Корень энной степени конспект

Обновлено: 06.07.2024

Определение корня n-й степени из действительного числа

Корнем n-й степени ($n=2, 3, 4, 5, 6… $) некоторого числа $a$ называют такое неотрицательное число $b$, которое при возведении в степень $n$ дает $a$:

Число $n$ при этом называют показателем корня.

Если $n=2$, то перед вами корень 2-й степени или обычный квадратный корень.

Если $n=3$, то корень 3-й степени и т.д.

Операция извлечения корня n-й степени является обратной к операции возведения в n-ю степень.

Кубический корень из числа 27 равняется 3. Действительно, если число 3 возвести в 3-ю степень, то мы получим 27.

Корень 4-й степени из 16-и равен 2. Двойка в 4-й степени равна 16.

Если извлечь корень n-й степени из 0, всегда будет 0.

Мы не можем в уме подобрать такое число, которое при возведении в 3-ю степень даст 19. Если посчитать на калькуляторе, то получим $2,668…$ – иррациональное число с бесконечным количеством знаков после запятой.

Обычно, в математике, когда у вас получается иррациональное число, корень не считают и оставляют так как есть $\sqrt[3]$.

Что же делать, если под рукой нет калькулятора, а нужно оценить, чему равен такой корень. В этом случае нужно подобрать справа и слева такие ближайшие числа, корень из которых посчитать можно:

$$ \sqrt[3] \le \sqrt[3] \le \sqrt[3] $$ $$ 2 \le \sqrt[3] \le 3 $$

Получается, что наш корень лежит между числами 2 и 3.

Корень четной и нечетной степени

Надо четко различать правила работы четными и нечетными степенями. Дело в том, что корень четной степени можно взять только из положительного числа. Из отрицательных чисел корень четной степени не существует.

Корень нечетной степени можно посчитать из любых действительных чисел. Иногда в школьной программе встречаются задания, в которых требуется определить имеет ли смысл выражение:

Данное выражение имеет смысл, так как корень нечетной степени можно посчитать из любого числа, даже отрицательного.

Так как корень четной степени, а под корнем стоит отрицательное число, то выражение не имеет смысла.

Свойства корня n-й степени

Пусть есть два неотрицательных числа a и b, для них будут выполняться следующие свойства:

На этом уроке вводиться понятие корня n-й степени. Рассматриваются примеры вычисления корня n-й степени из числа. Вводиться понятие арифметического корня и на его основании формулируется алгоритм вычисления корня n-й степени с чётным и с нечётным показателем корня из неотрицательного и отрицательного числа.

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобретя в каталоге.

Получите невероятные возможности

Конспект урока "Корень n-й степени"

Корнем n-й степени из числа а называется такое число, n-я степень которого равна а, где:

n - показатель корня;

а - выражение, стоящее под знаком корня - подкоренным выражением.

Заметим, что для корня 2 - й степени показатель не пишут, и такой корень называют квадратным корнем.

Заметим, что в зависимости от того чётное или нечётное n, можно получить 1 или 2 значения.

Рассмотрим случай, когда n - нечётное число.

Заметим, что каждому значению а соответствует единственное значение х.

Рассмотрим случай, когда n - чётное число. Рассмотрим график такой функции:

Если a>0, то существует два значения, и .

Если a=0, то существует только одно значение, x=0.

Корень нечётной степени имеет смысл при любом значении а, а корень чётной степени имеет смысл только при неотрицательных значениях а.

Рассмотрим пример: найти выражения не имеющие смысла.

Не имеют смысла выражения только корень чётной степени, когда подкоренное выражение меньше нуля:

Корень n-й степени из а, где a≥0, имеет смысл при любых n. Его называют арифметическим корнем n-й степени.

Найдём значения данных выражений:

Подкоренное выражение a Оцените видеоурок

Получите полный комплект видеоуроков, тестов и презентаций Алгебра 9 класс ФГОС

Комментарии 3

Чтобы добавить комментарий зарегистрируйтесь или войдите на сайт

Маргарита Гаврилова,
Считаю ошибочной запись через радикал корень четвёртой степени из 16 равен минус 2, тк не смотря на то, что у положительного числа 16 два крня чётной степени - это 2 и -2, корень минус 2 - это минус радикал из 16, без минуса тольеко 2.

Здравствуйте, Маргарита. Спасибо за внимание к нашим проектам. Обратите внимание на комментарий наших разработчиков по поводу Вашего вопроса: На этом этапе идёт работа с определением. И если следовать определению, действительно, подходят оба значения, но далее в видео поясняется, что отрицательный корень чётной степени принято обозначать минусом перед радикалом (3:36). Так же ещё раз напоминаем ученикам о нашей договорённости (05:08), вводим понятие арифметического корня n-ой степени, рассматриваем пример (6:03), озвучиваем в итогах (9:05). Если у Вас возникнут вопросы, напишите, пожалуйста, в нашу службу техподдержки: [email protected]

Маргарита Гаврилова,
Считаю ошибочной запись через радикал корень четвёртой степени из 16 равен минус 2, тк не смотря на то, что у положительного числа 16 два крня чётной степени - это 2 и -2, корень минус 2 - это минус радикал из 16, без минуса тольеко 2.

Здравствуйте, Маргарита. Благодарим Вас за замечание. Мы обязательно проверим.

Считаю ошибочной запись через радикал корень четвёртой степени из 16 равен минус 2, тк не смотря на то, что у положительного числа 16 два крня чётной степени - это 2 и -2, корень минус 2 - это минус радикал из 16, без минуса тольеко 2.

Получайте новое первыми

Знаете как улучшить видеоурок?

Вы смотрели

Корень n-й степени

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Ввести понятие корня n -ой степени из действительного числа;

Изучить свойства корня n -ой степени.

Задачи урока:

формирование умения вычислять корень степени n из действительных чисел и рационально использовать его свойства при решении примеров и уравнений вида х n =а;

Тип урока: изучение и первичное закрепление новых знаний.

Формы контроля: самопроверка самостоятельно решённых задач, проверка самостоятельной работы преподавателем на оценку.

Оборудование: ноутбук, мультимедийный проектор, экран.

повторение опорных знаний;

изучение нового материала;

первичное закрепление изученного материала;

подведение итогов, дз.

Приветствие

Здравствуйте, ребята. Сегодня на уроке мы познакомимся со следующими понятиями: корень n-ой степени, арифметический корень n-ой степени из числа, с решениями уравнений вида х n =a.

Проверка дз (один студент решает на доске, у 5 проверяет учитель по тетрадям).

Повторить определение квадратного корня из числа а, степени с натуральным, нулевым, целым отрицательным и рациональным показателем.

а n =а·а·а···а , , a ≠0, a 0 =1, a ≠0,

, a >0, m є Z , n є Z , n ≥2

Повторить свойства степеней с рациональным показателем:

1 0 . а х ·а у =а х+у

4. Определение. Корнем n-ой степени из числа а называется такое число, n-ая степень которого равна а.

Пример 1. Найти:

, т.к. 3 3 =27, , т.к. 2 6 =64 и (-2) 6 =64

Определение . Арифметическим корнем n -ой степени из числа а называется неотрицательное число, n -ая степень которого равна а.

, n – показатель корня, а – подкоренное выражение.

Пример 2 . Найти:

а) , т.к. 2 3 =8 и 2>0

При четном n существует два корня n -ой степени из любого положительного числа а; корень n -ой степени из числа 0 равен 0; корней четной степени из отрицательных чисел не существует.

Пример 3 .Уравнение х 4 =81 имеет два корня: х ₁ =3 и х ₂ =-3, при этом , т.е.

При нечетном n существует корень n -ой степени из любого числа а и притом только 1.

Замечание. Для любого х

Основные свойства арифметического корня n -ой степени:

Пример 6 . Преобразовать выражения:

6 0 . Для любых чисел a и b , таких что 0≤ a b , выполняется неравенство:

Пример 7 . Сравним числа и .

Решение: ; , т.к. 32>27, то и

Пример 8. Решить неравенство: x 6 >20

Решение: x 6 -20>0,

5. Решение примеров на доске (студенты на оценку):

Найдите значение числового выражения:

6. Самостоятельная работа. Критерии оценки: Правильно выполненные 4 задания – “3”. Правильно выполненные 6 заданий – “4”. Правильно выполненные 7 заданий – “5”.

7. Провести рефлексию. Дать студентам возможность проанализировать свои ошибки.

8. Подвести итоги урока.

Записать домашнее задание.

подготовка к ЕГЭ/ОГЭ и ВПР
по всем предметам 1-11 классов

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Сейчас обучается 933 человека из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Сейчас обучается 683 человека из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Инструменты онлайн-обучения на примере программ Zoom, Skype, Microsoft Teams, Bandicam

Курс добавлен 31.01.2022
Сейчас обучается 24 человека из 17 регионов

ЗП до 91 000 руб.
Гибкий график
Удаленная работа

Дистанционные курсы для педагогов

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 608 980 материалов в базе

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Другие материалы

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

01.03.2017 3210
DOCX 167 кбайт
127 скачиваний
Рейтинг: 5 из 5
Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Головенькина Нина Сергеевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

40%

Подготовка к ЕГЭ/ОГЭ и ВПР
Для учеников 1-11 классов

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Рособрнадзор предложил дать возможность детям из ДНР и ЛНР поступать в вузы без сдачи ЕГЭ

Время чтения: 1 минута

Отчисленные за рубежом студенты смогут бесплатно учиться в России

Время чтения: 1 минута

Школы граничащих с Украиной районов Крыма досрочно уйдут на каникулы

Время чтения: 0 минут

Минобрнауки и Минпросвещения запустили горячие линии по оказанию психологической помощи

Время чтения: 1 минута

Время чтения: 2 минуты

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Образовательная : Создать условия для формирования у обучающихся целостного представления о корне n -ой степени, навыков сознательного и рационального использования свойств корня при решении различных задач.

Развивающая : Создать условия для развития алгоритмического, творческого мышления, развивать навыки самоконтроля.

Воспитательные : способствовать развитию интереса к предмету, активности, воспитывать аккуратность в работе, умение выражать собственное мнение, давать рекомендации.

1. Организационный момент.

Добрый день! Добрый час!

Как я рада видеть вас.

Прозвенел уже звонок

Друг на друга поглядели

И тихонько дружно сели.

2. Мотивация урока.

- Что есть больше всего на свете? – Пространство.

- Что быстрее всего? – Ум.

- Что мудрее всего? – Время.

- Что приятнее всего? – Достичь желаемого.

Хочется, чтобы каждый из вас на сегодняшнем уроке достиг желаемого результата.

1. Назовите взаимообратные алгебраические операции над числами

(сложение и вычитание, умножение и деление).

2. Всегда ли можно выполнить такую алгебраическую операцию, как

(нет, делить на нуль нельзя)

3. Какую еще операцию вы можете выполнять с числами?

(возведение в степень)

4. Какая операция будет ей обратной?

5. Корень какой степени вы можете извлекать?

(корень второй степени)

6. Какие свойства квадратного корня вы знаете?

(извлечение квадратного корня из произведения, из частного, из

корня, возведение в степень)

7. Найдите значения выражений:

…, т.к. … 2 = 4, …, т.к. … 2 = 9, …, т.к. … 2 = 144,

Из истории. Ещё 4000 лет назад вавилонские ученые составили наряду с таблицами умножения и таблицами обратных величин ( при помощи которых деление чисел сводилось к умножению) таблицы квадратов чисел и квадратных корней чисел. При этом они умели находить приблизительное значение квадратного корня из любого целого числа.

4. Изучение нового материала.

Корнем n-й степени из числа а называется такое число b , n-я степень которого равна а , т. е. b – корень n -й степени из

Очевидно, что в соответствии с основными свойствами степеней с натуральными показателями, из любого положительного числа существует два противоположных значения корня четной степени, например, числа 4 и -4 являются корнями квадратными из 16, так как (-4) 2 = 4 2 = 16, а числа 3 и -3 являются корнями четвертой степени из 81, так как (-3) 4 = З 4 = 81.

Кроме того, не существует корня четной степени из отрицательного числа, поскольку четная степень любого действительного числа неотрицательна . Что же касается корня нечетной степени, то для любого действительного числа существует только один корень нечетной степени из этого числа. Например, 3 есть корень третьей степени из 27, так как З 3 = 27, а -2 есть корень пятой степени из -32, так как (-2) 5 = 32.

В связи с существованием двух корней четной степени из положительного числа, введем понятие арифметического корня, чтобы устранить эту двузначность корня.

Неотрицательное значение корня n-й степени из неотрицательного числа называется арифметическим корнем.

Обозначение: – корень n-й степени.

Число n называется степенью арифметического корня. Если n=2, то степень корня не указывается и пишется . Корень второй степени принято называть квадратным, а корень третьей степени – кубическим.

Читайте также: