Конспект лекций и задачи по курсу высшая математика лебедев часть 1
Обновлено: 04.07.2024
Конспект лекций по высшей математике, 1 часть, Письменный Д.Т., 2004.
Настоящий курс лекций предназначен для всех категорий студентов вузов, изучающих в том или ином объеме высшую математику.
Первая часть содержит необходимый материал по 9-ти разделам курса высшей математики, которые обычно изучаются студентами на первом курсе вуза (техникума) — линейная и векторная алгебра, аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве, комплексные числа, и основы математического анализа (функции, пределы, производная, определенный и неопределенный интеграл, функции нескольких переменных).
Изложение теоретического материала по всем темам сопровождается рассмотрением большого количества примеров и задач, ведется на доступном, по возможности строгом языке.
ВЕКТОРЫ.
Величины, которые полностью определяются своим численным значением, называются скалярными. Примерами скалярных величин являются: площадь, длина, объем, температура, работа, масса.
Другие величины, например сила, скорость, ускорение, определяются не только своим числовым значением, но и направлением. Такие величины называют векторными. Векторная величина геометрически изображается с помощью вектора.
Вектор — это направленный прямолинейный отрезок, т. е. отрезок, имеющий определенную длину и определенное направление. Если А — начало вектора, а В — его конец, то вектор обозначается символом АВ или а. Вектор ВА (у него начало в точке В, а конец в точке А) называется противоположным вектору АВ. Вектор, противоположный вектору а, обозначается — а.
Настоящий курс лекций предназначен для студентов, изучающих высшую математику в том или ином объеме в различных учебных заведениях.
Книга содержит необходимый материал по всем разделам курса высшей математики (линейная и векторная алгебра, аналитическая геометрия, основы математического анализа), которые обычно изучаются студентами на первом и втором курсах вуза, а также дополнительные главы, необходимые при изучении специальных курсов (двойные, тройные, криволинейные и поверхностные интегралы, дифференциальные уравнения, элементы теории поля и теории функций комплексного переменного, основы операционного исчисления).
Доступный, но строгий с научной точки зрения язык изложения, а также большое количество примеров и задач позволят студентам освоить курс высшей математики и эффективно подготовиться к сдаче зачетов и экзаменов.
Формат: pdf ( 2011, 10-е изд., 608с.)
Размер: 13,3 Мб
Смотреть, скачать: drive.google
Формат: pdf (2009, 9-е изд., 608с.)
Размер: 12,6 Мб
Смотреть, скачать: drive.google
§ 42. Приближенное вычисление определенного интеграла 298
42.1. Формула прямоугольников 298
42.2. Формула трапеций 299
42.3. Формула парабол (Симпсона) 300
Глава IX. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
§43. Функции двух переменных 304
43.1. Основные понятия 304
43.2. Предел функции 305
43.3. Непрерывность функции двух переменных 306
43.4. Свойства функций, непрерывных в ограниченной замкнутой области 307
§ 44. Производные и дифференциалы функции нескольких переменных 308
44.1. Частные производные первого порядка и их геометрическое истолкование 308
44.2. Частные производные высших порядков 310
44.3.Дифференцируемость и полный дифференциал функции 311
44.4. Применение полного дифференциала к приближенным вычислениям 312
44.5. Дифференциалы высших порядков 313
44.6. Производная сложной функции. Полная производная .. 314
44.7. Инвариантность формы полного дифференциала 316
44.8. Дифференцирование неявной функции 317
§ 45. Касательная плоскость и нормаль к поверхности 318
§ 46. Экстремум функции двух переменных 320
46.1. Основные понятия 320
46.2. Необходимые и достаточные условия экстремума 321
46.3. Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области 323
Глава X. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
§47. Общие сведения о дифференциальных уравнениях 325
47.1. Основные понятия 325
47.2. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям 325
§48. Дифференциальные уравнения первого порядка 327
48.1. Основные понятия 327
48.2. Уравнения с разделяющимися переменными 330
48.3. Однородные дифференциальные уравнения 332
48.4. Линейные уравнения. Уравнение Я. Бернулли 334
48.5. Уравнение в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель 338
48.6. Уравнения Лагранжа и Клеро 342
§ 49. Дифференциальные уравнения высших порядков 344
49.1. Основные понятия Л- 344
49.2. Уравнения, допускающие понижение порядка 346
49.3. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков 349
49.4. Линейные однородные ДУ второго порядка 350
49.5. Линейные однородные ДУ n-го порядка 353
§ 50. Интегрирование ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами 354
50.1. Интегрирование ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами 354
50.2. Интегрирование ЛОДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами 357
§51. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения (ЛНДУ) 358
51.1. Структура общего решения ЛНДУ второго порядка 358
51.2. Метод вариации произвольных постоянных 360
51.3. Интегрирование ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида 362
51.4. Интегрирование ЛНДУ n-го порядка (п > 2) с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида 365
§ 52. Системы дифференциальных уравнений 367
52.1. Основные понятия 367
52.2. Интегрирование нормальных систем 369
52.3. Системы линейных ДУ с постоянными коэффициентами 372
Глава XI. ДВОЙНЫЕ И ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§ 53. Двойной интеграл 378
53.1. Основные понятия и определения 378
53.2. Геометрический и физический смысл двойного интеграла 379
53.3. Основные свойства двойного интеграла 381
53.4. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах 382
53-5. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах 386
53.6. Приложения двойного интеграла 388
§ 54. Тройной интеграл 391
54.1. Основные понятия 391
54.2. Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах 392
54.3. Замена переменных в тройном интеграле. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических и сферических координатах 395
54.4. Некоторые приложения тройного интеграла 398
Глава XII. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§ 55. Криволинейный интеграл I рода 402
55.1. Основные понятия 402
55.2. Вычисление криволинейного интеграла I рода 404
55.3. Некоторые приложения криволинейного интеграла I рода 405
§ 56. Криволинейный интеграл II рода 407
56.1. Основные понятия 407
56.2. Вычисление криволинейного интеграла II рода 410
56.3. Формула Остроградского-Грина 412
56.4. Условия независимости криволинейного интеграла II рода от пути интегрирования 414
56.5. Некоторые приложения криволинейного интеграла II рода 418
§ 57. Поверхностный интеграл I рода 420
57.1. Основные понятия 420
57.2. Вычисление поверхностного интеграла I рода 422
57.3. Некоторые приложения поверхностного интеграла I рода 425
§ 58. Поверхностный интеграл II рода 427
58.1. Основные понятия 427
58.2. Вычисление поверхностного интеграла II рода 429
58.3. Формула Остроградского-Гаусса 431
58.4. Формула Стокса 433
58.5. Некоторые приложения поверхностного интеграла II рода 437
Глава XIII. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
§ 59. Числовые ряды 438
59.1. Основные понятия 438
59.2. Ряд геометрической прогрессии 441
59.3. Необходимый признак сходимости числового ряда. Гармонический ряд 442
§ 60. Достаточные признаки сходимости знакопостоянных рядов 444
60.1. Признаки сравнения рядов 444
60.2. Признак Даламбера 446
60.3. Радикальный признак Коши 448
60.4. Интегральный признак Коши. Обобщенный гармонический ряд 449
§ 61. Знакочередующиеся и знакопеременные ряды 451
61.1. Знакочередующиеся ряды.' Признак Лейбница 451
61.2. Общий достаточный признак сходимости знакопеременных рядов 453
61.3. Абсолютная и условная сходимости числовых рядов. Свойства абсолютно сходящихся рядов 454
Глава XIV. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
§ 62. Функциональные ряды 457
62.1.Основные понятия 457
§ 63. Сходимость степенных рядов 458
63.1. Теорема Н. Абеля 458
63.2. Интервал и радиус сходимости степенного ряда 459
63.3. Свойства степенных рядов 462
§ 64. Разложение функций в степенные ряды 463
64.1. Ряды Тейлора и Маклорена 463
64.2. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Тейлора (Маклорена) 465
§ 65. Некоторые приложения степенных рядов 471
65.1. Приближенное вычисление значений функции 471
65.2. Приближенное вычисление определенных интегралов .. 473
65.3. Приближенное решение дифференциальных уравнений 475
Глава XV. РЯДЫ ФУРЬЕ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
§ 66. Ряды Фурье 478
66.1. Периодические функции. Периодические процессы 478
66.2. Тригонометрический ряд Фурье 480
§ 67. Разложение в ряд Фурье 27Г-периодических функций 483
67.1. Теорема Дирихле 483
67.2.Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций.. 486
67.3. Разложение в ряд Фурье функций произвольного периода 487
67.4. Представление непериодической функции рядом Фурье 489
67.5. Комплексная форма ряда Фурье 491
§ 68. Интеграл Фурье 493
Глава XVI. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ
§ 69. Основные понятия теории поля 499
§ 70. Скалярное поле 501
70.1. Поверхности и линии уровня 501
70.2. Производная по направлению - 502
70.3. Градиент скалярного поля и его свойства 504
§ 71. Векторное поле 506
71.1. Векторные линии поля 506
71.2. Поток поля 507
71.3. Дивергенция поля. Формула Остроградского-Гаусса. 510
71.4. Циркуляция поля 513
71.5. Ротор поля. Формула Стокса 515
§ 72. Оператор Гамильтона 518
72.1. Векторные дифференциальные операции первого порядка 518
72.2. Векторные дифференциальные операции второго порядка 519
§ 73. Некоторые свойства основных классов векторных полей 520
73.1. Соленоидальное поле 520
73.2. Потенциальное поле 521
73.3. Гармоническое поле 524
Глава XVII. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
§ 74. Функции комплексного переменного 525
74.1. Основные понятия 525
74.2. Предел и непрерывность функции комплексного переменного 526
74.3. Основные элементарные функции комплексного переменного 527
74.4. Дифференцирование функции комплексного переменного. Условия Эйлера-Даламбера 532
74.5. Аналитическая функция. Дифференциал 535
74.6. Геометрический смысл модуля и аргумента производной. Понятие о конформном отображении 538
§ 75. Интегрирование функции комплексного переменного 540
75.1. Определение, свойства и правила вычисления интеграла 540
75.2. Теорема Коши. Первообразная и неопределенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница 544
75.3. Интеграл Коши. Интегральная формула Коши 547
§ 76. Ряды в комплексной плоскости 551
76.1. Числовые ряды 551
76.2. Степенные ряды 553
76.3. Ряд Тейлора 555
76.4. Нули аналитической функции 558
76.5. Ряд Лорана 558
76.6. Классификация особых точек. Связь между нулем и полюсом функции 563
§ 77. Вычет функции 567
77.1. Понятие вычета и основная теорема о вычетах 567
77.2. Вычисление вычетов. Применение вычетов в вычислении интегралов 568
Глава XVIII. ЭЛЕМЕНТЫ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
§ 78. Преобразование Лапласа 572
78.1. Оригиналы и их изображения 572
78.2. Свойства преобразования Лапласа 576
78.3. Таблица оригиналов и изображений 588
§ 79. Обратное преобразование Лапласа 590
79.1. Теоремы разложения 590
79.2. Формула Римана-Меллина I 593
§ 80. Операционный метод решения линейных дифференциальных уравнений и их систем 594
Приложения 599
О том, как читать книги в форматах pdf , djvu - см. раздел " Программы; архиваторы; форматы pdf, djvu и др. "
Читайте также: