Конспект урока решение задач с помощью систем линейных уравнений

Обновлено: 03.07.2024

Данная система уравнений совместна и определена. Объясните почему?

Давайте вспомним суть применения каждого способа?на примере данной системы.

Б) Самостоятельная работа в парах:

1) Решить данную систему:

1 вариант 2 вариант 3 вариант

Граф.способ подстановки сложения

2) Составить математическую модель предложения (линейное уравнение с двумя переменными): (Слайд 6)

1. Мальчиков и девочек в классе 8 человек.

2. Учителей в классе на 3 человека меньше чем учеников.

3. Птиц на ветке (х) втрое больше чем под деревом(у).

4. В коробке лежат старинные трехрублевые и пятирублевые купюры, в сумме 50 рублей.

5. 60% одного числа равны 30 % другого.

6. За 1,5 часа по течению катер проплыл 60 км. (х-собственная скорость катера, у- скорость течения)

3) Доп. задания (Приложение 4).

Проверка фронтально с помощью презентации и решения на доске. Оценки ученики выставляют сами в оценочный лист. (Приложение 3)

Система уравнений не только позволяет установить общие корни уравнений, содержащихся в ней, но и становится хорошим помощником при решении задач. В таких задачах неизвестных компонентов более одного и они связаны друг с другом условием. Сегодня мы рассмотрим задачи, в которых неизвестно два каких либо элемента и будем учиться решать такие задачи с помощью составления системы уравнений. Тексты нескольких задач будем брать из литературных произведений.(Слайд 7)

В)Вспомним домашнюю задачу. (Слайд 8) (5 мин)

-Из какого произведения задача?

-Назовите героев рассказа?(купец Удодов, его сын Петя, семиклассник Зиберов Егор Александрович) -Кто из вас лучше справился с задачей, чем Зиберов?)

-Какими способами решали задачу?

В те времена, когда происходили описываемые в рассказе события, задачи принято было делить на арифметические и алгебраические.

Отец Удодов решил ее на счетах ("по-неученому"),т.е. арифметически, используя только действия с числами (Слайд 9)

-Назовите этапы математического моделирования при решении задач с помощью уравнений.

Сегодня решим эту задачу третьим способом, составляя изученную нами модель - систему.

Дети записывают в тетрадях число, тему урока (Слайд 11)

Как думаете какай этап мат. моделирования изменится? Попробуйте сформулировать алгоритм.

Обозначить некоторые неизвестные буквами и, используя условие?задачи, составить систему?уравнений.

Решить эту систему.

Истолковать результат в соответствии с условием задачи.

2. Изучение новой темы.

А) Задача Зиберова:

Решаем на доске и в тетрадях (таблицы заготовлены заранее (Приложение 2))

(условие в виде таблицы)

-Сколько неизвестных в задаче Зиберова?

-Введем буквенные обозначения.

-Какими условиями они связаны.

1 этап. Пусть куплено х аршин черного сукна, у аршин - синего,

1 ученик решает у доски, остальные в тетради.

Ответ:75 аршин черного,63 аршина синего.

Учитель выключает медиа проектор.

Задачи напечатаны на листах (см. Приложение 2)

- Рассмотрим для примера такую задачу.

(условие в виде текста)

Я знаю, что в классе 20 учеников. Среди них есть девочки и мальчики.? А еще я знаю, что девочек больше чем мальчиков на 4 человека. Сколько мальчиков и девочек в этом классе?

Ответ можно узнать двумя способами: 1) просто пересчитать; 2) решить такую задачу:

y - количество мальчиков

Т.к. мальчиков и девочек вместе - 20. Получим уравнение: х + у = 20

С другой стороны девочек больше чем мальчиков на 4

Значит можно получить следующее уравнение х - у = 4Объединим оба эти уравнения в систему, т.к в каждом уравнении речь идет об одних и те же детях., получим:

Далее дети самостоятельно решают систему уравнений

Ответ: В классе 8 мальчиков и 12 девочек

3. Самостоятельная работа в парах.

У вас на партах лежат карточки, на них условия задач.

1) 2) В автопарке много машин. Среди них есть машины марок - "ауди" и "опель". Известно, что всего в автопарке -9 "ауди", а "опель" на 5 машин больше, чем "ауди". Сколько машин "ауди" и "опель" в автопарке ?

Ответ: В автопарке 2 белых медведя и 7 бурых медведей.

2) В зоопарке живет много разных животных. Среди них есть лисы - черные и рыжие. Известно, что всего в зоопарке живет 7 лис, а черных на 3 лисы меньше, чем рыжих. Сколько черных и рыжих лис живет в зоопарке?

Ответ: В зоопарке 5 рыжих лисиц и 2 черные лисицы.

После того как дети самостоятельно составили систему уравнений - проверка. Решать эти системы устно.

Учитель включает медиа проектор.

4. Решение задач повышенного уровня сложности.

А) Задача из сказки "Тысяча и одна ночь".

Составьте систему к решению задачи из сказки №458 "Тысяча и одна ночь".

Мудрец задает юной деве задачу:

?Стая голубей подлетела к высокому дереву. Часть голубей села на ветвях, а другие расположились под деревом. Сидевшие на ветвях голуби говорят расположившимся внизу: Если бы один из вас взлетел к нам, то вас стало бы втрое меньше, чем нас всех вместе, а если бы один из нас слетел к вам,то нас с вами стало бы поровну". Сколько голубей сидело на ветвях и сколько под деревом??

-Сколько неизвестных? Обозначим их буквами.- Сколько условий? Составим 2 таблицы.

-Какие величины? Заполняем таблицы. (заранее приготовленные, см. Приложение)

Было	изменение	стало
На ветках	х	+1	Х+1
Под деревом	у	-1	У-1
Поскольку под деревом стало в 3 раза меньше, чем всех, то 3(у-1)=х+у

Было	изменение	стало
На ветках	Х	-1	Х-1
Под деревом	у	+1	У+1
Поскольку стало поровну, то х-1=у+1

Решают эту систему ученики дома.

Ответ: 7 голубей на дереве, 5 под деревом.

Б) Задачи "сумасшедшего математика"

Попробуйте решить такие задачи? Разрешимы ли они?

В) Задача на размен по мотивам Ильфа и Петрова.

(при наличии времени)

"Потом отец Федор подошел к комоду и вынул из конфетной коробки 50 рублей трехрублевками и пятирублевками. В коробке оставалось еще 20 рублей".

Напрашивается вопрос: сколько трех- и пятирублевок отец Федор взял и сколько оставил? А для единственности решения, добавим условие: отец Федор взял с собой большую часть трехрублевок и большую часть пятирублевок. Найдите решение.

а) Пусть x - взято трехрублевок, аy- взято пятирублевок. Тогда составим уравнение: 3x+5y=50. Найдем пары решений: (5 и 7), (10 и 4), (15 и 1).

б) Пусть а - осталось трехрублевок, иb- осталось пятирублевок. Составим уравнение: 3а+5b=20. Найдем пары решений: (5 и 1), (0 и 4).

Ответ: Путем анализа результатов получаем:?5 трехрублевок и 7 пятирублевок или 10??трехрублевок и 4 пятирублевок взял отец Федор.

Любая книга откроет свои тайны тому человеку, кто умеет сам добывать знания и отвечать на интересующие его вопросы. Грамотное использование математических фактов делает художественное произведение достоверным и реальным!

5. Подведение итогов урока, выставление оценок.

- Итак, подведем итоги. Какая сегодня у нас была тема урока?

- Что нового вы узнали, чему научились?

- Остались ли у вас вопросы, на которые учитель должен будет ответить на следующем уроке?

Воспитательный: воспитывать познавательный интерес к математике с использованием ИКТ.

2.Проверка домашнего задания

3.Устная разминка, математический диктант

4.Решение задач геометрического содержания, решение задач на движение, решение задач на работу, решение задач на смеси и сплавы.

5.Обобщение материала урока.

7. Итоги урока. Домашнее задание

Вместе с дежурными учитель проверяет готовность класса к уроку, Учащимся сообщается тема, цели и задачи урока.

2.Проверка домашнего задания.

Проверка домашнего задания осуществляется в виде самостоятельной работы

1 вариант. Решите систему уравнений графическим методом:

2 вариант. Решите систему уравнений методом подстановки:

3 вариант. Решите систему уравнений методом алгебраического сложения:

4 вариант. Решите систему уравнений методом замены переменной:

Учитель бросает мяч, когда задает вопрос. Это делает процесс опроса кинестетическим и позволяет вовлечь учеников, обычно не проявляющих желание отвечать добровольно. Вы можете позволить ученикам перебросить вопрос кому-то другому в случае если они не знают ответа.

Что называется системой уравнений с двумя переменными?

Что называют решением системы уравнений?

Что значит решить систему уравнений?

Сформулируй алгоритм решения системы уравнений графически.

Сформулируй алгоритм решения системы методом подстановки.

Сформулируй алгоритм решения системы уравнений методом алгебраического сложения

Ученикам предлагаются 5 заданий, для которых надо составить уравнение с двумя переменными. Когда учитель досчитает до 3-х, ученики должны поднять свои листочки с верным ответом для каждого конкретного задания.

4. Решение задач.

Для подготовки учащихся к решению задач повторяются и систематизируются их знания.

Решение задач состоит из трёх этапов:

Введение условных обозначений по условию задачи и составление при помощи них системы уравнений.
Работа с системой уравнений.
Ответ на вопрос задачи.

Каждый из этих этапов является важным в решении задачи.

Применение систем уравнений при решении геометрических задач

Ученик решает на доске. Задача № 7.12.[1]

Диагональ прямоугольника равна 10 см, а его периметр равен 28 см. Найдите стороны прямоугольника.

Пусть a и b –стороны прямоугольника.

Составим систему уравнений:

196 – 28 b +b2 +b2 =100

Задача для самостоятельного решения в группе №7.2

Ученик решает на доске (№ 7.1) [1]:

Из двух городов, расстояние между которыми 700 км, одновременно навстречу друг другу отправляются два поезда и встречаются через 5 часов.

Если второй поезд отправится на 7 ч раньше первого, то они встретятся через 2 ч после отправления первого поезда. Найдите скорость каждого поезда.

Пусть скорости поездов равны х и у соответственно, тогда их скорость равна х+у, значит

Если 2-й поезд отправится на 7 часов раньше первого, то в момент начала движения 1-го поезда между ними будет 700 -7у километров, отсюда 2 – е уравнение:

Ответ: 60 км/ч, 80 км/ч

Задание для самостоятельной работы в группе № 7.2

Ученик решает на доске № 7.21 [1]:

Два комбайна, работая совместно, могут выполнить задание за 6 ч. Первый комбайн, работая один, может выполнить это задание на 5 ч скорее, чем второй комбайн. За сколько времени может выполнить задание первый комбайн, работая один?

Решение: Пусть 1-й комбайн один может выполнить задание за х часов, а второй за у часов, примем объем всей работы за 1, тогда получим систему:

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Зарегистрироваться 15–17 марта 2022 г.

Решение задач при помощи систем двух линейных уравнений с двумя переменными.

Цели урока:

обучающие: показать использование системы линейных уравнений как математической модели реальной ситуации; способствовать совершенствованию полученных знаний по применению и развитию при работе с задачами;

развивающие: учить анализировать условие задачи и выбирать более простой способ решения; способствовать развитию алгоритмического мышления учащихся; активизировать их познавательную деятельность ; расширить представления учащихся о сферах применения математики, развивать интеллектуальные качества личности такие, как самостоятельность, способность к оценочным действиям, обобщению, быстрому переключению; способствовать формированию навыков самостоятельной работы; формировать умение четко и ясно излагать свои мысли;

воспитательные: развитие познавательного интереса, расширение сферы математических знаний, общекультурного кругозора суворовцев; формирование умения аккуратно и грамотно выполнять записи.

Тип урока: изучение нового материала.

Формы работы: фронтальная, индивидуальная.

Техническое оборудование: компьютер, проектор.

ХОД УРОКА:

Самоопределение к деятельности (организационное начало) – 3 мин.

1) Выразить х через у : х - 3 у = 4.
2) Выразить у через х : 2 х – у = 3; 6 х + 2 у = 10.
3) Решением системы уравнений , является пара

(18; -9), (9;0), (18; 9).

4) Сложите два уравнения 2 х + 7 у = 15 и 5 х -4 у = 23.

5) Вычтите из уравнения 2 х + у =21 уравнение -3 х + 4 у = 6.

6) Сколько решений имеет система, если графики уравнений системы пересекаются?

Постановка учебной задачи ( Постановка цели и формулирование темы урока) – 1 мин.

Актуализация опорных знаний – 5 мин.

Деятельность учителя: подготовка мышления : актуализация ЗУН, достаточных для используемых на уроке способов действий; тренировка соответствующих мыслительных операций.

Деятельность ученика: включаются в репродуктивную деятельность, предполагающую выполнение действий по образцу.

Изучение нового материала. Демонстрация сообщаемого факта.

Расстояние между двумя пунктами по реке равно 60 км. По течению реки лодка проплывет это расстояние за 4 ч, а против течения за 6 ч. Найдите собственную скорость лодки и скорость течения реки.

Включение в систему знаний и повторение – 8 мин.

Деятельность учителя: организация работы на тренировку ранее изученных алгоритмов, включение нового знания в систему знаний.

Решение: Составление математической модели.

Пусть х км/ч – собственная скорость лодки, у км/ч – скорость течения реки. По течению реки скорость лодки – (х + у) км/ч, против течения реки – (х - у) км/ч. По течению реки лодка проплывет 60 км за 4 часа, т.е 4(х + у) = 60, против течения – за 6 часов, т.е 6(х – у) = 60 . Математическая модель составлена:

4( х + у) = 60,

6(х – у) = 60

Решим данную систему двумя способами.

Первый способ: метод подстановки

4( х + у) = 60, у = 15 – х , х = 12,5,

6( х – у) = 60; х - (15 – х ) = 10; у = 2,5.

Второй способ: метод алгебраического сложения

4( х + у) = 60, х + у = 15, х + у = 15, х = 12,5,

6( х – у) = 60; х – у = 10; 2 х = 25; у = 2,5.

Ответ: Собственная скорость лодки 12,5 км/ч , скорость течения реки 2,5 км/ч.

Вывод: каким способом удобнее решить эту систему?

Закрепление – 10 мин.

Решение задачи при помощи системы линейных уравнений. П2.

Данный модуль представляет собой задание с пошаговым контролем, состоящее из четырех шагов. Задание направлено на обучение решению текстовых задач при помощи систем линейных уравнений с двумя переменными. Выполнение задания разбито на несколько этапов: краткая запись условия задачи, составление системы, ее решение и ответ на вопрос задачи. Важный элемент задания – представление двухзначных чисел в виде суммы разрядных слагаемых. При решении заданий суворовцу предоставляется возможность использовать подсказки.

Решение: Составление математической модели.

Пусть х мешков нес мул, у мешков несла лошадь. Когда мул забрал мешок, то у мула стало (х + 1) мешок, у лошади (у – 1) мешок. У мула стало в 2 раза больше мешков, т.е х + 1 = 2(у – 1). Если же мул отдаст мешок, у мула х – 1 мешок, у лошади у + 1 мешок станет и количество мешков у мула и лошади станет поровну, т.е х – 1 = у + 1.. Математическая модель составлена:

х + 1 = 2( у – 1), х – 2 у = - 3, х = 7,

х - 1 = у + 1; х – у = 2; у = 5.

Ответ: лошадь несла 5 мешков, мул – 7 мешков.

Самостоятельная работа – 10 мин.

Деятельность учителя: организация сам. деятельности суворовца.

Деятельность ученика: применение изученных способов при решении задач.

Решение задач при помощи систем линейных уравнений, К2. (Данный модуль представляет собой задание с пошаговым контролем, состоящим из двух шагов. Задание позволяет проконтролировать каждый этап решения текстовой задачи: составление краткой записи условия, составления системы уравнений, решение системы способом подстановки и ответ на вопрос задачи).

Итог урока – 4 мин.

Деятельность учителя: подведение итогов, обобщение изученного.

Сколько неизвестных величин необходимо ввести для составления системы уравнений?

Сколько методов решения системы уравнений вы знаете?

Рефлексия деятельности – 2 мин.

Деятельность учителя: организация самооценки деятельности на уроке.

Рассмотрев на примере решение задачи с помощью системы уравнений, мы выделяем основные этапы решения задач с помощью систем. Затем мы приводим подробное решение еще двух задач.

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобретя в каталоге.

Получите невероятные возможности

Конспект урока "Решение задач с помощью систем уравнений"

· показать основные этапы решения задач с помощью систем.

На предыдущих уроках мы с вами говорили о системах линейных уравнений с двумя неизвестными и научились решать такие системы тремя способами. А именно, графическим способом, способом подстановки и способом сложения. На практике обычно используют способ подстановки и способ сложения, так как графический способ чаще всего позволяет найти решения лишь приближенно.

На этом уроке мы научимся с помощью систем уравнений решать задачи.

Давайте, рассмотрим задачу.

В корзине лежат бананы и яблоки. Известно, что бананов на 5 больше, чем яблок. Сколько бананов и сколько яблок в корзине, если всего в ней 17 фруктов?

Пусть х – количество бананов в корзине, а игрек – количество яблок.

Так как по условию задачи бананов на 5 больше, чем яблок, то можем составить уравнение:

Также из условия задачи известно, что всего в корзине 17 фруктов, а тогда можем записать следующее уравнение:

Объединим уравнения в систему, так как эти условия должны выполняться одновременно.

Читайте также: