Основное логарифмическое тождество конспект

Обновлено: 03.07.2024

Урок направлен на формирование понятия логарифма, изучение его основных свойств и развитие умения применять эти свойства при решении заданий.

Вложение	Размер
logarifmy_i_ih_svoystva.doc	69.5 КБ

Предварительный просмотр:

Тема урока: Логарифмы и их свойства.

Образовательная – сформировать понятие логарифма, изучить основные свойства логарифмов и способствовать формированию умения применять свойства логарифмов при решении заданий.
Развивающая – развивать логическое мышление; технику вычисления; умение рационально работать.
Воспитательная – содействовать воспитанию интереса к математике, воспитывать чувство самоконтроля, ответственности.

Тип урока : Урок изучения и первичного закрепления новых знаний.

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, презентация "Логарифмы и их свойства", раздаточный материал.

Учебник: Алгебра и начала математического анализа,10-11. Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин и др., Просвещение, 2014.

1. Организационный момент: проверка готовности учащихся к уроку .

2. Повторение пройденного материала.

1) Дать определение степени. Что называется основанием и показателем? (Корень n-ой степени из числа а называется такое число, n-я степень которого равна а . 3 4 = 81.)

2) Сформулируйте свойства степени.

3. Изучение новой темы.

Тема сегодняшнего урока - Логарифмы и их свойства (откройте тетради и запишите дату и тему).

1) В какую степень нужно возвести 5, чтобы получить 25? Очевидно, во вторую. Показатель степени, в которую нужно возвести число 5, чтобы получить 25, равен 2.

2) В какую степень нужно возвести 3, чтобы получить 27? Очевидно, в третью. Показатель степени, в которую нужно возвести число 3, чтобы получить 27, равен 3.

Во всех случаях мы искали показатель степени, в которую нужно что-то возвести, чтобы что-то получить. Показатель степени, в которую нужно что-то возвести называется логарифмом и обозначается log.

Число, которое мы возводим в степень, т.е. основание степени, называется основанием логарифма и записывается в нижнем индексе. Затем пишется число, которое мы получает, т.е. число, которое мы ищем: log 5 25=2

Аналогично разберём второй пример.

Дадим определение логарифма.

Определение . Логарифмом числа b>0 по основанию a>0, a ≠ 1 называется показатель степени, в которую надо возвести число a, чтобы получить число b .

Логарифмом числа b по основанию a обозначается log a b.

История возникновения логарифма:

Логарифмы были введены шотландским математиком Джоном Непером (1550-1617) и математиком Иостом Бюрги (1552-1632).

С точки зрения вычислительной практики, изобретение логарифмов можно смело поставить рядом с другими, более древним великим изобретением – нашей десятичной системой нумерации.

Через десяток лет после появления логарифмов Непера английский ученый Гунтер изобрел очень популярный прежде счетный прибор – логарифмическую линейку. Она помогала астрономам и инженерам при вычислениях, она позволяла быстро получать ответ с достаточной точностью в три значащие цифры. Теперь ее вытеснили калькуляторы, но без логарифмической линейки не были бы созданы ни первые компьютеры, ни микрокалькуляторы.

log 3 27=3; log 5 25=2; log 25 5=1/2;

log 5 1/125 =-3; log -2 (-8)- не существует; log 5 1=0; log 4 4=1

Рассмотрим такие примеры:

1 0 . log a 1=0, а>0, a ≠ 1;

2 0 . log a а=1, а>0, a ≠ 1.

Эти две формулы являются свойствами логарифма. Ими можно пользоваться при решении задач.

Как перейти из логарифмического равенства к показательному? log а b=с, с – это логарифм, показатель степени, в которую нужно возвести а , чтобы получить b . Следовательно, а степени с равен b: а с = b.

Выведем основное логарифмическое тождество: а log a b = b. (Доказательство приводит учитель на доске).

Рассмотрим ещё важные свойства логарифмов.

3°. log а ху = log а х + log а у.

4°. log а х/у = log а х - log а у.

5°. log а х p = p · log а х, для любого действительного p.

Рассмотрим пример на проверку 3 свойства:

log 2 8 + log 2 16= log 2 8∙16= log 2 128=7

Рассмотрим пример на проверку 5 свойства:

3 ∙ log 2 8= log 2 8 3 = log 2 512 =9

Задание 1. Назовите свойство, которое применяется при вычислении следующих логарифмов, и вычислите (устно):

log 6 6

log 0,5 1
log 6 3+ log 6 2
log 3 6- log 3 2
log 4 4 8

Перед вами 8 решённых примеров, среди которых есть правильные, остальные с ошибкой. Определите верное равенство (назовите его номер), в остальных исправьте ошибки.

log 2 32+ log 2 2= log 2 64=6
log 5 5 3 = 2;
log 3 45 - log 3 5 = log 3 40
3∙log 2 4 = log 2 (4∙3)
log 3 15 + log 3 3 = log 3 45;
2∙log 5 6 = log 5 12
3∙log 2 3 = log 2 27
log 2 16 2 = 8.

Работа с учебником. №271, 275, 280,290(1,2), 291(1,2)

Проверка ЗУН – самостоятельная работа по карточкам.

log 4 16
log 25 125
log 8 2
log 6 6

С каким математическим понятием вы познакомились на уроке?

Какие свойства логарифмов вы запомнили? (Записать на доске).

Сформулировать и записать основное логарифмическое тождество.

7. Домашнее задание.

п 15-16, № 273, 276,293(1-3).

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Конспект урока алгебры "Свойства степени с натуральным показателем"

План-конспект урока алгебры в 10 классе по теме: "ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СВОЙСТВА ОГРАНИЧЕННОСТИ ФУНКЦИЙ ПРИ РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЙ"

Урок по теме "Применение свойства ограниченности функций при решении уравнений" предназначен для учащихся 10 класса с углубленным или профильным изучением математики. Материал поможет познакомит.

Конспект урока алгебры в 8 классе по теме: "Применение свойств арифметического квадратного корня".

Данный урок в 8 классе с использованием технологии" проблемной ситуации".

Урок обобщения и закрепления знаний, в котором представлен материал для подготовки учащихся к итоговой аттестации.

План-конспект урока алгебры с применением ЭОР "Свойства степени с натуральным показателем",7 класс

Современный урок введения нового материала с применением ЭОР.

Конспект урока алгебры. 7 класс. Тема урока: Свойства степени с натуральным показателем.

Логарифмом положительного числа по основанию , называется показатель степени, в которую надо возвести чтобы получить .

Логарифмирование – это действие нахождения логарифма числа.

Основное логарифмическое тождество:

Свойства логарифмов. При , справедливы равенства:

- логарифм произведения: ;

- логарифм частного: ;

- логарифм степени: .

Основная литература:

Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Фёдорова Н.Е. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. Базовый и углублённый уровни. – М.: Просвещение, 2014. – 384 с.

Открытые электронные ресурсы:

Теоретический материал для самостоятельного изучения

При решении простейших показательных уравнений не всегда можно найти точный ответ. Например, уравнение имеет корень 5, т. к. значит , В уравнении число 5 не является степенью 2, значит предыдущий способ решения не подходит. Нам известно, что уравнение имеет единственный корень. Посмотрим это на графике.

Абсцисса точки пересечения – единственное решение данного уравнения. Это число и называют логарифмом 5 по основанию 2.

Дадим определение логарифма.

Логарифмом положительного числа по основанию , называется показатель степени, в которую надо возвести чтобы получить .

Т. е. логарифм числа по основанию , есть некоторое число такое, что .

, т. к. выполнены все условия определения:

1) 216 > 0; 2) 6 > 0, 6 ≠ 1; 3) .

, т. к. выполнены все условия определения:

1) ; 2) 2 > 0, 2 ≠ 1; 3) .

Это действие называется логарифмированием.

Логарифмирование – это действие нахождения логарифма числа.

Существует краткая запись определения логарифма:

так называемое основное логарифмическое тождество. Его используют при вычислениях.

(Читают: одна треть в степени логарифм 6 по основанию одна треть равен 6)

Решим несколько задач с использованием определения логарифма.

Задача 1. Вычислить .

Решение. Пусть тогда по определению логарифма Приведем левую и правую части к одному основанию. 27 = 3 3 , 81 = 3 4 , значит . Отсюда следует, что

Задача 2. Вычислить .

Решение. Для вычисления воспользуемся свойствами степеней: 1) , 2) и основным логарифмическим тождеством: .

Для решения более сложных задач потребуется знание свойств логарифмов. Рассмотрим их.

1. Логарифм произведения.

Логарифм произведения чисел по основанию равен сумме логарифма по основанию и логарифма по основанию .

2. Логарифм частного.

Логарифм частного чисел по основанию равен разности логарифма по основанию и логарифма по основанию .

3. Логарифм степени.

Логарифм числа по основанию равен произведению показателя и логарифма по основанию .

Важно! Свойства выполняются при ,

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Чтобы выполнить это задание нам понадобятся следующие определения и свойства:

Представим в виде степени с рациональным показателем: . Далее воспользуемся свойством нахождения логарифма степени: . Вспоминаем таблицу квадратов: , значит , . Ответ: .

№ 2. Вычислите

Чтобы выполнить это задание нам понадобятся следующие определения и свойства:

Данный урок помогает учащимся знать и уметь записывать определение логарифма, основного логарифмического тождества;уметь применять определение логарифма и основное логарифмическое тождество при решении упражнений;познакомиться со свойствами логарифмов;научиться различать свойства логарифмов по их записи;научиться применять свойства логарифмов при решении заданий;закрепить вычислительные навыки;продолжить работу над математической речью. Так же позволяет формировать навыки самостоятельной работы, работы с учебником, навыки самостоятельного добывания знаний;формировать самостоятельность мышления, мыслительных операций: сравнение, анализ, синтез, обобщение, аналогия;показать учащимся роль систематической работы по углублению и повышению прочности знаний, по культуре выполнения заданий;развивать творческие способности учащихся.

Тип урока: урок изучения нового материала.

Цель урока: познакомить с понятием логарифма, основным логарифмическим тождеством, научиться применять их на практике.

Задачи урока:

ознакомление с понятием логарифма и основного логарифмического тождества;

закрепление основных понятий базового уровня;

вычисление значений логарифмических выражений.

развитие познавательного интереса;

развитие логического мышления и внимания;

формирование потребности в приобретении знаний.

воспитание ответственности, умения принимать самостоятельные решения.

Оборудование:

учебная литература (Мордкович А. Г. Алгебра и начала анализа: учеб. для 10-11кл. общеобразоват. учреждений)

1. Организационный момент (слайды № 1-3).

2. Актуализация знаний (слайды № 4-5).

Мы с вами научились решать показательные уравнения. Давайте решим устно: , , , .

Как решить последнее уравнение?

У нас с вами пока не хватает знаний для этого. Такая же проблема стояла перед математиками на определенном этапе развития математики.

Чтобы решить это уравнение, было введено новое понятие - логарифм.

3. Изучение нового материала (слайды № 6-12).

Формулировка и запись:

-определения логарифма. Логарифмом числа b по основанию a называется показатель степени, в который нужно возвести основание a,чтобы получить число b.

log_ab = х, где а – основание логарифма; a 0, a ≠ 1; b –аргумент (число или выражение под знаком логарифма); b 0; х – значение логарифма.

- операции логарифмирования. Это операция нахождения логарифма по заданному основанию.

-основного логарифмического тождества.

Вычислите 5 2

-формул. , ,

Экскурс в историю появления логарифмов.

На протяжении 16 века быстро возрастало количество приближенных вычислений, прежде всего в астрономии. Исследование планетных движений и другие работы потребовали колоссальных, иногда многолетних расчетов. Астрономам грозила реальная опасность утонуть в невыполненных расчетах. Проблемы возникали и в других областях, например, в финансовом и страховом деле нужны были таблицы сложных процентов для различных значений процента. Логарифмы были придуманы для ускорения и упрощения вычислений.

Мы можем вычислять логарифмы с помощью калькулятора, а раньше производили вычисления с помощью палочек Непера и логарифмической линейки.

4. Закрепление изученного материала (слайды № 13).

а) докажите, что , , .

(), (), (), (), (), ().

б) Решение упражнений: № (слайды № 14).

Решение упражнений из учебника.

в) Самостоятельная работа по вариантам с последующей взаимопроверкой при помощи слайда (слайд № 15-16).

5. Домашнее задание (слайд № 17).

Выучить определение логарифма.

Решить в тетрадях

Чтобы подвести итог урока , сделать выводы, что удалось или не удалось прошу закончить предложения на листах.

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ г. СЕВАСТОПОЛЯ

План урока по алгебре и началам анализа. 10 класс

Тип урока: урок изучения нового материала.

1) Образовательная: сформулировать понятие логарифма и основного логарифмического тождества; закрепить основные понятия базового уровня.

2) Развивающая: развивать память, внимание, логическое мышление;

3) Воспитательная: воспитывать самостоятельность, ответственность,

Планируемые результаты по общим компетенциям:

1. Уметь использовать полученные знания при решении практических заданий.

2. Осуществлять поиск, анализ и интерпретацию информации, необходимой для выполнения заданий.

3. Работать в коллективе и команде, эффективно сотрудничать с одногруппниками, преподавателем.

Формы контроля знаний, умений и навыков: индивидуальная работа, групповая работа.

Оборудование:

1. презентация урока

2. текст работы в парах с взаимопроверкой – индивидуально каждому ученику;

3. задания для решения в классе – индивидуально каждому ученику;

4. варианты заданий для групповой работы – индивидуально каждому ученику;

5. домашнее задание – разных уровней.

I . Организационная часть урока.

Мы научились решать показательные уравнения. Давайте решим устно:

; ; ;

Последнее уравнение можно решить графическим способом и найти приближенное значение корня, но как найти его точное значение?

Чтобы решить это уравнение, было введено новое понятие - логарифм .

Экскурс в историю появления логарифмов. Историческая справка.

Предпосылки к открытию логарифмов были уже в Античности. Архимед знал о связи между арифметической и геометрической прогрессиями, а также о некоторых свойствах степеней с натуральным показателем.

Большой толчок к развитию не только математики, но и других естественных наук дала Эпоха Великих Географических Открытий. Население росло, запасы истощались, и в поисках новых земель и приключений отважные мореплаватели отправлялись бороздить просторы всех шести океанов. И, чтобы точно проложить курс через моря и океаны, сложить 5 и 7 было явно недостаточно. Нужны были сложные расчеты с привязкой к звездному небу, учитывающие расположение звезд и конфигурацию планет, для определения курса корабля, а калькулятор в карманы лосин, туго обтягивающих бедра капитана корабля, не помещался. Астрономы тратили несколько месяцев на трудоемкие расчеты с многозначными числами.

В середине XV столетия, сопоставляя значения геометрических и арифметических прогрессий, кому-то из светлых умов пришла идея в расчетах заменить умножение многозначных чисел с громоздкими результатами сложением, взяв геометрическую прогрессию за исходную.

Математика – не единственная дисциплина, где используется логарифмическая шкала. Часто, даже не подозревая об этом, мы пользуемся ей в других науках. Например:

- интенсивность звука (децибелы) в физике;

- шкала яркости звёзд в астрономии;

- активность водородных ионов (pH) в химии;

- шкала Рихтера для определения интенсивности землетрясения - в сейсмологии;

- логарифмическая шкала времени в истории.

А теперь каждый из вас для себя поставит цель урока?

III . Актуализация чувственного опыта и опорных знаний студентов.

Давайте вспомним, какие темы мы изучали на предыдущих занятиях? (степени с рациональными показателями и корни)

Заменить степень корнем и наоборот

; ; ; ; ; ;

;

Определение . Логарифмом числа N по основанию а (а>0; а≠1) называется показатель степени х, в которую надо возвести а, чтобы получилось число N . Это число обозначается символом log _а N

Из показательного уравнения а х = N , log_a N = x

Равенство 2 4 = 16 и логарифмическое равенство log ₂ 16 = 4 выражают одно и тоже соотношение между числами 2,4,16.

Выражения log ₂ 0 и log ₂ (-16) не имеют смысла, так как уравнения 2 х =0 и

2 х =-16 не имеют решений. Широко используют десятичные логарифмы lg N , логарифмы по основанию 10, натуральные логарифмы ln N , логарифмы по основанию числа е=2,7…

lg 100=2 , lg 1000=3 , lg 0,01=-2 , ln e = 1 , ln 1= 0

a b =с , log_a с= b →

основное логарифмическое тождество → log_a a b = b

1. Рассмотрим три вида задач:

a ) log ₅ 125= x б) log _1/3 9 = х в) log _0,5 4 = х г) log _1,5 1= х

д) lg 10000= х е) log ₅ 0,2 = х

а) log ₅ N =2 б) log _1/2 N = -3 в) log ₅ N = 0 г) log ₇ N = 1

д) log ₈ N = е) ln N = 1

а) log _а 81 = 4 б) log _а 0,25 = -2 в) log _а = -1 г) log _а 2 = д) log _а 16 =

V . Обобщение и систематизация знаний.

1. Решение заданий из дидактического материала №5.12, 5.13

2. Решение задания на использование основного логарифмического тождества

Вычислите: а) б) в)

Г) д)

Студенты, работая в группах, выставляют оценки в оценочные листы. Сдают их преподавателю.

Из каждой группы выбираются студенты по правилу жребия ( делегат, выбор, все, доверие) для выполнения проверочной работы:

а) log ₇ , б) ; в) lg 1 г) д) ln e 33

VI . Подведение итогов урока. Рефлексия.

Обратить внимание на уравнение 2 х =5 . Пользуясь определением логарифма записать корни этого уравнения. Ответ: х = log ₂ 5

Обучающимся предлагается подвести итоги урока. Студенты высказывают своё мнение о пройденном уроке фразами:

Стр 35-37 Учебник М.И.Башмаков, уровень А стр.37 № 1(1,2), уровень Б №1 (2,3)

Тип урока: урок изучения нового материала.

ознакомление с понятием логарифма и основного логарифмического тождества;
закрепление основных понятий базового уровня;
вычисление значений логарифмических выражений;

развитие познавательного интереса;
развитие логического мышления и внимания;
формирование потребности в приобретении знаний.

воспитание ответственности, умения принимать самостоятельные решения.

экран
компьютер
проектор
компьютерная презентация
учебная литература (Ш.А.Алимов, Ю.М.Колягин, Ю.В.Сидоров и др.: Алгебра и начала анализа: учеб. для 10-11кл. общеобразоват. учреждений)

Организационный момент - 2 мин.
Актуализация знаний - 5 мин.
Изучение нового материала - 17мин.
Решение упражнений - 17мин.
Домашняя работа - 2 мин.
Итог урока - 2мин.

1. Организационный момент (слайды № 1-3).

2. Актуализация знаний (слайды № 4-5).

Мы с вами научились решать показательные уравнения и неравенства. Давайте решим устно: , , , .

Чтобы решить это уравнение, было введено новое понятие - логарифм.

3. Изучение нового материала (слайды № 6-14).

Формулировка и запись определения логарифма, операции логарифмирования, основного логарифмического тождества. Экскурс в историю появления логарифмов.

Самостоятельная работа (первичное закрепление знаний) с последующей самопроверкой при помощи слайда (слайд № 14).

4. Решение упражнений (слайды № 15-17).

Решение упражнений из учебника.

Читайте также: