Конспект урока алгебра 10 класс число е
Обновлено: 07.07.2024
Математическая константа, выражающая отношение длины окружности к длине её диаметра.
Похожие презентации
Презентация на тему: " Число е. Экспонента. Натуральный логарифм." — Транскрипт:
1 ЧИСЛО е ЭКСПОНЕНТА НАТУРАЛЬНЫЙ ЛОГАРИФМ
2 Математическая константа, выражающая отношение длины окружности к длине её диаметра. Другое название - архимедова константа. Обозначение происходит от начальной буквы греческих слов: περιφέρεια - окружность, периферия и περίμετρος - периметр. Число иррационально и трансцендентно. Число π
4 Франсуа Виет: Ряд Лейбница:
5 Леонард Эйлер ( ) Математик, механик, физик и астроном. Л.Эйлер по происхождению швейцарец. Ученый необычайной широты интересов. В 1726 г. был приглашен работать в Петербург, в 1727 г. переехал жить в Россию.
6 Тождество Эйлера где i – мнимая единица, i 2 = 1.
8 Вопросы: Чему равно число е? Какие названия числа е существуют? Когда появилось число е? В работах каких ученых впервые встречаются упоминания об этом числе? В чём особенности числа е? Какие способы запоминания этого числа существуют? Каковы способы его определения?
9 Системы поиска информации Каталоги: Поисковые машины: Гибридные системы: Мета-поисковые системы:
10 Вопросы: Чему равно число е? Какие названия числа е существуют? Когда появилось число е? В работах каких ученых впервые встречаются упоминания об этом числе? В чём особенности числа е? Какие способы запоминания этого числа существуют? Каковы способы его определения?
11 Число Эйлера или неперово число. Начало 17 века. Джон Непер, Леонард Эйлер, Якоб Бернулли. Число е иррациональное и трансцендентное.
12 Представление числа е Через предел (второй замечательный предел): Как сумма ряда: где n!=1·2·3·4·… ·n
13 Функцию е х называют экспонентой или экспоненциальной функцией. Логарифм по основанию е называют натуральным логарифмом: lnx=log e x. Функции, связанные с числом е
14 Вопросы: Чему равны производные функций е х, ln x, a х,log a x? Чему равны первообразные функций е х, a х, х -1 ? Где используются понятия экспонента и натуральный логарифм?
17 Найдите производные (ln(x 3 -1)) (x·lnx) (x 5 lnx) (sin 3 lnx) (ln sinx) (ln tgx) (ln 7 x) (ln 4 x - 4·lnx) (ln 3 x +lnx 3 ) (e x 3 ) (e sinx ) (ln(e x+ 1))
18 Домашнее задание Творческие задания: –Найти способы представления функций e x и ln x в виде суммы бесконечных рядов и составить программу для их вычисления. –Создать презентацию о числе е и его свойствах. Задания из учебника: –§ 11. П.41,42. – 538, 539, 543, 544, 549, 550, 554.
воспитательная: воспитание аккуратности, настойчивости, умения работать в коллективе.
Орг. момент:
Актуализация опорных знаний: Сравните числа a и b, если дана разность a – b
Запись на доске:
Учитель: Расположите в порядке возрастания числа
Запись на доске:
Учитель: Сравните числа
Запись на доске:
Ученик1: а) ; б)
Ученик2: в) ; г) .
Формирование умений и навыков:
Учитель: Сегодня на уроке мы с вами закрепим понятие о числовых неравенствах и их доказательств.
Решение заданий у доски и в тетради: №1.76(а,д,е,з); № 1.77(б,г,д,е)
обучающая самостоятельная работа по вариантам:
Подведение итогов:
Учитель: А сейчас давайте подведем итоги нашего урока:
- Перечислите утверждения, которые используют при доказательстве числовых неравенств( !-5);
- Сформулируйте основное правило сравнения двух чисел;
Ученик: Для того чтобы сравнить два числа, нужно рассмотреть их разность: если она больше нуля, то первое число больше другого; если меньше нуля – второе число больше первого; если равна нулю – числа равны;
- Сравните среднее арифметическое двух положительных чисел со средним геометрическим этих чисел;
- Что можно сказать о сумме двух взаимно обратных числах( сумма всегда меньше или равна двум)
Это урок контроля знаний и умений. Основная цель урока - определение качества усвоения учащимися программного материала, диагностирование и корректирование их знаний и умений.
| Вложение | Размер |
|---|---|
| moy_urok_10alg.docx | 108.97 КБ |
Предварительный просмотр:
Предмет: Алгебра и начала математического анализа
Тип урока: Урок контроля знаний и умений
Цель урока: определение качества усвоения учащимися программного материала, диагностирование и корректирование их знаний и умений.
- рассмотреть множество натуральных чисел;
- рассмотреть множество целых чисел;
- рассмотреть множество рациональных чисел;
- ввести понятие конечной и бесконечной десятичной дроби;
- дать определение бесконечной периодической десятичной дроби.
- сформировать умение переводить обыкновенную дробь в десятичную;
- сформировать умение переводить бесконечную периодическую дробь в обыкновенную;
- сформировать желание самостоятельно изучать материал;
- формировать у учащихся способность к рефлексии (фиксирование собственных затруднений в деятельности, выявление причин)
- развивать логическое мышление, инициативу, находчивость, активность
при решении задач.
- воспитывать положительное отношение к приобретению новых знаний;
- воспитывать ответственность за свои действия и поступки;
- вызвать заинтересованность новым для учащихся подходом изучения математики.
Ученик знает определение бесконечной периодической десятичной дроби. Знает множество натуральных чисел. Знает множество целых чисел. Знает множество рациональных чисел. Умеет представлять обыкновенную дробь в виде десятичной. Умеет представлять бесконечную периодическую дробь в виде обыкновенной дроби. Знает множество действительных чисел.
- технология развивающего обучения,
- технология деятельностного метода,
- обучение в сотрудничестве
Форма организации познавательной деятельности: фронтальная, парная, индивидуальная, групповая.
Средства обучения : мультимедийное оборудование (проектор, компьютер, экран),
Демонстрационный материал: презентация
1. Постановка цели и задач урока. Мотивация учебной деятельности учащихся
Проверка готовности к уроку.
Организация внимания учащихся к уроку и обеспечение благоприятного настроя:
Математику нельзя изучать, наблюдая, как это делает сосед (слайд 1), поэтому будем сегодня не наблюдать, а работать, в основном, самостоятельно.
Ваша задача – показать свои знания и умения. Определить, где вы испытываете затруднения и как ликвидировать пробелы, а в конце урока сформулировать общую тему наших занятия.
На столе у учащихся лежат листы учета знаний, в которых указаны 3 этапа проверки
Напротив каждого этапа учащиеся будут ставить либо сами себе, либо соседу по парте полученную отметку. Итоговая отметка есть результат сложения отметок, поделенный на 3 (слайд 2)
Приветствуют учителя, организуют свое рабочее место, демонстрирует свою готовность к уроку, включаются в ритм урока.
Учащиеся заполняют лист учета знаний в течение урока.
Планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками
2. Актуализация знаний
Ученики получают карточки с высказываниями ,отмечают верные предложения и записывают в тетрадь номера верных высказываний. Далее проверка в группе по эталону.
Осознанное построение речевого высказывания, фиксирование индивидуального затруднения. Выражение своих мыслей с достаточной полнотой и точностью.
Умение работать в группе, оценивать работу партнеров.
Учитель показывает слайды , формирует систему знаний по теме урока
4 . Выявление знаний, умений и навыков, проверка уровня сформированности у учащихся общеучебных умений
Число "пи" знают все, число е - гораздо меньшее число людей. Однако, оно является не менее замечательным.
ПЕРВУШКИН БОРИС НИКОЛАЕВИЧ
Учитель Математики Высшей категории
Число впервые появилось в математике как нечто незначительное. Это случилось в 1618 г. В приложении к работе Непера (Napier) по логарифмам была дана таблица натуральных логарифмов различных чисел. Однако никто не понял, что это логарифмы по основанию , так как в понятие логарифма того времени такая вещь как основание не входила. Это сейчас мы называем логарифмом степень, в которую нужно возвести основание, чтобы получить требуемое число. Мы еще вернемся к этому позже. Таблица в приложении скорее всего была сделана Отредом (Ougthred), хотя автор ее не был указан. Через несколько лет, в 1624 г., в математической литературе снова появляется , но опять-таки завуалированно. В этом году Бриггс (Briggs) дал численное приближение десятичного логарифма , но само число в его работе не упоминается.
Следующее появление числа снова cомнительно. В 1647 г. Сен-Винсент (Saint-Vincent) вычислил площадь сектора гиперболы. Понимал ли он связь с логарифмами, остается только догадываться, но даже если понимал, то вряд ли он мог прийти к самому числу . Только к 1661 г. Гюйгенс (Huygens) понял связь между равнобочной гиперболой и логарифмами. Он доказал, что площадь под графиком равнобочной гиперболы равнобочной гиперболы на промежутке от 1 до равна 1. Это свойство делает основанием натуральных логарифмов, но это не понимали математики того времени, однако они медленно приближались к этому пониманию.
Гюйгенс сделал следующий шаг в 1661 г. Он определил кривую, которую назвал логарифмической (в нашей терминологии мы будем называть ее экспоненциальной). Это кривая вида . И снова появляется десятичный логарифм , который Гюйгенс находит с точностью до 17 десятичных цифр. Однако он возник у Гюйгенса как некая константа и не был связан с логарифмом числа (итак, снова подошли вплотную к , но само число остается неузнанным).
В дальнейших работах по логарифмам опять-таки число не появляется в явном виде. Однако изучение логарифмов продолжается. В 1668 г. Никола Меркатор (Nicolaus Mercator) опубликовал работуLogarithmotechnia, которая содержит разложение в ряд . В этой работе Меркатор впервые использует название “натуральный логарифм” для логарифма по основанию . Число явно опять не появляется, а остается неуловимым где-то в стороне.
Удивительно, что число в явном виде впервые возникает не в связи с логарифмами, а в связи с бесконечными произведениями. В 1683 г. Якоб Бернулли пытается найти
Он использует биномиальную теорему для доказательства того, что этот предел находится между 2 и 3, и это мы можем рассматривать как первое приближение числа . Хотя мы принимаем это за определение , это первый случай, когда число определяется как предел. Бернулли, конечно, не понял связи между своей работой и работами по логарифмам.
Ранее упоминалось, что логарифмы в начале их изучения никак не связывались с экспонентами. Конечно, из уравнения мы находим, что , но это гораздо более поздний способ восприятия. Здесь мы в самом деле подразумеваем под логарифмом функцию, тогда как сначала логарифм рассматривался только как число, которое помогало в вычислениях. Возможно, Якоб Бернулли первым понял, что логарифмическая функция является обратной показательной. С другой стороны, первым, кто связал логарифмы и степени, мог быть Джеймс Грегори (Games Gregory). В 1684 г. он определенно осознал связь между логарифмами и степенями, но, возможно, он был не первым.
Мы знаем, что число появилось в том виде, как сейчас, в 1690 г. Лейбниц в письме к Гюйгенсу использовал для него обозначение . Наконец у появилось обозначение (хотя оно не совпадало с современным), и это обозначение было признано.
В 1697 г. Иоганн Бернулли начинает изучение показательной функции и публикует Principia calculi exponentialum seu percurrentium. В этой работе вычисляются суммы различных экспоненциальных рядов, и получены некоторые результаты их почленным интегрированием.
Эйлер (Euler) ввел так много математических обозначений, что
неудивительно, что обозначение также принадлежит ему. Кажется смешным утверждение, что он использовал букву из-за того, что это первая буква его имени. Вероятно, это даже не потому, что взято от слова “exponential”, а просто это следующая гласная за “a”, а Эйлер уже использовал обозначение “a” в своей работе. Независимо от причины, обозначение впервые появляется в письме Эйлера Гольдбаху (Goldbach) в 1731 г. Он сделал много открытий, изучая в дальнейшем, но только в 1748 г. в Introductio in Analysin infinitorum он дал полное обоснование всем идеям, связанным с . Он показал, что
Эйлер также нашел первые 18 десятичных знаков числа :
правда, не объясняя, как он их получил. Похоже, что он вычислил это значение сам. На самом деле, если взять около 20 членов ряда (1), то получится точность, которую получил Эйлер. Среди других интересных результатов в его работе приведена связь между функциями синус и косинус и комплексной показательной функцией, которую Эйлер вывел из формулы Муавра.
Интересно, что Эйлер нашел даже разложение числа в непрерывные дроби и привел образцы такого разложения. В частности, он получил
Эйлер не привел доказательства, что эти дроби так же продолжаются, однако он знал, что если бы такое доказательство было, то оно доказывало бы иррациональность . Действительно, если бы непрерывная дробь для , продолжалась так же, как в приведенном образце, 6,10,14,18,22,26, (каждый раз прибавляем по 4), то она никогда бы не прервалась, и (а значит, и ) не могло бы быть рациональным. Очевидно, это первая попытка доказать иррациональность .
Первым, кто вычислил довольно большое число десятичных знаков числа , был Шенкс (Shanks) в 1854 г. Глейшер (Glaisher) показал, что первые 137 знаков, вычисленные Шенксом, были верными, однако далее нашел ошибку. Шенкс ее исправил, и было получено 205 десятичных знаков числа . В действительности, нужно около
120 членов разложения (1), чтобы получить 200 верных знаков числа .
В 1864 г. Бенджамен Пирс (Peirce) стоял у доски, на которой было написано
В своих лекциях он мог бы сказать своим студентам: “Джентльмены, мы не имеем ни малейшего представления, что бы это значило, но мы можем быть уверены, что это значит что-то очень важное”.
Большинство считает, что Эйлер доказал иррациональность числа . Однако это сделал Эрмит (Hermite) в 1873 г. До сих пор остается открытым вопрос, является ли число алгебраическим. Последний результат в этом направлении — это то, что по крайней мере одно из чисел и является трансцендентным.
Далее вычисляли следующие десятичные знаки числа . В 1884 г. Бурман (Boorman) вычислил 346 знаков числа , из которых первые 187 совпали со знаками Шенкса, но последующие различались. В 1887 г. Адамс (Adams) вычислил 272 цифры десятичного логарифма .
Читайте также: