Конспект сечение куба и тетраэдра

Обновлено: 03.07.2024

Тетраэдр – это многогранник, состоящий из плоскости треугольника и точки не лежащий в этой плоскости, трех отрезков соединяющих эту точку с вершинами основания треугольника.

Четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, называется параллелограммом.

Отрезок, соединяющий противоположные вершины, называется диагональю параллелепипеда.

Сечением поверхности геометрических тел называется – плоская фигура, полученная в результате пересечения тела плоскостью и содержащая точки, принадлежащие как поверхности тела, так и секущей плоскости.

Основная литература:

Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Учебник Геометрия 10-11 кл.– М.: Просвещение, 2014.

Дополнительная литература:

Зив Б.Г. Дидактические материалы Геометрия 10 кл.– М.: Просвещение, 2014.

Глазков Ю.А., Юдина И.И., Бутузов В.Ф. Рабочая тетрадь Геометрия 10 кл.-М.: Просвещение, 2013.

Открытый электронный ресурс:

Теоретический материал для самостоятельного изучения

В дельнейшем несколько уроков нашего курса будет посвящены многогранникам- поверхностям геометрических тел, составленным из многоугольников. Но до более подробного изучения многогранников мы познакомимся с двумя из них- тетраэдром и параллелепипедом. Нам данные тела дадут возможность проиллюстрировать понятия, связанные со взаимным расположением прямых и плоскостей.

Давайте вспомним, что мы понимали под многоугольником в планиметрии. Многоугольник мы рассматривали либо как замкнутую линию без самопересечений, либо как часть плоскости, ограниченную этой линией, включая ее саму.

Мы будем использовать второе толкование многоугольника при рассмотрении поверхностей и тел в пространстве. При таком толковании любой многоугольник в пространстве представляет собой плоскую поверхность.

Давайте рассмотрим изображенную фигуру и ответим на несколько вопросов.

Итак, поверхность данной фигуры состоит из четырёх треугольников DАВ, DВС, DАС и АВС.

из вершин- их у него 4- А, B, C, D;
из ребер- их у него 6- AB, BC, AC, AD, BD, CD;
из граней- их у него 4- треугольники ∆АВС, ∆DАС, ∆DВС, ∆DАВ.

Мы с вами выяснили из элементов состоит наша фигура тетраэдр. Теперь сформулируем определение.

Определение. Тетраэдр – это многогранник, состоящий из плоскости треугольника и точки не лежащий в этой плоскости, трех отрезков соединяющих эту точку с вершинами основания треугольника.

Говорят, что рёбра АD и ВС, АВ и CD, и т.д.- противоположные.

Считается АВС - основание, остальные грани - боковые.

Изображается тетраэдр обычно так (рис. 1).

Рисунок 1 – изображение тетраэдра.

Математика, в частности геометрия, является мощнейшим инструментом в познании мира. Различные геометрические формы находят свое практическое приспособление в различных областях знания: архитектуре, скульптуре, живописи. И тетраэдр тому доказательство. Так же мы можем наблюдать тетраэдр в повседневной жизни (рис. 2).

Форма пакета молока

Рисунок 2 - тетраэдр в повседневной жизни

Параллелепипед.

Прежде чем начать изучать параллелепипед вспомним определение параллелограмма и его свойства.

Определение. Четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, называется параллелограммом (рис. 3).

Рисунок 3 – параллелограмм

1. Противоположные стороны параллелограмма равны:

2. Противоположные углы параллелограмма равны:

3. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам:

Диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника:

треугольники ABC и CDA равны.

Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 180⁰: ∟A+∟D=180°

6. Накрест лежащие углы при диагонали равны:

А теперь перейдем к параллелепипеду.

Рассмотрим два равных параллелограмма ABCD и A₁B₁C₁D₁, расположенных в параллельных плоскостях так, что отрезки AA_1, BB_1, CC₁ и DD₁ параллельны.

Давайте рассмотрим изображенную фигуру (рис. 4).

Рисунок 4 – параллелепипед и его диагонали

АВСDA₁B₁C₁D₁: поверхность, составленная из двух равных параллелограммов АВСD и A₁B₁C₁D₁, лежащих в параллельных плоскостях и четырёх параллелограммов.

Все параллелограммы - грани, их стороны - рёбра, их вершины - вершины параллелепипеда.

Считается: АВСD и A₁B₁C₁D₁ - основания, остальные грани - боковые.

Определение. Отрезок, соединяющий противоположные вершины, называется диагональю параллелепипеда:
A₁C, D₁B, AC₁, DB₁.

Параллелепипед – слово греческого происхождения, параллел – идущий рядом, епипед – плоскость.

Определение.Параллелепипед- этошестигранник с параллельными и равными противоположными гранями.

Следует отметить, что многоугольник в пространстве представляет собой плоскую поверхность, а тетраэдр и параллелепипед – поверхности, составленные из плоских поверхностей (соответственно треугольников и параллелограммов).

Способы изображения параллелепипеда

Параллелепипед, в основании которого лежит ромб

Параллелепипед, в основании которого лежит квадрат

Параллелепипед,в основании которого лежит прямоугольник или параллелограмм

Параллелепипед, у которого все грани — равные квадраты

Можно сделать вывод, что параллелепипеды делятся на (рис. 5)

Рисунок 5 – виды параллелепипедов

Свойства параллелепипеда

Противоположные грани параллелепипеда параллельны и равны.
Все четыре диагонали пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам.

Доказательство 1

В параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁грани ВВ₁С₁С и AA₁D₁D параллельны (рис. 6), потому что две пересекающиеся прямые ВВ₁ и В₁С₁ одной грани параллельны двум пересекающимся прямым АА₁ и A₁D₁ другой; эти грани и равны, так как В₁С₁ = A₁D₁, В₁В= А₁А (как противоположные стороны параллелограммов) и ∟ ВВ₁С₁= ∟АA₁D₁.

Рисунок 6 – чертеж к доказательству свойства 1

Доказательство 2

Возьмём какие-нибудь две диагонали, например АС₁ и ВD₁, и проведём вспомогательные прямые АD₁ и ВС₁ (рис. 7).

Так как рёбра АВ и D₁С₁ соответственно равны и параллельны ребру DС, то они равны и параллельны между собой; вследствие этого фигура АD₁С₁В есть параллелограмм, в котором прямые С₁А и ВD₁ —диагонали, а в параллелограмме диагонали делятся в точке пересечения пополам.

Возьмём теперь одну из этих диагоналей, например АС₁, с третьей диагональю, положим, с В₁D. Совершенно так же мы можем доказать, что они делятся в точке пересечения пополам. Следовательно, диагонали B₁D и АС₁ и диагонали АС₁ и BD₁(которые мы раньше брали) пересекаются в одной и той же точке, именно в середине диагонали
АС₁. Наконец, взяв эту же диагональ АС₁ с четвёртой диагональю А₁С, мы также докажем, что они делятся пополам. Значит, точка пересечения и этой пары диагоналей лежит в середине диагонали АС₁. Таким образом, все четыре диагонали параллелепипеда пересекаются в одной и той же точке и делятся этой точкой пополам.

Рисунок 7 – чертеж к доказательству свойства 2

Задачи на построение сечений.

Определение. Сечением поверхности геометрических тел называется - плоская фигура, полученная в результате пересечения тела плоскостью и содержащая точки, принадлежащие как поверхности тела, так и секущей плоскости.

Взаимное расположение многогранника и секущей плоскости:

Многогранник и плоскость не имеют общих точек.
Многогранник и плоскость имеют одну общую точку-вершину многогранника.
Многогранник и плоскость имеют общую грань.
Многогранник и плоскость имеют общий отрезок-ребро многогранника.

Виды сечений:

сечение параллельное плоскости основания,
диагональное сечение,
сечение, параллельное плоскости грани,
произвольное сечение.

Фигуры, которые получаются в результате сечения:

1. треугольник;
2. четырехугольник;
3. пятиугольник;
4. шестиугольник.

Один из методов построения сечений, который мы рассмотрим- метод следа.

Рассмотрим метод следов, применяемый при построении сечений многогранников, а именно при построении сечения куба плоскостью.

Что такое метод следов? При построении сечений многогранников в качестве вспомогательной прямой часто используется след секущей плоскости (в плоскости грани, удобной для рассмотрения). Такой метод построения сечений называется методом следа.

Построить сечение параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ плоскостью, проходящей через точки P, Q, R (рис. 8).

Рисунок 8 –чертеж к задаче №1

Построим след секущей плоскости на плоскость нижнего основания параллелепипеда. Рассмотрим грань АА₁В₁В. В этой грани лежат точки сечения P и Q. Проведем прямую PQ.
Продолжим прямую PQ, которая принадлежит сечению, до пересечения с прямой АВ. Получим точку S₁, принадлежащую следу.
Аналогично получаем точку S₂ пересечением прямых QR и BC.
Прямая S₁S₂ - след секущей плоскости на плоскость нижнего основания параллелепипеда.
Прямая S₁S₂ пересекает сторону AD в точке U, сторону CD в точке Т. Соединим точки P и U, так как они лежат в одной плоскости грани АА₁D₁D. Аналогично получаем TU и RT.
PQRTU – искомое сечение.

Основные правила построения сечений методом следа:

Если даны (или уже построены) две точки плоскости сечения на одной грани многогранника, то след сечения этой плоскости – прямая, проходящая через эти три точки.
Если дана (или уже построена) прямая пересечения плоскости сечения с основанием многогранника (след на основании) и есть точка, принадлежащая определенной боковой грани, то нужно определить точку пересечения данного следа с этой боковой гранью ( точка пересечения данного следа с общей прямой основания и данной боковой грани)
Точку пересечения плоскости сечения с основанием можно определить как точку пересечения какой-либо прямой в плоскости сечения с ее проекцией на плоскость основания.

То есть, суть метода заключается в построении вспомогательной прямой, являющейся изображением линии пересечения секущей плоскости с плоскостью какой-либо грани фигуры. Удобнее всего строить изображение линии пересечения секущей плоскости с плоскостью нижнего основания. Используя след, легко построить изображения точек секущей плоскости, находящихся на боковых ребрах или гранях фигуры.

Дан тетраэдр АВСD. Точка М – точка внутренняя, точка грани тетраэдра АВD. N – внутренняя точка отрезка DС. Построить точку пересечения прямой NM и плоскости АВС.

Рисунок 9 – чертеж к задаче №2

Решение:
Для решения построим вспомогательную плоскость DМN (рис. 10). Пусть прямая DМ пересекает прямую АВ в точке К. Тогда, СКD – это сечение плоскости DМN и тетраэдра. В плоскости DМN лежит и прямая NM, и полученная прямая СК. Значит, если NM не параллельна СК, то они пересекутся в некоторой точке Р. Точка Р и будет искомая точка пересечения прямой NM и плоскости АВС.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Дан тетраэдр АВСD. М – внутренняя точка грани АВD. Р – внутренняя точка грани АВС. N – внутренняя точка ребра DС. Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки М, N и Р.

Решение:
Рассмотрим первый случай, когда прямая MN не параллельна плоскости АВС (рис. 11). В прошлой задаче мы нашли точку пересечения прямой MN и плоскости АВС. Это точка К, она получена с помощью вспомогательной плоскости DМN, т.е. мы проводим DМ и получаем точку F. Проводим СF и на пересечении MN получаем точку К.

Проведем прямую КР. Прямая КР лежит и в плоскости сечения, и в плоскости АВС. Получаем точки Р₁ и Р₂. Соединяем Р₁ и М и на продолжении получаем точку М₁. Соединяем точку Р₂ и N. В результате получаем искомое сечение Р1Р2NМ1. Задача в первом случае решена.

Рисунок 10 – чертеж к примеру 1 (первый случай)

Рассмотрим второй случай, когда прямая MN параллельна плоскости АВС (рис. 12). Плоскость МNР проходит через прямую МN параллельную плоскости АВС и пересекает плоскость АВС по некоторой прямой Р₁Р₂, тогда прямая Р₁Р₂ параллельна данной прямой MN.

Рисунок 11 – чертеж к примеру 1 (второй случай)

Через середины ребер АВ и ВС тетраэдра SABC проведена плоскость параллельно ребру SB. Докажите, что эта плоскость пересекает грани SAB и SBC по параллельным прямым.

Доказательство

Плоскость SBC и плоскость, проходящая через прямую MN параллельно ребру SB, пересекаются по прямой, проходящей через точку N (рис. 13).
По теореме (о параллельных прямых) линия пересечения параллельна SB.
В плоскость SBC через т. N проходит NQ||SB.
Плоскость SAB и плоскость MNQ пересекаются по прямой, проходящей через т. M (прямая MP). По теореме (о параллельных прямых) линия пересечения параллельна SB.

следовательно, PM||NQ.Утверждение доказано.

Этот видеоурок мы посвятим построению сечений многогранников. Вспомним три основных метода построения сечений. Поговорим о каждом из них.

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобретя в каталоге.

Получите невероятные возможности

Конспект урока "Сечения куба, призмы, пирамиды"

Для решения большинства задач из раздела стереометрии необходимы знания и навыки в построении сечения объёмных тел. Именно об этом мы сейчас с вами и поговорим.

Итак, секущей плоскостью называют любую плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данной фигуры.

Секущая плоскость пересекает грани многогранника по отрезкам.

Многоугольник, сторонами которого являются эти отрезки, называется сечением многогранника.

Построить сечение многогранника плоскостью – это значит указать точки пересечения секущей плоскости с рёбрами многогранника и соединить эти точки отрезками, принадлежащими граням многогранника.

Теперь давайте вспомним, что нам необходимо знать для построения плоскости.

Итак, построить плоскость можно: с помощью трёх точек, не лежащих на одной прямой;

с помощью двух пересекающихся прямых;

с помощью прямой и точки, которая не лежит на прямой;

а также с помощью двух параллельных прямых.

Метод следов включает три важных пункта: сначала нужно построить линию пересечения (след) секущей плоскости с плоскостью основания многогранника; затем найти точки пересечения секущей плоскости с рёбрами многогранника, а после этого построить и заштриховать сечение.

В основе построения сечения методом следов лежат две теоремы:

1) если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит плоскости;

2) если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости, и эти плоскости пересекаются, то линия их пересечения параллельна первой прямой.

Метод вспомогательных сечений применяется при построении сечений в тех случаях, когда неудобно находить след секущей плоскости. Например, след получается очень далеко от заданной фигуры.

Суть комбинированного метода построения сечений многогранников состоит в применении теорем о параллельности прямых и плоскостей в пространстве в сочетании с методом следов или методом вспомогательных сечений.

Обратите внимание: тетраэдр имеет четыре грани, поэтому его сечениями могут быть только треугольники и четырёхугольники. А вот параллелепипед имеет шесть граней, поэтому его сечениями могут быть треугольники, четырёхугольники, пятиугольники и шестиугольники.

Основные моменты мы с вами повторили, а теперь давайте перейдём к практической части занятия.

Задача первая. В основании прямой призмы лежит равнобедренная трапеция с основаниями, равными см и см, и боковой стороной, равной см. Боковое ребро призмы равно см. Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через большую сторону основания и середину противоположного бокового ребра призмы.

Задача вторая. На ребре правильного тетраэдра с длиной ребра взята точка такая, что . Найдите площадь сечения тетраэдра плоскостью, содержащей точку и перпендикулярной ребру .

Задача третья. В основании четырёхугольной пирамиды лежит квадрат , а две боковые грани и представляют собой прямоугольные треугольники с прямым . Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, содержащей точку пересечения диагоналей основания и параллельной грани , если .

Конспект урока по геометрии "Построение сечений" 10 класс по учебнику Атанасяна Л.С. с использованием интерактивной доски.

Конспект урока по геометрии в 10 классе

учитель Голощапова Л.А.

сформировать навык решения простейших задач на построение различных сечений тетраэдра плоскостью;

развивать пространственное мышление, воспитывать аккуратность, четкое выполнение правил и инструкций в работе.

I Устная работа.

Укажите способы задания плоскости.

Каково взаимное расположение 2 плоскостей?

Прямая a параллельна плоскости . Верно ли, что эта прямая:

а) не пересекает ни одну прямую, лежащую в плоскости ?

б) параллельна любой прямой, лежащей в плоскости ?

d) параллельна некоторой прямой, лежащей в плоскости ?

4. Прямая а параллельна плоскости . Сколько прямых, лежащих в плоскости , параллельны прямой а? Параллельны ли друг другу эти прямые, лежащие в плоскости ?

5. Две прямые параллельны некоторой плоскости. Могут ли эти прямые:

б) быть скрещивающимися?

6. Существует ли тетраэдр, у которого 5 углов граней прямые?

На интерактивной доске ответы, закрытые шторкой. Открываются постепенно.

через 3 точки, не лежащие на одной прямой, через 2 пересекающиеся прямые, через 2 параллельные прямые, через прямую и не лежащую на ней точку.

2 плоскости могут пересекаться и могут быть параллельными.

Множество прямых. Да, параллельны (по признаку параллельности прямых в пространстве)

не существует, т.к. если бы существовал такой тетраэдр, то в одной грани было бы 2 прямых угла, что противоречит теореме о сумме углов треугольника.

II Изучение нового материала (выделенные фразы – на интерактивной доске)

Для решения многих геометрических задач, связанных с тетраэдром, требуется уметь строить на рисунке его сечения различными плоскостями.

Секущей плоскостью тетраэдра будем называть любую плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного тетраэдра. Секущая плоскость пересекает грани тетраэдра по отрезкам.

Сечением тетраэдра плоскостью называется многоугольник, сторонами которого являются отрезки, по которым секущая плоскость пересекает грани тетраэдра. Чтобы построить сечение тетраэдра плоскостью, нужно найти в каждой грани, которую пересекает секущая плоскость, 2 точки, принадлежащие секущей плоскости, и провести через них отрезок до пересечения с ребрами тетраэдра, ограничивающими эту грань. Так как тетраэдр имеет 4 грани, то сечение тетраэдра плоскостью может быть только треугольником (если пересечены 3 грани) или четырехугольником (если пересечены 4 грани)

Рассмотрим примеры построения сечений.

Задача 1. Дан тетраэдр АВСD. Постройте сечение тетраэдра плоскостью MNP, если: a) М, N и Р лежат соответственно на ребрах АВ, АС и АD;

б) М, N и Р лежат соответственно на ребрах АВ, АС и СD.

(С помощью интерактивной доски копируется чертеж тетраэдра, отмечаются точки, распечатываются чертежи для всего класса. Учитель строит сечение на интерактивной доске, а учащиеся – на готовых чертежах.)

а) Секущая плоскость пересекает плоскость грани АВС по прямой МN. Прямая МN пересекает ребро АВ в точке М, а ребро АС – в точке N. Секущая плоскость пересекает плоскость грани АСD по прямой PN. Прямая PN пересекает ребро АD в точке P, а ребро АС – в точке N. Секущая плоскость пересекает плоскость грани АВD по прямой МP. Прямая МP пересекает ребро АВ в точке М, а ребро АD – в точке P. Треугольник MNK – искомое сечение.

б) Секущая плоскость пересекает плоскость грани АВС по прямой МN. Прямая МN пересекает ребро АВ в точке М, а ребро АС – в точке N. Секущая плоскость пересекает плоскость грани АСD по прямой PN. Прямая PN пересекает ребро СD в точке P, а ребро АС – в точке N. Построим прямую, по которой секущая плоскость пересекает плоскость грани АВD. Точка М является общей точкой этих плоскостей. Для построения еще одной точки продолжим отрезки MN и AD до пересечения в точке Х, которая и будет еще одной общей точкой этих плоскостей. Следовательно, эти плоскости пересекаются по прямой МХ. Прямая МХ пересекает ребро CD в некоторой точке К. Соединяем точки К и Р отрезком. Четырехугольник MNPK – искомое сечение.

В презентации по теме "Сечения куба и тетраэдра" показаны методы построения сечений, но особое внимание уделено методу следов. Объясняется суть этого метода и рассматриваются решения задач на построение сечений куба и тетраэдра с помощью аксиом стереометрии, теорем о параллельности прямых и плоскостей и метода следов.

Сечения куба и тетраэдра 10 класс

Построение сечений Построение сечений многогранников можно осуществлять на основании аксиом стереометрии и теорем о параллельности прямых и плоскостей. Вместе с тем, существуют определенные методы построения плоских сечений многогранников. Наиболее эффективными являются следующие три метода: - метод следов - метод внутреннего проектирования - комбинированный метод

Сечения куба и тетраэдра 10 класс

Метод следов Прямая, по которой секущая плоскость α пересекает плоскость основания многогранника, называется следом плоскости α в плоскости этого основания. Из определения следует, что в каждой его точке пересекаются прямые, одна из которых лежит в секущей плоскости, другая – в плоскости основания. Именно это свойство следов используется при построении плоских сечений многогранников методом следов. Причем в секущей плоскости удобно использовать такие прямые, которые пересекают ребра многогранника.

Сечения куба и тетраэдра 10 класс

Пересекаются ли прямые: MK и BD; MK и ВС Прямая a лежит в плоскости АВС Пересекаются ли прямые АВ и а; АА1 и а

Сечения куба и тетраэдра 10 класс

Найдите: а) точки пересечения прямой EF с плоскостями АВС и А1В1С1 б) линию пересечения плоскостей ADF и EFD в) линию пересечения плоскостей EFD и АВС г) линию пересечения плоскостей AB1D и BB1C

Сечения куба и тетраэдра 10 класс

Метод следов Задача. Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки K, L, M на его ребрах.

Сечения куба и тетраэдра 10 класс

Метод следов Задача. Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки K, L, M на его ребрах.

Сечения куба и тетраэдра 10 класс

Метод следов Задача. Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки K, L, M на его ребрах.

Сечения куба и тетраэдра 10 класс

Метод следов Задача. Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки K, L, M на его ребрах.

Сечения куба и тетраэдра 10 класс

Метод следов Задача. Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точку на его ребре и прямую, лежащую в плоскости нижнего основания.

Читайте также: