Первый замечательный предел конспект урока
Обновлено: 07.07.2024
Цели: дать понятие предела функции; рассмотреть простейшие его свойства.
II. Повторение и закрепление пройденного материала
1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).
2. Контроль усвоения материала (самостоятельная работа).
1. Найдите сумму геометрической прогрессии 9, 3, 1, 1/3, .
2. Решите уравнение 2х + 4х2 + 8х3 +. = 3 (где |х|
3. Представьте в виде обыкновенной дроби 0,(16).
1. Найдите сумму геометрической прогрессии 8, 3, 1/2, 1/8, .
2. Решите уравнение 3х + 6х2 + 12х3 + . -2 (где |х|
3. Представьте в виде обыкновенной дроби 0,(24).
III. Изучение нового материала
Понятие и строгое определение предела функции достаточно сложные, и многие студенты их не воспринимают и не умеют ими пользоваться. Поэтому на этом занятии мы попытаемся дать некие представления о пределе функции и его свойствах, не вводя строгого определения предела. Все-таки при этом попытаемся связать предел функции с пределом последовательности (что обсуждалось ранее).
1. Предел функции на бесконечности
Будем рассматривать поведение функции у = f (х) при х → +∞. Пусть область определения такой функции D ( f ) = [а; +∞). Возьмем последовательность аргументов х n = а + n (где n ∈ N ) и соответствующую ей последовательность значений у n = f ( xn ) функции в этих точках. Пусть предел такой последовательности Разумно считать, что число b является и пределом функции у = f (х) при стремлении x к плюс бесконечности. Для описания этой математической модели используют запись При этом прямая у = b является горизонтальной асимптотой графика функции у = f (х). Другими словами, при х → +∞ значения функции у = f (х) практически равны числу b .
Найдем предел функции
Рассмотрим последовательность аргументов х n = n (где n ∈ N ).
Очевидно, что при n → ∞ аргументы х n → +∞. Соответствующая последовательность значений функции имеет вид: Предел такой последовательности легко вычисляется: Тогда и предел данной функции
Аналогично можно дать определение предела функции у = f ( x ) при х → -∞. Пусть область определения этой функции D ( f ) = (-∞; а]. Рассмотрим последовательность аргументов х n = а - n (где n ∈ N ), которая при n → ∞ стремится к -∞ (т. е. х n → -∞). Возьмем соответствующую ей последовательность значений у n = f (х n ) функции в этих точках. Пусть предел такой последовательности Тогда будем считать, что число b является и пределом функции у = f (х) при стремлении х к минус бесконечности, т. е. При этом прямая у = b будет горизонтальной асимптотой графика функции у = f ( x ).
Если выполнены соотношения то их объединяют одной записью или еще более короткой записью (читают: предел функции у = f (х) при стремлении х к бесконечности равен b ).
Так как предел функции связан с пределом последовательности, то при вычислении подобных пределов используются аналогичные теоремы.
1) Для любого натурального показателя т справедливо соотношение
2) Если то:
а) предел суммы равен сумме пределов, т. е.
б) предел произведения равен произведению пределов, т. е.
в) предел частного равен частному пределов (при с ≠ 0), т. е.
г) постоянный множитель можно вынести за знак предела, т. е.
В силу этих теорем вычисление пределов функции похоже на вычисление пределов последовательностей.
Найдем
Преобразуем данную функцию Для этого выражение умножим и разделим на сопряженную величину: Теперь легко вычислить предел функции: Отсюда и
2. Предел функции в точке
Такое понятие характеризует поведение функции у = f (х) в окрестности точки х = а. При этом в самой точке х = а функция может и не существовать. Попробуем сформулировать понятие предела функции у = f ( x ) в точке х = а. Рассмотрим последовательности аргументов которые сходятся к точке а, т. е. х n → а при n → ∞. Также рассмотрим соответствующие последовательности у n = f (х n ) значений функции. Пусть Тогда разумно считать, что число b является пределом функции у = f ( x ) в точке х = а. При этом используют запись (читают: предел функции у = f ( x ) при стремлении х к а равен b ).
Обсудим три часто встречающиеся ситуации (см. рисунок).
За исключением точки х = а, функции одинаковы, пределы этих функций также равны. Отличие функций состоит в следующем: в случае а функция существует во всех точках и предел функции равен ее значению в точке а (т. е. b = f ( a )); в случае б функция не определена в точке а (т. е. f ( a ) не существует); в случае в функция определена во всех точках, но b ≠ f ( a ).
Таким образом, графический смысл предела заключается в следующем: если значения аргумента выбирать все ближе и ближе к значению х = а, то соответствующие значения функции все меньше и меньше будут отличаться от предела b .
Заметим, что положение еще сложнее. Обсудим функцию, график которой приведен на рисунке.
Функция у = f ( x ) определена во всех точках. Что касается предела функции, то ситуация усложняется. Видно, что при стремлении х к а слева (т. е. при х a ) при стремлении х к а справа (т. е. при х > a ) Поэтому начинает возникать понятие одностороннего предела функции. Сейчас мы не имеем возможности углубляться в эти понятия. Однако помните, что функции и их графики могут быть очень непривычными и сложными. Чтобы их характеризовать, и приходится вводить все более и более сложные понятия.
Обсудим теперь очередное понятие - непрерывность функции y = f ( x ) в точке х = а. Ранее мы говорили, что функция непрерывна, если ее график представляет собой сплошную линию (без разрывов, выколотых точек и т. д.). Таковой является функция а на рис. а-в.
Определение 1. Функцию у = f ( x ) называют непрерывной в точке х = а, если предел функции при стремлении хка равен ее значению в этой точке, т. е.
Докажем, что функция у = х2 непрерывна в любой точке х = а.
Сначала найдем предел функции Рассмотрим последовательность (где n ∈ N ), сходящуюся к а. Тогда так как и С другой стороны, f ( a ) = а2. Видно, что Поэтому по определению данная функция у = x 2 непрерывна в любой точке х = а.
Функция у = f ( x ) непрерывна на промежутке X, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.
В курсе математического анализа доказано утверждение: если выражение f ( x ) составлено из рациональных, иррациональных, тригонометрических выражений, то функция у = f ( x ) непрерывна в любой точке, в которой определено выражение f ( x ).
Понятие непрерывности функции помогает вычислять пределы функции, так как
Найдем
Данная функция определена в точке х = 1. Поэтому
Вычислим
Функция определена в точке х = π /6. Получим:
Если функция у = f (х) не определена в точке х = а, то предел функции также можно вычислить.
Найдем
При x = 4 числитель и знаменатель функции равны нулю, а делить на нуль нельзя. Поэтому сократим дробь: Теперь вычислим предел этой функции: Заметим, что выражения совпадают при х ≠ 4. Причем для вычисления предела функции при x → 4 саму точку x = 4 исключают из рассмотрения.
Вычислим
1-й способ. Поступим аналогично предыдущему примеру и сократим дробь. Для этого числитель и знаменатель умножим на величину Получим:
2-й способ. Введем новую переменную Тогда при х → 3 величина и х = z 2 - 1. Имеем:
При вычислении некоторых пределов полезно помнить, что (первый замечательный предел).
Найдем
Используем формулу понижения степени и теоремы о пределах:
Вычислим
Представим функцию в виде
При вычислении предела функции в точке, как и при вычислении предела последовательности и предела функции на бесконечности, используют теорему о пределах. Если то:
3. Приращение аргумента. Приращение функции
Для характеристики поведения функции у = f ( x ) вблизи точки х0 необходимо знать, как меняется значение функции при изменении значения аргумента. Для этого используют понятие приращений аргумента и функции.
Определение 2. Пусть функция у = f ( x ) определена в точках х0 и х0 + Δх. Величину Δх называют приращением аргумента (при переходе от точки х0 к точке x 0 + Δх), а разность Δ f = f (х0 + Δх) - f (х0) называют приращением функции.
Обсудим геометрический смысл введенных понятий приращений аргумента и функции.
Рассмотрим график функции у = f ( x ) и две точки A ( x 0 , f ( x 0 )) и B (( x 0 + Δх; f ( x 0 + Δх)), принадлежащие графику. Проведем через эти точки секущую l . В прямоугольном треугольнике ABC катеты АС = Δх и ВС = Δ f Угловой коэффициент к секущей l равен tg а = Δ f /Δ x . (Напомним, что угловой коэффициент прямой у = k х + b равен тангенсу угла а, который эта прямая образует с положительным направлением оси абсцисс.)
Разумеется, введенные понятия используются в физике и технике. Запишем, например, среднюю скорость движения тела за промежуток времени [ t 0 ; t 0 + Δ t ]. При движении тела по прямой средняя скорость где x ( t ) - координата тела.
По аналогии со средней скоростью движения тела выражение называют средней скоростью изменения функции f ( x ) на промежутке [х0; х0 + Δх].
Найдем приращения аргумента Δх и функции Δ f в точке х0 = 3, если f ( x ) = 3х2 и:
Используя рассмотренные понятия, получим:
Найдем приращение Δ f функции f (х) в точке х0, если приращение аргумента равно Δх и:
Используя понятие приращения функции, получим:
Дан квадрат со стороной а. Найдем погрешность Δ S , допущенную при вычислении площади S = а2 этого квадрата, если погрешность при измерении стороны квадрата равна Δх.
По определению приращения аргумента х = а + Δх, тогда приращение функции
В заключение еще раз обсудим непрерывность функции у = f ( x ) в точке х = а. Ранее данное определение значило, что функция непрерывна, если Так как х → а, то приращение аргумента Δх = х - а → 0. При этом f (х) → f ( a ), т. е. приращение функции Δ f = f ( x ) - f (а) → 0 или Заметим, что из примеров 10-12 следует, что для фиксированной точки а приращение функции Δ f зависит только от приращения аргумента, т. е. Δ f является функцией Δх.
Определение 3. Функция у = f ( x ) непрерывна в точке х = а, если при Δх = х - а → 0 величина Δ f = f ( x ) - f ( a ) → 0.
Покажем, что функция f (х) = х2 непрерывна в любой точке х - а.
Рассмотрим приращение аргумента Δх = х - а, тогда х = а + Δх. Найдем и приращение функции Очевидно, что Тогда f (х) = х2 непрерывна в любой точке х = а.
IV. Контрольные вопросы
1. Понятие о пределе функции на бесконечности.
2. Предел функции в точке х = а.
3. Дайте определение приращения аргумента и приращения функции.
4. Чему равен угловой коэффициент секущей к графику функции?
5. Запишите определение средней скорости движения тела.
6. Что называют средней скоростью изменения функции?
7. Непрерывность функции в точке х = а.
8. Непрерывность функции на промежутке X.
V. Задание на уроках
§ 26, № 1; 3; 5 (а, в); 7 (б, г); 8 (б); 10 (а, 6); 11; 12 (в, г); 14 (а); 15 (в, г); 17 (а, б); 18 (в); 19 (а); 21 (в, г); 23 (а); 24 (б).
VI. Задание на дом
§ 26, № 2; 4; 5 (б, г); 7 (а, в); 8 (г); 10 (в, г); 12 (а, б); 13; 14 (б); 15 (а, б); 17 (в, г); 18 (б); 19 (б); 21 (а, б); 23 (б); 24 (г).
VII. Творческое задание
Ответы:
- Для учеников 1-11 классов и дошкольников
- Бесплатные сертификаты учителям и участникам
отработать навык решения упражнений на отыскание предела функции в точке и на бесконечности с использованием изученных формул. Познакомить с формулами, выражающими первый и второй замечательные пределы, показать алгоритм использования этих формул при решении упражнений.
развивать память, внимание, продолжить развитие математической речи учащихся; способствовать развитию творческой деятельности учащихся и интереса к предмету математика.
воспитывать аккуратность, формировать умение внимательно выслушивать мнение других, воспитание уверенности в себе, культуры общения, аккуратности при оформлении чертежей и записей в тетради.
Тип занятия: комбинированное.
I .Организационный этап.
II .Актуализация знаний.
Выписать на доске формулы:
III .Решение упражнений.
Функции под знаком предела, в данном случае .
Когда дан любой предел, сначала просто пытаемся подставить число в функцию .
Примеры с бесконечностью:
Итак: если , то функция стремится к минус бесконечности :
Опять начинаем увеличивать до бесконечности, и смотрим на поведение функции:
Вывод: при функция неограниченно возрастает :
1) Когда дан любой предел, сначала просто пытаемся подставить число в функцию.
2) Вы должны понимать и сразу решать простейшие пределы, такие как , , и т.д.
Пределы с неопределенностью вида и метод их решения
Согласно нашему правилу попытаемся подставить бесконечность в функцию. Таким образом, у нас есть так называемая неопределенность вида . Сначала мы смотрим на числитель и находим в старшей степени:
Старшая степень в числителе равна двум.
Теперь смотрим на знаменатель и тоже находим в старшей степени:
Старшая степень знаменателя равна двум.
Затем мы выбираем самую старшую степень числителя и знаменателя: в данном примере они совпадают и равны двойке.
Итак, метод решения следующий: для того, чтобы раскрыть неопределенность необходимо разделить числитель и знаменатель на в старшей степени .
Разделим числитель и знаменатель на
В пределе желательно помечать, что и куда стремится.
Найти предел
Снова в числителе и знаменателе находим в старшей степени:
Максимальная степень в числителе: 3
Максимальная степень в знаменателе: 4
Выбираем наибольшее значение, в данном случае четверку.
Согласно нашему алгоритму, для раскрытия неопределенности делим числитель и знаменатель на .
Полное оформление задания может выглядеть так:
Разделим числитель и знаменатель на
Разделим числитель и знаменатель на
Под записью подразумевается не деление на ноль (делить на ноль нельзя), а деление на бесконечно малое число.
Таким образом, при раскрытии неопределенности вида у нас может получиться конечное число , ноль или бесконечность.
Пределы с неопределенностью вида и метод их решения
Решить предел
Сначала попробуем подставить -1 в дробь:
В данном случае получена так называемая неопределенность .
Общее правило : если в числителе и знаменателе находятся многочлены, и имеется неопределенности вида , то для ее раскрытия нужно разложить числитель и знаменатель на множители .
Разложим числитель и знаменатель на множители
Для того чтобы разложить числитель на множители, нужно решить квадратное уравнение:
Сначала находим дискриминант:
И квадратный корень из него: .
Знаменатель уже является простейшим множителем, и упростить его никак нельзя.
Очевидно, что можно сократить на :
Теперь и подставляем -1 в выражение, которое осталось под знаком предела:
Естественно, в контрольной работе, на зачете, экзамене так подробно решение никогда не расписывают. В чистовом варианте оформление должно выглядеть примерно так:
Разложим числитель и знаменатель на множители.
Метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение
Продолжаем рассматривать неопределенность вида
Сначала пробуем подставить 3 в выражение под знаком предела
Получена неопределенность вида , которую нужно устранять.
Когда в числителе (знаменателе) находится разность корней (или корень минус какое-нибудь число), то для раскрытия неопределенности используют метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение .
Вспоминаем формулу разности квадратов:
И смотрим на наш предел:
у нас в числителе уже есть. Теперь для применения формулы осталось организовать (которое и называется сопряженным выражением ).
Умножаем числитель на сопряженное выражение :
Обратите внимание, что под корнями при этой операции мы ничего не трогаем.
Хорошо, мы организовали, но выражение-то под знаком предела изменилось! А для того, чтобы оно не менялось, нужно его разделить на то же самое, т.е. на :
То есть, мы умножили числитель и знаменатель на сопряженное выражение . Теперь самое время применить вверху формулу :
Неопределенность не пропала (попробуйте подставить тройку), да и корни тоже не исчезли. Но с суммой корней всё значительно проще, ее можно превратить в постоянное число. Как это сделать? Да просто подставить тройку под корни:
Теперь осталось разложить числитель и знаменатель на множители, собственно, это следовало сделать раньше.
Как должно выглядеть решение данного примера в чистовом варианте?
Примерно так:
Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение.
Окончательное решение примера может выглядеть так:
Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение
IV .Изучение нового материала.
Первый и второй замечательные пределы.
В курсе математического анализа, доказывается, что:
– тот же самый первый замечательный предел.
! Но самостоятельно переставлять числитель и знаменатель нельзя! Если дан предел в виде , то и решать его нужно в таком же виде, ничего не переставляя.
На практике в качестве параметра может выступать не только переменная , но и элементарная функция, сложная функция. Важно лишь, чтобы она стремилась к нулю.
Здесь , , , , первый замечательный предел применим.
Второй замечательный предел
В теории математического анализа доказано, что:
Данный факт носит название второго замечательного предела.
Справка: – это иррациональное число.
В качестве параметра может выступать не только переменная , но и сложная функция. Важно лишь, чтобы она стремилась к бесконечности.
Бесплатное участие. Свидетельство СМИ сразу.
До 500 000 руб. ежемесячно и 10 документов.
Цели урока: 1. Обучающая: ввести формулы первого и второго замечательных пределов. Рассмотреть по-нятия: непрерывность функции в точке, непрерывность функции на промежутке. . 2. Развивающая: способствовать развитию логического мышления, памяти. 3. Воспитательная: Аккуратное ведение конспектов, самодисциплина. Тип урока: Урок изучения нового материала Вид урока: лекция Методы: словесные Оборудование: раздаточный материал по теме урока. Ход урока. I. Оргмомент II. Актуализация опорных знаний Устный опрос II. Целевая установка. 1. Тема урока 2. Цель урока III. Формирование новых понятий и способов действий.Цели урока: 1. Обучающая: ввести формулы первого и второго замечательных пределов. Рассмотреть по-нятия: непрерывность функции в точке, непрерывность функции на промежутке. . 2. Развивающая: способствовать развитию логического мышления, памяти. 3. Воспитательная: Аккуратное ведение конспектов, самодисциплина. Тип урока: Урок изучения нового материала Вид урока: лекция Методы: словесные Оборудование: раздаточный материал по теме урока. Ход урока. I. Оргмомент II. Актуализация опорных знаний Устный опрос II. Целевая установка. 1. Тема урока 2. Цель урока III. Формирование новых понятий и способов действий.
Тема урока: Первый и второй замечательные пределы Непрерывность функции в точке и на промежутке. Свойства непрерывных функций. Урок № Цели урока: 1. Обучающая: ввести формулы первого и второго замечательных пределов. Рассмотреть понятия: непрерывность функции в точке, непрерывность функции на промежутке. . 2. Развивающая: способствовать развитию логического мышления, памяти. 3. Воспитательная: Аккуратное ведение конспектов, самодисциплина. : Урок изучения нового материала Тип урока Вид урока: лекция Методы: словесные Оборудование: раздаточный материал по теме урока. Ход урока. I. Оргмомент II. Актуализация опорных знаний Устный опрос II. Целевая установка. 1. Тема урока 2. Цель урока III. Формирование новых понятий и способов действий. Для вычисления пределов часто используют так называемые замечательные пределы: Первый замечательный предел Второй замечательный предел Другие важные пределы (при a > 0, a ≠ 1): Определение 1. Функция f (x) называется непрерывной в точке х = x0, если: 1) она определена в точке х = x0, т.е. существует ее значение в точке х = x0, равное f (x0) 2) существует конечный предел функции в точке х = x0, т.е. 3) этот предел равен значению функции при х = х0, т.е. Определение 2. Функция f (x) называется непрерывной в точке x0, если предел слева равен пределу справа и совпадает со значением функции в точке x0, то есть ( xf 0 ) lim x 0 x 0 )( xf lim x 0 x 0 )( xf Определение 3. Функция непрерывна на промежутке, если она непрерывна во всех точках этого промежутка. Если условие, входящее в определение непрерывности функции в некоторой точке, нарушается, то говорят, что рассматриваемая функция терпит в данной точке разрыв. График непрерывной функции Графики функций, имеющих разрыв Функция )( xf 2 x x 25 5 разрыв при х = 0 разрыв при х = 0 разрыв при х = 0 будет иметь разрыв при х = 5. (так как на нуль делить нельзя) Свойства непрерывных функций: Свойство 1, Сумма двух непрерывных функций в точке Х0 является функцией непрерывной в этой точке, т. е. если Свойство 2. Произведение двух непрерывных функций в точке является функцией непрерывной в точке хо, т.е. Свойство 3. Частное двух непрерывных функций в точке XQ является непрерывной функцией в точке Хо, если т.е. Свойство 4. Все основные элементарные функции (у = ха, у = ах, у = ех, у = logаx, у = 1п х, у = sinx, у = cosx, у = tg х, у = ctgx, у = arcsin х, у = arccos х, у = arctg x, у = arcctg x) являются непрерывными в их области определения. Свойства 1. 3 определяют непрерывность функции в точке, свойство 4 — на промежутке. IV. Формирование навыков умственного труда Устный опрос V. Итог урока. Оценки за урок VI. Домашнее задание: Конспект.
,
Следствия:
При решении примеров полезно иметь в виду следующие равенства:
Решение примеров.
Вычислите пределы функции.
Индивидуальный лист успехов.
Начало урока:
Разминка, представление команд.
Актуализация знаний
Теоретические шифровальщики
Математические регулировщики
Математическое лото для практиков
Объяснение нового материала
Закрепление изученного материала
Решение задач членами команд
Подведение итогов урока
Конец урока:
*Отметить в правом столбце участие по каждому
блоку +, количество баллов или количество жетонов
_______________________________________________________________
Лист успехов команд.
элемента
Элементы занятия
Команда 1
Команда 2
Команда 3
Разминка, представление команд.
Представление команд: капитан, название, эмблема, девиз.
Математическая разминка
Актуализация знаний
Теоретические шифровальщики
Математические регулировщики
Математическое лото для практиков
Чтение графика (резерв)
Предварительное подведение итогов
Объяснение нового материала
История развития математического анализа, теории пределов.
Первый замечательный предел и его следствия, решение примеров.
Второй замечательный предел и его следствия, решение примеров.
Закрепление изученного материала
Решение задач членами команд
Решение индивидуальных заданий
Подведение итогов соревнований, жюри
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ЛОТО.
Вычислите пределы функции, запишите полученный ответ, найдите карточку с указанным ответом:
Определение 1 Число b называется пределом функции в точке а, если для всех значений х, достаточно близких к а и отличных от а, значение функции сколько угодно мало отличается от числа b , и обозначается:
(предел в точке)
Определение 2 Число b называется пределом функции при х, стремящемся к а. если для любого числа 0 найдется такое число 0, что при всех х≠а, удовлетворяющих неравенству |x-a| δ, будет выполнено неравенство |f(x) - b| , и обозначается:
(предел в точке)
Определение Функция f(x) стремится к пределу b при x → ∞, если для произвольного малого положительного числа ε можно указать такое положительное число M, что для всех значений x, удовлетворяющих неравенству |x|M, выполняется неравенство
|f(x) - b| (предел на бесконечности)
Теоремы о пределах функции.
Если при x существуют пределы функций f ( x ) и g ( x ), то существуют также и предел их суммы, равный сумме пределов функций f ( x ) и g ( x ):
+
Если при x существуют пределы функций f ( x ) и g ( x ), то существует также и придел их произведения, равный произведению пределов функций f ( x ) и g ( x )
*
Постоянный множитель можно вынести за знак предела.
Если при x существуют пределы функций и пределы функции f ( x ) и g ( x ) и предел функции g ( x ) отличен от нуля, то существует также предел отношения f ( x )/ g ( x ), равный отношению пределов:
Условные обозначения.
Определение 1 Число __ называется ______ функции в ____ а, если для всех значений х, достаточно ______ к а и отличных от а, значение функции сколько угодно ________ отличается от числа b , и обозначается:
(предел в_______)
Определение 2 Число b называется _______ функции при х, __________ к а. если для любого числа ____ найдется такое число ____, что при всех х__а, удовлетворяющих неравенству |x-a|
(предел в_______)
Определение Функция f(x) стремится к пределу __ при x __ ∞, если для произвольного малого положительного числа __можно указать такое положительное число M, что для всех значений x, удовлетворяющих неравенству |x|__, выполняется неравенство |f(x) - b| (предел на _____________)
Теоремы о пределах функции.
Если при x существуют пределы функций f ( x ) и g ( x ), то существуют также и предел их суммы, равный сумме пределов функций f ( x ) и g ( x ):
____
Если при x существуют пределы функций f ( x ) и g ( x ), то существует также и придел их произведения, равный произведению пределов функций f ( x ) и g ( x )
___
Постоянный множитель можно вынести за знак предела.
Если при x существуют пределы функций и пределы функции f ( x ) и g ( x ) и предел функции g ( x ) отличен от нуля, то существует также предел отношения f ( x )/ g ( x ), равный отношению пределов:
___
Условные обозначения.
По графику функции y = f ( x )укажите куда стремится значение функции при
х , у
х у
х у
х у
х у
х у
х у
Читайте также: