Линейное уравнение с двумя переменными и его график 7 класс мордкович конспект урока

Обновлено: 30.06.2024

Оборудование: мультимедиа проектор, презентация к уроку.

Ход урока

1. Мотивация учебной деятельности (Слайд 1 (cм. презентацию))

Чем больше я знаю,
Тем больше умею.
Кто ничего не замечает,
Тот ничего не изучает.
Кто ничего не изучает,
Тот вечно хнычет и скучает. (Роман Сеф).

Учитель: Посмотрите на слайд. Как вы понимаете эти слова? Как мы можем отнести их к сегодняшнему уроку?

2. Актуализация и пробное учебное действие.

Учитель: Сегодня вам самим предстоит открыть новые знания. Прежде, чем совершать открытие, давайте проверим себя, готовы ли мы совершить его, всё ли было усвоено на уроках, имеются ли слабые места.

Каждый этап урока мы будем оценивать в листах контроля (Приложение 1). Они лежат у вас на столах. Если работал хорошо, то +, если были затруднения +-, если ни чего не получалось -.

Какие из приведенных ниже уравнений являются линейными? (Слайд 2)

Ответ: 3х – у = 14 Почему? Обоснуйте.

Дайте определение линейного уравнения с двумя переменными. (Линейным уравнением с двумя переменными называется уравнение вида

ах + ву = с, где х и у - переменные а, в, с - некоторые числа)

Вместо точек поставьте числа так, чтоб полученная пара чисел являлась решением данного уравнения (Слайд 3)

Ответ: (4;2), (10;-1), (2;3), (-2;5)

Что называется решением уравнения с двумя переменными? (Решением уравнения с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая это уравнение в верное равенство)

Выберите точку, которая принадлежит графику уравнения (Слайд 4):

А(-1; -2), В(2; 1), С(4; -4), D(11; -2).

А теперь давайте вспомним построение точек на координатной плоскости (Слайд 5). Запишите буквы которым соответствуют данные координаты.

Возьмите лист контроля и оцените свою работу на этом этапе урока.

Я предлагаю вам выполнить следующее задание в рабочих тетрадях.

Построите графики функций в одной системе координат (Слайд 6)

Время закончилось, начинаем проверять. (Слайд 7)

Где возникли затруднения?

Почему? (потому что мы не умеем строить такие графики)

А если мы не умеем строить такие графики, то какую поставим перед собой цель?

(Научиться строить график линейного уравнения с двумя неизвестными)

Какова же тема урока? (График линейного уравнения с двумя переменными (Слайд 8))

А кто построил график в задании 4?

Возьмите лист контроля и оцените свою работу на этом этапе урока.

3. Постановка проблемы

Как вы думаете, как мы будем строить график этого уравнения? (выслушать детей)

Итак, подведём итог: (Слайд 9)

Выразим переменную у через х

Формулой у=-1,5х+3 задается линейная функция, графиком которой служит прямая.

Уравнения 3х+2у=6 и у=-1,5х+3 равносильны, то эта прямая является и графиком уравнения 3х+2у=6

А теперь построим график уравнения предложенного в №4 на доске (начертить заранее систему координат на доске).

Так что же является графиком линейного уравнения с двумя переменными? (ответы детей) (Слайд 9)

Составим алгоритм построения графика линейного уравнения с двумя неизвестными

  1. Выразим у через х
  2. Выясним, что является графиком данного уравнения
  3. Построим график данного уравнения

4. Первичное закрепление

5. Самостоятельная работа с проверкой (Слайд 11 – 14)

Возьмите лист контроля и оцените свою работу на этом этапе урока.

Рефлексия. Возьмите лист контроля и оцените свою работу на этом этапе урока (смайлик).

ВложениеРазмер
"Линейное уравнение с двумя переменными и его график", урок алгебры в 7 классе 2.87 МБ

Предварительный просмотр:

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА К РЕСУРСУ

Автор : Цатурова Елена Валентиновна, учитель математики.

Место работы : муниципальное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа №7 г.Сочи Краснодарского края

Программы : Power Point, MS Word.

Цели создания и использования на уроке: активизация произвольного внимания, успешное усвоение изучаемого материала, отработка полученных навыков, сохранение здоровья учащихся.

Как используется на уроке: в течении всего урока.

Тип урока: урок усвоения новых знаний .

  • обеспечить в ходе урока освоения таких понятий, как линейное уравнение с двумя переменными, решение уравнения с двумя переменными, график линейного уравнения с двумя переменным;
  • сформировать навыки нахождения значения переменной, соответствующего заданному значению другой;
  • сформировать навыки построения графика линейного уравнения с двумя переменными;
  • развивать мыслительные операции (проведение аналогии, анализ, синтез);
  • развивать логическое мышление.
  • развивать коммуникативные навыки и навыки групповой работы;
  • развивать навыки самопрезентации и презентации работы группы;
  • прививать интерес к предмету.
  • ввести понятие линейного уравнения как математическую модель реальной ситуации;
  • научить по виду определять линейное уравнение и его коэффициенты;
  • научить по заданному значению х находить соответствующее значение у, и наоборот;
  • ввести алгоритм построения графика линейного уравнения и научить применять его на практике;
  • научить составлять линейное уравнение, как математическую модель задачи.
  1. Организационный этап;
  2. Постановка учебной задачи ;
  3. Изучение новой темы;
  4. Применение полученных знаний на практике (работа в группах)
  5. Физминутка;
  6. Подведение итогов урока.
  7. Домашнее задание.

На уроке кроме ИКТ технологий используются проблемное обучение, элементы развивающего обучения, технология группового взаимодействия.

Постановка учебной задачи

Необходимость составления линейного уравнения для решения задачи с двумя неизвестными.

Задача. Из городов А и В, расстояние между которыми 500 км, навстречу друг другу вышли два поезда, каждый со своей постоянной скоростью. Известно, что первый поезд вышел на 2 ч раньше второго. Через 3ч после выхода второго поезда они встретились. Чему равны скорости поездов?

(Составление математической модели к задаче) Демонстрация составления математической модели .

Изучение новой темы

1. Учитель сообщает, что данное уравнение - есть линейное уравнение с двумя переменными.

2.Вводится определение линейного уравнения с двумя переменными.

3. Отработка понятия линейного уравнения на примерах.(устная работа)

4. Нахождение коэффициентов линейного уравнения. (устная работа)

5. Далее опять возвращаемся к задаче и учитель ставит вопрос о решении уравнения 5х+3у=500. И приводит примеры

6.Учитель ставит вопрос о единственности решения линейного уравнения. Для этого предлагается проверить является ли решениями этого уравнения пары чисел: (64;60), (70;50), (45;80), (80;60). (устная работа)

7. Вводится определение решения линейного уравнения с двумя переменными.

8.Учитель ставит вопрос: сколько решений имеет линейное уравнение с двумя переменными? Ответ: бесконечно много.

Учитель : как можно найти решения линейного уравнения с двумя переменными? Ответ: подобрать.

Учитель: как легче подобрать решения уравнения?

Ответ: подобрать одну переменную, например х , и из уравнения найти другую - у.

9. Учащимся предлагается выполнить задание : изобразите решения уравнения х+у-3=0 точками на координатной плоскости .(самостоятельно).

В процессе выполнения самостоятельной работы у учащихся возникает вопрос: сколько решений показать на координатной плоскости?

Учитель: А сколько вы можете показать?

Учитель: Мы подобрали несколько целых решений уравнения. А как показать все решения данного уравнения?

Ответ может быть таким: если показать не только целые решения, но и рациональные, то точки будут располагаться на одной прямой.

Вводится понятие графика линейного уравнения с двумя переменными.

Учитель: сколько точек необходимо для построения прямой?

10. Учитель предлагает обсудить придумать построения графика линейного уравнения с двумя переменными . После обсуждения раздает алгоритм.

11. Применение алгоритма (фронтальная работа). Построить график уравнения 4х+3у-12=0. (учащиеся выполняют задания тетради)

  • Для учеников 1-11 классов и дошкольников
  • Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Линейное уравнение с двумя переменными и его график

Тип урока: Урок изучения нового знания Класс : 7

Деятельностная цель: введение понятия линейного уравнения как математической модели реальной ситуации; формирование умения по виду определять линейное уравнение и его коэффициенты; формирование умения по заданному значению х находить соответствующее значение у, и наоборот; введение алгоритма построения графика линейного уравнения и применение его на практике; составление линейного уравнения, как математической модели задачи.

Личностные: формирование познавательного интереса к предмету исследования, формирование устойчивой мотивации к изучению и закреплению материала.

Метапредметные:

а) Регулятивные: ставит учебную задачу на основе того, что уже известно и усвоено, и что подлежит усвоению, осознает качество и уровень усвоения.

б) Познавательные: определяет основную и второстепенную информацию, выделяет и формулирует проблему, ориентируясь на разные способы решения задачи.

в) Коммуникативные: использует адекватные языковые средства для отображения своих мыслей и чувств, описывает содержание совершаемых действий с целью ориентировки предметно-практической деятельности, проявляет готовность к обсуждению разных точек зрения и выработке общей (групповой) позиции.

готовность к выполнению норм и требований учителя

Актуализация знаний (4-5 мин.)

Повторение, подготовка к изучению нового материала (фронтальная работа).

- Что такое координатная плоскость?

- Определение оси абцисс и ординат.

- Алгоритм построения точки М (а; b ) в прямоугольной системе координат хОу

- Что значить решить уравнение?

Отвечают на вопросы учителя.

- Взаимно перпендикулярные координатные прямые с началом отсчета в точке их пересечения.

- Ось абсцисс – горизонтальная координатная прямая (или ось x ). Ось ординат – вертикальная координатная прямая (или ось у )

- 1. Построить прямую x=a

2. Построить прямую y=b

3. Найти точку пересечения построенных прямых

- Решить уравнение – значит найти значения переменной, при которых уравнение обращается в верное числовое равенство.

Регулятивные: планировать пути достижения целей; преобразовывать практическую задачу в познавательную; самостоятельно анализировать условия достижения цели на основе ориентиров, выделенных учителем.

Познавательные: устанавливать причинно-следственные связи; строить логическое рассуждение, включающее установление причинно-следственных связей.

Коммуникативные: аргументировать свою точку зрения; владеть устной речью.

Постановка учебной задачи. Мотивация деятельности (4-5 мин.)

- Какое уравнение вызвало затруднение? Почему?

Выходят к доске, решают уравнения.

Последнее уравнение вызывает затруднения, потому что появилась еще одна переменная.

Записывают в тетрадь тему урока.

Личностные: умение вести диалог на основе равноправных отношений и взаимного уважения и принятия.

Регулятивные: преобразовывать практическую задачу в познавательную
Познавательные: проводить наблюдение; строить логическое рассуждение, включающее установление причинно-следственных связей; Коммуникативные: аргументировать свою точку зрения; владеть устной речью.

Рассмотрим такую реальную ситуацию. (слайд 3)

Из городов A и B, расстояние между которыми 500 км, навстречу друг другу вышли два поезда, каждый со своей постоянной скоростью. Известно, что первый поезд вышел на 2 ч раньше второго. Через 3 ч после выхода второго поезда они встретились. Чему равны скорости поездов?

Составим математическую модель задачи. Пусть x км/ч — скорость первого поезда, y км/ч — скорость второго поезда. Первый был в пути 5 ч и, значит, прошел путь 5 x км. Второй поезд был в пути 3 ч, т.е. прошел путь З y км. Их встреча произошла в пункте C. На алгебраическом языке ситуацию можно описать так: 5x +3y=500. Эту математическую модель называют линейным уравнением с двумя переменными x, y .

Уравнение вида ax+by+c=0,

где a, b, c — числа, причем a ≠ 0, b ≠ 0, — линейное уравнение с двумя переменными x и y (или с двумя неизвестными x и y).

Вернемся к уравнению 5x + 3y = 500. Замечаем, что если x = 40, y = 100, то 5 • 40 + 3 • 100 = 500 — верное равенство. Значит, ответ на вопрос задачи может быть таким: скорость первого поезда 40 км/ч, скорость второго поезда 100 км/ч. Пару чисел x = 40, y = 100 называют решением уравнения 5x + 3y = 500.

Учитель ставит вопрос о единственности решения линейного уравнения. Для этого предлагается проверить, является ли решениями этого уравнения пары чисел: (64;60), (70;50), (45;80), (80;60).

- Какой вывод можно сделать?

Если на координатной прямой отметить пары чисел, являющиеся решением линейного уравнения, и соединить их, то получится прямая.

Теорема 1. Графиком любого линейного уравнения ax + by + c = 0 является прямая.

Сколько точек необходимо, чтобы провести прямую? Какой вывод можно из этого сделать?

Личностные УУД (ЛУУД): формировать необходимость закрепления полученных знаний.

Регулятивные УУД (РУУД): понимать учебную задачу урока, осуществлять решение учебной задачи под руководством учителя, определять цель учебного задания, контролировать свои действия в процессе его выполнения, обнаруживать и исправлять ошибки, отвечать на итоговые вопросы и оценивать свои достижения

Познавательные УУД (ПУУД): формировать навыки построения графика линейного уравнения, определения вида уравнения по его записи

Планируемый результат

Предметные: закрепить алгоритм построения точки по ее координатам, ввести понятие график

Уметь: строить график линейного уравнения

Метапредметные: формировать умение определять понятия, создавать обобщения, устанавливать аналогии.

Ученик получит возможность научится переводить текст задачи на математический язык, осуществлять контроль своей деятельности в процессе достижения результата

Основные понятия

Уравнение, переменные, коэффициент, график, прямая пропорциональность

дополнительные

Организация пространства

Этапы урока

Деятельность

Деятельность

Планируемые результаты

I. Организационный

1) включить учащихся в учебную деятельность;

2) определить содержательные рамки урока

Приветствие, проверка подготовленности к учебному занятию, организация внимания детей.

Проверка Д/З через демонстрацию документ камерой 1 тетради на оценку.

Приготовиться к уроку, настроиться на работу, взаимопроверка д/з.

Личностные самоопределяются, настраиваются на урок

Коммуникативные: планируют учебное сотрудничество с учителем и одноклассниками . Регулятивные: организация своей учебной деятельности

II. Актуализация опорных знаний

организовать актуализацию изученных способов действий, структурирование знаний

Повторение, подготовка к изучению нового материала:

Названия числовых промежутков и их виды

Определение абциссы и ординаты точки

Алгоритм построения точки на графике

№ 6.32 – устно по рисунку 7 на стр. 38 (повторяем принцип построения точек на плоскости).

2 человека работают самостоятельно у доски:

Решить уравнение х+15=20

Можно ли не решая уравнение найти его корень?

Т.е. число которое можно подставить вместо переменной, так чтобы равенство левой и правой частей было верным?

Можно ли решить уравнение?

Найдите мне такие пары чисел, чтобы равенство при подстановке было верным.

Подбирите еще пары таких чисел.

Давайте подумаем над темой нашего урока.

Участвуют в беседе с учителем отвечают на поставленные вопросы

2 человека работают самостоятельно

Работают с учителем над определением темы урока

(ПУУД). структурирование собственных знаний .

(КУУД). организовывать и планировать учебное сотрудничество с учителем и сверстниками. (РУУД). контроль и оценка процесса и результатов деятельности.

(ЛУУД). оценивание усвоенного ранее материала

IV. Формирование проблемы, планирование

Формирование умения планировать свое занятие

Помогает ученикам составить план работы

- определение темы урока,

- постановка целей урока

- рассмотрение основных понятий

Формирование понимания на уроке: я должен

- получить представление о возможности сложения и вычитания дробей с разными знаменателями

- уметь применять полученные знания к решению практических задач;

- воспитывать уверенность в себе и уважение к окружающим

Составляют план работы

((ПУУД). умение осознанно и произвольно строить речевое высказывание в устной форме (КУУД). умение вступать в диалог, участвовать в коллективном обсуждении вопроса.

(РУУД). определяют цель учебной деятельности, осуществляют поиск средства ее достижения (ЛУУД) самоопределение.

VI. открытие нового знания.

- Установление правильности и осознанности изучения темы.

Вы правильно определили тему, но мы не будем решать уравнения с двумя переменными, мы познакомимся со способом построения графика таких уравнений.

В учебнике откройте п.7 и познакомьтесь с определением линейного уравнения с двумя переменными.

Определение линейного уравнения с двумя переменными

Решением уравнения ax + by + c =0 называют любую пару чисел ( x ; y ), которая удовлетворяет этому уравнению, т.е. обращает равенство с переменными ax + by + c =0 в верное числовое равенство.

Изобразить решения линейного уравнения с двумя переменными x + y −3=0 точками в координатной плоскости x O y .

Подберём несколько решений заданного уравнения, т.е. несколько пар чисел, которые удовлетворяют уравнению: (3;0),(2;1),(1;2),(0;3),(4;−1)

Отметим некоторые из них в координатной плоскости и проведем через них прямую линию. Это и есть график данного уравнения.

Обратите внимание, что график выражается через переменную у.

График такого уравнения называется прямой пропорциональности и строится с помощью прямой линии.

Для построения прямой необходимо находить две точки.

Рассмотрим алгоритм построения графика линейной функции.

Слайд 9 рассмотрение алгоритм а нахождения точек графика

Работа с учебником

Работают на местах

Работа с учебником

(ПУУД). формирование интереса к данной теме, построение логической цепи рассуждений.

(КУУД). уметь оформлять свои мысли в устной форме; слушать и понимать речь других, оценивать действия партнёра. (ЛУУД). формирование готовности к самообразованию.

(РУУД). п ланирование своей деятельности для решения поставленной задачи и контроль полученного результата

VII. Применение нового знания

№ 7.5(а,б) – 1 человек у доски

Оценивают свою работу и работу одноклассников

(ПУУД). формирование навыка работы с уравнением

(КУУД). умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли.

(РУУД). Отработка умений находить координаты у а=по заданным координатам х

(ЛУУД) умение давать верную эмоциональную оценку своей деятельности на уроке.

VII I . Рефлексия учебной деятельности на уроке

Цели: Инициировать рефлексию детей по поводу психоэмоционального состояния, Д/З Информация о домашнем задании, инструктаж по его выполнению.

Какую тему мы изучали сегодня?

А какие задачи мы ставили?

Что вам понравилось или не понравилось на уроке?

Что может надо было изменить?

Кому бы вы сегодня поставили оценки и какие?

П. 7 №7.10-7.13 – (в,г), 7.5 (в,г), ;7.17(в,г)

Оценивают свою работу и работу одноклассников

(ПУУД). формирование внутреннего плана действий, структурирование полученной информации

(КУУД). умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли.

(РУУД). оценивание детьми собственной деятельности, определение позиции ученика (ЛУУД) умение давать верную эмоциональную оценку своей деятельности на уроке.


/data/files/d1508159506.pptx (Презентация по теме линейное уравнение с двумя переменными)

Цель - изучение и первичное осознание нового учебного материала, осмысление связей и отношений в объектах изучения.

Учебный и трудовой практикум.

Структура и ход урока

СТРУКТУРА И ХОД УРОКА

Отметить отсутствующих, сообщить тему урока

Проверка домашнего задания

Фронтальный опрос (5-7 учеников). Выявить знания материала предыдущего урока.

Объяснение нового материала

Изложить новый материал, использую знания учащихся.

1. Напоминание теоретического материала и формулировка определения линейного уравнения с двумя переменными

Мы по­зна­ко­ми­лись с по­ня­ти­я­ми ко­ор­ди­нат­ной оси и ко­ор­ди­нат­ной плос­ко­сти. Мы знаем, что каж­дая точка плос­ко­сти од­но­знач­но за­да­ет пару чисел (х; у), при­чем пер­вое число есть абс­цис­са точки, а вто­рое – ор­ди­на­та.

Мы будем очень часто встре­чать­ся с ли­ней­ным урав­не­ни­ем с двумя пе­ре­мен­ны­ми, ре­ше­ни­ем ко­то­ро­го и есть пара чисел, ко­то­рую можно пред­ста­вить на ко­ор­ди­нат­ной плос­ко­сти.

, где a, b, с – числа, при­чем

На­зы­ва­ет­ся ли­ней­ным урав­не­ни­ем с двумя пе­ре­мен­ны­ми х и у. Ре­ше­ни­ем та­ко­го урав­не­ния будет любая такая пара чисел х и у, под­ста­вив ко­то­рую в урав­не­ние мы по­лу­чим вер­ное чис­ло­вое ра­вен­ство.

Пара чисел будет изоб­ра­жать­ся на ко­ор­ди­нат­ной плос­ко­сти в виде точки.

У таких урав­не­ний мы уви­дим много ре­ше­ний, то есть много пар чисел, и все со­от­вет­ству­ю­щие точки будут ле­жать на одной пря­мой.

2. Изучение алгоритма построения графика уравнения на примере

Рас­смот­рим при­мер:


; ; ;

Чтобы найти ре­ше­ния дан­но­го урав­не­ния нужно по­до­брать со­от­вет­ству­ю­щие пары чисел х и у:


Пусть , тогда ис­ход­ное урав­не­ние пре­вра­ща­ет­ся в урав­не­ние с одной неиз­вест­ной:

,

То есть, пер­вая пара чисел, яв­ля­ю­ща­я­ся ре­ше­ни­ем за­дан­но­го урав­не­ния (0; 3). По­лу­чи­ли точку А(0; 3)

Пусть . По­лу­чим ис­ход­ное урав­не­ние с одной пе­ре­мен­ной: , от­сю­да , по­лу­чи­ли точку В(3; 0)

За­не­сем пары чисел в таб­ли­цу:


По­стро­им на гра­фи­ке точки и про­ве­дем пря­мую:


От­ме­тим, что любая точка на дан­ной пря­мой будет ре­ше­ни­ем за­дан­но­го урав­не­ния. Про­ве­рим – возь­мем точку с ко­ор­ди­на­той и по гра­фи­ку най­дем ее вто­рую ко­ор­ди­на­ту.


Оче­вид­но, что в этой точке . Под­ста­вим дан­ную пару чисел в урав­не­ние. По­лу­чим 0=0 – вер­ное чис­ло­вое ра­вен­ство, зна­чит точка, ле­жа­щая на пря­мой, яв­ля­ет­ся ре­ше­ни­ем.

Пока до­ка­зать, что любая точка, ле­жа­щая на по­стро­ен­ной пря­мой яв­ля­ет­ся ре­ше­ни­ем урав­не­ния, мы не можем, по­это­му при­ни­ма­ем это за прав­ду и до­ка­жем позже.

3. Решение примера

При­мер 2 – по­стро­ить гра­фик урав­не­ния:


Со­ста­вим таб­ли­цу, нам до­ста­точ­но для по­стро­е­ния пря­мой двух точек, но возь­мем тре­тью для кон­тро­ля:


В пер­вой ко­лон­ке мы взяли удоб­ный , най­дем у:

, ,


Во вто­ром стол­би­ке мы взяли удоб­ный , най­дем х:

, , ,


Возь­мем для про­вер­ки и най­дем у:

, ,


Умно­жим за­дан­ное урав­не­ние на два:


От та­ко­го пре­об­ра­зо­ва­ния мно­же­ство ре­ше­ний не из­ме­нит­ся и гра­фик оста­нет­ся таким же самым.

Читайте также: