Дифференциальное и интегральное исчисление конспект

Обновлено: 05.07.2024

Высшая математика: Учеб. для вузов: В 3 т. / Я. С. Бугров, С. М. Никольский; Под ред. В. А. Садовничего. — 6-е изд., стереотип. — М.: Дрофа, 2004. — (Высшее образование: Современный учебник).

Т. 2: Дифференциальное и интегральное исчисление. — 512 c.

Книга содержит: введение в анализ, дифференциальное и интегральное исчисление функций одной переменной, дифференциальное исчисление функций нескольких переменных, ряды.

Математи́ческий ана́лиз — совокупность разделов математики, посвященных исследованию функций и их обобщений методами дифференциального и интегрального исчислений. При столь общей трактовке к анализу следует отнести и функциональный анализ вместе с теорией интеграла Лебега, комплексный анализ (ТФКП), изучающий функции, заданные на комплексной плоскости, нестандартный анализ, изучающий бесконечно малые и бесконечно большие числа, а также вариационное исчисление.

В учебном процессе к анализу относят

теорию рядов (функциональных, степенных и Фурье) и многомерных интегралов .

При этом элементы функционального анализа и теории интеграла Лебега даются факультативно, а ТФКП, вариационное исчисление, теория дифференциальных уравнений читаются отдельными курсами. Строгость изложения следует образцам конца XIX века и в частности использует наивную теорию множеств.

Содержание

Исторический очерк

Предшественниками математического анализа были античный метод исчерпывания и метод неделимых. Все три направления, включая анализ, роднит общая исходная идея: разложение на бесконечно малые элементы, природа которых, впрочем, представлялась авторам идеи довольно туманно. Алгебраический подход (исчисление бесконечно малых) начинает появляться у Валлиса, Джеймса Грегори и Барроу. В полной мере новое исчисление как систему создал Ньютон, который, однако, долгое время не публиковал свои открытия. [2]

Лейбниц и его ученики

Бесконечно малая часть, на которую непрерывно увеличивается или уменьшается переменная величина, называется ее дифференциалом… Для обозначения дифференциала переменной величины, которая сама выражается одной буквой, мы будем пользоваться знаком или символом d . [5] … Бесконечно малая часть, на которую непрерывно увеличивается или уменьшается дифференциал переменной величины, называется … вторым дифференциалом. [6]

Эти определения поясняются геометрически, при этом на рис. бесконечно малые приращения изображены конечными. Рассмотрение опирается на два требования (аксиомы). Первое:

Требуется, чтобы две величины, отличающиеся друг от друга лишь на бесконечно малую величину, можно было брать [при упрощении выражений?] безразлично одну вместо другой. [7]

Отсюда получается x + dx = x , далее

dxy = (x + dx)(y + dy) − xy = xdy + ydx + dxdy = (x + dx)dy + ydx = xdy + ydx

и проч. правила дифференцирования. Второе требование гласит:

Требуется, чтобы можно было рассматривать кривую линию как совокупность бесконечного множества бесконечно малых прямых линий. [8]

Продолжение каждой такой линии называется касательной к кривой. [9] Исследуя касательную, проходящую через точку M = (x,y) , Лопиталь придает большое значение величине

$y\frac<dx> -x$
,

достигающее экстремальных значений в точках перегиба кривой, отношению же dy к dx не придается никакого особого значения.

Примечательно нахождение точек экстремума. Если при непрерывном увеличении диаметра x ордината y сначала возрастает, а затем убывает, то дифференциал dy сначала положителен по сравнению с dx , а потом отрицателен.

Но всякая непрерывно возрастающая или убывающая величина не может превратиться из положительной в отрицательную, не проходя через бесконечность или нуль… Отсюда следует, что дифференциал наибольшей и наименьшей величины должен равняться нулю или бесконечности. [10]

Вероятно, эта формулировка не безупречна, если вспомнить о первом требовании: пусть, скажем, y = x 2 , тогда в силу первого требования

2xdx + dx 2 = 2xdx ;

в нуле правая часть равна нулю, а левая нет. Видимо следовало сказать, что dy можно преобразовать в соотетствии с первым требованием так, чтобы в точке максимума dy = 0 . [11] . В примерах все само собой понятно, и лишь в теории точек перегиба Лопиталь пишет, что dy равен нулю в точке максимума, будучи разделен на dx [12] .

Далее, при помощи одних дифференциалов формулируются условия экстремума и рассмотрено большое число сложных задач, относящихся в основном к дифференциальной геометрии на плоскости. В конце книги, в гл. 10, изложено то, что теперь называют правилом Лопиталя, хотя и в не совем обычной форме. Пусть величина ординаты y кривой выражена дробью, числитель и знаменатель которой обращаются в нуль при x = a . Тогда точка кривой с x = a имеет ординату y , равную отношению дифференциала числителя к дифференциалу знаменателя, взятому при x = a .

По замыслу Лопиталя написанное им составляло первую часть Анализа, вторая же должна была содержать интегральное исчисление, то есть способ отыскания связи переменных по известной связи их дифференциалов. Первое его изложение дано Иоганном Бернулли в его Математических лекциях о методе интеграла [13] . Здесь дан способ взятия большинства элементарных интегралов и указаны методы решения многих дифференциальных уравнений первого порядка.

Эйлер

Функция переменного количества есть аналитическое выражение, составленное каким-либо образом из этой переменного количества и чисел или постоянных количеств. [16]

$\infty$

Операции в выражении допускались лишь в конечном числе, а трансцендентное проникало при помощи бесконечно большого числа [18] . В выражениях это число используется наряду с натуральными числами. Напр., считается допустимым такое выражение для экспоненты

$e^x=\left(1+\frac<x> <\infty>\right)^\infty$
,

в котором лишь поздние авторы видели предельный переход. С аналитическими выражениями производились разнообразные преобразования, позволившие Эйлеру найти представления для элементарных функций в виде рядов, бесконечных произведений и т. д. Эйлер преобразует выражения для счета так, как это делают в алгебре, не обращая внимания на возможность вычислить значение функции в точке по каждой из написанных формул.

В отличие от Лопиталя Эйлер подробно рассматривает трансцендентые функции и в особенности два наиболее изученные их классы — показательные и тригонометрические. Он обнаруживает, что все элементарные функции могут быть выражены при помощи арифметических действий и двух операций — взятия логарифма и экспоненты [19] .

Сам ход доказательства прекрасно демонстрирует технику использования бесконечно большого. Определив синус и косинус при помощи тригонометрического круга, Эйлер выводит из формул сложения следующее:

$(\cos x + \sqrt \sin x)(\cos y + \sqrt\sin y)=\cos+ \sqrt \sin,$

$2\cos nx =(\cos x + \sqrt \sin x)^n+(\cos x - \sqrt\sin x)^n$

$n=\infty$

Полагая и z = nx , он получает

$2\cos z =\left (1 + \frac z><\infty>\right)^\infty+\left (1 - \fracz><\infty>\right)^\infty=e^z>+e^z>$
,

отбрасывая бесконечно малые величины большего порядка. Используя это и аналогичное выражение, Эйлер получает и свою знаменитую формулу

$e^<\sqrt x>=\cos+\sqrt\sin$
.

$\infty$

Указав различные выражения для функций, которые теперь называют элементарными, Эйлер переходит к рассмотрению кривых на плоскости, начертанным свободным движением руки. По его мнению, не для всякой такой кривой можно отыскать единое аналитическое выражение (см. также Спор о струне). [20] В XIX веке с подачи Казорати [21] это утверждение считалось ошибочным: по теореме Вейерштрасса всякая непрерывная в современном смысле кривая может быть приближенно описана полиномами. На самом деле Эйлера это едва ли убедило, ведь нужно еще переписать предельный переход при помощи символа .

В трехтомном интегральном исчислении Эйлер трактует вводит понятие интеграла так:

Та функция, дифференциал которой = Xdx , называется его интегралом и обозначается знаком S , поставленным спереди. [22]

В целом же эта часть трактата Эйлера посвящена более общей с современной точки зрения задаче об интегрировании дифференциальных уравнений. При этом Эйлер находит ряд интегралов и дифференциальных уравнений, которые приводят к новым функциям, напр., Γ -функции, эллиптические функции и т. д. Строгое доказательство их неэлементарности было дано в 1830-х годах Якоби для эллиптических функций и Лиувиллем (см. элементарные функции).

Лагранж

Следующим крупным произведением, сыгравшим значительную роль в развитии концепции анализа, явилась Теория аналитических функций [23] Лагранжа и обширный пересказ работ Лагранжа, выполненный Лакруа [24] в несколько эклектической манере.

Желая избавиться от бесконечно малого вовсе, Лагранж обратил связь между производными и рядом Тейлора. Под аналитической функцией Лагранж понимал произвольную функцию, исследуемую методами анализа. Саму функцию он обозначил как f(x) , дав графический способ записи зависимости — ранее же Эйлер обходился одними переменными. Для применения методов анализа по мнению Лагранжа необходимо, чтобы функция разлагалась в ряд

$f(x+h)=f(x)+ph+qh^2+\dots$

коэффициенты которого будут новыми функциями x . Остается назвать p производной (дифференциальным коэффициентом) и обозначить его как f'(x) . Таким образом, понятие производной вводится на второй странице трактата и без помощи бесконечно малых. Остается заметить, что

поэтому коэффициент q является удвоенной производной производной f(x) , то есть

$q=\frac<1> f$
и т. д. [25]

Такой подход к трактовке понятия производной используется в современной алгебре и послужил основой для создания теории аналитических функций Вейерштрасса.

Лагранж оперировал такими рядами как формальными и получил ряд замечательных теорем. В частности, впервые и вполне строго доказал разрешимость начальной задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений в формальных степенных рядах. [26]

Вопрос об оценке точности приближений, доставляемых частными суммами ряда Тейлора, впервые был поставлен именно Лагранжем: в конце Теории аналитических функций он вывел то, что теперь называют формулой Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. [27] Однако, в противоположность современным авторам, Лагранж не видел нужды в употреблении этого результата для обоснования сходимости ряда Тейлора.

Вопрос о том, действительно ли функции, употребимые в анализе, могут быть разложены в степенной ряд, в последствие стал предметом дискуссии. Конечно, Лагранжу было известно, что в некоторых точках элементарные функции могут не разлагаться в степенной ряд, однако в этих точка они и недифференцируемы ни в каком смысле. Коши в своём Алгебраическом анализе привел в качестве контрпримера функцию

$x\not=0$

доопределённую нулем в нуле. Эта функция всюду гладкая на вещественной оси и в нуле имеет нулевой ряд Маклорена, который, следовательно, не сходится к значению f(x) . Против этого примера Пуассон возразил, что Лагранж определял функцию как единое аналитическое выражение, в примере Коши же функция задана по разному в нуле, и при . Лишь в конце XIX века Прингсхейм [28] доказал, что существует бесконечно дифференцируемая функция, заданная единым выражением, ряд Маклорена для которой расходится. Пример такой функцией доставляет выражение

$\Psi(x)=\sum \limits_<k=0> ^\infty \frac>$
.

Дальнейшее развитие

В XIX веке Коши первым дал анализу твердое логическое обоснование, введя понятие последовательности, он же открыл новую страницу комплексного анализа. Пуассон, Лиувилль, Фурье и другие изучали дифференциальные уравнения в частных производных и гармонический анализ.

Урок — главная составная часть учебного процесса. Учебная деятельность преподавателя и студентов в значительной мере сосредотачивается на уроке. Вот почему качество подготовки студентов по той и иной дисциплине во многом определяется уровнем проведения урока, его содержательной и методической наполненностью, его атмосферой.

Современный урок — это такой урок, на котором студент из пассивного слушателя превращается в активного участника процесса.

Для этого нужна постоянная работа преподавателя, который находиться в поиске нового и достаточная материальная база для проведения и организации практической деятельности.

XXI век — век высоких компьютерных технологий. Что нужно современному молодому человеку для того, чтобы чувствовать себя комфортно в новых социально-экономических условиях жизни? Совершенно очевидно, что используя только традиционные методы обучения, решить эту проблему не возможно. Поэтому уже в настоящее время возникла необходимость организации процесса обучения на основе современных информационно-коммуникативных технологий, где в качестве источника информации все шире используется электронное средство. В этом могут помочь новые педагогические и, разумеется информационные технологии. Отделить одно от другого не возможно, по сколько только широкое внедрение новых педагогических технологий, позволит изменить саму парадигму образования, и только новые информационные технологии позволят наиболее эффективно реализовать возможности, заложенные в новых педагогических технологиях. Использованные информационно-коммуникативных технологий должно стать обычным и привычным в деятельности каждого преподавателя и неотъемлемой, органичной частью любого урока.

Современный урок, благодаря своему разнообразию, гибкости, динамичности способен решать любые задачи, выдвигаемые обществом — всесторонне развивать личность студента.

По своим целям и дидактической структуре урок очень подвижная и гибкая форма организация занятий, он находится в постоянном развитии и виды изменяется в зависимости от внешних и внутренних условий. Поэтому в современный урок необходимо закладывать возможность постоянного расширения и обновления его системы задач и средств их достижения.

Современный урок — это веселый, познавательный, интересный, нетрудный урок, на котором преподаватель и студент свободно общаются.

Современный урок — это урок на котором выслушивают любое твое мнение, урок где человек учиться быть человеком.

Современный урок — это урок без стрессов.

Преподавателем для проведения урока составлены примеры, упражнения, по элементам занятия, также составлены тесты и вопросы веселой викторины. Подготовка к такому занятию вызвало у студентов искренний интерес, подлинную увлеченность и формировало их творческое сознание. При подготовке занятию студенты повторили и усвоили теоретические вопросы и практические задания по теме занятия. Занятие проходило в виде математической игры. В организационном моменте преподаватель отметил, что сегодняшнее занятие будет познавательным, интересным, веселым, нетрудным, на котором мы можем свободно общаться.

Для эффективного проведения такого занятия студент должен

символику и определение производной, второй производной, неопределенного интеграла, определенного интеграла;
табличные значения производных, интегралов;
свойства неопределенного и определенного интегралов;
правила дифференцирования функций;
методы интегрирования (непосредственного интегрирования, введения новой переменной).

находить производную сложной функции;
находить вторую производную;
дифференцировать элементарные функции;
вычислять неопределенные интегралы различными методами;
вычислять определенные интегралы методом подстановки и с помощью таблицы;
указывать формулы для нахождения производных по таблице;
указывать формулы для нахождения интегралов по таблице.

Для того чтобы занятие проходило на высоком уровне надо чтобы преподаватель в ходе подготовки к занятию постарался сделать его своеобразным произведением со своим замыслом, завязкой и развязкой подобно любому произведению искусства.

Место проведения: кабинет математики.

Продолжительность занятия: 90 мин.

Преподаватель: Мухаметшина Людмила Тагировна.

развитие познавательного интереса, мыслительной деятельности и творческих способностей студентов.

воспитание культуры общения, самостоятельности, активности, инициативы студентов.

показать методические особенности математической игры, использование информационных технологий, компьютерных и мультимедийных средств обучения.

Тип занятия: урок совершенствования знаний, умений и навыков.

Вид занятия: математическая игра.

Методы и методические приемы:

коммуникативный, информационный, эмоционально- деятельный, наглядный, объяснительно - иллюстративный.

Межпредметные связи: литература, история, экономика организации.

Оборудование и учебно- методическое обеспечение: ПК, мультимедийный проектор, раздаточный дидактический материал, презентация по теме урока.

Читайте также: