Конспект урока исследование функции на монотонность
Обновлено: 04.07.2024
Преподаватель высшей квалификационной категории Чертихина Л.П.
Тип занятия: урок изучения новой темы.
Вид занятия : комбинированный урок с использованием активных технологий.
Обучающая цель : научить студентов исследовать функцию на монотонность.
Развивающая цель : мотивировать развитие умений путем закрепления знаний
и формировать навыки для решения различных проблемных задач; развитие монологической речи при решении математических задач.
Оборудование:
Технические средства:
Дидактические средства:
1)Карточки для выполнения дидактических заданий.
Использование педагогических технологий :
2.Активные методы обучения.
3.Технология работы в микрогруппах.
4.Технология дифференцированного обучения.
Основные этапы урока.
1)Организационный момент(2 мин).
3) Историческая справка( 3 мин).
4)Актуализация знаний и умений и навыков(20 мин).
5)Исследовательская работа(15 мин)
6) Устная работа на закрепление( 10 мин)
8) Работа в группах(10 мин).
9) Защита выполненных работ(15 мин).
10) Итог урока( 3 мин).
11) Домашнее задание(2 мин).
1.Организационный момент : прием кабинета дежурным по группе, взаимное приветствие, определение отсутствующих студентов.
3.Историческая справка .
Производная –это одно из фундаментальных понятий математики. Оно возникло в 17 веке в связи с необходимостью решения ряда задач по физике, механике и математике.
Математика- это не сухие числа. За великими открытиями в любой области, в т. Ч. И в математике , стоят люди. Их пытливый ум, настоящий творческий поиск, работа над собой дали возможность развития удивительной науке- математике. И мы должны помнить имена тех , кто дал нам возможность развивать свой ум, использовать их открытия.
Независимо друг от друга И. Ньютон и Г. Лейбниц разработали аппарат, которым мы пользуемся и в настоящее время. И. Ньютон в основном опирался на физические представления о мгновенной скорости движения, считая его очевидным и сводя к нему другие случаи производной. Г. Лейбниц использовал понятие бесконечно малой величины.
Исчисление, созданное Ньютоном и Лейбницем, называется дифференциальным исчислением. С его помощью был решен целый ряд задач теоретической механики, физики и астрономии. В частности, используя методы дифференциального исчисления, ученые предсказали возвращение кометы Галлея.
В настоящее время понятие производной находит большое применение в различных областях науки и техники.
4.Актуализация знаний , умений и навыков .
И прежде чем приступить к решению задач, давайте проверим нашу готовность к вычислению производных.
Тема: Исследование функции на монотонность Общее количество часов, отведенное на изучение темы: 2 Место урока в системе уроков по теме: 1 Цель: выявить связь между характером монотонности функции и знаком её производной Задачи: Обучающие: дать представление о связи свойств функции с её производной, учить чтению и анализу графиков функций; развивать умение анализировать, сопоставлять, сравнивать, формулировать выводы по результатам собственной деятельности. Развивающие: развивать такие качества личности, как ясность и точность мысли, логическое мышление, алгоритмическая культура, интуиция, критичность. Воспитательные: воспитывать средствами математики культуру личности: умения выслушать и принимать во внимание взгляды других людей, умение справляться с неопределённостью и сложностью. Планируемые результаты: знать связь между характером монотонности функции и знаком её производной; уметь исследовать интервалы монотонности функции.
Содержимое разработки
Предмет: Алгебра и начала математического анализа.
УМК: Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы А.Г. Мордкович, 2019г.
Уровень обучения: базовый уровень
Тема: Исследование функции на монотонность
Общее количество часов, отведенное на изучение темы: 2
Место урока в системе уроков по теме: 1
Цель: выявить связь между характером монотонности функции и знаком её производной
дать представление о связи свойств функции с её производной, учить чтению и анализу графиков функций;
развивать умение анализировать, сопоставлять, сравнивать, формулировать выводы по результатам собственной деятельности.
Развивающие:
развивать такие качества личности, как ясность и точность мысли, логическое мышление, алгоритмическая культура, интуиция, критичность.
Воспитательные:
воспитывать средствами математики культуру личности: умения выслушать и принимать во внимание взгляды других людей, умение справляться с неопределённостью и сложностью.
Планируемые результаты:
знать связь между характером монотонности функции и знаком её производной;
уметь исследовать интервалы монотонности функции.
Техническое обеспечение урока: компьютер, проектор, презентация, учебник.
Дополнительное методическое и дидактическое обеспечение урока: слайды презентации, карточки с заданиями.
Содержание урока:
Объяснение нового материала.
Формирование умений и навыков.
Проверка уровня знаний и умений по теме
I. Организационный момент.
II. Проверочная работа.
Укажите количество промежутков монотонности функции (Слайд 2). (10)
На графике функции найдите промежутки убывания и в ответе укажите сумму длин этих промежутков (Слайд №).(12)
На графике найдите промежутки возрастания и в ответе укажите сумму длин этих промежутков (Слайд 4). (11)
Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t)=3t 2 +2t+27, где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t=2c. (Слайд 5). (14)
5). Составьте уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой х = –2. (Слайд 6) (у=-х+8)
Самопроверка (Слайд 7).
III. Объяснение нового материала.
Учащиеся способны самостоятельно установить связь между характером монотонности функции и знаком её производной. Для этого необходимо снова обратиться к геометрическому смыслу производной.
Задание . На рисунке изображен график функции у = f(x). (Слайд8)
а) Какой знак имеет производная этой функции в следующих точках: –5; –3; –2; 0; 1; 3?
б) Назовите ещё несколько точек, в которых производная больше нуля; меньше нуля.
в) Какой знак имеет производная функции у = f(x) на промежутке (–6; –2); (–2; 1); (1; 4)?
г) Сделайте предположение о связи между характером монотонности функции и знаком её производной.
После этого изучаются теоремы, устанавливающие связь между характером монотонности функции на промежутке и знаком её производной на этом промежутке. Данные теоремы приводятся без доказательства с опорой на наглядные представления учащихся.(Слайд 9)
Теорема 1. Если во всех точках открытого промежутка X выполняется неравенство f′(x)≥0 (причем равенство f′(x)=0 выполняется лишь в отдельных точках и не выполняется ни на каком сплошном промежутке) , то функция y=f(x) ) возрастает на промежутке X .
Теорема 2. Если во всех точках открытого промежутка X выполняется неравенство f′(x)≤0 (причем равенство f′(x)=0 выполняется лишь в отдельных точках и не выполняется ни на каком сплошном промежутке), то функция y=f(x) убывает на промежутке X .
Итак: если существует производная функции в интервале (a,b) и в данном интервале
1) f'(x)≥0 , то функция в нём не убывает;
2) f'(x)≤0 , то функция в нём не возрастает;
3) f'(x)0 , то функция в нём возрастает;
4) f'(x), то функция в нём убывает.(Слайд 10).
Пример: Необходимо исследовать интервалы монотонности функции f(x)=x3−4x2−16x+17 .
Сначала находим производную: f'(x)=(x 3 −4x 2 −16x+17)'=3x 2 −8x−16 .
Это парабола, которая пересекает ось x в точках x1=−43 и x2=4 и чьи ветви направлены вверх. Поэтому производная отрицательна в интервале (−43;4) (функция убывает) и положительна в интервалах (−∞;−43) и (4;+∞) (функция возрастает).
Ответ: функция f(x)=x 3 −4x 2 −16x+17 возрастает в интервалах (−∞;−43) и (4;+∞) , убывает в интервале (−43;4) .
IV. Формирование умений и навыков.
Все задания можно разбить на две группы.
1-я группа . Выявление свойств производной по графику функции.
2-я группа . Выявление свойств функции по графику её производной.
2. Функция определена на промежутке [–5; 5]. На рисунке изображен её график. Определите по графику промежутки, на которых производная этой функции положительна (отрицательна).
3. Функция у = f(x) определена на промежутке [–6; 7]. Найдите количество целочисленных решений неравенства:
а)
б)
г)
Вариант I
Н а рисунке изображён график производной некоторой функции. Укажите в таблице интервалы, на которых функция обладает указанным свойством:
Презентация и конспект урока по теме "Исследование функций на монотонность" по учебнику А.Г.Мордковича, алгебра 8 класс. Вводятся понятия убывающей и возрастающей функций. С помощью свойств числовых неравенств проводятся доказательства монотонности функций y = kx+m, у = х^2 и y = 1/x. В течении всего урока формируется у учащихся умение определять какой (возрастающей или убывающей) является функция.
Целевая аудитория: для 8 класса
Ресурс соответствует аннотации. Необходима небольшая техническая доработка в презентации. На некоторых слайдах много формул, поэтому текстовая информация на 9 слайде выходит за поля слайда.
Физкультминутки обеспечивают кратковременный отдых детей на уроке, а также способствуют переключению внимания с одного вида деятельности на другой.
Диплом и справка о публикации каждому участнику!
© 2007 - 2022 Сообщество учителей-предметников "Учительский портал"
Свидетельство о регистрации СМИ: Эл № ФС77-64383 выдано 31.12.2015 г. Роскомнадзором.
Территория распространения: Российская Федерация, зарубежные страны.
Учредитель: Никитенко Евгений Игоревич
Сайт является информационным посредником и предоставляет возможность пользователям размещать свои материалы на его страницах.
Публикуя материалы на сайте, пользователи берут на себя всю ответственность за содержание материалов и разрешение любых спорных вопросов с третьими лицами.
При этом администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта.
Если вы обнаружили, что на сайте незаконно используются материалы, сообщите администратору через форму обратной связи — материалы будут удалены.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы пользователями сайта и представлены исключительно в ознакомительных целях. Использование материалов сайта возможно только с разрешения администрации портала.
Фотографии предоставлены
Разработка содержит полный конспект урока по теме "Исследование функции на монотонность" для 10 класса, составленный в технорлогии деятельстного метода. Урок подходит для изучения данной темы по учебнику А.Г.Мордковича "Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс" 2013 г.издания. Тип урока : "открытие новог знания". В разработке находятся полное описание всех этапов урока, подробная деятельность учителя и учащихся, раздаточный материал.
Урок алгебры и начала анализа. 10 класс.
Тип урока: ОНЗ.
Тема урока: Исследование функции на монотонность .
Учитель: Александра Вячеславовна Евдокимова, I квалификационной категории, МОУ СОШ №43 им. А.С.Пушкина, города Ярославля.
ознакомить учащихся со способом нахождения промежутков монотонности функции с помощью производной..
повторить и закрепить навык нахождения производной; тренировать вычислительные навыки.
развивать мыслительные операции: сравнение, анализ, обобщение, аналогия.
1. Мотивация к учебной деятельности
- Какую тему изучаем? (Производная.)
-Где научились её применять? (при составлении уравнения касательной, скорости движения.)
-А как вы думаете, при исследовании функции можем мы использовать производную? (Возможно.)
-О чём будем говорить сегодня? (О применении произведении производной к исследованию функции.)
2. Актуализация знаний и фиксация затруднений в деятельности.
1) Организовать актуализацию изученных способов действий, достаточных для построения нового знания.
2) Зафиксировать актуализированные способы действий в речи.
3) Зафиксировать актуализированные способы действий в знаках (эталоны).
4) Организовать обобщение актуализированных способов действий.
5) Организовать актуализацию мыслительных операций, достаточных для построения нового знания.
7) Организовать самостоятельное выполнение пробного учебного действия.
8) Организовать фиксацию индивидуальных затруднений в выполнении учащимися пробного учебного действия или в его обосновании.
- Для повторения выполним № 854: Определите, какой знак имеет производная функции у = f(х) в точках с абсциссами а,в,с,d, если график функции изображен на заданном рисунке.
- Какие функции называются возрастающей и убывающей?
-№855: Определите промежутки возрастания и убывания функции, график которой изображён на заданном рисунке.
-Определите, промежутки возрастания и убывания функции у = х 2 – 6х + 1
( на промежутке () убывает, на () возрастает)
- Определите, возрастающей или убывающей является функция у = х 3 + 9х?
У учащихся возникает затруднение.
3.Выявление места и причин затруднения.
1) Организовать восстановление выполненных операций.
2) Организовать фиксацию места (шага, операции), где возникло затруднение.
3) Организовать соотнесение своих действий с используемыми эталонами(алгоритмом, понятием и т.д.)
4) На этой основе организовать выявление и фиксацию во внешней речи причины затруднения- тех конкретных знаний, умений или способностей, которых недостаёт для решения исходной задачи и задач такого класса или типа вообще.
- Чем вы пользовались для выяснения монотонности функции у = х 2 – 6х + 1?
(Свойствами квадратичной функции)
- Что не смогли сделать? (Не смогли сделать пробное действие: выяснить возрастающей или убывающей является функция у = х 3 + 9х.)
- В чём затруднение? (Мы не знаем правила, для нахождения промежутков возрастания и убывания функции заданной аналитическим способом.)
4. Построение проекта выхода из затруднения.
Организовать построение проекта выхода из затруднения:
1) Учащиеся ставят цель проекта (целью всегда является устранение причины возникшего затруднения).
2) Учащиеся уточняют и согласовывают причины возникшего затруднения.
3) Учащиеся определяют средства (алгоритмы, модели, справочники и т.д.)
4) Учащиеся формулируют шаги, которые необходимо сделать для реализации поставленной цели.
-Какова же цель урока? (Вывести правило для нахождения промежутков возрастания и убывания функции заданной аналитическим способом.)
-Какова тема урока? (Исследование функции на монотонность.)
-Какой способ вы предлагаете использовать (Формулирование правила на основе сравнении, наблюдения и анализа.)
-Для построения плана ваших действий предлагаю разбиться на группы.
задание для групп № 1,2,3
1. Какая эта функция: возрастающая или убывающая?
2. Проведите касательные в точках х1 И х2.
3. Что общего у построенных прямых?
4. Чему равен угловой коэффициент касательных?
5. Сделайте вывод о значении производной в т. х1 И х2
6. Проведите касательные в точках х3 . Как она
х1 х3 х2 7. Чему равна производная у = f(х) в точке х3?
Читайте также: