Опорный конспект по геометрии четырехугольники

Обновлено: 04.07.2024

это четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны.

это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

это параллелограмм, у которого все углы равны (прямые).

это параллелограмм, у которого все стороны равны.

это прямоугольник, у которого все стороны равны

Свойства

1)В равнобедренной трапеции углы при основании равны.

1).Противоположные стороны равны.

1).Все стороны равны.

2)В равнобедренной трапеции диагонали равны.

2).Противоположные углы равны.

2)Все углы равны (90 ° ).

2).Противоположные углы равны.

2)Все углы равны (90 ° ).

3).Диагонали точкой пересечения делятся пополам.

4)Диагонали взаимно перпендикулярны.

4) Диагонали взаимно перпендикулярны.

5)Диагонали делят углы пополам (т.е. являются биссектрисами его углов).

5) Диагонали делят углы пополам (т.е. являются биссектрисами его углов).

6) Диагонали равны.

Четырехугольники

Параллелограммм Трапеция

Прямоугольник Ромб

Квадрат

Вложение	Размер
opornyy_konspekt_chetyrehugolniki.rar	149.28 КБ

Предварительный просмотр:

Цель опорного конспекта: Систематизация знаний по теме “Четырехугольники”.

привести в систему теоретические знания по теме “Четырехугольники”;

определить сферы практического использования знаний.
развивать мыслительные операции (проведение аналогии, анализ, синтез);
развивать пространственное мышление;
развивать логическое мышление.

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Использование в обучении математики опорных конспектов

Из личного опыта использования метода В.Ф.Шаталова "Опорные конспекты".

Опорные конспекты к урокам химии в 8 классе.

В настоящее время очень много различного методического и дидактического материала по химии. Многие авторы создали тетради на печатной основе, которыми можно пользоваться на уроках и дома. Но в условия.

Технология проблемного обучения на основе опорных конспектов на уроках истории.

Создание технологической проблемной ситуации сугубо индивидуально. Проблемные ситуации могут создаваться на всех этапах процесса обучения. Учитель создает проблемную ситуацию, направляет учащихся на е.

Развитие технологического мышления учащихся на уроках технологии с помощью опорных конспектов. (выступление с методического объединения)

Данный материал является выступлением с школьного методического объединения учителей .Тема выступления "Развитие технологического мышления учащихся на уроках.

Опорный конспект по теме "Элементы комбинаторики"

В данном конспекте даны основные определения и формулы для вычисления числа перестановок, размещений и сочетаний без повторений. Можно использовать на уроках комбинаторики в 11-м классе (базовый урове.

Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно.

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Содержание страницы:

Четырехугольником называется фигура, которая состоит из четырех точек (вершин) и четырех отрезков (сторон), которые последовательно соединяют вершины. При этом никакие три из данных точек не должны лежать на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться.

Четырехугольники бывают выпуклые ( A B C D ) и невыпуклые ( A 1 B 1 C 1 D 1 ) .

В задачах ОГЭ встречаются выпуклые четырехугольники, поэтому подробно изучим их.

Смежные стороны – соседние стороны, которые выходят из одной вершины. Пары смежных сторон: A B и A D , A B и B C , B C и C D , C D и A D .

Противолежащие стороны – несмежные стороны (соединяют разные вершины). Пары противолежащих сторон: A B и C D , B C и A D .

Противолежащие вершины – вершины, не являющиеся соседними (лежат друг напротив друга). Пары противолежащих вершин: A и C , B и D .

Диагонали четырехугольника – отрезки, соединяющие противолежащие вершины. A C и B D – диагонали четырехугольника A B C D .

Диагонали выпуклого четырехугольника пересекаются в одной точке.

Площадь произвольного выпуклого четырехугольника можно найти по формуле:

S = 1 2 d 1 d 2 ⋅ sin φ

где d 1 и d 2 – диагонали четырехугольника, φ – угол между диагоналями (острый или тупой – не важно).

Рассмотрим более подробно некоторые виды выпуклых четырехугольников.

Класс параллелограммов : параллелограмм, ромб, прямоугольник, квадрат.

Класс трапеций : произвольная трапеция, прямоугольная трапеция, равнобокая (равнобедренная) трапеция.

Параллелограмм – четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны.

Свойства параллелограмма:

Противолежащие стороны равны.
Противоположные углы равны.
Диагонали точкой пересечения делятся пополам.
Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180 ° .
Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов сторон. d 1 2 + d 2 2 = 2 ( a 2 + b 2 )

Площадь параллелограмма можно найти по трём формулам.

Как произведение стороны и высоты, проведенной к ней.

Поскольку стороны имеют разные длины, то высоты, которые к ним проведены, тоже будут иметь разные длины.

Как произведение двух смежных (соседних) сторон на синус угла между ними.

Как полупроизведение диагоналей на синус угла между ними.

Ромб – параллелограмм, у которого все стороны равны.

Свойства ромба:

Диагонали пересекаются под прямым углом.
Диагонали являются биссектрисами углов, из которых выходят.
Сохраняются все свойства параллелограмма.

Площадь ромба можно найти по трём формулам.

Как произведение стороны ромба на высоту ромба.

Как квадрат стороны ромба на синус угла между двумя сторонами.

Как полупроизведение диагоналей ромба.

Прямоугольник – это параллелограмм, у которого все углы равны 90 ° .

Свойства прямоугольника:

Диагонали прямоугольника равны.
Сохраняются все свойства параллелограмма.

Площадь прямоугольника можно найти по двум формулам:

Как произведение двух смежных (соседних) сторон прямоугольника.

Как полупроизведение диагоналей (так как они обе равны, обозначим их буквой d ) на синус угла между ними.

Квадрат – прямоугольник, у которого все стороны равны.

Свойства квадрата:

Сохраняет свойства ромба.
Сохраняет свойства прямоугольника.

Площадь квадрата можно вычислить по двум формулам:

Как квадрат стороны.

Как полупроизведение квадратов диагоналей (диагонали в квадрате равны).

Трапеция – это четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие нет.

Стороны, которые параллельны друг другу называются основаниями , другие две стороны называются боковыми сторонами .

B C и A D – основания, A B и C D – боковые стороны трапеции A B C D .

Свойства трапеции:

сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна 180 ° .

Средняя линия трапеции – отрезок, соединяющий середины боковых сторон.

Средняя линия параллельна основаниям. Её длина находится по формуле: m = a + b 2

Площадь трапеции можно найти по двум формулам:

Как полусумму оснований на высоту. Поскольку полусумма оснований есть средняя линия трапеции, можно найти площадь трапеции как произведение средней линии на высоту.

Как полупроизведение диагоналей на синус угла между ними.

Виды трапеций

Прямоугольная трапеция – трапеция, у которой два угла прямые.

Равнобокая (равнобедренная) трапеция – трапеция, у которой боковые стороны равны.

Урок позволит выработать умение самостоятельно применять знания при решении задач базового уровня, сформировать навык применения знаний в новых условиях.

Описание разработки

Цель урока:

выработать умение самостоятельно применять знания при решении задач базового уровня, формирование навыка применения знаний в новых условиях

Ход урока:

1 этап: орг момент.

2 этап: новая тема.

Четырёхугольник — это геометрическая фигура, состоящая из четырёх точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой, и четырёх отрезков, попарно соединяющих эти точки.

Различают выпуклые и невыпуклые четырёхугольники.

Четырёхугольник называется выпуклым, если он расположен в одной полуплоскости относительно прямой содержащей любую его сторону

Четырёхугольник называют невыпуклым, если он не является выпуклым.

Средней линией четырехугольника называют отрезок, соединяющий середины непересекающихся сторон четырёхугольника.

Поскольку у каждого четырехугольника имеются две пары непересекающихся сторон, то у каждого четырехугольника имеются две средних линии

Сумма внутренних углов четырехугольника равна 360°

Периметр четырехугольника P = a+b+c+d

3 этап: решение задач

№ 1 стр 7 Стороны четырехугольника равны 8 см, 6 см, 9 см, 17 см.

Найдите его периметр.

Решение: P = a+b+c+d, где a, b, c, d — стороны четырёхугольника.

P = 8 + 6 + 9 + 17 = 40

№ 2 стр 7 Один из углов четырехугольника равен 112°. Найди сумму остальных углов.

Решение: Сумма углов выпуклого четырехугольника = 360°, значит сумма остальных углов 360-112=248°

№ 3 стр 7 Четырех угольник разделен диагональю на два треугольника.

Периметры этих треугольников и четырех угольника соответственно равны 30м, 34м, 36м.

Найдите длину диагонали четырехугольника.

Весь материал - в документе.

Содержимое разработки

Тема урока: Четырехугольники

Цель урока: выработать умение самостоятельно применять знания при решении задач базового уровня, формирование навыка применения знаний в новых условиях

1 этап: орг момент

2 этап: новая тема

Четырёхугольник — это геометрическая фигура, состоящая из четырёх точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой, и четырёх отрезков, попарно соединяющих эти точки. Различают выпуклые и невыпуклые четырёхугольники.

Четырёхугольник называют невыпуклым, если он не является выпуклым.

Средней линией четырехугольника называют отрезок, соединяющий середины непересекающихся сторон четырёхугольника.

Сумма внутренних углов четырехугольника равна 360°

Периметр четырехугольника

3 этап: решение задач

№ 1 стр 7 Стороны четырехугольника равны 8 см, 6 см, 9 см, 17 см. Найдите его периметр.

Решение: , где — стороны четырёхугольника.

Ответ: 40см

№ 2 стр 7 Один из углов четырехугольника равен 112°. Найди сумму остальных углов.

Решение: Сумма углов выпуклого четырехугольника = 360°, значит сумма остальных углов 360-112=248°

№ 3 стр 7 Четырех угольник разделен диагональю на два треугольника. Периметры этих треугольников и четырех угольника соответственно равны 30м, 34м, 36м. Найдите длину диагонали четырехугольника.

Решение: Обозначим за a,b,c,d стороны четырехугольника, за e диагональ. , . Тогда сумма периметров треугольников равна . . Тогда разность суммы периметров треугольников и периметра четырехугольника равна 2e, то есть, 30+34-36=28=2e. Отсюда

e=14 - диагональ равна 14м.

№ 4 стр 7 Существует ли четырехугольник со сторонами 2 см, 6 см, 9 см и 17 см?

Решение: Нет. Потому что сумма любых трех сторон четырехугольника должна быть больше его четвертой стороны. А у нас 2+6+9=17

№ 5 стр 7 Стороны четырехугольника относятся как 4:5:8:2 Р = 57 дм. Найдите стороны четырехугольника

Решение: Составляем уравнение:

Ответ. 12дм, 15дм, 24дм, 6дм.

№ 10 стр 7 Стороны AD и CD четырехугольника ABCD равны . Диагональ BD является биссектрисой углов B и D. Вычислите периметр четырехугольника ABCD если известно что AB =2,7 см CD=2,9 cм

Решение: Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника , то такие треугольники равны . Итак ∆ ABD и CBD равны. АВ = ВС, АD = CD.

Читайте также: