со скоростями, близкими к скорости света сформулированы А. Эйнштейном (1879-1955), они отличаются от законов классической механики. Теория Эйнштейна называется специальной теорией относительности и лежит в основе релятивистской механики. Законы классической механики неприемлемы к описанию движения микроскопических тел (элементарных частиц – электронов, протонов, нейтронов, атомных ядер, самих атомов и т.д.) их движение описывается законами квантовой механики.

В механике для описания движения в зависимости от условий решаемой задачи пользуются различными упрощающими моделями: материальная точка, абсолютно твердое тело, абсолютно упругое тело, абсолютно неупругое тело, и т.д. Выбор той или иной модели диктуется необходимостью учесть в задаче все существенные особенности реального движения и отбросить несущественные, усложняющие решение.

Материальная точка – это тело обладающее массой, размеры и форма которого несущественны в данной задаче. Любое твердое тело или систему тел можно рассматривать как систему материальных точек. Для этого любое тело или тела системы нужно мысленно разбить на большое число частей так, чтобы размеры каждой части были пренебрежимо малы по сравнению с размерами самих тел.

Абсолютно твердое тело – это тело, расстояние между любыми точками которого остается неизменным в процессе движения или взаимодействия. Эта модель пригодна, когда можно пренебречь деформацией тел в процессе движения.

Абсолютно упругое и абсолютно неупругое тело – это два предельных случая реальных тел, деформациями которых можно и нельзя пренебречь в изучаемых процессах.

Любое движение рассматривается в пространстве и времени. В пространстве определяется местоположение тела, во времени происходит смена местоположений или состояний тела в пространстве, время выражает длительность состояния движения или процесса. Пространство и время –это два фундаментальных понятия, без которых теряется смысл понятия движения: движения не может быть вне времени и пространства.

Читайте также: