Законы кирхгофа в операторной форме кратко
Обновлено: 30.06.2024
Рассмотрим последовательный контур, содержащий элементы r, L и С, на который воздействует э. д. с. e(t) при ненулевых начальных условиях (рис. 18.1).
На основании второго закона Кирхгофа для мгновенных значений для рассматриваемой цепи можно записать следующее интегро-дифференциальное уравнение:
Нижний предел у интеграла, стоящего в левой части этого уравнения, равный — , взят для того, чтобы учесть, что до момента подключения к цепи источника э.д.с. e(t) конденсатор был заряжен. Этот интеграл можно представить в виде
где UC(0) —начальное напряжение на емкости.
С учетом этого уравнение для рассматриваемой цепи будет иметь вид
Рассматривая заданную э. д. с. e(t) и искомый ток i(t) в качестве оригиналов, положим, что им соответствуют изображения Е(р) и I(p), т. е.
Так как Uc(0) —величина постоянная, то
На основании свойства линейности преобразования Лапласа и теорем дифференцирования и интегрирования уравнению (18.16) соответствует следующее операторное уравнение для изображений:
Это уравнение является выражением второго закона Кирхгофа в операторной форме для рассматриваемой цепи при ненулевых начальных условиях. Его можно представить в виде
где - приведенная операторная э.д. с.;
Приведенная операторная э.д.с. е(р) учитывает ненулевые начальные условия в цепи: токи в индуктивностях и напряжения на емкостях в момент коммутации. Направление дополнительного источника э.д.с. Li(0) совпадает с направлением начального тока i(0), а направление источника э.д.с. UC(0)/p определяется полярностью начального напряжения UС(0) (от минуса к плюсу). Введение понятия приведенной операторной э.д. с. позволяет привести задачу с ненулевыми начальными условиями к задаче с нулевыми начальными условиями. При нулевых начальных условиях ε(р)=Е(р).
Операторное сопротивление Z(p) можно определить как отношение изображения напряжения к изображению тока при нулевых начальных условиях. Операторные сопротивления элементов r, L и С соответственно равны r, pL и 1/рС.
Величину Υ(ρ), обратную операторному сопротивлению Z(p), называют операторной проводимостью:
Операторное сопротивление Z(p) и операторная проводимость Υ(p) формально отличаются от комплексного сопротивления Z(jω) и комплексной проводимости Υ(jω) только тем, что в них место jω занимает оператор р, т. е.
Из уравнения (18.18) следует, что
I(p) = ε(p)/Z(p). (18.19)
Это соотношение выражает закон Ома в операторной форме.
Применив преобразование Лапласа к выражению для первого закона Кирхгофа для мгновенных значений токов в любом узле электрической цепи:
получим выражение этого закона в операторной форме:
Аналогичным образом из выражения второго закона Кирхгофа для любого контура электрической цепи
получим выражение этого закона в операторной форме:
Выражение (18.21) можно представить в виде
Уравнению для изображений (18.17), полученному для схемы электрической цепи, приведенной на рис. 18.1, можно поставить в соответствие схему, приведенную на рис. 18.2.
Такую схему называют эквивалентной операторной схемой или схемой изображений. Она может быть получена из основной схемы, если индуктивности L и емкости С заменить операторными сопротивлениями pL и 1/рС, токи i(t) и внешние э.д. с. e(t) заме-
Нить их изображениями, а ненулевые начальные условия, соответствующие моменту времени t = 0+ , т. е. моменту времени, следующему непосредственно за моментом коммутации, учесть введением в схему дополнительных источников э.д. с. Li(0) и Uc(0)/p,
Для эквивалентных операторных схем выражения законов Ома и Кирхгофа в операторной форме совпадают с выражениями этих законов в комплексной форме. Поэтому для отыскания изображений токов и напряжений в эквивалентных операторных схемах применимы все методы расчета цепей синусоидального тока в символической форме.
Переход от полученных изображений токов и напряжений к их оригиналам можно произвести как непосредственно по обратному преобразованию Лапласа (18.2), так и с помощью ряда методов, облегчающих, решение этой задачи. Такими методами являются табличный метод, предполагающий использование таблиц операторных соответствий, методы, основанные на применении теорем операционного исчисления, и ряд других методов.
Порядок расчета электрических цепей операторным методом с помощью эквивалентных операторных схем рассмотрим на конкретных примерах.
Рассмотрим последовательный контур, содержащий элементы r, L и С, на который воздействует э. д. с. e(t) при ненулевых начальных условиях (рис. 18.1).
На основании второго закона Кирхгофа для мгновенных значений для рассматриваемой цепи можно записать следующее интегро-дифференциальное уравнение:
Нижний предел у интеграла, стоящего в левой части этого уравнения, равный — , взят для того, чтобы учесть, что до момента подключения к цепи источника э.д.с. e(t) конденсатор был заряжен. Этот интеграл можно представить в виде
где UC(0) —начальное напряжение на емкости.
С учетом этого уравнение для рассматриваемой цепи будет иметь вид
Рассматривая заданную э. д. с. e(t) и искомый ток i(t) в качестве оригиналов, положим, что им соответствуют изображения Е(р) и I(p), т. е.
Так как Uc(0) —величина постоянная, то
На основании свойства линейности преобразования Лапласа и теорем дифференцирования и интегрирования уравнению (18.16) соответствует следующее операторное уравнение для изображений:
Это уравнение является выражением второго закона Кирхгофа в операторной форме для рассматриваемой цепи при ненулевых начальных условиях. Его можно представить в виде
где - приведенная операторная э.д. с.;
Приведенная операторная э.д.с. е(р) учитывает ненулевые начальные условия в цепи: токи в индуктивностях и напряжения на емкостях в момент коммутации. Направление дополнительного источника э.д.с. Li(0) совпадает с направлением начального тока i(0), а направление источника э.д.с. UC(0)/p определяется полярностью начального напряжения UС(0) (от минуса к плюсу). Введение понятия приведенной операторной э.д. с. позволяет привести задачу с ненулевыми начальными условиями к задаче с нулевыми начальными условиями. При нулевых начальных условиях ε(р)=Е(р).
Операторное сопротивление Z(p) можно определить как отношение изображения напряжения к изображению тока при нулевых начальных условиях. Операторные сопротивления элементов r, L и С соответственно равны r, pL и 1/рС.
Величину Υ(ρ), обратную операторному сопротивлению Z(p), называют операторной проводимостью:
Операторное сопротивление Z(p) и операторная проводимость Υ(p) формально отличаются от комплексного сопротивления Z(jω) и комплексной проводимости Υ(jω) только тем, что в них место jω занимает оператор р, т. е.
Из уравнения (18.18) следует, что
I(p) = ε(p)/Z(p). (18.19)
Это соотношение выражает закон Ома в операторной форме.
Применив преобразование Лапласа к выражению для первого закона Кирхгофа для мгновенных значений токов в любом узле электрической цепи:
получим выражение этого закона в операторной форме:
Аналогичным образом из выражения второго закона Кирхгофа для любого контура электрической цепи
получим выражение этого закона в операторной форме:
Выражение (18.21) можно представить в виде
Уравнению для изображений (18.17), полученному для схемы электрической цепи, приведенной на рис. 18.1, можно поставить в соответствие схему, приведенную на рис. 18.2.
Такую схему называют эквивалентной операторной схемой или схемой изображений. Она может быть получена из основной схемы, если индуктивности L и емкости С заменить операторными сопротивлениями pL и 1/рС, токи i(t) и внешние э.д. с. e(t) заме-
Нить их изображениями, а ненулевые начальные условия, соответствующие моменту времени t = 0+ , т. е. моменту времени, следующему непосредственно за моментом коммутации, учесть введением в схему дополнительных источников э.д. с. Li(0) и Uc(0)/p,
Для эквивалентных операторных схем выражения законов Ома и Кирхгофа в операторной форме совпадают с выражениями этих законов в комплексной форме. Поэтому для отыскания изображений токов и напряжений в эквивалентных операторных схемах применимы все методы расчета цепей синусоидального тока в символической форме.
Переход от полученных изображений токов и напряжений к их оригиналам можно произвести как непосредственно по обратному преобразованию Лапласа (18.2), так и с помощью ряда методов, облегчающих, решение этой задачи. Такими методами являются табличный метод, предполагающий использование таблиц операторных соответствий, методы, основанные на применении теорем операционного исчисления, и ряд других методов.
Порядок расчета электрических цепей операторным методом с помощью эквивалентных операторных схем рассмотрим на конкретных примерах.
Характеристическое уравнение можно составить различными методами.
Δ=0 характеристическое уравнение где Δ(дельта)-определитель системы уравнений относительно свободных токов, число уравнений равно количеству неизвестных свободных токов.
Метод составления: (мб они и не нужны но все же)
· Первый метод – классический, когда характеристическое уравнение составляется строго в соответствии с дифференциальным по классической схеме. При расчете переходных процессов в сложной схеме составляется система из “m” дифференциальных уравнений по законам Кирхгофа для схемы цепи после коммутации. Так как корни характеристического уравнения являются общими для всех переменных, то решение системы дифференциальных уравнений выполняется относительно любой переменной (по выбору). В результате решения получают неоднородное дифференциальное уравнение с одной переменной. Составляют характеристическое уравнение в соответствии с полученным дифференциальным и определяют его корни.
· Метод входного сопротивления
1)составить эквивалентную схему без источников
2)разомкнуть любую соединительную линию
3)относительно полученных зажимов (при размыкание) найти входное сопротивление электрической цепи
4)прировнять к нулю
· Метод определителей матриц коэффициентов :
1)описать эквивалентную операторную схему любым способом
(как правило методом контурных токов)
2)записать уравнение в матричном виде
3) прировнять lAl=0 (определитель к нулю)
Независимые начальные условия (законы коммутации )
1)iL(0-)=iL(0+)
Зависимые начальные условия все остальные U(0+) и i(0+)
относительно независимых начальных условий находятся зависимые начальные условия по уравнениям Кирхгофа.
Так же читайте 2ой вопрос
Вопрос2
Дать краткое определение характеристического уравнения. Раскрыть принцип нахождения коэффициентов в функции переходного процесса для первого порядка цепи (коэффициенты А и остальные параметры, если есть).
Δ=0 характеристическое уравнение где Δ(дельта)-определитель системы уравнений относительно свободных токов, число уравнений равно количеству неизвестных свободных токов.
Составленное по 2ому закону Кирхгофа уравнение :
UL+r*i=E эквивалентно L*(di/dt)+r*i=E
Решение i=iпр(принужденное )+iсв(свободное)
Частное решение = E/R (iпр)
Общим решением этого уравнение является показательная функция следующего вида: A*e^(p*t)
iсв (i свободное ) = A*e^(p*t)
L*(diсв/dt)+r*iсв=0 (приравниваем правую часть к нулю для нахождения свободных токов)
постоянная интегрирования(коэффициент амплитуды) А для каждого свободного тока своя.
а коэффициент затухания(корень характеристического уравнения) р одинаков для свободных токов ветвей
А и р не зависят от времени
А= -(E/r)
i=iпр(принужденное )+iсв(свободное)
i=E/r-(E/r)*e^(-(r/L)*t)
Вопрос3
Законы Кирхгофа в операторной форме.
Справочник:
Законы Кирхгофа в операторной форме:
Первый закон Кирхгофа: алгебраическая сумма изображений токов, сходящихся в узле, равна нулю.
Второй закон Кирхгофа: алгебраическая сумма изображений ЭДС, действующих в контуре, равна алгебраической сумме изображений напряжений на пассивных элементах этого контура.
Подробности:
Для любого узла разветвленной цепи
поэтому, обозначив изображения токов Ik(p)=ik(t) на основании (14-1) получим первый закон Кирхгофа в операторной
для любого замкнутого контура, состоящего из n ветвей,
и повторяя все рассуждения, которые были сделаны при записи закона Ома в операторной форме, получаем второй закон Кирхгофа в операторной форме:
что можно переписать так:
В последних выражениях ik(0) и Uck(0) — начальные значения токов в катушках индуктивности и напряжений на конденсаторах в соответствующих ветвях.
Особенно просто запишется второй закон Кирхгофа при нулевых начальных условиях, т. е. при ik(0)=0и Uck(0)=0
В такой записи он полностью аналогичен второму закону Кирхгофа в комплексной форме.
вопрос4
Магнитные цепи. Основные понятия: намагниченность, магнитная индукция, напряженность, магнитный поток, абсолютная и относительная магнитные проницаемости. петля гистерезиса и ее характеристики
Магнитная цепь — последовательность взаимосвязанных магнетиков, по которым проходит магнитный поток. При расчётах магнитных цепей используется почти полная формальная аналогия с электрическими цепями. В схожем математическом аппарате также присутствует закон Ома, правила Кирхгофа и другие термины и закономерности.
Намагни́ченность, характеристика магнитного состояния макроскопического физического тела. Любое вещество, помещенное в магнитное поле, приобретает некоторый магнитный момент. Намагниченность– это магнитный момент единицы объема. В случае однородно намагниченного тела намагниченность определяется как:
где М — магнитный момент тела, V — его объем.
В несильных полях намагниченность прямо пропорциональна напряженности поля, вызывающего намагничивание: J =H, где — магнитная восприимчивость вещества.
В случае неоднородно намагниченного тела намагниченность определяется для каждого физически малого объема dV:
где dM — магнитный момент объема dV.
Единица намагниченности в Международной системе единиц — ампер на метр (1 А/м — это такая намагниченность, при которой 1 м 3 вещества обладает магнитным моментом 1 Ахм 2 ).
Намагниченность тел зависит от внешнего магнитного поля и температуры.
У ферромагнетиков зависимость J от напряженности внешнего поля Н выражается кривой намагничивания. В изотропных веществах направление J совпадает с направлением Н, в анизотропныхнаправления J и Н в общем случае не совпадают.
МАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ
-векторная физическая величина, характеризующая магнитное поле.
Вектор магнитной индукции всегда направлен по касательной к магнитной линии
где F- сила, действующая со стороны магнитного поля на проводник с током ( H );
I - сила тока в проводнике ( A );
l - длина проводника ( м ).
Единица измерения индукции магнитного поля в СИ:
[ B ] = 1Тл ( тесла).
МАГНИТНЫЙ ПОТОК
Контур, помещенный в однородное магнитное поле, пронизывается магнитным потоком
( потоком векторов магнитной индукции).
Ф - магнитный поток, пронизывающий площадь контура, зависит от
величины вектора магнитной индукции, площади контура и его ориентации относительно линий индукции магнитного поля.
Если вектор магнитной индукции перпендикулярен площади контура, то магнитный потокмаксимальный.
Если вектор магнитной индукции параллелен площади контура, то магнитный поток равен нулю.
Напряженностью магнитного поля называют векторную величину , характеризующую магнитное поле и определяемую следующим образом:
Напряженность магнитного поля заряда q, движущегося в вакууме равна:
Это выражение показывает закон Био–Савара–Лапласа для .
Напряженность магнитного поля является, как бы, аналогом вектора электрического смещения в электростатике.
Абсолютная магнитная проницаемость среды описывает магнитные свойства среды. Абсолютная магнитная проницаемость среды обозначается μa.
Для описания магнитных свойств вакуума используют магнитную постоянную. Магнитная постоянная обозначается μ0. Магнитная постоянная равна:
μ0 = 4π * 10 -7 Гн/м
Гн - генри, генри равен Ом*с.
Относительная магнитная проницаемость среды
Относительная магнитная проницаемость среды описывает во сколько раз индукция данного магнитного поля в данной среде отличается от индуции этого же поля в вакууме. Относительная магнитная проницаемость среды обозначается μr или просто μ. Относительная магнитная проницаемость среды является безразмерной величиной. Относительная магнитная проницаемость для ферромагнитных материалов зависит от изменения магнитного поля. Для прочих материалов относительная магнитная проницаемость примерно равна единице и постоянна.
Рассмотрим rLC-цепь (рис. 15.1), которая была подключена к источнику ЭДС и в момент t = 0 переключается к источнику ЭДС e(t).
Дифференциальное уравнение цепи после коммутации
где напряжение и ток при выбранных положительных направлениях (рис. 15.1) связаны соотношениями
и
Напряжение , а также ток i (0), как и при расчете переходного процесса классическим методом, должны быть определены расчетом режима цепи до. коммутации, т. е. при действии источника ЭДС .
Перейдем в (15.15) от оригиналов к изображениям. С учетом (15.5), изображения постоянной величины (15.8) и (15.7) получим алгебраическое уравнение
где .
Из (15.16) определим ток:
Заметим, что в соответствии со сказанным выше нужно было бы писать . Но так как ток в индуктивности и напряжение на емкости не изменяются скачком при t = 0, будем писать короче: .
Выражение, стоящее в знаменателе, назовем полным сопротивлением rLC-цепи в операторной форме или операторным сопротивлением :
Сопротивление в операторной форме уже встречалось в разделе и теперь получено вполне строго. Напомним, что сопротивление rLC-цепи в операторной форме построено так же, как и комплексное сопротивление, если в последнем заменить через р. Величина, обратная операторному сопротивлению, называется операторной проводимостью:
Операторная ЭДС цепи, стоящая в числителе (15.17), состоит не только из операторного изображения ЭДС источника, т. е. Е(р), но и еще из двух слагаемых, которые определяются начальными условиями, т. е. током в индуктивности и напряжением на емкости . Иными словами, наличие двух дополнительных ЭДС , которые можно назвать внутренними или расчетными ЭДС, указывает на то, что в магнитном поле катушки и в электрическом поле конденсатора в момент коммутации была запасена энергия. Положительное направление ЭДС Li(0) совпадает с положительным направлением тока ветви, а направление ЭДС противоположно направлению тока. При этом, как и ранее, положительные направления тока и напряжения на конденсаторе считаются совпадающими. Например, при синусоидальной ЭДС , изображение которой , для тока получим изображение
т. е. рациональную дробь (15.9), у которой корни уравнения определяют установившуюся составляющую тока (синусоидальный ток), а корни уравнения , т.е. согласно (15.18) Z(p) = 0-характеристического уравнения последовательного контура, и определяют свободную составляющую тока.
Особенно просто выглядит выражение (15.17) при нулевых начальных условиях, т. е. при :
оно аналогично закону Ома в комплексной форме.
Для любого узла разветвленной цепи
поэтому, обозначив изображения токов , на основании (15.1) получим первый закон Кирхгофа в операторной форме :
причем некоторые из токов могут быть изображением токов источников тока.
Для любого замкнутого контура, состоящего из n ветвей,
Переходя к изображениям, получаем второй закон Кирхгофа в операторной форме :
что можно переписать и так:
В последних выражениях — начальные значения токов в катушках индуктивности и напряжений на конденсаторах в соответствующих ветвях.
Особенно просто запишется второй закон Кирхгофа при нулевых начальных условиях, т. е. при :
он полностью аналогичен второму закону Кирхгофа в комплексной форме.
Итак, закон Ома, первый и второй законы Кирхгофа в операторной форме аналогичны по форме записи тем же законам в комплексной форме. Нужно только иметь в виду, во-первых, что в каждой k -й ветви при ненулевых начальных условиях, т. е. при , действуют не только внешняя ЭДС , но еще и внутренние ЭДС , и, во-вторых, что в качестве сопротивления ветви берется ее операторное сопротивление.
Изображение каждого из токов системы уравнений (15.22), так же как и тока в цепи на рис. 15.1, получается в виде (15.9) — отношения двух полиномов с действительными коэффициентами. При этом предполагается, что рассматриваются, как и ранее, линейные цепи с сосредоточенными параметрами, в которых действуют источники ЭДС (и тока), изображения которых записываются в виде отношения полиномов (например, постоянные, синусоидальные и экспоненциальные ЭДС, единичный скачок и единичный импульс).
Если изображение равно сумме нескольких рациональных дробей (15.9), то теорема разложения применяется отдельно к каждой из дробей.
Отношение изображений искомой величины к заданной называется передаточной или схемной функцией в операторной форме К (р), причем и составляется так же, как для цепей переменного тока .
Так как корни характеристического уравнения цепи зависят только от ее топологии и параметров, то их можно найти, сделав предположение, что в цепи действует только один источник ЭДС. Наиболее простое изображение имеет единичный импульс . При действии такой ЭДС изображение тока в ветви с источником
Рассмотрим последовательный контур, содержащий элементы r, L и С, на который воздействует э. д. с. e(t) при ненулевых начальных условиях (рис. 18.1).
На основании второго закона Кирхгофа для мгновенных значений для рассматриваемой цепи можно записать следующее интегро-дифференциальное уравнение:
Нижний предел у интеграла, стоящего в левой части этого уравнения, равный — , взят для того, чтобы учесть, что до момента подключения к цепи источника э.д.с. e(t) конденсатор был заряжен. Этот интеграл можно представить в виде
где UC(0) —начальное напряжение на емкости.
С учетом этого уравнение для рассматриваемой цепи будет иметь вид
Рассматривая заданную э. д. с. e(t) и искомый ток i(t) в качестве оригиналов, положим, что им соответствуют изображения Е(р) и I(p), т. е.
Так как Uc(0) —величина постоянная, то
На основании свойства линейности преобразования Лапласа и теорем дифференцирования и интегрирования уравнению (18.16) соответствует следующее операторное уравнение для изображений:
Это уравнение является выражением второго закона Кирхгофа в операторной форме для рассматриваемой цепи при ненулевых начальных условиях. Его можно представить в виде
где - приведенная операторная э.д. с.;
Приведенная операторная э.д.с. е(р) учитывает ненулевые начальные условия в цепи: токи в индуктивностях и напряжения на емкостях в момент коммутации. Направление дополнительного источника э.д.с. Li(0) совпадает с направлением начального тока i(0), а направление источника э.д.с. UC(0)/p определяется полярностью начального напряжения UС(0) (от минуса к плюсу). Введение понятия приведенной операторной э.д. с. позволяет привести задачу с ненулевыми начальными условиями к задаче с нулевыми начальными условиями. При нулевых начальных условиях ε(р)=Е(р).
Операторное сопротивление Z(p) можно определить как отношение изображения напряжения к изображению тока при нулевых начальных условиях. Операторные сопротивления элементов r, L и С соответственно равны r, pL и 1/рС.
Величину Υ(ρ), обратную операторному сопротивлению Z(p), называют операторной проводимостью:
Операторное сопротивление Z(p) и операторная проводимость Υ(p) формально отличаются от комплексного сопротивления Z(jω) и комплексной проводимости Υ(jω) только тем, что в них место jω занимает оператор р, т. е.
Из уравнения (18.18) следует, что
I(p) = ε(p)/Z(p). (18.19)
Это соотношение выражает закон Ома в операторной форме.
Применив преобразование Лапласа к выражению для первого закона Кирхгофа для мгновенных значений токов в любом узле электрической цепи:
получим выражение этого закона в операторной форме:
Аналогичным образом из выражения второго закона Кирхгофа для любого контура электрической цепи
получим выражение этого закона в операторной форме:
Выражение (18.21) можно представить в виде
Уравнению для изображений (18.17), полученному для схемы электрической цепи, приведенной на рис. 18.1, можно поставить в соответствие схему, приведенную на рис. 18.2.
Такую схему называют эквивалентной операторной схемой или схемой изображений. Она может быть получена из основной схемы, если индуктивности L и емкости С заменить операторными сопротивлениями pL и 1/рС, токи i(t) и внешние э.д. с. e(t) заме-
Нить их изображениями, а ненулевые начальные условия, соответствующие моменту времени t = 0+ , т. е. моменту времени, следующему непосредственно за моментом коммутации, учесть введением в схему дополнительных источников э.д. с. Li(0) и Uc(0)/p,
Для эквивалентных операторных схем выражения законов Ома и Кирхгофа в операторной форме совпадают с выражениями этих законов в комплексной форме. Поэтому для отыскания изображений токов и напряжений в эквивалентных операторных схемах применимы все методы расчета цепей синусоидального тока в символической форме.
Переход от полученных изображений токов и напряжений к их оригиналам можно произвести как непосредственно по обратному преобразованию Лапласа (18.2), так и с помощью ряда методов, облегчающих, решение этой задачи. Такими методами являются табличный метод, предполагающий использование таблиц операторных соответствий, методы, основанные на применении теорем операционного исчисления, и ряд других методов.
Порядок расчета электрических цепей операторным методом с помощью эквивалентных операторных схем рассмотрим на конкретных примерах.
Рассмотрим последовательный контур, содержащий элементы r, L и С, на который воздействует э. д. с. e(t) при ненулевых начальных условиях (рис. 18.1).
На основании второго закона Кирхгофа для мгновенных значений для рассматриваемой цепи можно записать следующее интегро-дифференциальное уравнение:
Нижний предел у интеграла, стоящего в левой части этого уравнения, равный — , взят для того, чтобы учесть, что до момента подключения к цепи источника э.д.с. e(t) конденсатор был заряжен. Этот интеграл можно представить в виде
где UC(0) —начальное напряжение на емкости.
С учетом этого уравнение для рассматриваемой цепи будет иметь вид
Рассматривая заданную э. д. с. e(t) и искомый ток i(t) в качестве оригиналов, положим, что им соответствуют изображения Е(р) и I(p), т. е.
Так как Uc(0) —величина постоянная, то
На основании свойства линейности преобразования Лапласа и теорем дифференцирования и интегрирования уравнению (18.16) соответствует следующее операторное уравнение для изображений:
Это уравнение является выражением второго закона Кирхгофа в операторной форме для рассматриваемой цепи при ненулевых начальных условиях. Его можно представить в виде
где - приведенная операторная э.д. с.;
Приведенная операторная э.д.с. е(р) учитывает ненулевые начальные условия в цепи: токи в индуктивностях и напряжения на емкостях в момент коммутации. Направление дополнительного источника э.д.с. Li(0) совпадает с направлением начального тока i(0), а направление источника э.д.с. UC(0)/p определяется полярностью начального напряжения UС(0) (от минуса к плюсу). Введение понятия приведенной операторной э.д. с. позволяет привести задачу с ненулевыми начальными условиями к задаче с нулевыми начальными условиями. При нулевых начальных условиях ε(р)=Е(р).
Операторное сопротивление Z(p) можно определить как отношение изображения напряжения к изображению тока при нулевых начальных условиях. Операторные сопротивления элементов r, L и С соответственно равны r, pL и 1/рС.
Величину Υ(ρ), обратную операторному сопротивлению Z(p), называют операторной проводимостью:
Операторное сопротивление Z(p) и операторная проводимость Υ(p) формально отличаются от комплексного сопротивления Z(jω) и комплексной проводимости Υ(jω) только тем, что в них место jω занимает оператор р, т. е.
Из уравнения (18.18) следует, что
I(p) = ε(p)/Z(p). (18.19)
Это соотношение выражает закон Ома в операторной форме.
Применив преобразование Лапласа к выражению для первого закона Кирхгофа для мгновенных значений токов в любом узле электрической цепи:
получим выражение этого закона в операторной форме:
Аналогичным образом из выражения второго закона Кирхгофа для любого контура электрической цепи
получим выражение этого закона в операторной форме:
Выражение (18.21) можно представить в виде
Уравнению для изображений (18.17), полученному для схемы электрической цепи, приведенной на рис. 18.1, можно поставить в соответствие схему, приведенную на рис. 18.2.
Такую схему называют эквивалентной операторной схемой или схемой изображений. Она может быть получена из основной схемы, если индуктивности L и емкости С заменить операторными сопротивлениями pL и 1/рС, токи i(t) и внешние э.д. с. e(t) заме-
Нить их изображениями, а ненулевые начальные условия, соответствующие моменту времени t = 0+ , т. е. моменту времени, следующему непосредственно за моментом коммутации, учесть введением в схему дополнительных источников э.д. с. Li(0) и Uc(0)/p,
Для эквивалентных операторных схем выражения законов Ома и Кирхгофа в операторной форме совпадают с выражениями этих законов в комплексной форме. Поэтому для отыскания изображений токов и напряжений в эквивалентных операторных схемах применимы все методы расчета цепей синусоидального тока в символической форме.
Переход от полученных изображений токов и напряжений к их оригиналам можно произвести как непосредственно по обратному преобразованию Лапласа (18.2), так и с помощью ряда методов, облегчающих, решение этой задачи. Такими методами являются табличный метод, предполагающий использование таблиц операторных соответствий, методы, основанные на применении теорем операционного исчисления, и ряд других методов.
Порядок расчета электрических цепей операторным методом с помощью эквивалентных операторных схем рассмотрим на конкретных примерах.
Читайте также: