Цилиндр конус шар конспект

Обновлено: 04.07.2024

Образовательные: ввести понятия цилиндра, конуса и шара, познакомить учащихся с формулами нахождения площадей тел вращения, сформировать умения применять формулы (полученные знания) при решении задач на цилиндр, конус и шар;

Воспитательные: воспитание внимательности у учащихся.

Развивающие: развитие пространственного воображения, логического мышления, культуры устной математической речи.

Организационный момент;
Объяснение нового материала;
Закрепление нового материала;
Постановка домашнего задания и подведение итогов урока.

Оборудование: Компьютер, проектор, экран.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Объяснение нового материала.

- Сегодня на уроке мы познакомимся с новыми для вас понятиями: понятием цилиндра, конуса и сферы, площадями боковых поверхностей данных тел и рассмотрим сечения цилиндра и конуса различными плоскостями, а также взаимное расположение сферы и плоскости.

1. Начнем мы с понятия цилиндра.

Рассмотрим две параллельные плоскости и и окружность L с центром в точке O радиуса r, расположенную в плоскости (слайд 2). Через каждую точку окружности L проведем прямую, перпендикулярную к плоскости .

Отрезки этих прямых, заключенные между плоскостям и , образуют цилиндрическую поверхность. Сами отрезки называются образующими цилиндрической поверхности.

Тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя кругами с границами L и L₁, называется цилиндром (слайд 2).

Цилиндрическая поверхность называется боковой поверхностью цилиндра, а круги – основаниями цилиндра.

Образующие цилиндрической поверхности называются образующими цилиндра, прямая OO₁ – осью цилиндра.

Все образующие цилиндра параллельны и равны друг другу. Почему? (как отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями).

Длина образующей называется высотой цилиндра, а радиус основания – радиусом цилиндра.

Ребята, давайте изобразим в своих тетрадях цилиндр и запишем его определение.

Цилиндр может быть получен вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон (слайд 2).

Слайд 3. Ребята, посмотрите, пожалуйста, на рисунок. Слева у нас изображен цилиндр, а справа- развертка боковой поверхности цилиндра. Оказывается, что за площадь боковой поверхности цилиндра принимается площадь ее развертки, т.е. площадь боковой поверхности цилиндра радиуса r и высоты h равна произведению длины окружности на высоту цилиндра. Запишем это себе в тетрадь: . Как вы думаете, чему равна площадь полной поверхности цилиндра? ().

2. Понятие конуса.

Рассмотрим окружность L с центром O и прямую OP, перпендикулярную к плоскости этой окружности (слайд 4).Изображаем у себя в тетрадях. Каждую точку окружности соединим отрезком с точкой P. Делаем все вместе со мной. Поверхность, образованная этими отрезками, называется конической поверхностью, а сами отрезки – образующими конической поверхности.

Тело, ограниченное конической поверхностью и кругом с границей L, называется конусом (слайд 4). Записываем себе определение конуса под диктовку.

Коническая поверхность называется боковой поверхностью конуса, а круг – основанием конуса. Точка P называется вершиной конуса, а образующие конической поверхности – образующими конуса. Отрезок OP конуса называется высотой конуса.

Конус может быть получен вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов (слайд 4).

Теперь давайте найдем площадь полной поверхности конуса. Какие будут предложения? (площадь полной поверхности конуса равна сумме площадей боковой поверхности и основания) Чему равна площадь основания конуса? () А площадь боковой поверхности конуса равна произведению половины длины окружности основания на образующую, т.е. (пояснить). Тогда получаем, что .

Об усеченном конусе вы прочтете дома (стр.125) и сделаете конспект данного пункта.

3. Понятие сфера и шар.

- Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки (слайд 6).

Данная точка называется центром сферы, а данное расстояние – радиусом сферы. Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящей через ее центр, называется диаметром сферы.

Сфера может быть получена вращением полуокружности вокруг ее диаметра (слайд 6).

Тело, ограниченное сферой, называется шаром. Центр, радиус и диаметр сферы называются также центром, радиусом и сферой шара.

А теперь, ребята, давайте выведем уравнение сферы радиуса R с центром в точке C(x₀, y₀, z₀). Изображаем в тетрадях рисунок такой же как у меня (слайд 7).

Расстояние от произвольной точки M (x, y, z) до точки C вычисляется по формуле . Если точка M лежит на данной сфере, то или , т.е. координаты точки M удовлетворяют уравнению .

Если же точка M (x, y, z) не лежит на данной сфере, то , т.е. координаты точки M не удовлетворяют уравнению. Следовательно, в прямоугольной системе координат уравнение сферы радиуса R с центром в точке C(x₀, y₀, z₀) имеет вид . Запишем это себе в тетрадь. У кого есть вопросы?

- Рассмотрим сечения цилиндра различными плоскостями. Если секущая плоскость проходит через ось цилиндра, то сечение представляет собой прямоугольник, две стороны которого – образующие, а две другие – диаметры оснований цилиндра (слайд 8). Такое сечение называется осевым.

Если секущая плоскость перпендикулярна к оси цилиндра, то сечение является кругом (слайд 8). Изображаем у себя в тетрадях.

- Рассмотрим сечения конуса различными плоскостями. Если секущая плоскость проходит через ось конуса, то сечение представляет собой равнобедренный треугольник (почему?), основание которого – диаметр основания конуса, а боковые стороны – образующие конуса. Такое сечение называется осевым.

Если секущая плоскость перпендикулярна к оси конуса, то сечение представляет собой круг, расположенным на оси конуса. Изображаем у себя в тетрадях сечения конуса. Давайте сверим рисунки, посмотрите на экран (слайд 8).

- О взаимном расположении сферы и плоскости вы узнаете самостоятельно, сейчас поговорим о касательной плоскости к сфере.

Записываем определение: плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной плоскостью к сфере, а их общая точка называется точкой касания плоскости и сферы (слайд 10).

- Касательная плоскость к сфере обладает следующим свойством:

Теорема. Радиус сферы, проведенный в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен к касательной плоскости.

Вернемся к нашему рисунку. Докажем, что радиус перпендикулярен к плоскости .

Предположим, что это не так. Тогда радиус является наклонной к плоскости , и, следовательно, расстояние от центра сферы до плоскости меньше радиуса сферы. Поэтому сфера и плоскость пересекаются по окружности. Но это противоречит тому, что плоскость – касательная, т.е. сфера и плоскость имеют только одну общую точку. Полученное противоречие доказывает, что радиус перпендикулярен к плоскости . Теорема доказана.

Верна и обратная теорема. Давайте сформулируем ее вместе (если радиус сферы перпендикулярен к плоскости, проходящей через его конец, лежащий на сфере, то эта плоскость является касательной к сфере)

Формула для вычисления площади сферы: .

III. Закрепление нового материала.

Задача 539. Сколько понадобится краски, чтобы покрасить бак цилиндрической формы с диаметром основания 1,5 м и высотой 3 м, если на один квадратный метр расходуется 200 г краски?

Вопросы учителя	Ответы учащихся
Что нужно найти?	Сколько понадобится краски, чтобы покрасить бак цилиндрической формы с диаметром основания 1,5 м и высотой 3 м, если на один квадратный метр расходуется 200 г краски?
Как будем находить?	Давайте сначала найдем площадь поверхности цилиндра.
Сразу условимся, что бак будет с крышкой. Тогда будем находить площадь полной поверхности цилиндра или боковой поверхности цилиндра?	Площадь полной поверхности цилиндра.
А что потом?	Полученную площадь умножим на 200 г.
Запишем ответ

Сейчас проверим, как вы усвоили материал. (В зависимости от условий проведения урока тест может быть представлен учащимся в электронном варианте или в печатном.)

IV. Постановка домашнего задания и подведение итогов урока.

Домашнее задание: учебник глава VI (выучить основные определения, теоремы), задача 541

Итоги: на данном занятии мы познакомились с такими понятиями как цилиндр, конус, шар и сферы (показать слайды 2, 4 и 6).

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Конспект урока по математике в 6 классе

автор учебника: Мерзляк А.Г.

Учитель: Аверенков И. Н.

Цель изучения:

1. Познакомить учащихся с геометрическими телами - шаром, конусом, цилиндром и их элементами.

2. Научить различать в окружающем мире предметы, имеющие форму изучаемых фигур.

Прогнозируемый результат:

1. Уметь оперировать понятиями: шар, конус, цилиндр, многогранник, тело вращения, поверхность тела, сечение.

2. Уметь распознавать изученные геометрические фигуры.

3. Уметь приводить примеры предметов, имеющих форму изученных тел вращения.

4. Уметь рассказывать о шаре, конусе, цилиндре по плану.

1. Организационный момент.

2. Актуализация знаний.

3. Изучение цилиндра.

4. Изучение конуса.

5. Изучение шара.

6. Многогранники и тела вращения.

7. Решение задач.

8. Подведение итога урока.

9. Домашнее задание.

Оборудование:

2. Рисунки к устным задачам.

3. Макеты цилиндра, конуса, шара.

4. Бумажные модели тел вращения

На сегодняшнем уроке вы познакомитесь с тремя новыми геометрическими фигурами. Чтобы лучше понять изучаемый материал будьте внимательными, активными и сообразительными.

Тема урока состоит из трёх слов, которые зашифрованы с помощью ребусов. Разгадайте их и вы узнаете какие геометрические фигуры мы будем изучать сегодня.

Прежде чем начнем знакомиться с новыми геометрическими фигурами, ответьте на несколько вопросов.

- Хочу заметить, что на уроках математики не имеет значения цвет предмета и материал, из которого он изготовлен. Важна форма и размеры изучаемой фигуры.

- По одной из предложенных вами классификаций лишним является прямоугольный параллелепипед, так как он является пространственной фигурой, а остальные фигуры - плоские.

- Какие ещё пространственные фигуры мы еще знаем? (Куб, параллелепипед, пирамида)

- Какие объекты дают представление о прямоугольном параллелепипеде?

(Кирпич, спичечный коробок, пакет сок)

-Какие объекты дают представление о кубе?

(Детский кубик, кубик Рубика)

- Итак, все ранее изученные пространственные фигуры мы вспомнили, приступим к изучению новых фигур, которые будем изучать по плану, записанному на доске.

План изучения фигуры:

1. Происхождение названия фигуры.

Начнём с цилиндра.

На рубеже XVIII - XIX веков мужчины многих стран носили твёрдые шляпы с небольшими полями, которые так и назывались цилиндрами из-за большого сходства с геометрической фигурой цилиндром.

-Какие ещё предметы имеют цилиндрическую форму?

- Внимательно посмотрите на цилиндр (демонстрируется модель). Цилиндр, как мы видим, пространственная или объёмная фигура. Поверхность цилиндра состоит из двух оснований и боковой поверхности.

-Что из себя представляют основания цилиндра?

-Что из себя представляет боковая поверхность? (Затрудняются ответить)

-Возьмём бумажный цилиндр, разрежем его следующим образом (показываю) и развернём.

-Так что же представляет из себя боковая поверхность? (Прямоугольник)

-Что ещё нужно знать о цилиндре?

- Высота цилиндра - это расстояние между основаниями, радиус цилиндра - радиус круга, являющегося основанием цилиндра.

-А сейчас представьте, что у каждого из вас в руках деревянный цилиндр и топорик, с помощью которого вы легко можете рассечь или расколоть цилиндр.

(показываю на модели). Он распадётся на две половинки.

-Форму какой геометрической фигуры имеет срез или по-научному говорят сечение цилиндра? (Прямоугольник)

-Какая геометрическая фигура получится на срезе или говорят в сечении цилиндра? (Круг)

-Итак, какие геометрические фигуры могут быть в сечении цилиндра?

(Прямоугольник, круг, эллипс)

Все пункты плана разобраны, вы уже достаточно много знаете о цилиндре.

Переходим к рассмотрению конуса.

Конус, как и цилиндр, является пространственной фигурой. Поверхность конуса состоит из круга, который называется основанием конуса и боковой поверхности.

-Что же из себя представляет боковая поверхность? (Затрудняются ответить)

-Трудно мысленно представить боковую поверхность конуса, поэтому, как и в случае с цилиндром, возьмём бумажный конус, разрежем его следующим образом (показываю) и развернём.

-Что является развёрткой боковой поверхности конуса? Что это такое?

Частью какой геометрической фигуры является эта фигура? (Часть круга)

-Конус, в отличие от цилиндра, имеет вершину (показываю вершину, высоту и радиус основания).

-Подумайте и скажите, какие предметы имеют форму конуса? (Воронка, мороженое-рожок)

-А сейчас снова представим, что мы рассекаем деревянный конус.

-Формы каких геометрических фигур могут иметь сечения конуса?

(Треугольника, круга, эллипса)

-Оказывается, сечения конуса могут иметь формы других геометрических фигур, названия которых мы даже ещё не знаем, их будем изучать в старших классах, и поэтому о них пока говорить не будем.

-Снова все пункты плана нами рассмотрены.

И, наконец, переходим к изучению шара.

-Шар - это наиболее знакомая вам геометрическая фигура. Мяч (показываю)

- пример предмета шарообразной формы.

-Какие ещё предметы имеют форму шара? Ребята, кому я сейчас брошу этот мяч, нужно привести свой пример предмета, имеющего форму шара.

-Расскажите, что вы знаете о шаре?

-Оказывается, что шар очень знакомая, но совершенно не изученная фигура.

-Чтобы побольше узнать о шаре, откройте учебник на странице 137 и самостоятельно прочитайте пункт 25.

-Вижу, что все уже успели прочитать пункт 25.

-Причём он (она) расскажет больше, чем написано в учебнике, поэтому слушайте внимательно!

-Шар - это пространственная фигура. Поверхность шара называют сферой

-Мяч, глобус - это сферы, а вот арбуз, апельсин, Солнце, Луна, Земля и остальные планеты имеют форму немного сплющенного шара (показываю рисунок).

Сфера обладает очень интересным свойством - все её точки одинаково удалены от центра шара.

Отрезок, соединяющий любую точку сферы с центром шара, называется радиусом шара. На рисунке отрезки ОА, ОВ, ОD и ОС являются радиусами (показывает по рисунку).

Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через центр шара, называется диаметром шара. На рисунке отрезок СD является диаметром шара. Диаметр шара равен двум радиусам.

Любое сечение шара имеет вид круга. Если рассекать шар ближе к центру, то круги будут больше, если дальше от центра, то радиусы кругов будут меньше.

Итак, мы познакомились с тремя пространственными геометрическими фигурами - шаром, цилиндром и конусом. Вы должны знать, что пространственные геометрические фигуры ещё по- другому называют геометрическими телами. Оказывается, все геометрические тела математики раздели на две группы: многогранники и тела вращения.

- Внимательно посмотрите на геометрические тела (показываю модели) и попробуйте догадаться, какое геометрическое тело относится к какой группе.

- Как называется фигура и к какой группе её отнесём?

Действительно, шар, цилиндр, конус- тела вращения, а куб, параллелепипед, пирамида - многогранники.

- Почему куб, параллелепипед, пирамиду вы отнесли к многогранникам? (Много граней) Логично!

- А вот почему шар, цилиндр, конус назвали телами вращения?

Задача № 2. На рисунке изображены различные геометрические тела.

Какие из них являются многогранниками?

Итак, все задачи решены. А сейчас скажите:

- Чем мы сегодня занимались на уроке? (Изучали тела вращения: конус, шар, цилиндр)

На какие две группы делятся все геометрические тела? (Многогранники, тела вращения)

- При вращении какой плоской фигуры образуется цилиндр? (Прямоугольника)

- Приведите примеры тел предметов имеющих форму: 1)цилиндра, 2)конуса, 3)шара

- Какие фигуры могут быть в сечении конуса? (Треугольник, круг, эллипс)

рассказ по плану I ряду - о цилиндре,

II ряду- о конусе, III ряду - о шаре;

на альбомном листе нарисовать предметы, имеющие форму вновь изученных геометрических фигур.

Прежде чем начнем знакомиться с новыми геометрическими фигурами, ответьте на несколько вопросов.

- По одной из предложенных вами классификаций лишним является прямоугольный параллелепипед, так как он является пространственной фигурой, а остальные фигуры − плоские.

- Какие ещё пространственные фигуры мы еще знаем? (Куб, параллелепипед, пирамида)

- Какие объекты дают представление о прямоугольном параллелепипеде?

(Кирпич, спичечный коробок, пакет сок)

-Какие объекты дают представление о кубе?

( Детский кубик, кубик Рубика)

План изучения фигуры:

Происхождение названия фигуры.
Примеры.
Поверхность.
Сечения.

Начнём с цилиндра.

На рубеже XVIII − XIX веков мужчины многих стран носили твёрдые шляпы с небольшими полями, которые так и назывались цилиндрами из-за большого сходства с геометрической фигурой цилиндром.

-Какие ещё предметы имеют цилиндрическую форму?

-Что из себя представляют основания цилиндра?

-Что из себя представляет боковая поверхность? (ребята дают свои ответы)

-Возьмём бумажный цилиндр, разрежем его следующим образом (показываю) и развернём.

- Так что же представляет из себя боковая поверхность? ( Прямоугольник )

- Что ещё нужно знать о цилиндре?

- Высота цилиндра – это расстояние между основаниями, радиус цилиндра – радиус круга, являющегося основанием цилиндра.

-А сейчас представьте, что у каждого из вас в руках деревянный цилиндр(показываю на деревянном макете) и топорик, с помощью которого вы легко можете рассечь или расколоть цилиндр( развитие пространственного воображения ).

( показываю на модели ). Он распадётся на две половинки.

-Форму какой геометрической фигуры имеет срез или по научному говорят сечение цилиндра? ( Прямоугольник)

-Какая геометрическая фигура получится на срезе или говорят в сечении цилиндра? (Круг)

-Итак, какие геометрические фигуры могут быть в сечении цилиндра?

(Прямоугольник, круг, эллипс)

Все пункты плана разобраны, вы уже достаточно много знаете о цилиндре.

Переходим к рассмотрению конуса.

-Что же из себя представляет боковая поверхность? (ребята дают свои ответы)

-Что является развёрткой боковой поверхности конуса? Что это такое?

Частью какой геометрической фигуры является эта фигура? (Часть круга)

-Конус, в отличие от цилиндра, имеет вершину (показываю вершину, высоту и радиус основания).

-Подумайте и скажите, какие предметы имеют форму конуса? ( Воронка, мороженое-рожок)

-А сейчас снова представим, что мы рассекаем деревянный конус.

-Формы каких геометрических фигур могут иметь сечения конуса?

( Треугольника, круга, эллипса)

-Оказывается, сечения конуса могут иметь формы других геометрических фигур, ( ответы ребят круг, треугольник. эллипс ) названия которых мы даже ещё не знаем, их мы будем изучать в старших классах.

-Снова все пункты плана нами рассмотрены.

И, наконец, переходим к изучению шара.

-Шар – это наиболее знакомая вам геометрическая фигура. Мяч (показываю)

– пример предмета шарообразной формы.

-Расскажите, что вы знаете о шаре?

-Оказывается, что шар очень знакомая, но совершенно не изученная фигура.

-Чтобы побольше узнать о шаре, откройте учебник на странице 137 и самостоятельно прочитайте пункт 25.

-Вижу, что все уже успели прочитать пункт 25.

-Причём он (она) расскажет больше, чем написано в учебнике, поэтому слушайте внимательно!

-Шар – это пространственная фигура. Поверхность шара называют сферой

-Мяч, глобус – это сферы, а вот арбуз, апельсин, Солнце, Луна, Земля и остальные планеты имеют форму немного сплющенного шара (показываю рисунок).

Сфера обладает очень интересным свойством – все её точки одинаково удалены от центра шара.

Любое сечение шара имеет вид круга. Если рассекать шар ближе к цен- тру, то круги будут больше, если дальше от центра, то радиусы кругов будут меньше.

Итак, мы познакомились с тремя пространственными геометрическими фигурами – шаром, цилиндром и конусом. Вы должны знать, что пространственные геометрические фигуры ещё по- другому называют геометрическими телами. Оказывается, все геометрические тела математики раздели на две группы: многогранники и тела вращения.

- Как называется фигура и к какой группе её отнесём?

Действительно, шар, цилиндр, конус– тела вращения, а куб, параллелепипед, пирамида - многогранники.

- Почему куб, параллелепипед, пирамиду вы отнесли к многогранникам? (Много граней) Логично!

- А вот почему шар, цилиндр, конус назвали телами вращения?

Групповая работа "построение тел вращения на готовых чертежах"

Задача № 2 . На рисунке изображены различные геометрические тела.

Какие из них являются многогранниками?

Итак, все задачи решены… А сейчас скажите:

- Чем мы сегодня занимались на уроке? ( Изучали тела вращения: конус, шар, цилиндр)

На какие две группы делятся все геометрические тела? ( Многогранники, тела вращения)

- При вращении какой плоской фигуры образуется цилиндр? (Прямоугольника)

- Приведите примеры тел предметов имеющих форму: 1)цилиндра, 2)конуса, 3)шара

- Какие фигуры могут быть в сечении конуса? (Треугольник, круг, эллипс)

рассказ по плану I ряду – о цилиндре,

II ряду- о конусе, III ряду – о шаре;

на альбомном листе нарисовать предметы, имеющие форму вновь изученных геометрических фигур.

Цилиндр – тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя кругами с границами $М$ и $М_1$. Цилиндрическая поверхность называется боковой поверхностью цилиндра, а круги – основаниями цилиндра.

Образующие цилиндрической поверхности называются образующими цилиндра, на рисунке образующая $L$.

Цилиндр называется прямым, если его образующие перпендикулярны основаниям. Осевое сечение цилиндра - это прямоугольник, у которого одна сторона равна диаметру основания, а вторая – высоте цилиндра.

Основные понятия и свойства цилиндра:

Основания цилиндра равны и лежат в параллельных плоскостях.
Все образующие цилиндра параллельны и равны.
Радиусом цилиндра называется радиус его основания ($R$).
Высотой цилиндра называется расстояние между плоскостями оснований (в прямом цилиндре высота равна образующей).
Осью цилиндра называется отрезок, соединяющий центры оснований ($ОО_1$).
Если радиус или диаметр цилиндра увеличить в n раз, то объем цилиндра увеличится в $n^2$ раз.
Если высоту цилиндра увеличить в m раз, то объем цилиндра увеличится в то же количество раз.
Если призму вписать в цилиндр, то ее основаниями будут являться равные многоугольники, вписанные в основание цилиндра, а боковые ребра - образующими цилиндра.
Если цилиндр вписан в призму, то ее основания - равные многоугольники, описанные около оснований цилиндра. Плоскости граней призмы касаются боковой поверхности цилиндра.
Если в цилиндр вписана сфера, то радиус сферы равен радиусу цилиндра и равен половине высоты цилиндра.

Площадь поверхности и объем цилиндра.

Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности основания на высоту.

Площадь поверхности цилиндра равна сумме двух площадей оснований и площади боковой поверхности.

Объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту.

Объем части цилиндра, в основании которого лежит сектор: $V=/$, где $n°$ - это градусная мера центрального угла, отсекающего заданный сектор.

Цилиндр описан около шара. Объём цилиндра равен $30$. Найдите объём шара.

Если в цилиндр вписан шар, то радиус цилиндра равен радиусу шара, а высота цилиндра в два раза больше радиуса шара.

Распишем формулы объема цилиндра и шара.

Далее надо сравнить во сколько раз объем цилиндра больше объема шара, для этого разделим объемы друг на друга.

Объем цилиндра больше объема шара в $1.5$ раза, следовательно, чтобы найти объем шара, надо объем цилиндра разделить на $1.5$.

Конусом (круговым конусом) называется тело, которое состоит из круга, точки, не лежащей в плоскости этого круга, и всех отрезков, соединяющих заданную точку с точками круга.

Отрезки, соединяющие вершину конуса с точками окружности основания, называются образующими и обозначаются (l).

Высотой конуса называется перпендикуляр, опущенный из его вершины на плоскость основания. Ось прямого конуса и его высота равны.

$SО$ - высота и ось конуса.

Все образующие конуса равны.
Осевым сечением конуса является равнобедренный треугольник, основание которого равно двум радиусам, а боковые стороны равны образующим конуса.
Если боковая поверхность конуса – полукруг, то осевым сечением является равносторонний треугольник, угол при вершине равен $60°$.
Если радиус или диаметр конуса увеличить в n раз, то его объем увеличится в $n^2$ раз.
Если высоту конуса увеличить в m раз, то объем конуса увеличится в то же количество раз.

Площадь поверхности и объем конуса.

Площадь боковой поверхности конуса равна произведению половины длины окружности основания на образующую.

Площадь поверхности конуса равна сумме площади основания и площади боковой поверхности.

Объем конуса равен трети произведения площади основания на высоту.

Объем части конуса, в основании которого лежит сектор: $V=/$, где $n°$ - это градусная мера центрального угла, отсекающего заданный сектор.

Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии ($R$) от данной точки (центра сферы $О$).

Тело, ограниченное сферой, называется шаром.

Осевое сечение шара это круг, радиус которого равен радиусу шара. Осевым сечением является самый большой круг шара.

Площадь поверхности сферы: $S_=4π·R^2=π·d^2$, где $R$ - радиус сферы, $d$ - диаметр сферы

Объем шара: $V=/=/$, где $R$ - радиус шара, $d$ - диаметр шара.

Если радиус или диаметр шара увеличить в n раз, то площадь поверхности увеличится в $n^2$ раз, а объем в $n^3$ раз.

Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:

В прямоугольном треугольнике $АВС$, с прямым углом $С$:

Для острого угла $В: АС$ - противолежащий катет; $ВС$ - прилежащий катет.

Для острого угла $А: ВС$ - противолежащий катет; $АС$ - прилежащий катет.

Читайте также: