Дифференцирование сложных функций конспект

Обновлено: 04.07.2024

Пусть функция \(u=g(x)\) определена на множестве \(X\), и \(U\) — область её значений.
Пусть далее функция \(y=f(u)\) определена на множестве \(U\).
Поставим в соответствие каждому \(x\) из \(X\) число \(f(g(x))\).
Говорят, что на множестве \(X\) задана сложная функция \(y=f(g(x))\).

Если известна производная функции \(f(x)\), то производную сложной функции \(f(u)\) можно вычислить с помощью следующей формулы:

Так как x 10 ′ = 10 x 9 , то x + 2 10 ′ = ( u 10 ) ′ = 10 u 9 ⋅ u ′ = 10 x + 2 9 ⋅ 1 = 10 x + 2 9 .

( sin ( cos x ) ) ′ = ( sin u ) ′ = cos u ⋅ u ′ = = cos ( cos x ) ⋅ ( cos x ) ′ = = cos ( cos x ) ⋅ ( − sin x ) = = − cos ( cos x ) ⋅ sin x .

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

НАЧАЛЬНОГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

Методическая разработка урока математики

Дифференцирование сложной функции

Шатунова Ольга Алексеевна

Цели урока:

Развивающие: способствовать развитию вариативного и критического мышления; навыков анализа и синтеза, самооценки; продолжить развитие математической речи.

Воспитательные: способствовать укреплению коммуникативной культуры, навыков самоконтроля, взаимопомощи.

План урока:

1. Организационный момент. (1 минута)

2.Актуализация знаний. (10 минут)

3.Постановка проблемы. (3 минуты)

4. Изучение нового материала. (15 минут)

5. Первичное закрепление учебного материала. (12 минут)

6. Подведение итогов урока. Рефлексия. (2 минуты)

7. Информация о домашнем задании. (1 минута)

Используемые методы обучения:

По источникам знаний: словесные, наглядные, практические.

По степени взаимодействия преподавателя и студента:
эвристическая беседа и самостоятельная работа

По характеру познавательной деятельности студентов и участия преподавателя в учебном процессе: объяснительно-иллюстративный, частично-поисковый (эвристический).

По принципу расчленения или соединения знаний:
сравнительный, обобщающий.

Оборудование урока: таблица производных простейших функций; презентация к уроку.

Ход урока:

2. Актуализация знаний

Проверка домашнего задания (устно)

На дом заданы примеры на нахождение производной функции:

(найти ошибки в решениях)

1) y = х cos x ; у'= cos x -х sinx

2) y =x 5 +sin x ; у '=5 x 4 + cosx

3) y = х sin x; у '= sin x+xcos x

4) y =4 x 5 +tq x; у '=20 x 4 +1/ cos x

5) y =sin x-2x; у '=cos x-2x

Устная работа

3.Изучение нового материала .

На практике с производной сложной функции приходится сталкиваться очень часто, я бы даже сказала, почти всегда, когда Вам даны задания на нахождение производных.

Смотрим в таблицу на правило (№5) дифференцирования сложной функции:

Функцию я буду называть внешней функцией, а функцию – внутренней (или вложенной) функцией.

Найти производную функции

В данном примере уже из моих объяснений интуитивно понятно, что функция – это сложная функция, причем многочлен является внутренней функцией (вложением), а – внешней функцией.

Первый шаг, который нужно выполнить при нахождении производной сложной функции состоит в том, чтобы разобраться, какая функция является внутренней, а какая – внешней.

После того, как мы РАЗОБРАЛИСЬ с внутренней и внешней функциями самое время применить правило дифференцирования сложной функции .

Начинаем решать. Из прошлого урока мы помним, что оформление решения любой производной всегда начинается так – заключаем выражение в скобки и ставим справа вверху штрих:

Обратите внимание, что внутренняя функция не изменилась, её мы не трогаем .

Ну и совершенно очевидно, что

Результат применения формулы в чистовом оформлении выглядит так:

Далее мы берем производную внутренней функции, она очень простая:

Постоянный множитель обычно выносят в начало выражения:

Найти производную функции (комментирование решения преподавателем, привлекая студентов)

4. Первичное закрепление учебного материала (работа у доски; студенты комментируют решение)

5. Самостоятельная работа: на экране высвечены задания для студентов

формирование умения находить производную сложной функции.

развивать умение обобщать, систематизировать на основе сравнения, делать вывод;

развивать познавательный интерес.

- развивать познавательный интерес, способствовать пониманию необходимости интеллектуальных усилий для успешного обучения.

Оборудование: таблица производных; таблица правил дифференцирования; карточки – задания для проверочной работы; учебник Башмаков М.И. «Математика: учебник для учреждений нач. и сред.проф.образования, задачник Башмаков М.И. «Математика. Задачник: учебное пособие для образовательных учреждений нач. и сред.проф.образования.

Применяемая педагогическая технология: технология проблемного обучения, групповая.

1 Организационный момент

2 Повторение пройденного материала

3 Изучение нового материала

4 Закрепление полученных знаний 5 Самостоятельная работа

Проверка готовности группы к работе.

Постановка цели занятия

II Повторение пройденного материала

1. Вопросы для фронтального опроса:

Что называется производной функции в точке?

Какая функция называется дифференцируемой в точке?

Какие правила дифференцирования вы знаете?

Как взаимосвязаны непрерывность функции в точке и ее дифференцируемость в этой точке?

2. Устная работа Пример 1 Найти производную функции . Пример 2 Найти производную функции .

Пример 3 Постановка проблемной ситуации: найти производную функции

Мы имеем здесь логарифмическую функцию, аргументом которой служит не независимая переменная х, а функция cos x этого переменного.

Как называются такого рода функции? (Функции называются сложными или функциями от функций)

Мы умеем находить производные сложных функций? (Нет)

Тогда чему мы должны сейчас научиться? ( Нахождению производной сложных функций)

Давайте сформулируем тему нашего сегодняшнего занятия. (Производная сложной функции)

Студенты сами формулируют тему и цели урока, преподаватель записывает тему на доске, а студенты – в тетради.

III Изучение нового материала

Цель нашего занятия рассмотреть понятие сложной функции и овладеть техникой дифференцирования сложной функции, т.е. техникой применения основных формул при дифференцировании сложных функций.

Из примера видно, что сложная функция это функция от функции. Следовательно, можно дать следующее определение сложной функции:

Определение: Функция вида y = f ( g (x) )называется сложной функцией, составленной из функций f u g, или суперпозицией функций f и g.

Пример: Функция у =ln(cos x) есть сложная функция, составленная из функций

у = ln u и u = cos x .

Поэтому сложную функцию часто пишут в виде

y = f(u), где u = g(x).

Внешняя функция Промежуточная функция

При этом аргумент х называют независимой переменной, а u - промежуточным аргументом.

Производную каждой из этих функций мы можем вычислить, используя таблицу производных.

Как же вычислить производную сложной функции?

Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.

Теорема: Если функция u = g(x) дифференцируема в некоторой точке х₀, а функция y=f(u) дифференцируема в точке u₀ = g(x₀), то функция у=f(g(x)) дифференцируема в данной точке x₀.

При этом или ,

т.е. производная от у по переменной х равна производной от у по переменной и, умноженной на производную о т и по переменной х.

Чтобы найти производную сложной функции, надо ее правильно прочитать;

Чтобы правильно прочитать функцию, надо определить в ней порядок действий;

Функцию читаем в обратном порядку действий направлении;

Производную находим по ходу чтения функции.

А теперь разберем это на примере:

Пример 1: Функция у =ln( cos x) получается последовательным выполнением двух операций: взятия косинуса угла х и нахождения от этого числа натурального логарифма:

Функция читается так: логарифмическая функция от тригонометрической функции.

Продифференцируем функцию: у = ln( cos x)=ln u, u=cos x.

На практике такое дифференцирование производится гораздо короче и проще, во всяком случае, без введения записи и.

Искусство дифференцирования сложной функции заключается в умении видеть в момент дифференцирования только одну функцию (именно - дифференцируемую в данный момент), не замечая пока другие, откладывая их видение до момента дифференцирования.

Будем использовать при дифференцировании дополненную таблицу производных.

Пример 2: Найти производную функции у = (x 3 - 5х + 7) 9 .

По формуле имеем

IV. Закрепление полученных знаний/

Решите примеры самостоятельно.

1) ;

2) ;

3) ;

V. Самостоятельная работа

1 Выполнение работы в форме теста

Студенты выполняют тест и проверяют ответы с помощью ключа, представленного на доске. Ставят оценку .

Выберите правильный вариант ответа

Производная функции равна:

а) ; б) ; в) .

Производная функции равна:

- применять методы дифференциального и интегрального исчисления.

- основы дифференциального и интегрального исчисления.

Понятие производной функции

Пусть функция ƒ (x) определена в некоторой окрестности точки x₀. Производной функции ƒ (x) в точке x₀ называется отношение приращения функции ∆ƒ (x₀) к приращению аргумента ∆x при ∆x → 0, если этот предел существует, и обозначается ƒ’(x₀).

(1)

Производную функции y = ƒ (x), x є ( a;b ) в точке x обозначают ƒ’(x), y’(x), , , причём все эти обозначения равноправны. Операция нахождения производной называется дифференцированием функции. Функция, имеющая производную в точке x₀, называется дифференцируемой в этой точке. Функция, имеющая производную в каждой точке интервала (a;b), называется дифференцируемой на этом интервале; при этом производную ƒ’(x) можно рассматривать как функцию на (a ;b).

Таблица производных элементарных функций

Правила дифференцирования

На практике применяют следующие правила дифференцирования

2. ,

3. , ;

4. ,

где u и υ обозначают дифференцируемые функции переменной x, C - константа.

Дифференцирование сложной функции

Теорема. Пусть дана сложная функция , где . Если функция дифференцируема в некоторой точке х₀, а функция определена на множестве значений функции и дифференцируема в точке , то сложная функция в данной точке х₀ имеет производную, которая находится по формуле

или

Пример 1. Вычислить , если .

Пример 2. Вычислить , если

Пример 3. Вычислить , если

Читайте также: