Конспект урока сечения тетраэдра

Обновлено: 05.07.2024

Актуализация знаний

Каково взаимное расположение двух плоскостей, если третья плоскость пересекает их по прямым: а) имеющим общую точку; б) не имеющим общих точек?

Две стороны трапеции лежат в параллельных плоскостях. Могут ли эти стороны быть ее боковыми сторонами?

Каким может быть взаимное расположение двух прямых, если эти прямые пересекают две параллельные плоскости, и их отрезки, заключенные между плоскостями, не равны?

Две плоскости пересечены двумя параллельными прямыми. Выясните взаимное расположение этих плоскостей, если отрезки данных прямых, заключенные между этими плоскостями не равны?

Прямая а пересекает параллельные плоскости α и β в точках А и В. Прямая b , параллельная прямой а, пересекает плоскости в точках C и D . Найдите периметр четырехугольника ABCD , если АВ=3см, ВС=4см.

Изучение нового материала

Сегодня на уроке мы познакомимся с геометрическим телом, которое даст нам возможность проиллюстрировать понятия, связанные со взаимным расположением прямых и плоскостей.

Понятие тетраэдра:

слайд №9. Рассмотрим произвольный треугольник АВС и точку D, не лежащую в плоскости этого треугольника. Соединив точку D отрезками с вершинами треугольника АВС получим треугольники DАВ, DВС, DСА. Поверхность, составленная из четырех треугольников АВС, DАВ, DВС, DСА, называется тетраэдром и обозначается DАВС.

слайд №11 Тетраэдр изображается обычно в виде выпуклого и невыпуклого четырехугольника с диагоналями. При этом штриховыми линиями изображаются невидимые ребра

Задание учащимся: Начертите по образцу на слайде тетраэдры в тетради (оба способа), обозначьте их.

слайд №12 Два ребра тетраэдра, не имеющие общих вершин, называются противоположными. Два ребра тетраэдра, не имеющие общих вершин, называются противоположными.

Задание учащимся: Назовите, пожалуйста, противоположные ребра тетраэдра DАВС.

Понятие сечения тетраэдра:

Слайд №13 Секущей плоскостью тетраэдра называется любая плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного тетраэдра . Секущая плоскость тетраэдра пересекает грани тетраэдра по отрезкам. Многоугольник, сторонами которого являются эти отрезки называется сечением тетраэдра.

Слайд №14 т.к. у тетраэдра четыре грани, то в сечении могут получаться либо треугольники, либо четырехугольники.

Слайд №15 правила построения сечения.

Закрепление изученного материала. Практическая работа.

Построить сечения на интерактивной доске и в тетради слайды №16, 17. Учащиеся работают в рабочих тетрадях, учитель моделирует условие задачи в математическом конструкторе, расставляя точки. Проверку выполняют по решению на интерактивной доске.

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Описание презентации по отдельным слайдам:

Приветствую вас на уроке Уроки №25-26 07.12.17г. Девиз урока Успешного усвоения учебного материала Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи, то решайте их. (Д.Пойа)

Д.Р № 12 на 07.12.17 Теория: Разобрать конспект урока. §4,пп. 12-13, Выучить формулировки опр. и теоремы 1 и 2 (стр. 26) (на оценку) 2. Практика: Стр. 29, №67,68, Стр. 30, №78

Стр. 29, №67 Дано: DABC-тетраэдр, DA=20см, BD=18см,DC=21см Найти: AB, АC, ВС; Решение: 1) Каждую из сторон основания находим по теореме косинусов из соответствующего треугольника.

Стр. 29, №67 Дано: DABC-тетраэдр, DA=20см, BD=18см,DC=21см Найти: AB, АC, ВС; . Решение: 1) Каждую из сторон основания находим по теореме косинусов из соответствующего треугольника. A В D A

Стр. 29, №67 Дано: DABC-тетраэдр, DA=20см, BD=18см,DC=21см Найти: AB, АC, ВС; Решение: АС=29см

Стр. 29, №67 Дано: DABC-тетраэдр, DA=20см, BD=18см,DC=21см Найти: AB, АC, ВС; Площади треугольников, являющихся боковыми гранями, находим по формуле: , где а и в – стороны, С- угол между ними Решение:

Стр. 29, №67 Дано: DABC-тетраэдр, DA=20см, BD=18см,DC=21см Найти: AB, АC, ВС; Решение: Ответ:

Стр. 29, 68 Дано: DABC-тетраэдр, М-середина АВ, N-середина АС Доказать: MN║BCD M N Доказательство: MN║BC, как прямая, проходящая через среднюю линию треугольника АВС. По признаку параллельности прямой и плоскости MN║BCD. Оцените выполнении №№67,68 №78 – сдать индивидуально для доп. оценки

Письменный экспресс-опрос по пройденному материалу Пропущенные слова записываете на листе контроля в соответствующие ячейки для ответа

1. Поверхность, составленная из … треугольников называется … 2. Тетраэдр …

3. Грани тетраэдра DABC, содержащие вершину А: Рёбра тетраэдра DABC, содержащие вершину С: 4.

5. 6. Вершины тетраэдра, принадлежащие грани DAB: … Тетраэдр имеет: … граней, … рёбер, … вершин

7. 8. Противоположные рёбра: (Название граней тетраэдра) … - основание …, …, … - боковые грани

9. 10. … Грани, содержащие вершину С:

11. 12. Грани, содержащие ребро АВ: Ребра, выходящие из вершины В1

13. Параллелепипед имеет граней- …, вершин- …, рёбер- …

14. 15. Грань, смежная для АВСD и проходящая через ребро В1С1: Грань, противоположная грани АВВ1А1

16. 17. Противоположные вершины: … Боковые грани, проходящие через вершину А: …

18. 19. Свойство 1: Противоположные грани параллелепипеда … и … Свойство 2: Диагонали параллелепипеда пересекаются в … … и … этой точкой … Сдаем работы

Решение задач из РТ Проверка

Решение задач из РТ Максимум -15 баллов NP=NQ по условию, MN- общая, МQ 25 5 медианой 4см МР МЕ и РЕ 3см

Решение задач из РТ Проверка

Решение задач из РТ МNQ ║SB SB, параллельную плоскости МNQ её по прямой PN PN║SB PN║SB PN║MQ Максимум -7 баллов

07.12.2017 Классная работа Построение сечений тетраэдра. Глава1, §4.

Цели урока: Проверить уровень теоретических знаний и практических умений. Рассмотреть задачи на построение сечения тетраэдра. Формировать умение рассуждать и делать правильные выводы, решать задачи.

§4, п.14 Стр.27 Построение сечения тетраэдра Читаем текст параграфа и отвечаем на вопросы

§4, п.14 Стр.27 Задачи на построение сечений тетраэдра и параллелепипеда Определение секущей плоскости. Определение сечения. Сечениями тетраэдра могут быть:…

§4, п.12 Стр. 28 Разбор задачи № 1 по материалу учебника Случай 1.

Выполняем построение на чертеже

Разбор задачи № 1 2 случай

Работаем в тетради Задача

Работаем в тетради Задача Строим пересечение прямой МK c SBC плоскостью

Задача Строим пересечение прямой МK c SBC плоскостью

Задача Плоскость MNK пересекает грань ASС по отрезку МК

Задача Плоскость MNK пересекает грань ABS по отрезку MN

Задача Строим пересечение прямой МN c ABC плоскостью

Задача Строим линию пересечения плоскости MNK c плоскостью ABC

Задача Плоскость MNK пересекает грань ABC по отрезку КР

Задача Плоскость MNK пересекает грань SBC по отрезку NР

MKРN- искомое сечение Задача

Задача Использовать чертежи на листе

Разбор задачи № 2 по материалу учебника

Стр.29, №72 Прочитайте задачу. Что в задаче дано? Записываем условие. Выполняем чертеж

Стр.29, №72 Дано: DABC-тетраэдр, а) М-середина AD, б) Построить: М Построение:

Стр.29, №72 Дано: DABC-тетраэдр, а) М-середина AD, б) Построить: М Построение: а) Плоскость сечения проходит через точку …, лежащую на прямой …- пересечение плоскостей ADC и …, следовательно, искомая плоскость, , пересечет эти плоскости по прямым, параллельным … и …. Проверка

Стр.29, №72 Дано: DABC-тетраэдр, а) М-середина AD, б) Построить: М Построение: а) Плоскость сечения проходит через точку М, лежащую на прямой MD- пересечение плоскостей ADC и ADB, следовательно, искомая плоскость пересечет эти плоскости по прямым, параллельным АВ и АС. Максимум – 6 баллов

Стр.29, №72 Дано: DABC-тетраэдр, а) М-середина AD, б) Построить: М Построение: а)… К Р

Стр.29, №72 Дано: DABC-тетраэдр, а) М-середина AD, б) Построить: М Построение: а)… Точки К и Р принадлежат плоскости … К Р

Дано: DABC-тетраэдр, а) М-середина AD, б) Построить: М Построение: а)… Точки К и Р принадлежат плоскости DBC. Искомое сечение- ∆МКР, т.к … К Р Стр.29, №72

Стр.29, №72 Дано: DABC-тетраэдр, а) М-середина AD, б) Построить: М Построение: а)… Искомое сечение- ∆МКР, т.к МРК║АВС по … … 2-х плоскостей: две пересекающиеся прямые … и … плоскости АВС параллельны двум прямым … и … плоскости МКР. К Р Проверка

Стр.29, №72 Дано: DABC-тетраэдр, а) М-середина AD, б) Построить: М Построение: а)… Искомое сечение- ∆МКР, т.к МРК║АВС по признаку параллельности 2-х плоскостей: две пересекающиеся прямые АВ и АС плоскости АВС параллельны двум прямым МК и МР плоскости МКР. К Р Максимум – 7 баллов

Дано: DABC-тетраэдр, а) М-середина AD, б) Построить: М Построение: б) Стр.29, №72

Дано: DABC-тетраэдр, а) М-середина AD, б) Построить: М Построение: б) К Р Стр.29, №72

Дано: DABC-тетраэдр, а) М-середина AD, б) Построить: М Построение: б) К Р Т Стр.29, №72

Дано: DABC-тетраэдр, а) М-середина AD, б) Построить: М Построение: б)… РКТ- искомое сечение, т.к. …. К Р Т Стр.29, №72 Проверка

Дано: DABC-тетраэдр, а) М-середина AD, б) Построить: М Построение: б)… РКТ- искомое сечение, т.к. РКТ║АВС по признаку параллельности плоскостей и сечение РКТ проходит через точку М. К Р Т Стр.29, №72 Максимум – 2 балла

Стр.30, №75 Дано: KLMN-тетраэдр, a)Построить сечение через KL иA A Решение: б) Доказать: EOF║LKA в) Найти: М К L N E-середина LM, О-середина MA, F-середина MK O F Е

Стр.30, №75 Дано: KLMN-тетраэдр, a)Построить сечение через KL иA A Решение: а) б) Доказать: EOF║LKA в) Найти: М К L N E-середина LM, О-середина MA, F-середина MK O F Е Проверка

Стр.30, №75 Дано: KLMN-тетраэдр, a)Построить сечение через KL иA A Решение: а) б) Доказать: EOF║LKA в) Найти: М К L N E-середина LM, О-середина MA, F-середина MK O F Е … сечение Максимум – 1 балл Проверка

Стр.30, №75 Дано: KLMN-тетраэдр, a)Построить сечение через KL иA A Решение: а) б) б) Доказать: EOF║LKA в) Найти: М К L N E-середина LM, О-середина MA, F-середина MK O F Е Искомое сечение Максимум – 1 балл

Стр.30, №75 Дано: KLMN-тетраэдр, a)Построить сечение через KL иA A Решение: б) Строим сечение EOF б) Доказать: EOF║LKA в) Найти: М К L N E-середина LM, О-середина MA, F-середина MK O F Е Проверка

Стр.30, №75 Дано: KLMN-тетраэдр, a)Построить сечение через KL иA A Решение: б) Докажите самостоятельно б) Доказать: EOF║LKA в) Найти: М К L N E-середина LM, О-середина MA, F-середина MK O F Е EOF║LKA Устная проверка на оценку Максимум – 1 балл

Стр.30, №75 Дано: KLMN-тетраэдр, a)Построить сечение через KL иA A Решение: в) Какими являются треугольники LKA и EOF? Почему? б) Доказать: EOF║LKA в) Найти: М К L N E-середина LM, О-середина MA, F-середина MK O F Е Выполним дополнительный чертёж

Стр.30, №75 Дано: KLMN-тетраэдр, a)Построить сечение через KL иA A Решение: в) б) Доказать: EOF║LKA в) Найти: М К L N E-середина LM, О-середина MA, F-середина MK O F Е L М N A O Е

Стр.30, №75 Дано: KLMN-тетраэдр, a)Построить сечение через KL иA A Решение: в) б) Доказать: EOF║LKA в) Найти: М К L N E-середина LM, О-середина MA, F-середина MK O F Е L М N A O Е Коэффициент подобия ∆LKA и ∆EOF равен …. Проверка

Стр.30, №75 Дано: KLMN-тетраэдр, a)Построить сечение через KL иA A Решение: в) б) Доказать: EOF║LKA в) Найти: М К L N E-середина LM, О-середина MA, F-середина MK O F Е Коэффициент подобия ∆LKA и ∆EOF равен 2. Ответ: 6см²

Подведем итоги урока Какие фигуры были рассмотрены на уроке? Как построить сечение фигуры?

Д.Р № 13 на 14.12.17 Теория: §4,п. 14, разобрать конспект урока. 2. Практика: Стр. 30, №79,82 Задача для разбора

Решение задач из РТ

Краткое описание документа:

Электронный конспект урока представляет из себя полное изложение урока с комментариями учителя и его вопросами по мере изложения материала.

Конспект содержит проверку домашней работы, оценку выполнения которой дают сами обучающиеся и экспресс- опрос по изучаемой теме (письменный или устный), целю которого является или закрепление пройденной теории или проверка знаний, обучающихся (свои ответы- пропущенные в заданиях слова или словосочетания, учащиеся записывают на специально подготовленных карточках, что экономит время проведения таких проверочных работ).

Традиционное объяснение нового материала учителем заменяется совместным процессом познания, в котором активно используется учебник, как теоретическая его часть, так и разобранные примеры решения заданий.

В течение всего урока за самостоятельное выполнение отдельных заданий или части этих заданий, учащиеся получают баллы, критерии постановки которых разрабатываются по количеству включаемых в блок заданий.

Средний результат по уроку выставляется в качестве одной из оценок за урок.

Электронный конспект урока вывешивается на сайте учителя сразу по прохождению урока и ученику предоставляется уникальная возможность просмотреть этот конспект дома, разобрать непонятые моменты, которые на уроке казались понятными.

Урок на сайте позволяет ученикам, пропустившим его, изучить материал самостоятельно.

Данный конспект поможет учителю интересно и доступно научить обучающихся, как строить сечения тетраэдра.

образовательная

повторить понятие тетраэдра, изученные понятия, связанные со взаимным расположением прямых и плоскостей на примере тетраэдра;

научить изображать тетраэдр

организовать работу обучащихся по выработке умения строить сечения тетраэдра

развивающая

развивать пространственное мышление,

создать условия для развития познавательного интереса к предмету.

воспитательная

воспитывать интерес к математике,

воспитывать правильное отношение к своему здоровью.

Оборудование:

Тип урока: объяснение нового материала.

Формы работы: фронтальная, индивидуальная, самостоятельная, работа в парах

Методы контроля: устный

I Организационный момент

II .Мотивация. Постановка целей.

III Актуализация. Подготовка к изучению нового материала

IV Изучение нового материала

V Закрепление учебного материала

VI Задание на дом

VII Рефлексия. Подведение итогов урока

Приветствие, проверка готовности к уроку.

- Что надо знать и уметь для решения данной задачи?

- Какова тема урока?

Постановка целей и задач урока.

Пространственное мышление- мысль, способная охватить Вселенную, включая ту её часть, для которой ещё не создано слов, сродни гениальности. (Аль Квотион) (слайд3)

Перед изучением нового материала учащимся предлагается вспомнить изученный материал о параллельных плоскостях, параллельности прямой и плоскости.

Активизация познавательной деятельности. Подготовка к восприятию нового материала.

Если две плоскости имеют общую точку, то

А) они называются скрещивающимися,

Б) они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку,

В) они параллельны

2. Через прямую и не лежащую на ней точку

А) проходит плоскость и при том только одна

Б) проходит бесконечно много плоскостей

В) нельзя провести плоскость

3. Две прямые называются скрещивающимися, если

А) они лежат в одной плоскости и не пересекаются

Б) они не пересекаются

В) они лежат в одной плоскости и пересекаются

4. Если две точки прямой лежат в плоскости, то

А) прямая пересекает плоскость в некоторой точке

Б) прямая параллельна данной плоскости

В) все точки прямой лежат в данной плоскости

5. Если две прямые параллельны третьей, то

А) все три лежат в одной плоскости

Б) они параллельны

В) они скрещивающиеся

(Слайд 5). сверяем ответы. 1Б, 2А, 3Б, 4В, 5Б. (обосновываем ).

Изучение нового материала.

Одна из глав нашего курса будет посвящена многогранникам – поверхностям геометрических тел, составленным из многоугольников и их сечениям.

(слайд 7 ) Название этого многогранника пришло из Древней Греции, и в нём указывается число граней:

Тетраэдр является одним из правильных многогранников, которые мы рассмотрим на дальнейших наших уроках.

Платоновыми телами являются:

Гексаэдр, Тетраэдр, Октаэдр, Икосаэдр, Додекаэдр.

(слайд 10) В жизни мы встречаемся с тетраэдром например в химии

Молекула метана СН4 имеет форму правильного тетраэдра. Этот факт подтверждается фотографиями молекулы метана, полученными при помощи электронного микроскопа.

Чтобы дать определение тетраэдра введём некоторые геометрические понятия.

У меня на столе имеются различные геометрические тела. Выберете среди них тетраэдр, будьте внимательны.

Выбрали все верно хотя у меня на столе была фигура очень похожая на тетраэдр, но имеет она в основании другой многоугольник, это пирамида.

Одну грань ABC называют основанием, а три другие – боковыми гранями.

Мы рассмотрим с вами построение сечения в тетраэдре

Что же такое сечение? (слайд 11)

Узнаем: какая плоскость называется секущей ?

Плоскость, по обе стороны которой имеются точки тетраэдра , называется секущей.

Узнаем: что называется сечением тетраэдра?

Секущая плоскость пересекает грани тетраэдра по отрезкам. Многоугольник, сторонами которого являются эти отрезки, называется сечением.

Какими многоугольниками могут быть сечения? (слайд 12)

Так как тетраэдр имеет четыре грани, то его сечениями могут быть треугольники, четырёхугольники

Чтобы начать строить сечения мы должны с вами вспомнить некоторые геометрические утверждения

Работа у доски ( 1 ученик – на обороте, остальные в тетрадях) работа по чережу

1 В какой грани лежат т.М и N ?

2.Каково взаимное расположение (СD) и (AB) ?

3. Каково взаимное расположение (MN) и (ABC) ?

4.Какие грани пересекаются по (AD)?

5.Пересекаются ли (MК) и (АС) ?

Соединять можно только две точки, лежащие в плоскости одной грани.

Секущая плоскость пересекает параллельные грани по параллельным отрезкам.

Если в плоскости грани отмечена только одна точка, принадлежащая плоскости сечения, то надо построить дополнительную точку. Для этого необходимо найти точки пересечения уже построенных прямых с другими прямыми, лежащими в тех же гранях.

Работа у доски ( 1 ученик – на обороте, остальные в тетрадях)

(слайды 27-33) Практическая работа: Построение сечения.

IV. Физ.минутка

Цель: восстановление работоспособности учащихся, воспитание правильного отношения к своему здоровью.

- А сейчас немного отдохнём.

В осенний период идёт распространение вируса ГРИППА, ОРВИ . Недаром в народе говорят, что инфекция распространяется с геометрической прогрессией. Есть много различных способов профилактики и лечения ОРЗ.

- Какие профилактические мероприятия вы проводите?

(Физ.рук проводит физ.минутку)

Работа с учебниками. СТР. 28 Рис 40 (а)

V. Закрепление учебного материала

Работа в парах

№4. Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки E, F, K. ( 2 способа)

Устная работа

О каком многограннике шла речь сегодня на уроке?

Какие задачи мы научились сегодня решать?

Какие действия должен уметь выполнять ученик для построения сечений многогранников? (находить точки пересечения прямой и плоскости; строить линию пересечения двух плоскостей)

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ:

2) Творческое задание (по желанию): изготовить бумажную модель тетраэдра.

В правильном тетраэдре АBCD с ребром 1,

DP : PC = DK : КВ = 1:3.

Найти площадь сечения NKP.

VII Рефлексия. Подведение итогов урока

Цель: подведение итогов урока, развитие у учащихся навыков самоконтроля.

Задача учителя: дать оценку успешности достижения цели и наметить перспективу на будущее.

- Что нового мы узнали на уроке?

Мне хочется вернуться к нашему девизу «Прогрессио – движение вперёд!

Учащимся предлагается поставить на значок + на линии в том месте, которое отражает их отношение к занятию и степень участия в уроке:

1. Я считаю, что занятие было интересным___________________скучным.

2.Я научился многому ______________________малому.

3. Я думаю, что слушал других внимательно__________________невнимательно.

4. Я принимал участие в дискуссии часто________________________редко.

5. Результатами своей работы на уроке я доволен_________________не доволен.

-Как вы думаете, а мы сегодня добились прогресса?

-В чём заключается наш прогресс?

(Оценки за урок)

Всего вам хорошего! Спасибо за урок!

Самоанализ урока.

На уроке спланировано включение учащихся в осознанную деятельность.

Избранные методы: информационные (объяснение с демонстрацией наглядных пособий) и репродуктивные (беседа с элементами самостоятельной работы) и формы организации познавательной деятельности были нацелены на достижение триединой цели урока.

Задачей на уроке было организовать деятельность учащихся таким образом, чтобы подвести их к теме урока, расширить знания о тетраэдре, научить строить сечения.

На первом этапе урока, используя проблемный вопрос, определили темы урока и целей.

На этапе (изучение нового материала) показать возможные сечения тетраэдра, научиться строить разные сечения.

Этап закрепления предполагал возможность учащихся самостоятельно построить различные сечения параллелепипеда.

В конце урока проведена рефлексия, которая побуждала учащихся к самоанализу и оценке деятельности.

Тетраэдр – это многогранник, состоящий из плоскости треугольника и точки не лежащий в этой плоскости, трех отрезков соединяющих эту точку с вершинами основания треугольника.

Четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, называется параллелограммом.

Отрезок, соединяющий противоположные вершины, называется диагональю параллелепипеда.

Сечением поверхности геометрических тел называется – плоская фигура, полученная в результате пересечения тела плоскостью и содержащая точки, принадлежащие как поверхности тела, так и секущей плоскости.

Основная литература:

Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Учебник Геометрия 10-11 кл.– М.: Просвещение, 2014.

Дополнительная литература:

Зив Б.Г. Дидактические материалы Геометрия 10 кл.– М.: Просвещение, 2014.

Глазков Ю.А., Юдина И.И., Бутузов В.Ф. Рабочая тетрадь Геометрия 10 кл.-М.: Просвещение, 2013.

Открытый электронный ресурс:

Теоретический материал для самостоятельного изучения

В дельнейшем несколько уроков нашего курса будет посвящены многогранникам- поверхностям геометрических тел, составленным из многоугольников. Но до более подробного изучения многогранников мы познакомимся с двумя из них- тетраэдром и параллелепипедом. Нам данные тела дадут возможность проиллюстрировать понятия, связанные со взаимным расположением прямых и плоскостей.

Давайте вспомним, что мы понимали под многоугольником в планиметрии. Многоугольник мы рассматривали либо как замкнутую линию без самопересечений, либо как часть плоскости, ограниченную этой линией, включая ее саму.

Мы будем использовать второе толкование многоугольника при рассмотрении поверхностей и тел в пространстве. При таком толковании любой многоугольник в пространстве представляет собой плоскую поверхность.

Давайте рассмотрим изображенную фигуру и ответим на несколько вопросов.

Итак, поверхность данной фигуры состоит из четырёх треугольников DАВ, DВС, DАС и АВС.

из вершин- их у него 4- А, B, C, D;
из ребер- их у него 6- AB, BC, AC, AD, BD, CD;
из граней- их у него 4- треугольники ∆АВС, ∆DАС, ∆DВС, ∆DАВ.

Мы с вами выяснили из элементов состоит наша фигура тетраэдр. Теперь сформулируем определение.

Определение. Тетраэдр – это многогранник, состоящий из плоскости треугольника и точки не лежащий в этой плоскости, трех отрезков соединяющих эту точку с вершинами основания треугольника.

Говорят, что рёбра АD и ВС, АВ и CD, и т.д.- противоположные.

Считается АВС - основание, остальные грани - боковые.

Изображается тетраэдр обычно так (рис. 1).

Рисунок 1 – изображение тетраэдра.

Математика, в частности геометрия, является мощнейшим инструментом в познании мира. Различные геометрические формы находят свое практическое приспособление в различных областях знания: архитектуре, скульптуре, живописи. И тетраэдр тому доказательство. Так же мы можем наблюдать тетраэдр в повседневной жизни (рис. 2).

Форма пакета молока

Рисунок 2 - тетраэдр в повседневной жизни

Параллелепипед.

Прежде чем начать изучать параллелепипед вспомним определение параллелограмма и его свойства.

Определение. Четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, называется параллелограммом (рис. 3).

Рисунок 3 – параллелограмм

1. Противоположные стороны параллелограмма равны:

2. Противоположные углы параллелограмма равны:

3. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам:

Диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника:

треугольники ABC и CDA равны.

Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 180⁰: ∟A+∟D=180°

6. Накрест лежащие углы при диагонали равны:

А теперь перейдем к параллелепипеду.

Рассмотрим два равных параллелограмма ABCD и A₁B₁C₁D₁, расположенных в параллельных плоскостях так, что отрезки AA_1, BB_1, CC₁ и DD₁ параллельны.

Давайте рассмотрим изображенную фигуру (рис. 4).

Рисунок 4 – параллелепипед и его диагонали

АВСDA₁B₁C₁D₁: поверхность, составленная из двух равных параллелограммов АВСD и A₁B₁C₁D₁, лежащих в параллельных плоскостях и четырёх параллелограммов.

Все параллелограммы - грани, их стороны - рёбра, их вершины - вершины параллелепипеда.

Считается: АВСD и A₁B₁C₁D₁ - основания, остальные грани - боковые.

Определение. Отрезок, соединяющий противоположные вершины, называется диагональю параллелепипеда:
A₁C, D₁B, AC₁, DB₁.

Параллелепипед – слово греческого происхождения, параллел – идущий рядом, епипед – плоскость.

Определение.Параллелепипед- этошестигранник с параллельными и равными противоположными гранями.

Следует отметить, что многоугольник в пространстве представляет собой плоскую поверхность, а тетраэдр и параллелепипед – поверхности, составленные из плоских поверхностей (соответственно треугольников и параллелограммов).

Способы изображения параллелепипеда

Параллелепипед, в основании которого лежит ромб

Параллелепипед, в основании которого лежит квадрат

Параллелепипед,в основании которого лежит прямоугольник или параллелограмм

Параллелепипед, у которого все грани — равные квадраты

Можно сделать вывод, что параллелепипеды делятся на (рис. 5)

Рисунок 5 – виды параллелепипедов

Свойства параллелепипеда

Противоположные грани параллелепипеда параллельны и равны.
Все четыре диагонали пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам.

Доказательство 1

В параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁грани ВВ₁С₁С и AA₁D₁D параллельны (рис. 6), потому что две пересекающиеся прямые ВВ₁ и В₁С₁ одной грани параллельны двум пересекающимся прямым АА₁ и A₁D₁ другой; эти грани и равны, так как В₁С₁ = A₁D₁, В₁В= А₁А (как противоположные стороны параллелограммов) и ∟ ВВ₁С₁= ∟АA₁D₁.

Рисунок 6 – чертеж к доказательству свойства 1

Доказательство 2

Возьмём какие-нибудь две диагонали, например АС₁ и ВD₁, и проведём вспомогательные прямые АD₁ и ВС₁ (рис. 7).

Так как рёбра АВ и D₁С₁ соответственно равны и параллельны ребру DС, то они равны и параллельны между собой; вследствие этого фигура АD₁С₁В есть параллелограмм, в котором прямые С₁А и ВD₁ —диагонали, а в параллелограмме диагонали делятся в точке пересечения пополам.

Возьмём теперь одну из этих диагоналей, например АС₁, с третьей диагональю, положим, с В₁D. Совершенно так же мы можем доказать, что они делятся в точке пересечения пополам. Следовательно, диагонали B₁D и АС₁ и диагонали АС₁ и BD₁(которые мы раньше брали) пересекаются в одной и той же точке, именно в середине диагонали
АС₁. Наконец, взяв эту же диагональ АС₁ с четвёртой диагональю А₁С, мы также докажем, что они делятся пополам. Значит, точка пересечения и этой пары диагоналей лежит в середине диагонали АС₁. Таким образом, все четыре диагонали параллелепипеда пересекаются в одной и той же точке и делятся этой точкой пополам.

Рисунок 7 – чертеж к доказательству свойства 2

Задачи на построение сечений.

Определение. Сечением поверхности геометрических тел называется - плоская фигура, полученная в результате пересечения тела плоскостью и содержащая точки, принадлежащие как поверхности тела, так и секущей плоскости.

Взаимное расположение многогранника и секущей плоскости:

Многогранник и плоскость не имеют общих точек.
Многогранник и плоскость имеют одну общую точку-вершину многогранника.
Многогранник и плоскость имеют общую грань.
Многогранник и плоскость имеют общий отрезок-ребро многогранника.

Виды сечений:

сечение параллельное плоскости основания,
диагональное сечение,
сечение, параллельное плоскости грани,
произвольное сечение.

Фигуры, которые получаются в результате сечения:

1. треугольник;
2. четырехугольник;
3. пятиугольник;
4. шестиугольник.

Один из методов построения сечений, который мы рассмотрим- метод следа.

Рассмотрим метод следов, применяемый при построении сечений многогранников, а именно при построении сечения куба плоскостью.

Что такое метод следов? При построении сечений многогранников в качестве вспомогательной прямой часто используется след секущей плоскости (в плоскости грани, удобной для рассмотрения). Такой метод построения сечений называется методом следа.

Построить сечение параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ плоскостью, проходящей через точки P, Q, R (рис. 8).

Рисунок 8 –чертеж к задаче №1

Построим след секущей плоскости на плоскость нижнего основания параллелепипеда. Рассмотрим грань АА₁В₁В. В этой грани лежат точки сечения P и Q. Проведем прямую PQ.
Продолжим прямую PQ, которая принадлежит сечению, до пересечения с прямой АВ. Получим точку S₁, принадлежащую следу.
Аналогично получаем точку S₂ пересечением прямых QR и BC.
Прямая S₁S₂ - след секущей плоскости на плоскость нижнего основания параллелепипеда.
Прямая S₁S₂ пересекает сторону AD в точке U, сторону CD в точке Т. Соединим точки P и U, так как они лежат в одной плоскости грани АА₁D₁D. Аналогично получаем TU и RT.
PQRTU – искомое сечение.

Основные правила построения сечений методом следа:

Если даны (или уже построены) две точки плоскости сечения на одной грани многогранника, то след сечения этой плоскости – прямая, проходящая через эти три точки.
Если дана (или уже построена) прямая пересечения плоскости сечения с основанием многогранника (след на основании) и есть точка, принадлежащая определенной боковой грани, то нужно определить точку пересечения данного следа с этой боковой гранью ( точка пересечения данного следа с общей прямой основания и данной боковой грани)
Точку пересечения плоскости сечения с основанием можно определить как точку пересечения какой-либо прямой в плоскости сечения с ее проекцией на плоскость основания.

То есть, суть метода заключается в построении вспомогательной прямой, являющейся изображением линии пересечения секущей плоскости с плоскостью какой-либо грани фигуры. Удобнее всего строить изображение линии пересечения секущей плоскости с плоскостью нижнего основания. Используя след, легко построить изображения точек секущей плоскости, находящихся на боковых ребрах или гранях фигуры.

Дан тетраэдр АВСD. Точка М – точка внутренняя, точка грани тетраэдра АВD. N – внутренняя точка отрезка DС. Построить точку пересечения прямой NM и плоскости АВС.

Рисунок 9 – чертеж к задаче №2

Решение:
Для решения построим вспомогательную плоскость DМN (рис. 10). Пусть прямая DМ пересекает прямую АВ в точке К. Тогда, СКD – это сечение плоскости DМN и тетраэдра. В плоскости DМN лежит и прямая NM, и полученная прямая СК. Значит, если NM не параллельна СК, то они пересекутся в некоторой точке Р. Точка Р и будет искомая точка пересечения прямой NM и плоскости АВС.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Дан тетраэдр АВСD. М – внутренняя точка грани АВD. Р – внутренняя точка грани АВС. N – внутренняя точка ребра DС. Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки М, N и Р.

Решение:
Рассмотрим первый случай, когда прямая MN не параллельна плоскости АВС (рис. 11). В прошлой задаче мы нашли точку пересечения прямой MN и плоскости АВС. Это точка К, она получена с помощью вспомогательной плоскости DМN, т.е. мы проводим DМ и получаем точку F. Проводим СF и на пересечении MN получаем точку К.

Проведем прямую КР. Прямая КР лежит и в плоскости сечения, и в плоскости АВС. Получаем точки Р₁ и Р₂. Соединяем Р₁ и М и на продолжении получаем точку М₁. Соединяем точку Р₂ и N. В результате получаем искомое сечение Р1Р2NМ1. Задача в первом случае решена.

Рисунок 10 – чертеж к примеру 1 (первый случай)

Рассмотрим второй случай, когда прямая MN параллельна плоскости АВС (рис. 12). Плоскость МNР проходит через прямую МN параллельную плоскости АВС и пересекает плоскость АВС по некоторой прямой Р₁Р₂, тогда прямая Р₁Р₂ параллельна данной прямой MN.

Рисунок 11 – чертеж к примеру 1 (второй случай)

Через середины ребер АВ и ВС тетраэдра SABC проведена плоскость параллельно ребру SB. Докажите, что эта плоскость пересекает грани SAB и SBC по параллельным прямым.

Доказательство

Плоскость SBC и плоскость, проходящая через прямую MN параллельно ребру SB, пересекаются по прямой, проходящей через точку N (рис. 13).
По теореме (о параллельных прямых) линия пересечения параллельна SB.
В плоскость SBC через т. N проходит NQ||SB.
Плоскость SAB и плоскость MNQ пересекаются по прямой, проходящей через т. M (прямая MP). По теореме (о параллельных прямых) линия пересечения параллельна SB.

следовательно, PM||NQ.Утверждение доказано.

Читайте также: