Понятие вектора в пространстве 11 класс конспект урока

Обновлено: 06.07.2024

2) рассмотреть связанные с этими понятиями обозначения.

I. Организационный момент

Сообщить тему урока, сформулировать цели урока

II. Актуализация знаний учащихся

1. Анализ контрольной работы. Подвести итоги контрольной работы. Анализ наиболее часто встречающихся ошибок.

2. Подготовка к восприятию нового материала.

Понятие вектора является одним из наиболее основных в математике, объединяющим такие ее разделы, как геометрия, алгебра, математический анализ. Оно имеет большое прикладное значение, так как многие физические величины (сила, скорость и другие) характеризуются не только величиной, но и направлением, то есть являются векторными величинами. При изучении электрических и магнитных явлений появляются новые примеры векторных величин (векторы напряженности электрического поля, вектор магнитной индукции).

В планиметрии мы изучали векторы на плоскости. Здесь мы рассмотрим векторы в пространстве. Их определение и свойства аналогичны определению и свойствам векторов на плоскости.

III. Изучение нового материала

1. Определение. Отрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом, а какой - концом, называется вектором.

Ввести обозначение вектора, его длины, понятие нулевого вектора.

2. Ввести определения коллинеарных векторов, сонаправленных и противоположно направленных векторов. Ввести обозначения

Обратить внимание, что нулевой вектор сонаправлен любому вектору. На доске рисунок. Найти сонаправленные векторы.

Сонаправленные:

Противоположно направленные:

3. Ввести определение равных векторов: если

4. Отметить, что от любой точки пространства можно отложить вектор, равный данному, и притом только один.

Дано: , М.

Доказать: существование - единственный вектор.

Доказательство: Проведем через начало и конец вектора и точку М плоскость и в этой плоскости построим Из теоремы о параллельности прямых следует существование и единственность вектора где

IV. Закрепление изученного материала

№ 320 а. Дано: ABCD - тетраэдр. Точки М, N, К - середины АС, ВС, CD; соответственно, АВ = 3 см; ВС = 4 см; BD = 5 см.

Найти:

Решение: По условию задачи известно, что М, N, К - середины сторон АС, ВС, CD соответственно, поэтому МК - средняя линия ΔACD, NK - средняя линия ΔBCD. (Ответ: 3 см, 4 см, 5 см, 1,5 см, 2 см, 2,5 см.)

Вспомните свойства граней и диагоналей параллелепипеда.

По рисунку учебника учащиеся называют все пары:

а) сонаправленных векторов

б) противоположно направленных векторов

в) равных векторов

(Ответы: )

V. Самостоятельная работа (обучающая)

Работы учащихся, справившихся раньше других, можно оценить.

Дано: ABCDA1B1C1D1 - прямоугольный параллелепипед, AD = 8 см, АВ = 9 см, АА1 = 12 см.

Найти:

Решение: По свойству параллелепипеда По теореме Пифагора (Ответ: а) 12 см, 8 см, 9 см; б) 15 см, √145 см, 17 см.)

№ 323. Дано: DABC — тетраэдр, ребра которого равны. М, N, Р, Q - середины сторон АВ, AD, DC, ВС.

а) выписать пары равных векторов;

б) определить вид четырехугольника MNPQ.

а)

б) Так как N, Р, М, Q - середины сторон соответственно АВ, AD, DC, ВС, то NP – средняя линия ΔADC, a MQ - ΔАВС; значит, NP = MQ; MN - средняя линия ΔADB, a PQ – средняя линия ΔDBC. значит, MN = PQ. Так как все ребра тетраэдра равны, то он правильный. Скрещивающиеся ребра в нем перпендикулярны. Тогда BD ⊥ AC. Имеем:

MNPQ – квадрат (Ответ: a) б) квадрат.)

VI. Подведение итогов

П. 34-35, № 320 (б) - I уровень; № 234 - II уровень.

Дан правильный тетраэдр DABC. Точки М, N, К - середины ребер АВ, ВС и CD соответственно. Найдите: если

Решение домашнего задани.

№ 320. Дано: ABCD - тетраэдр, М ∈ АС, АМ = МС; N ∈ ВС, BN = NC; К ∈ CD, СК = KD. АВ = 3 см, ВС = 4 см, BD = 5 см.

Найти:

Решение: Так как N - середина ВС, то KN - средняя линия ΔBCD. (Ответ: 4 см, 3 см, 5 см, 2 см, 2,5 см..

(Ответ: а) да; б) да; в) нет.)

Дано: DABC - правильный тетраэдр. М, N, К - середины ребер АВ, ВС, CD соответственно.

Найти:

Решение: Так как тетраэдр правильный, то ΔADB - равносторонний. DM - высота, медиана и биссектриса. По теореме Пифагора, где По условию,

2) MN - средняя линия ΔАВС: (Ответ: 1.)

Библиотека образовательных материалов для студентов, учителей, учеников и их родителей.

Наш сайт не претендует на авторство размещенных материалов. Мы только конвертируем в удобный формат материалы из сети Интернет, которые находятся в открытом доступе и присланные нашими посетителями.

Если вы являетесь обладателем авторского права на любой размещенный у нас материал и намерены удалить его или получить ссылки на место коммерческого размещения материалов, обратитесь для согласования к администратору сайта.

Разрешается копировать материалы с обязательной гипертекстовой ссылкой на сайт, будьте благодарными мы затратили много усилий чтобы привести информацию в удобный вид.

Тип урока: урок получения новых знаний.

1) ввести определение вектора в пространстве и связанные с ним понятия;
2) дать определение равенства векторов;
3) научить решать задачи по данной теме.

Развивающая:

развитие пространственного воображения и логического мышления.

воспитание интереса к предмету и потребности в приобретении знаний.

Методы обучения: объяснительно – наглядный (репродуктивный).

Форма организации учебной деятельности: фронтальная, парная, индивидуальная.

Оборудование урока: интерактивная доска, презентация к уроку, карточки.

Ход урока

1. Организационный момент

Геометрия - одна из увлекательных наук, где есть важные и интересные темы, например, тема “Векторы в пространстве”.

Формулируется цель урока. (Слайд № 1, № 2)

2. Актуализация знаний

Вступительное слово учителя.

Открытия, обогащающие математику новыми понятиями, часто приходят из различных областей естествознания. Таким примером является понятие вектора, пришедшее из физики. Например, скорость, ускорение, перемещение, сила являются физическими величинами, которые имеют векторный характер. (Слайд № 3)

При изучении электрических и магнитных полей в пространстве появляются новые физические величины векторного характера: вектор напряженности электрического поля и вектор магнитной индукции. (Слайд № 4, № 5)

Впервые понятие вектора появилось в работах немецкого математика 19 века Г. Грассмана и ирландского математика У. Гамильтона; затем его использовали в своих открытиях многие ученые. (Слайд №6) Современная символика для обозначения вектора была введена в 1853 году французским математиком О. Коши. (Слайд №7) Применение векторов играет важнейшую роль в современной математике, химии, биологии, экономике и в других науках.

Векторы на плоскости были изучены в 9 классе в разделе “Планиметрия”. Сегодня на уроке рассмотрим векторы в пространстве. Определение вектора в пространстве и связанные с ним понятия сходны с определением вектора на плоскости и связанными с ним понятиями.

3. Изучение нового материала

1) На каждую парту раздаются чистые листы. На задание отводится три минуты. Учащиеся работают в парах.

Задание. Записать на листе бумаги все термины по теме “Векторы на плоскости”.

По истечении времени учащиеся отвечают на поставленный вопрос, дополняя друг друга. (Слайд № 8)

2) Объяснение нового материала ведется в виде диалога. Учитель задает вопросы по теме, а ученики отвечают. Диалог сопровождается презентацией, каждый слайд которой содержит иллюстрации и определения по данной теме.

Слайд № 9. Понятие вектор.

Слайд № 10. Нулевой вектор.

Слайд № 11. Длина ненулевого вектора.

Слайд № 12. Определение коллинеарности векторов.

Слайд № 13.Сонаправленные и противоположно направленные векторы. Слайд № 14. Задание. На рисунке найти сонаправленные и противоположно направленные векторы. Найти длины векторов.

Слайд № 15. Равенство векторов.

Слайд № 16. Задача. Могут ли быть равными векторы на рисунке? Ответ обоснуйте.

Слайд № 17. Доказательство теоремы.

4. Закрепление изученного материала

1) Решение задач по готовым чертежам

Учебник Л.С. Атанасян и др. “Геометрия 10-11 класс” № 322 (Слайд №18), № 321 (б) (Слайд №19). Учащиеся решают самостоятельно, с последующей проверкой с помощью слайдов.

№ 323 (Слайд №20-21); № 326 (Слайд № 22).

Ответ к задачам дается после обсуждения с классом или верного ответа кого-то из учащихся. Решения записываются в тетрадь.

2) Самостоятельная работа обучающего характера

Дан тетраэдр МАВС, угол АСВ прямой. Точки К и Р - середины сторон МВ и МС, АС = 9 см и ВА = 15 см. Найти длину вектора КМ .

Учащиеся, выполнившие работу первыми, получают оценку. Работа проверяется с помощью слайда № 23.

5. Итог урок

Учащимся дается пять минут для разгадывания кроссворда по изученному материалу. Карточки с кроссвордами раздаются каждому ученику. Проверка с помощью слайда № 24.

1) Фамилия математика, в работе которого впервые появилось понятие вектора.
2) Как называется отрезок, для которого указано начало и конец?
3) Название двух ненулевых векторов, лежащих на одной прямой или на двух параллельных прямых.
4) Математик, который ввел современное обозначение вектора.
5) Чему равна длина вектора АВ?
6) Чем характеризуется в каждой точке пространства магнитное поле?
7) Как называются два вектора, если они сонаправлены и их длины равны?

6. Домашнее задание

Стр.84-85, № 320; 321 (а), 325. (Слайд № 25)

“Геометрия 10-11” Учебник для общеобразовательных учреждений. Л. С. Атанасян, И. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. М.: Просвещение, 2010.

Энциклопедический словарь юного математика. Сост. Э 68 А.. П. Савин.- М. Педагогика, 1985.

Поурочные разработки по геометрии: 10 класс (сост. В. А. Яровенко) в помощь школьному учителю- М.: ВАКО, 2007.

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Понятие вектора в пространстве. Действия над векторами.

Этапы урока

Организационный момент (2 мин)

Мотивационно-ориентировочный блок (5 мин)

Актуализация опорных знаний (5 мин)

Изучение нового материала (40 мин)

Закрепление (30 мин)

Оценка и самооценка учебной деятельности (2 мин)

Рефлексия (5 мин)

Домашнее задание (1 мин)

Всего: 90 мин

Образовательные: на основе понятия вектора в курсе планиметрии сформировать понятие вектора в пространстве, коллинеарных векторов, умение выполнять действия над векторами, закрепить новые знания на практических задачах.

Развивающие: развивать логическое мышление, умение наблюдать, обобщать, анализировать, совершенствовать пространственное воображение, графические навыки обучающихся.

Воспитательные: воспитывать математическую культуру, исполнительность, интерес к предмету математики и потребности в приобретении знаний.

Изучение нового материала

Организационный момент.

Мотивационно-ориентировочный блок.

– Какой раздел геометрии вы изучали в школе?

– Какой раздел геометрии мы изучаем сейчас?

– В школе вы изучали векторы на плоскости, а сейчас мы будем изучать их в пространстве.

Записывается тема урока.

– Открытия, обогащающие математику новыми понятиями, часто происходят из различных областей естествознания. Таким примером является понятие вектора, пришедшее из физики. Например, скорость, ускорение, перемещение являются физическими величинами, которые имеют векторный характер. При изучении электрических и магнитных полей в пространстве появляются новые физические величины векторного характера: вектор напряжённости электрического поля и вектор магнитной индукции.

В повседневной жизни мы тоже встречаемся с векторными величинами: например, векторная символика встречается на указателях и дорожных знаках. Применение векторов играет важнейшую роль в современной математике, химии, биологии, экономике и других науках.

Часто вектор понимают не только как направление, но и как движение, развитие. Например, есть такие понятия, как вектор развития личности, вектор развития мобильных приложений. Даже химическую реакцию сейчас часто рассматривают как векторную величину.

В математике понятие вектора впервые появилось в работах немецкого математика 19 века Германа Грассмана и ирландского математика Уильяма Гамильтона. Современная символика обозначения вектора была введена в 1853 г. французским математиком Огюстеном Луи Коши.

Актуализация опорных знаний.

– Вспомните из школьной программы слова, словосочетания, термины, связанные с понятием вектора. (направление, длина вектора, нулевой вектор, коллинеарные, сонаправленные, противоположно направленные, равные, противоположные, сложение, вычитание, умножение на число…)

– Все эти понятия относятся и к векторам в пространстве. Рассмотрим их подробно.

Изучение нового материала

– Отрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом, а какой концом, называется вектором.

В , – длина вектора

– Вектор, у которого начало и конец совпадают, называется нулевым.

– Длиной ненулевого вектора называется длина отрезка .

– Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

Коллинеарные векторы

Даются понятия сонаправленных и противоположно направленных векторов, равных векторов, противоположных векторов и их изображения. Выясняется, что от любой точки пространства можно отложить вектор, равный данному, и притом только один.

б) – Верно ли, что:

любые два противоположно направленных вектора коллинеарны? (да)

если два вектора лежат на одной прямой или на параллельных прямых, то они сонаправлены? (нет)

любые три коллинеарных вектора сонаправлены? (нет)

любые два коллинеарных вектора сонаправлены? (нет)

если длины векторов равны, то и векторы равны? (нет)

любая точка может выступать в роли вектора? (да)

от любой точки можно отложить вектор, равный данному? (да)

векторы, лежащие на одной прямой, коллинеарны? (да)

– Сложение, вычитание векторов и умножение вектора на число в пространстве вводятся так же, как и на плоскости, и подчиняются тем же законам.

Рассматриваются правила сложения векторов, свойства сложения векторов, правила вычитания векторов, сумма нескольких векторов, умножение вектора на число (определение и свойства).

Закрепление.

Дан тетраэдр DABC . Найдите:

Также устно выполняется №344, письменно №335 (а, в), 337 (а, в).

2) Самостоятельная работа.

а) Обучающимся раздаются листы с таблицей в два столбца, в левом столбце – первая часть утверждения в правом – другая. Установить соответствие.

1. …отрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом, а какой концом.

2. Длина вектора – это…

2. …правило треугольника, правило параллелограмма, правило многоугольника.

3. …противоположно направлены и их длины равны.

4. Коллинеарные векторы – это векторы, которые…

4. …сонаправлены и их длины равны.

5. Для сложения векторов используются…

5. …лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

6. Коллинеарные векторы могут быть…

6. …длина отрезка .

7. Векторы называются противоположными, если они…

7. …нулевой вектор.

8. Любая точка пространства может рассматриваться как…

8. …сонаправленные и противоположно направленные.

б) 1 вариант. Дан тетраэдр MABC , ∠ ACB = 90°, точки К и Р – середины сторон МВ и МС, АС = 9 см, ВА = 15 см. Найти длину вектора .

2 вариант. Даны неколлинеарные векторы и . Построить векторы: ; .

Оценка и самооценка учебной деятельности.

– Ребята, вы сегодня хорошо поработали. Предлагаю оценить вашу работу на уроке.

В пространстве, как и на плоскости, можно использовать вектора. Правила работы с ними похожи на уже известные нам действия с плоскими векторами.

План урока:

Понятие вектора в пространстве

Напомним, что в курсе планиметрии мы уже подробно изучали вектора и действия с ними. При этом предполагалось, что все вектора располагаются в одной плоскости. Однако можно расширить понятие вектора так, чтобы они использовались и в стереометрии. В таком случае вектора уже могут располагаться в различных плоскостях.

Начнем с определения вектора:

Конец вектора обозначают с помощью стрелки. Посмотрим на рисунок:

Здесь показаны сразу три вектора:

Длина вектора АВ – это длина соответствующего ему отрезка АВ. Для обозначения длины используют квадратные скобки:

Естественно, что нулевой вектор имеет нулевую длину.

Далее напомним понятие коллинеарных векторов:

Коллинеарные вектора могут быть либо сонаправленными, либо противоположно направленными. Сонаправленные вектора находятся на сонаправленных лучах. Рассмотрим пример с кубом:

Здесь показаны вектора AD и ВС. Они сонаправленные, этот факт записывается так:

Вектора AD и FE располагаются на скрещивающихся прямых, поэтому они не коллинеарны. Их нельзя считать ни сонаправленными, ни противоположно направленными.

Сонаправленные вектора, имеющие одинаковую длину, именуются равными.

Рассмотрим несколько простейших задач.

Задание. В прямоугольном параллелепипеде АВС DA ₁ B ₁ C ₁ D ₁ известны три его измерения:

Решение. Для нахождения длин этих векторов достаточно вычислить длину отрезков СВ, DB и DB ₁. Проще всего вычислить СВ, ведь отрезки СВ и AD одинаковы как стороны прямоугольника АВ CD :

Задание. На рисунке показан правильный тетраэдр АВС D . Точки M , N , P и Q являются серединами тех сторон, на которых они располагаются. Какие вектора из отмеченных на рисунке равны между собой?

Решение. Легко заметить, что вектора DP и PC находятся на одной прямой DC и сонаправлены, при этом их длина одинакова, ведь Р – середина DC . Тогда эти вектора по определению равны:

Вектора АМ и МВ также коллинеарны и имеют одинаковую длину, но они противоположно направлены, а потому равными не являются.

Теперь заметим, что отрезки MN , MQ , PQ и NP – это средние линии в ∆ ABD , ∆ АВС, ∆ BCD и ∆ ACD соответственно. По свойству средней линии получаем, что MN || BD , PQ || BD , MQ ||АС и NP ||АС. Отсюда по свойству транзитивности параллельности получаем, что MN || PQ и MQ || NP . Это значит, что четырехугольник MQPN – это параллелограмм, а у него противоположные стороны одинаковы:

Операции над векторами

Правила сложения векторов в стереометрии не отличаются от правил в планиметрии. Пусть надо сложить два вектора, а и b . Для этого отложим вектор а от какой-нибудь точки А, тогда его конец окажется в некоторой точке В. Далее от В отложим вектор b , его конец попадет в какую-то точку С. Тогда вектор АС как раз и будет суммой a и b :

Такой метод сложения векторов именуется правилом треугольника. Если нужно сложить больше двух векторов, то используют правило многоугольника. В этом случае необходимо каждый следующий вектор откладывать от конца предыдущего. При этом в стереометрии вектора могут располагаться в различных плоскостях, то есть они на самом деле многоугольник не образуют:

Напомним, что в планиметрии существовали так называемые противоположные вектора. Есть они и в стереометрии:

Главное свойство противоположных векторов заключается в том, что в сумме они дают нулевой вектор:

Заметим, что для получения противоположного вектора достаточно поменять его начало и конец, то есть в записи вектора обозначающие его буквы надо просто записать в обратном порядке:

C помощью противоположного вектора легко определить операцию вычитания векторов. Чтобы из вектора а вычесть вектор b , надо всего лишь прибавить к a вектор, противоположный b :

Далее рассмотрим умножение вектора на число. Пусть вектор а умножается на число k . В результате получается новый вектор b , причем

1) b и a будут коллинеарными векторами;

2) b будет в k раз длиннее, чем вектор a .

Если k – положительное число, то вектора a и b будут сонаправленными. Если же k a и b будут направлены противоположно.

Уточним, что если | k | b будет не длиннее, а короче вектора a . Наконец, если k = 0, то и b будет иметь нулевую длину, то есть b окажется нулевым вектором.

Задание. Дан параллелепипед АВС D А₁В₁С₁ D ₁. Постройте вектор, который будет являться суммой векторов:

Решение. В каждом случае необходимо заменить один из векторов в сумме на другой равный ему вектор так, чтобы можно было применить правило треугольника.

В задании а) вектор А₁ D ₁ заменить равным ему вектором ВС. В итоге получится вектор АС.

В задании б) заменяем А D ₁ на вектор ВС₁. Также можно было бы заменить АВ на D ₁ C ₁. В обоих случаях сумма окажется равной АС₁.

В задании в) удобно DA заменить на C ₁В₁, тогда искомой суммой будет вектор С₁В.

В задании г) производим замену DD ₁ на равный ему вектор BB ₁. Тогда сумма DB и BB ₁– это вектор DB ₁.

В задании д) необходимо заменить ВС на В₁С₁. В итоге получаем вектор DC :

Задание. В пространстве отмечены точки А, В, С и D . Выразите вектор АВ через вектора:

Решение. В случае а) сначала запишем очевидное равенство векторов, вытекающее из правило многоугольника:

Обратите внимание, что здесь у каждого следующего слагаемого начальная точка совпадает с конечной точкой предыдущего слагаемого, поэтому равенство и справедливо:

Однако по условию а) нам надо использовать другие вектора для выражения АВ. Мы можем просто заменить вектора CD и DB на противоположные:

Теперь можно составить и выражение для АВ:

Аналогично решаем и задания б) и в):

Задание. Р – вершина правильной шестиугольной пирамиды. Докажите, что сумма векторов, совпадающих с ребрами этой пирамиды и начинающихся в точке Р, в точности равна сумме векторов, которые совпадают с апофемами пирамиды и при этом также начинаются в точке Р.

Решение. Обозначим вершины буквами А₁, А₂, … А₆, а середины сторон шестиугольника, лежащего в основании, буквами Н₁, Н₂, … Н₆, как это показано на рисунке:

Нам надо показать, что сумма красных векторов равна сумме черных векторов:

Теперь отдельно построим правильный шестиугольник, лежащий, в основании пирамиды:

Ясно, что вектора, образованные сторонами этого шестиугольника, в сумме дают нулевой вектор (по правилу многоугольника):

Так как точки Н₁, Н₂, … Н₆ – середины сторона, то вектора Н₆А₆, Н₅А₅,…Н₁А₁ будут вдвое короче векторов А₁А₆, А₆А₅, … А₂А₁. При этом они находятся на одних прямых, поэтому справедливы равенства:

Таким образом нам удалось из верного равенства (3) доказать (2), из которого в свою очередь следует справедливость и (1), ч. т. д.

Задание. Упростите выражения:

Решение. Здесь надо просто применить законы сложения и умножения векторов, как это делалось и в курсе планиметрии. Сначала раскрываем скобки, а потом приводим подобные слагаемые:

Компланарные векторы

Если мы отложим несколько векторов от одной точки, то они либо будут находиться в одной плос-ти, либо располагаться в различных плос-тях. В первом случае их именуют компланарными векторами, а во втором – некомпланарными.

Любые два вектора будут компланарны, ведь при их откладывании от одной точки мы получаем две пересекающихся прямых, а через них всегда можно провести плос-ть. Однако если векторов более двух, то они могут быть как компланарны, так и некомпланарны.

Рассмотрим для примера параллелепипед:

Здесь вектора АС, АВ и АD компланарны, так как все они принадлежат одной грани (то есть плос-ти) АВСD. А вектора АВ, АD и АА₁ некомпланарны, ведь через них нельзя провести одну плос-ть.

Очевидно, что если из трех векторов любые два коллинеарны, то вся тройка векторов компланарна, ведь при откладывании векторов от одной точки коллинеарные вектора окажутся на одной прямой.

Существует признак компланарности векторов:

Напомним, что подразумевается под разложением вектора. Пусть есть вектора а, b и c. Если существуют такие числах и y, при которых выполняется равенство

то говорят, что вектор с разложен по векторам а и b, причем числа xи y называются коэффициентами разложения.

Докажем сформулированный признак. Пусть есть три вектора а, b и c, а также числа xи y, такие, что

Эти вектора находятся в одной плос-ти ОАВ. Теперь от той же точки О отложим вектора ха и уb, концы которых окажутся в точках А₁ и В₁:

Естественно, что вектора ОА₁ и ОВ₁ также окажутся в плос-ти ОАВ. Тогда и их сумма будет принадлежать этой плос-ти, а эта сумма как раз и есть вектор с:

В итоге получили, что а, b и с располагаются в одной плос-ти, то есть они компланарны.

Справедливо и обратное утверждение. Если вектора а, b и с компланарны, но а и b неколлинеарны, то вектор с можно разложить на вектора a и b. Это утверждение прямо следует из изученной в 9 классе теоремы о разложении векторов. Важно отметить, что коэффициенты такого разложения определяются однозначно.

Для сложения тройки некомпланарных векторов можно применить так называемое правило параллелепипеда. Если есть три некомпланарных вектора, то можно отложить их от одной точки О и далее построить параллелепипед, в котором эти вектора будут ребрами. Тогда диагональ этого параллелепипеда, выходящая из точки О, и будет суммой этих трех векторов:

Разложение вектора на некомпланарные вектора

Иногда вектор можно разложить не на два, а на три вектора. Выглядит такое разложение так:

Для доказательства рассмотрим три некомпланарных вектора а, bи c, а также произвольный вектор р. Отложим их от одной точки О. Обозначим концы этих векторов большими буквами А, В, С и Р:

Через ОВ и ОА можно провести некоторую плос-ть α. Точка С ей принадлежать не может, ведь ОА, ОВ и ОС – некомпланарные вектора. Проведем через Р прямую, параллельную ОС. Так как ОС пересекает α, то и параллельная ей прямая также пересечет α в некоторой точке Р₁. (Примечание. Если Р принадлежит α, то точки Р и Р₁ совпадут, то есть вектор Р₁Р будет нулевым).

Далее через точку Р₁ в плос-ти α проведем прямую, параллельную ОВ, которая пересечет ОА в точке Р₂. Заметим, что вектор ОР₂ находится на той же прямой, что и вектор ОА, то есть они коллинеарны, поэтому существует такое число х, что

Итак, мы показали, что у произвольного вектора p есть разложение на заранее заданные некомпланарные вектора. Осталось показать, что существует только одно такое разложение. Докажем это методом от противного. Пусть есть второе разложение с другими коэффициентами х₁, у₁ и z₁:

В правой части находятся три вектора, которые в сумме нулевой вектор. По правилу сложения векторов это означает, что эти вектора образуют треугольник, то есть находятся в одной плос-ти:

Значит, они компланарны. Тогда компланарны и вектора a, b и с, что противоречит условию теоремы. Значит, второго разложения р на заданные некомпланарные векторы не существует, ч. т. д.

Задание. АВСD и А₁В₁С₁D₁ – параллелограммы, располагающиеся в разных плос-тях. Докажите, что тройка векторов ВВ₁, СС₁ и DD₁ компланарна.

Решение. Сначала построим рисунок по условию задачи:

Для доказательства используем признак компланарности векторов. Для этого надо один из векторов, отмеченных на рисунке красным, разложить на два других вектора.

В результате нам удалось разложить СС₁ на вектора BB₁ и CC₁. Значит, эти три вектора коллинеарны.

Задание. В параллелепипеде АВСDA₁B₁C₁D₁ запишите разложение вектора BD₁ по векторам ВА, ВС и ВВ₁.

Решение. Сначала представим вектор BD₁ как сумму трех векторов:

Теперь заметим, что вектора С₁D₁ и ВА соответствуют ребрам параллелепипеда. Эти ребра одинаковы по длине и параллельны, поэтому и вектора будут равными. Аналогично равны вектора СС₁ и ВВ₁:

Задание. АВСD – тетраэдр, а точка К делит его ребро ВС пополам. Разложите вектор DK по векторам DA, AB и AC.

Решение. Сначала запишем очевидное выражение для вектора DK:

Задание. В точке М пересекаются медианы треугольника АВС, а О – произвольная точка в пространстве. Разложите вектор ОМ по векторам ОА, ОВ и ОС.

Решение. Медиану, проходящую через точку А, мы обозначим как АА₁, то есть А₁ – это середина отрезка ВС. Также буквой К обозначим середину ОВ:

Сначала разложим вектор ОА₁ на ОВ и ОС. Это можно сделать, ведь они компланарны. КА₁ – это средняя линия ∆ОСВ, поэтому КА₁||ОС и КА₁ вдвое короче ОС. Это значит, что

Так как АА₁ – медиана, то точка М делит ее в отношении 2:1. Отсюда вытекает следующее соотношение:

Только что решенная задача может быть использована и при решении другого, более сложного задания.

Задание. Докажите, что в параллелепипеде АВСDА₁В₁С₁D₁ плос-ти А₁ВD и СB₁D₁ делят диагональ АС₁ на три равных отрезка.

Решение. Обозначим точкой K точку пересечения медиан ∆А₁ВD. Тогда по формуле, выведенной в предыдущей задаче, мы получаем, что

Это соотношение означает, что вектора АК и АС₁ коллинеарны, поэтому они располагаются на одной прямой (они не могут находиться на параллельных прямых, ведь у них есть общая точка А). Значит, точка K принадлежит диагонали АС₁, и отрезок АК втрое короче диагонали.

Аналогично можно показать, что и

Из этого также вытекает, что М принадлежит диагонали АС₁, и МС₁ втрое короче АС₁. Значит, точки М и К делят диагональ на три равных отрезка, ч. т. д.

Сегодня мы расширили понятие векторов и научились их применять не только в планиметрических, но и в стереометрических задачах. При сохраняются все правила, по которым выполняются действия над векторами. Также в стереометрии появляется новое понятие компланарных и некомпланарых векторов.

Читайте также: