Число е 10 класс никольский конспект урока

Обновлено: 07.07.2024

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

ЧИСЛО Е

ЧИСЛО e. Число, приближенно равное 2,718, которое часто встречается в математике и естественных науках. Например, при распаде радиоактивного вещества по истечении времени t от исходного количества вещества остается доля, равная e –kt , где k – число, характеризующее скорость распада данного вещества. Обратная величина 1/k называется средним временем жизни атома данного вещества, так как в среднем атом прежде, чем распасться, существует в течение времени 1/k. Величина 0,693/k называется периодом полураспада радиоактивного вещества, т.е. временем, за которое распадается половина исходного количества вещества; число 0,693 приближенно равно log _e2, т.е. логарифму числа 2 по основанию e. Аналогично, если бактерии в питательной среде размножаются со скоростью, пропорциональной их числу в настоящий момент, то по истечении времени t начальное количество бактерий N превращается в Ne kt . Затухание электрического тока I в простом контуре с последовательным соединением, сопротивлением R и индуктивностью L происходит по закону I = I ₀ e –kt , где k = R/L, I ₀ – сила тока в момент времени t = 0. Аналогичные формулы описывают релаксацию напряжений в вязкой жидкости и затухание магнитного поля. Число 1/k часто называют временем релаксации. В статистике величина e –kt встречается как вероятность того, что за время t не произошло событий, наступающих случайно со средней частотой k событий в единицу времени. Если S – сумма денег, вложенных под r процентов с непрерывным начислением вместо начисления через дискретные промежутки времени, то к моменту времени t первоначальная сумма возрастет до Se tr /100.

Различные комбинации степеней e встречаются в математике так часто, что имеют специальные названия. Таковы, например, гиперболические функции

График функции y = ch x называется цепной линией; такую форму имеет подвешенная за концы тяжелая нерастяжимая нить или цепь. Формулы Эйлера

где i 2 = –1, связывают число e с тригонометрией. Частный случай x = p приводит к знаменитому соотношению e i p + 1 = 0, связывающему 5 наиболее известных в математике чисел.

При вычислении значения e могут быть использованы и некоторые другие формулы (чаще всего пользуются первой из них):

Значение e с 15 десятичными знаками равно 2,718281828459045. В 1953 было вычислено значение e с 3333 десятичными знаками. Символ e для обозначения этого числа был введен в 1731 Л.Эйлером (1707–1783).

Десятичное разложение числа e непериодично (e – иррациональное число). Кроме того, e, как и p , – трансцендентное число (оно не является корнем никакого алгебраического уравнения с рациональными коэффициентами). Это доказал в 1873 Ш.Эрмит. Впервые было показано, что столь естественным образом возникающее в математике число является трансцендентным.

Цель методического занятия: познакомить учителей с современными методами и приемами использования средств ИКТ в различных видах учебной деятельности.

Тема урока: Определение числа е.

Имя урока: “Знание только тогда знание, когда оно приобретено усилиями своей мысли, а не памятью”. Л. Н Толстой.

Методические новшества, которые будут положены в основу урока.

На уроке будут показаны методы научного исследования с использованием ИКТ (использование математических экспериментов, как одной из форм получения новых знаний; экспериментальная проверка гипотез).

Вложение	Размер
Конспект урока	470 КБ
Инструкция к практической работе	28 КБ
Инструкция к практической работе со снимками экрана	241.5 КБ
Презентация к фронтальному опросу	179.5 КБ
Презентация Число е	262.5 КБ

Предварительный просмотр:

Урок по учебнику “Алгебра и начала анализа 10 - 11 ”
на тему: “Определение числа е”.

Тип урока: урок изучения нового материала.

Образовательные: дать определение числу е , функции экспонента и натуральному логарифму; получить навыки работы с программой
“Advanced Grafer”, развитие межпредметных связей.

Развивающие: совершенствование умений осознанно проводить такие приемы мышления как сравнение, обобщение и систематизация.

Воспитательные: воспитание самостоятельности и умения работать в соответствии с намеченным планом.

I. Актуализация знаний.

Мобилизующее начало урока.
Фронтальный опрос с целью повторения опорного материала и подготовки изучения нового.
Постановка проблемной задачи с целью мотивации изучения нового материала.
Постановка учебной задачи.

II. Формирование новых знаний и способов действий.

Практическая работа “Определение числа е ”.
Ввод новых определений на основании результатов практической работы.

III. Применение знаний, формирование умений и навыков.

Устная работа с целью выявления возможностей применения новых знаний.
Подведение итогов урока.
Постановка домашнего задания.

I. Актуализация знаний.

1) Мобилизующее начало урока.

После приветствия учащимся сообщается план работы на уроке:

Повторение пройденного материала.
Изучение нового материала.
Итог урока.
Домашнее задание.

2) Фронтальный опрос с целью повторения опорного материала и подготовки изучения нового.

Для фронтального опроса используется презентация “Фронтальный опрос” (см. Приложение ). Задания для фронтального опроса взяты из КИМов ЕГЭ.

Учащиеся не просто отвечают на вопросы слайдов, но и выполняют у интерактивной доски необходимые дополнительные построения, подтверждающие правильность их решения (в презентации записи учащихся на доске представлены в виде появляющейся анимации).

3) Постановка проблемной задачи с целью мотивации изучения нового материала.

Последний слайд презентации ставит перед учащимися задачу для практической работы. Учащиеся сами по слайду определяют, что им надо будет определить в ходе выполнения практической работы: “Надо найти такое значение основания показательной функции, что угловой коэффициент касательной к графику этой функции в точке 0 равен1”.

4) Постановка учебной задачи.

Учитель: Сегодня на уроке мы в ходе практической работы должны найти основание показательной функции такой, что угловой коэффициент касательной к графику этой функции в точке 0 равен1; дополнить наши знания о показательной и логарифмической функциях и их свойствах; приобрести навыки работы с программой “Advanced Grafer”, с помощью которой можно не только выполнять построение графиков функций но и проводить исследование этих графиков.

II. Формирование новых знаний и способов действий.

Практическая работа “Определение числа е ”.
Учащиеся садятся за компьютеры и им раздаются карточки с планом практической работы (см. образец карточки Приложении ). Учащиеся выполняют практическую работу одновременно с учителем. Учитель работает с программой “Advanced Grafer” на интерактивной доске, показывая учащимся, что им нужно делать на своих компьютерах.
Пример последнего снимка экрана, где число е уже определено:

Ввод новых определений на основании результатов практической работы.
Учащиеся возвращаются на свои места за партами и записывают в тетрадях новые определения.
Учитель: Используя результаты практической работы мы можем дать определение числа е : е – такое число, что угловой коэффициент касательной к графику функции в точке равен 1;
мы нашли приближенное значение числа е : ;
мы познакомились с функцией экспонента : функция называется экспонентой.
Затем учащиеся строят в тетрадях график функции , составив таблицу из трех точек, и проводят касательную в точке к этому графику.

III. Применение знаний, формирование умений и навыков.

Устная работа с целью выявления возможностей применения новых знаний.

Учитель: Число е играет очень важную роль в математическом анализе. Посмотрим презентацию “Число е ”, раскрывающую важное значение числа е не только в математике, но и в других науках, где математика применяется. (см. презентацию “Число е ” в Приложении ).
В ходе обсуждения презентации учащиеся записывают в тетрадях определение натуральных логарифмов : логарифмы по основанию е называются натуральными; формулу перехода : .

Учитель: с каким новым числом вы сегодня познакомились?
Ученик: число е.

Учитель: дайте определение числа е ?

Ученик: число е – такое число, что угловой коэффициент касательной к графику функции в точке равен 1 .

Учитель: можно ли найти точное значение числа е ?

Учитель: как можно найти приближенное значение числа е ?

Ученик: с помощью компьютера.

Учитель: назовите математические функции, в записи которых используется число е ?

Ученик: функция экспонента и функция натуральный логарифм.

Учитель: назовите те науки, где число е нашло применение.

Ученик: математика, физика, астрономия, биология.

Постановка домашнего задания.

Постройте графики функций , взяв значение
е  2,7.
Вычислите:
Найдите значение логарифмов, пользуясь таблицами В. М. Брадиса и формулой перехода :
Решите уравнение: .

Предварительный просмотр:

Практическая работа “Определение числа е”

Цель: 1) Найти приближенное значение числа е.

Получить навыки работы с программой “Advanced Grafer”.

Оборудование: компьютер, программа “Advanced Grafer”.

Постройте график показательной функции и проведите к нему касательную в точке с абсциссой . Найдите угловой коэффициент касательной k .
Постройте график показательной функции и проведите к нему касательную в точке с абсциссой . Найдите угловой коэффициент касательной k .
Постройте график функции (экспонента) и проведите к нему касательную в точке с абсциссой . Найдите угловой коэффициент касательной k .
Сделайте вывод о возможном значении основания показательной функции .
С помощью инструмента трассировка определите более точно значение основания показательной функции . Для этого найдите значение этой функции при .
Найденное значение основания показательной функции обозначают числом е , то есть .

Предварительный просмотр:

Практическая работа “Определение числа е”

Цель: 1) Найти приближенное значение числа е.

Получить навыки работы с программой “Advanced Grafer”.

Оборудование: компьютер, программа “Advanced Grafer”.

Постройте график показательной функции и проведите к нему касательную в точке с абсциссой . Найдите угловой коэффициент касательной k .

Постройте график показательной функции и проведите к нему касательную в точке с абсциссой . Найдите угловой коэффициент касательной k .

Постройте график функции (экспонента) и проведите к нему касательную в точке с абсциссой . Найдите угловой коэффициент касательной k .

Сделайте вывод о возможном значении основания показательной функции .

С помощью инструмента трассировка определите более точно значение основания показательной функции . Для этого найдите значение этой функции при .

Найденное значение основания показательной функции обозначают числом е , то есть .

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

На одном из рисунков изображен график функции

На рисунке изображен график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x 0 . Найдите значение производной в точке x 0 . 1) -2; 2) 2; 3) 8; 4) 4. Геометрический смысл производной

Найдите тангенс угла наклона касательной , проведенной к графику функции в его точке с абсциссой 1) -3; 2) -4,5; 3) 3; 4) 0.

Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции в его точке с абсциссой 1) 1; 2) 2; 3) 3; 4) 0.

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Число е. 2,7 182818284…

2,7 18281828459045235… Число е - одна из важнейших постоянных математического анализа. Играет в высшей математике огромную роль, - не меньшую, чем знаменитое число  .

Число е – иррациональное . Число е – иррациональное . Более того, как показал французский математик Э р м и т (1822 – 1901), это число не может быть корнем алгебраического уравнения с целыми коэффициентами. Такие иррациональные числа называются трансцендентными .

Число е и логарифмы. Число е целесообразно принять за основание системы логарифмов. Логарифмы по основанию е называют натуральными логарифмами .

Роль числа е в математике . Число е играет огромную роль в математике, физике, астрономии и других науках . Вот некоторые вопросы, при математическом рассмотрении которых приходится пользоваться этим числом (список можно увеличивать неограниченно):

Барометрическая формула (уменьшение давления с высотой).

Закон охлаждения тел. Радиоактивный распад и возраст Земли. Колебания маятника в воздухе. Колебательные явления в радио контуре.

Формула Циолковского для скорости ракеты.

Рост клеток и популяций животных.

Число е и Лев Толстой. Как запомнить значение числа е с 10-ю знаками: е = 2,7 1828 1828… ? Очень просто. 2,7 это легко. 1828 – год рождения Л. Н. Толстого , который мы, понимая о ком идет речь, пишем дважды.

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Интегрированный урок по теме "Число. Имя числительное".

Сейчас все понимают, что важно дать ребёнку не разрозненные знания по отдельным предметам, а, знакомя с отдельными науками, показать их взаимосвязь, дать представление об окружающем мире, где чи.

Методическая разработка интегрированного урока "Стандартный вид числа"

Методическая разработка интегрированного урока (математика + физика) Урок обобщения - повторения при подготовке к ГИА.

Презентация. Коsmo - star. Урок обобщение "Натуральные числа"

Повторение и систематизация изученного материала по теме. Закрепление и обобщение знаний при действиях с натуральными числами. Развитие интереса учащихся к математике и расширению кругозора.

Урок по теме "Числа и величины"

Урок в 5 классе. Цель: научить различать числа и величины, изображать отрезки, лучи, прямые и уметь их изображать и читать.

Урок-презентация "Степень числа"

Урок-презентация в 5 классе " Степень числа".

Открытый урок "Взаимно-обратные числа"

Открытый урок по теме "Взаимно-обратные числа" составлен в соответствии с методическими требованиями к уроку. К конспекту урока есть презентация ,содержащая эссе учащихся по высказыв.

Физкультминутки обеспечивают кратковременный отдых детей на уроке, а также способствуют переключению внимания с одного вида деятельности на другой.

Диплом и справка о публикации каждому участнику!

© 2007 - 2022 Сообщество учителей-предметников "Учительский портал"
Свидетельство о регистрации СМИ: Эл № ФС77-64383 выдано 31.12.2015 г. Роскомнадзором.
Территория распространения: Российская Федерация, зарубежные страны.
Учредитель: Никитенко Евгений Игоревич

Сайт является информационным посредником и предоставляет возможность пользователям размещать свои материалы на его страницах.
Публикуя материалы на сайте, пользователи берут на себя всю ответственность за содержание материалов и разрешение любых спорных вопросов с третьими лицами.
При этом администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта.
Если вы обнаружили, что на сайте незаконно используются материалы, сообщите администратору через форму обратной связи — материалы будут удалены.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы пользователями сайта и представлены исключительно в ознакомительных целях. Использование материалов сайта возможно только с разрешения администрации портала.

Фотографии предоставлены

Число "пи" знают все, число е - гораздо меньшее число людей. Однако, оно является не менее замечательным.

ПЕРВУШКИН БОРИС НИКОЛАЕВИЧ

Учитель Математики Высшей категории

Число впервые появилось в математике как нечто незначительное. Это случилось в 1618 г. В приложении к работе Непера (Napier) по логарифмам была дана таблица натуральных логарифмов различных чисел. Однако никто не понял, что это логарифмы по основанию , так как в понятие логарифма того времени такая вещь как основание не входила. Это сейчас мы называем логарифмом степень, в которую нужно возвести основание, чтобы получить требуемое число. Мы еще вернемся к этому позже. Таблица в приложении скорее всего была сделана Отредом (Ougthred), хотя автор ее не был указан. Через несколько лет, в 1624 г., в математической литературе снова появляется , но опять-таки завуалированно. В этом году Бриггс (Briggs) дал численное приближение десятичного логарифма , но само число в его работе не упоминается.

Следующее появление числа снова cомнительно. В 1647 г. Сен-Винсент (Saint-Vincent) вычислил площадь сектора гиперболы. Понимал ли он связь с логарифмами, остается только догадываться, но даже если понимал, то вряд ли он мог прийти к самому числу . Только к 1661 г. Гюйгенс (Huygens) понял связь между равнобочной гиперболой и логарифмами. Он доказал, что площадь под графиком равнобочной гиперболы равнобочной гиперболы на промежутке от 1 до равна 1. Это свойство делает основанием натуральных логарифмов, но это не понимали математики того времени, однако они медленно приближались к этому пониманию.

Гюйгенс сделал следующий шаг в 1661 г. Он определил кривую, которую назвал логарифмической (в нашей терминологии мы будем называть ее экспоненциальной). Это кривая вида . И снова появляется десятичный логарифм , который Гюйгенс находит с точностью до 17 десятичных цифр. Однако он возник у Гюйгенса как некая константа и не был связан с логарифмом числа (итак, снова подошли вплотную к , но само число остается неузнанным).

В дальнейших работах по логарифмам опять-таки число не появляется в явном виде. Однако изучение логарифмов продолжается. В 1668 г. Никола Меркатор (Nicolaus Mercator) опубликовал работуLogarithmotechnia, которая содержит разложение в ряд . В этой работе Меркатор впервые использует название “натуральный логарифм” для логарифма по основанию . Число явно опять не появляется, а остается неуловимым где-то в стороне.

Удивительно, что число в явном виде впервые возникает не в связи с логарифмами, а в связи с бесконечными произведениями. В 1683 г. Якоб Бернулли пытается найти

Он использует биномиальную теорему для доказательства того, что этот предел находится между 2 и 3, и это мы можем рассматривать как первое приближение числа . Хотя мы принимаем это за определение , это первый случай, когда число определяется как предел. Бернулли, конечно, не понял связи между своей работой и работами по логарифмам.

Ранее упоминалось, что логарифмы в начале их изучения никак не связывались с экспонентами. Конечно, из уравнения мы находим, что , но это гораздо более поздний способ восприятия. Здесь мы в самом деле подразумеваем под логарифмом функцию, тогда как сначала логарифм рассматривался только как число, которое помогало в вычислениях. Возможно, Якоб Бернулли первым понял, что логарифмическая функция является обратной показательной. С другой стороны, первым, кто связал логарифмы и степени, мог быть Джеймс Грегори (Games Gregory). В 1684 г. он определенно осознал связь между логарифмами и степенями, но, возможно, он был не первым.

Мы знаем, что число появилось в том виде, как сейчас, в 1690 г. Лейбниц в письме к Гюйгенсу использовал для него обозначение . Наконец у появилось обозначение (хотя оно не совпадало с современным), и это обозначение было признано.

В 1697 г. Иоганн Бернулли начинает изучение показательной функции и публикует Principia calculi exponentialum seu percurrentium. В этой работе вычисляются суммы различных экспоненциальных рядов, и получены некоторые результаты их почленным интегрированием.

Эйлер (Euler) ввел так много математических обозначений, что
неудивительно, что обозначение также принадлежит ему. Кажется смешным утверждение, что он использовал букву из-за того, что это первая буква его имени. Вероятно, это даже не потому, что взято от слова “exponential”, а просто это следующая гласная за “a”, а Эйлер уже использовал обозначение “a” в своей работе. Независимо от причины, обозначение впервые появляется в письме Эйлера Гольдбаху (Goldbach) в 1731 г. Он сделал много открытий, изучая в дальнейшем, но только в 1748 г. в Introductio in Analysin infinitorum он дал полное обоснование всем идеям, связанным с . Он показал, что

Эйлер также нашел первые 18 десятичных знаков числа :

правда, не объясняя, как он их получил. Похоже, что он вычислил это значение сам. На самом деле, если взять около 20 членов ряда (1), то получится точность, которую получил Эйлер. Среди других интересных результатов в его работе приведена связь между функциями синус и косинус и комплексной показательной функцией, которую Эйлер вывел из формулы Муавра.

Интересно, что Эйлер нашел даже разложение числа в непрерывные дроби и привел образцы такого разложения. В частности, он получил

Эйлер не привел доказательства, что эти дроби так же продолжаются, однако он знал, что если бы такое доказательство было, то оно доказывало бы иррациональность . Действительно, если бы непрерывная дробь для , продолжалась так же, как в приведенном образце, 6,10,14,18,22,26, (каждый раз прибавляем по 4), то она никогда бы не прервалась, и (а значит, и ) не могло бы быть рациональным. Очевидно, это первая попытка доказать иррациональность .

Первым, кто вычислил довольно большое число десятичных знаков числа , был Шенкс (Shanks) в 1854 г. Глейшер (Glaisher) показал, что первые 137 знаков, вычисленные Шенксом, были верными, однако далее нашел ошибку. Шенкс ее исправил, и было получено 205 десятичных знаков числа . В действительности, нужно около
120 членов разложения (1), чтобы получить 200 верных знаков числа .

В 1864 г. Бенджамен Пирс (Peirce) стоял у доски, на которой было написано

В своих лекциях он мог бы сказать своим студентам: “Джентльмены, мы не имеем ни малейшего представления, что бы это значило, но мы можем быть уверены, что это значит что-то очень важное”.

Большинство считает, что Эйлер доказал иррациональность числа . Однако это сделал Эрмит (Hermite) в 1873 г. До сих пор остается открытым вопрос, является ли число алгебраическим. Последний результат в этом направлении — это то, что по крайней мере одно из чисел и является трансцендентным.

Далее вычисляли следующие десятичные знаки числа . В 1884 г. Бурман (Boorman) вычислил 346 знаков числа , из которых первые 187 совпали со знаками Шенкса, но последующие различались. В 1887 г. Адамс (Adams) вычислил 272 цифры десятичного логарифма .

Читайте также: