Пирамида площадь поверхности пирамиды конспект

Обновлено: 05.07.2024

• Повторить понятие пирамиды, основные виды пирамиды.

• Повторить элементы пирамиды: основание, боковые грани, вершина, боковые рёбра, высота пирамиды, высота боковой грани.

• Формирование умений учащихся в решении тематических задач.

• Расширить представления учеников о пространственной геометрической фигуре - пирамиде - через усвоение достижений культуры человечества.

• Обосновать практическое (прикладное) значение геометрии как науки, осознать ее значение и роль в жизни человека.

• Воспитывать у обучающихся чувство прекрасного, стремление к самосовершенствованию и удовлетворению познавательных потребностей, прививать интерес к изучению геометрии.

• Развивать приемы умственной деятельности (анализ, сравнение, обобщение), логическое мышление, пространственное воображение, математическую речь.

• Развивать коммуникативные навыки и навыки сотрудничества.

Вложение	Размер
urok_geometrii_tarasyuk_n.a.docx	92.06 КБ

Предварительный просмотр:

Разработка урока по геометрии

"Пирамида. Площадь боковой и полной поверхности пирамиды"

Повторить понятие пирамиды, основные виды пирамиды.
Повторить элементы пирамиды: основание, боковые грани, вершина, боковые рёбра, высота пирамиды, высота боковой грани.
Формирование умений учащихся в решении тематических задач.
Расширить представления учеников о пространственной геометрической фигуре - пирамиде - через усвоение достижений культуры человечества.
Обосновать практическое (прикладное) значение геометрии как науки, осознать ее значение и роль в жизни человека.

Воспитывать у обучающихся чувство прекрасного, стремление к самосовершенствованию и удовлетворению познавательных потребностей, прививать интерес к изучению геометрии.

Развивать приемы умственной деятельности (анализ, сравнение, обобщение), логическое мышление, пространственное воображение, математическую речь.
Развивать коммуникативные навыки и навыки сотрудничества.

Цель занятия: составление алгоритма решения типовых задач по данной теме.

3.Актуализация опорных знаний учащихся и контроль исходного уровня знаний

1) Фронтальная работа с обучающимися с использованием компьютерной презентации:

Вопросы для первой группы:

Какой многогранник называется пирамидой?
Назовите по рисунку: вершину пирамиды, боковые ребра:

Как по-другому называется треугольная пирамида?
Что называется высотой боковой грани?
Как вычислить площадь боковой поверхности правильной пирамиды?

Вопросы для второй группы:

Какая пирамида называется правильной?
Как называется высота боковой грани у правильной пирамиды?
Назовите формулы вычисления площади произвольного и прямоугольного треугольников.
Как вычислить площадь полной поверхности пирамиды?

2) Проверка усвоения формул площади боковой и полной поверхности пирамиды:

Задание для первой группы:

В пятиугольной пирамиде все боковые грани равны между собой. Площадь основания равна 42, а площадь боковой грани на 15 меньше. Чему равна площадь полной поверхности пирамиды?

(Ответ обучающихся. Так как в пирамиде все боковые грани равны, то и площади их будут равны. Знаем, что площадь боковой грани на 15 меньше площади основания, значит, она равна 27. В пятиугольной пирамиде боковых граней 5. Таким образом, площадь полной поверхности равна: 27*5+42 = 177).

Задание для второй группы:

В правильной пирамиде высота боковой грани равна 10, а в основании лежит квадрат со стороной 4. Чему равна площадь боковой поверхности?

(Ответ обучающихся. Боковая грань пирамиды – это треугольник. Все боковые грани этой пирамиды равны между собой, так как пирамида правильная. Вычислим площадь треугольника: ½*4*10=20. В основании пирамиды лежит квадрат, значит, боковых граней будет 4. Таким образом, площадь боковой поверхности равна: 4*20=80)

4.Поэтапное формирование умственных действий по теме: "Пирамида. Площадь боковой и полной поверхности пирамиды"

Обучающимся предлагается решить задачу, опираясь на опорные вопросы.

Задача 1. В правильной пирамиде высота боковой грани равна 12 см, а в основании лежит квадрат со стороной 5 см . Найти площадь боковой и полной поверхности пирамиды.

Опорные вопросы к задаче:

Определите вид пирамиды и запишите выражение для вычисления площади боковой поверхности пирамиды в общем виде.
Определите, все ли элементы в выражении для нахождения площади боковой поверхности пирамиды известны. Запишите выражение для вычисления неизвестного элемента и вычислите его.
Вычислите значение площади боковой поверхности пирамиды.
Запишите выражения для вычисления площади полной поверхности пирамиды в общем виде.
Определите, все ли элементы в выражении для нахождения площади полной поверхности пирамиды известны. Запишите выражение для вычисления неизвестного элемента и вычислите его значение.
Вычислите значение площади полной поверхности пирамиды.
Обобщите проделанную работу и сформулируйте алгоритм решения задач на нахождение площади боковой и полной поверхности пирамиды.

Ответы на вопросы:

1.Правильная четырехугольная пирамида. S бок = 1/2 P ОСН · l

2. P ОСН =4· а = 4·5 = 20 см.

3. S бок = 1/2 P ОСН · l = 1/2· 20 · 12 = 120 см².

4. S п.п. = S бок + S осн

5. S осн = а² = 5² = 25 см².

6. S п.п. = S бок + S осн = 120 + 25 = 145 см².

Алгоритм решения задач на нахождение площади боковой и полной поверхности пирамиды:

Определение вида пирамиды и ее элементного состава.
Запись выражения для нахождения базовой формулы площади боковой поверхности пирамиды.
Нахождение неизвестных элементов для вычисления площади боковой поверхности пирамиды.
Вычисление площади боковой поверхности пирамиды.
Запись выражения для нахождения базовой формулы площади полной поверхности пирамиды.
Нахождение неизвестных элементов для вычисления площади полной поверхности пирамиды.
Вычисление площади полной поверхности пирамиды.

Задача 2. В правильной пирамиде высота боковой грани равна 14 см, а в основании лежит квадрат со стороной 6 см . Найти площадь боковой и полной поверхности пирамиды.

Подведение итогов урока

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Методическая разработка урока по теме: Нанесение раствора на вертикальную поверхность способом слева направо в среднюю часть

Даный урок проводится в коррекционных группах (VIII вид) по профессиии маляр.

Методическая разработка. Урок - игра "Пирамида".

В данной методической разработке рассматривается целостность игровой технологии в основе которой заложена активизация и интенсификация деятельности студентов СПО. Методическая разработка содержит конк.

Методическая разработка урока учебной практики по теме "Дефекты шпатлеванной поверхности и способы их устранения при подготовке поверхности под окраску"

Разработка предназначена для проведения урока учебной практики для обучающихся относящихся к категории ЛОВЗ.

Разработка урока по геометрии на тему:"Пирамида"

В разработке урока рассматриваются историческая и математическая точки зрения понятия "пирамида"; приведены понятия пирамиды, правильной пирамиды и их основных элементов; приводятся вопросы .

Разработка урока производственного обучения по теме "Нарезание резьбы".

Разработка урока «Решение задач на вычисление площади поверхности призмы"

Данный урок является уроком комплексного применения знаний на практике. Материал может быть использован при изучении темы"Площадь поверхности призмы", а также при подготовке к ЕГЭ. Разработк.

1. Повторить понятия: пирамида, правильная пирамида, элементы пирамиды, (грани, рёбра, вершины, высота, апофема) 2.Формировать умение распознавать на моделях и чертежах разные виды пирамид.

3.Научить выполнять чертежи пирамиды по условию задачи.

4.Выявить способы нахождения площади боковой и полной поверхности пирамиды.

5.Рассмотреть задачи, связанные с пирамидой.

Развивающие:

1. Формировать убеждение учащихся в значении математики для решения задач, возникающих в практической деятельности 2. Развивать логическое мышление, интерес к предмету, умение работать самостоятельно. Воспитательные:

1. Воспитание ответственности, аккуратности, самостоятельности.

Методы обучения:

объяснительно- иллюстративный ( рассказ учителя), репродуктивный - репродуктивная беседа, изображение многогранников учащимися, частично- поисковый. исследовательский - практическая работа с развёртками пирамид, их исследование и применение знаний на практике. Формы работы: фронтальная, индивидуальная, парная, групповая. Средства обучения: модели пирамид, карточки с вопросами, карточки с заданиями, памятки, тетрадь.

Этапы и виды деятельности учащихся с примерной разбивкой по времени.

1.Организационный - 1 мин.

2.Актуализация опорных знаний -5 мин. Репродуктивная беседа.

3.Этап изучения новых знаний и способов деятельности - рассказ учителя - 12 мин.

4.Этап первичной проверки знаний, понимания изученного- 5 мин. Ответы на вопросы.

5. Этап применения изученного - 13 мин. практическая работа по карточкам.

6. Рефлексия и итог урока -4 мин.

Характеристика этапов урока

Организационный ( включение учащихся в учебную деятельность) 1 мин.

Приветствует учащихся, проверяет готовность учащихся к уроку, порядок в кабинете. Здравствуйте, ребята. Поставьте перед собой задачу сегодня на уроке всё понять, запомнить, научиться решать. Можно ошибаться, сомневаться в решении каких- либо вопросов. Проявите вашу активность.

Отвечают на приветствие учителя. Проверяют готовность рабочего места к уроку.

Коммуникативные: сотрудничество с учителем и одноклассниками.

Актуализация опорных знаний 5 мин.

Фронтальная работа На доске чертежи пирамид: треугольной, 4- угольной, правильной.

Ребята, вы можете пользоваться подсказками приложение 1. Вопросы к классу: -какие пирамиды вы видите? Назовите их

- дайте определение пирамиды

- назовите элементы пирамиды - какие виды пирамид вы знаете - какая пирамида называется правильной?

- дайте определение апофемы

Самостоятельная работа с самопроверкой. Приложение 1. Работа с карточками: на чертежах пирамид обозначить вершины, провести высоту и апофему . А теперь обменялись работами со своим соседом и проверяем работу

Треугольная, 4- угольная, правильная пирамиды

Пирамидой называется многогранник, у которого одна из граней - основание какой- либо многоугольник, а остальные- боковые - треугольники , имеющие общую вершину.

Вершины, рёбра, грани, высота

3,4,п- угольные, правильные

Пирамида называется правильной, если её основанием является правильный многоугольник и высота проходит через центр основания

Апофемой называют высоту боковой грани правильной пирамиды

Ребята выполняют, потом проверяют работу и сдают учителю

Регулятивные: оценивать правильность выполнения действий на уровне адекватной оценки Познавательные: строить речевое высказывание в устной и письменной форме. Коммуникативные: контролировать действия партнёра.

Исторический материал 1 мин.

Познавательные: использовать поиск необходимой информации для выполнения учебных заданий.

Постановка проблемы и изучение нового материала 12 мин.

А теперь ребята решим такую задачу. Представьте, что нам надо покрыть железом крышу дома, которая имеет форму правильной 4- угольной пирамиды. Апофема пирамиды 10м. Сторона основания 12м. Какие грани будут покрываться железом? Покажите их на развёртке. То. е нам надо узнать площадь боковой поверхности правильной пирамиды. Сколько боковых граней у данной пирамиды?. Какими фигурами являются боковые грани(равнобедренные равные треугольники) следовательно S_бок= 4S∆ Как найти площадь треугольника ( опорный конспект) .Чему равна будет площадь боковой поверхности нашей пирамиды?

S_бок= значит S_бок=2٠12٠10=240м 2 . Ответ:240м 2 . Ребята, что мы сейчас нашли? А как вы думаете , что будет из себя представлять полная поверхность пирамиды?

Следовательно, тема нашего урока Записываем тему урока в тетрадь. Что нам сегодня надо узнать, чему научиться Запишем в тетрадь формулу для вычисления полной поверхности пирамиды Sп = S_бок + S_осн Какой фигурой могут быть основания пирамиды?

Какой фигурой являются боковые грани любой пирамиды? Значит надо уметь вычислять площади треугольников, 4- угольников (ромб, трапеция, квадрат , прямоугольник, параллелограмм) А теперь вернёмся к нашей задаче 4а - это периметр основания пирамиды, h = d - апофема. Сформулируем и запишем формулу для вычисления боковой поверхности правильной пирамиды: S_бок= р_осн٠h Таким образом боковая поверхность правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему т.е. высоту боковой грани.

Если пирамида неправильная, то как придётся вычислять площадь такой пирамиды?

Записывают размеры в тетради.

Боковые грани Показывают на развёртке

Равнобедренные равные треугольники на опорном конспекте находят формулу площади треугольника S_бок=2ah. S_бок = 2٠12٠10= 240м Боковую поверхность пирамиды

Полная поверхность пирамиды будет равна сумме боковой поверхности и площади основания пирамиды.

Площадь поверхности пирамиды.

Научиться вычислять площадь пов-ти пирамиды

Разные многоугольники: треугольник, прямоугольник, квадрат, ромб, трапеция,

Надо вычислить площадь каждой грани, сложить их и прибавить площадь основания пирамиды.

Познавательные: - анализ, синтез, обобщение, сравнение; - постановка и формулирование. Коммуникативные -полнота выражения своих мыслей ,наличие и аргументация своего мнения.

Применение полученных знаний 18 мин. Сюда включено время для теста на внимательность и С/Р.

Нахождение поверхности пирамиды является практически необходимым в жизни человека, например в строительстве : показываю слайды с домом и теплицей, с упаковкой для молока в форме тетраэдра. Решим задачу: Пирамида Хеопса имеет следующие размеры , они представлены в таблице .Найти площадь боковой поверхности пирамиды Хеопса. Приложение2

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

10 класс Геометрия Даниленко О.В. Урок №39

Дата проведения:

Тема урока: Пирамида. Площадь полной и боковой поверхности.

Тип урока : усвоение навыков и умений.

Цели урока: формировать навыки решения задач на вычисление элементов пирамиды, площадей полной и боковой поверхностей пирамиды; научиться анализировать, выделять главное, обобщать и систематизировать, применять полученные знания на практике; развивать пространственное мышление, функциональную грамотность учащихся; воспитывать у учащихся осознанное отношение к учебному материалу. Требования к знаниям, умениям и навыкам: обучающийся должен знать/понимать возможности геометрии для описания свойств реальных предметов и их взаимного расположения; уметь: изображать основные многогранники; выполнять чертежи по условиям задач; использовать при решении стереометрических задач планиметрические факты и методы; решать простейшие стереометрические задачи на нахождение площадей; проводить доказательные рассуждения в ходе решения задач; вычислять линейные элементы и углы в пространственных конфигурациях, площади поверхностей пространственных тел.

Форма работы : коллективная, индивидуальная.

Оборудование урока: линейки, учебник, проверочный тест, раздаточный материал: модели пирамид, иллюстрации крыш, виды пирамид.

1.Организационный момент.

3. Актуализация опорных знаний и практического опыта учащихся.

Проверка домашнего задания, воспроизведение и коррекция опорных знаний и опыта учащихся .

n -угольников и n треугольников.

2.Многогранник, составленный из двух равных n -угольников, расположенных в параллельных плоскостях, и n параллелограммов.

3.Многогранник, составленный из n -угольника и n -треугольников.

4.Многогранник, составленный из двух равных n - угольников и n треугольников.

Данный видеоурок будет посвящён пирамиде. Мы напомним, что называют диагональным и параллельным сечениями пирамиды. Вспомним, какие виды пирамид бывают, и поговорим о каждом из них. Повторим, как находить площади боковой и полной поверхностей пирамиды, а также её объём. Поговорим об усечённой пирамиде.

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобретя в каталоге.

Получите невероятные возможности

Конспект урока "Пирамида. Площади поверхностей. Объём"

Напомним, что пирамида – это многогранник, в основании которого лежит –угольник, а остальные граней – треугольники с общей вершиной.

Многоугольник называется основанием пирамиды.

Треугольники , , …, называются боковыми гранями пирамиды.

Точка – вершиной пирамиды, а отрезки , , …, – её боковыми рёбрами.

Отрезок, соединяющий вершину пирамиды с плоскостью её основания и перпендикулярный к этой плоскости, называется высотой пирамиды.

Пирамиду с вершиной и основанием называют -угольной пирамидой и обозначают так: .

Диагональное сечение – это сечение пирамиды плоскостью, которая проходит через два боковых ребра, не принадлежащих одной грани.

Объединение боковых граней называется боковой поверхностью пирамиды, а объединение всех граней называется полной поверхностью пирамиды.

Тогда площадью боковой поверхности пирамиды называется сумма площадей её боковых граней.

А площадью полной поверхности пирамиды называется сумма площадей всех её граней.

Объём пирамиды равен:

Пирамида, в зависимости от того, какой многоугольник лежит в основании, имеет своё название.

Пирамида называется правильной, если её основанием является правильный многоугольник, а все боковые рёбра равны.

Отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является её высотой.

Высота боковой грани правильной пирамиды, проведённая из её вершины к ребру основания, называется апофемой.

Выше изображена правильная пирамида. – одна из её апофем. Все апофемы правильной пирамиды равны друг другу.

Отметим некоторые свойства правильной -угольной пирамиды.

1. В правильной -угольной пирамиде все боковые рёбра равны между собой.

2. Боковые рёбра равно наклонены к основанию.

3. Из равенства боковых рёбер пирамиды следует и равенство её боковых граней.

4. Боковые грани равно наклонены к основанию.

5. Вершина проектируется в центр основания (основание высоты совпадает с центром основания).

6. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна:

7. Объём правильной четырёхугольной пирамиды со стороной основания и высотой равен:

Параллельное сечение пирамиды – сечение пирамиды плоскостью, параллельной основанию.

Параллельное сечение пирамиды обладает следующими свойствами:

1. сечение, параллельное основанию пирамиды, отсекает на высоте пирамиды и боковых рёбрах пропорциональные отрезки;

2. в сечении получается многоугольник, подобный основанию;

3. площади сечения и основания относятся как квадраты их расстояний до вершины.

Усечённая пирамида – это часть пирамиды, заключённая между основанием и параллельным сечением пирамиды.

Основания усечённой пирамиды – подобные многоугольники, лежащие в параллельных плоскостях.

Боковые грани усечённой пирамиды – трапеции.

Высота усечённой пирамиды – это перпендикуляр, опущенный из любой точки верхнего основания на плоскость нижнего.

Площадь полной поверхности усечённой пирамиды равна сумме площади боковой поверхности и площадей двух оснований.

Объём усечённой пирамиды равен разности объёмов полной и отсечённой пирамиды, или его ещё можно вычислить по следующей формуле:

Правильная усечённая пирамида получается из правильной пирамиды.

Апофема – высота боковой грани правильной усечённой пирамиды.

Площадь боковой поверхности правильной усечённой пирамиды равна:

Основные моменты мы с вами повторили, а теперь давайте перейдём к практической части занятия.

Задача первая. Дана треугольная пирамида, боковые рёбра которой взаимно перпендикулярны и равны см, см и см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Задача вторая. Дана правильная четырёхугольная пирамида со стороной основания см и высотой см. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

Задача третья. Найдите высоту правильной усечённой треугольной пирамиды , если стороны её оснований равны см и см, а боковое ребро равно см.

Задача четвёртая. В пирамиде боковое ребро перпендикулярно основанию и равно ребру . Треугольник – прямоугольный с катетами см и см. Найдите объём пирамиды.

Задача пятая. Найдите объём правильной треугольной пирамиды с ребром основания, равным см, и боковым ребром, равным см.

Читайте также: