Закон исключенного третьего кратко

Обновлено: 04.07.2024

Закон исключённого третьего касается противоречащих суждений: «Два противоречащих суждения об одном и том же предмете, в одно и то же время и в одном и том же отношении не могут быть одновременно истинными и не могут быть одновременно ложными (истинность одного из них обязательно означает ложность другого, и наоборот, и третьего не дано).

Символическая запись закона исключённого третьего представляет собой следующую тождественно-истинную формулу: аÚØа(читается – аили не-а), где а– это какое-либо высказывание.

Как видим, закон исключённого третьего очень близок к закону противоречия и является как бы его разновидностью. Наличие в логике двух очень похожих друг на друга законов – противоречия и исключённого третьего, – обусловлено, как нетрудно заметить, различиями между противоположными (которые могут быть одновременно ложными) и противоречащими суждениями.

Закон исключённого третьего не указывает, какое из двух противоречащих суждений будет истинным по своему содержанию. Этот вопрос решается практикой, устанавливающей соответствие или несоответствие суждений объективной действительности. Он только ограничивает круг исследования истины двумя взаимно исключающими альтернативами и способствует формально правильному разрешению возникшего противоречия. Именно поэтому для установления ложности, например, общего утверждения необязательно проверять весь круг явлений, о которых идёт речь. В этом случае достаточно привести истинное частноотрицательное суждение, чтобы опровергнуть общее утверждение и, таким образом, найти правильный путь решения проблемы.

Обобщая отмеченное, выделим несколько условий, при которых действует закон исключённого третьего:

2). Из двух противоречивых высказываний одно отрицает то, что утверждается другим, и одновременно утверждает нечто новое. Например, известно, что судебные приговоры могут быть либо обвинительными, либо оправдательными. Если приговор оправдательный – значит он не обвинительный. Никакого иного приговора, помимо обвинительного или оправдательного, суд вынести не может.

Уточнив понятия, мы можем сказать о двух суждениях, одно из которых является отрицанием другого: одно из них обязательно истинно, другое – ложно, а какого-то третьего варианта не дано, не может быть.

Объективным основанием закона исключённого третьего является качественная определённость вещей и явлений, относительная устойчивость их свойств. Отражая эту сторону действительности, закон утверждает, что у объекта не могут одновременно отсутствовать оба противоречащих признака: отсутствие одного из них закономерно предполагает наличие другого. Так, оценивая мотивы поведения человека с учётом всех, иногда довольно противоречивых, сторон его характера, следует быть последовательным: нельзя одновременно ему приписывать взаимоисключающие свойства, например, исполнительность и нерадивость, активность и пассивность в выполнении профессиональных обязанностей и т. д.

Однако закон исключённого третьего нельзя абсолютизировать. Он применим к жёстко фиксированным ситуациям и справедлив там, где возможно чёткое решение одной из альтернатив, сформулированных в противоречащих суждениях. Реальность часто далека от чёткости и ясности.

В такого рода ситуациях мы не можем мыслить только по законам классической двузначной логики, а прибегаем к трёхзначной логике, в которой суждения принимают три значения истинности: истина, ложь и неопределённость.

Закон исключённого третьего, как и закон противоречия, не отрицает того, что вещи меняются, а состояния одного и того же предмета могут переходить одно в другое. Он требует лишь в целях определённости вывода провести хотя бы условную грань между одним состоянием (этапом) и другим, между А и не-А. Иначе окружающая действительность приобретает совершенно произвольный вид.

Таким образом, закон исключённого третьего, не рассматривая самих противоречий объективного мира, не допускает признания одновременно истинными или одновременно ложными два противоречащих друг другу суждения. Это и составляет его важную роль для теоретической и практической деятельности. Нарушение этого закона свойственно людям нерешительным, неуверенным в себе или просто беспринципным.

Обобщая отмеченное, выделим несколько условий, при которых действует закон исключённого третьего:

Сущность закона: два противоречащих суждения об одном и том же предмете, взятом в одно и тоже время и в одном о том же отношении, не могут быть вместе истинными или ложными. Одно - необходимо истинно, а другое - ложно; третьего быть не может.

Реально такие связи образуются из следующих пар суждений:

Закон исключенного третьего не указывает, какое из двух противоречащих суждений будет истинным по своему содержанию. Этот вопрос решается практикой, устанавливающей соответствие или несоответствие суждений объективной действительности. Он только ограничивает круг исследования истины двумя взаимно исключающими альтернативами и способствует формально правильному разрешению возникшего противоречия. Именно поэтому для установления ложности, например, общего утверждения необязательно проверять весь круг явлений, о которых идет речь. В этом случае достаточно привести истинное частноотрицательное суждение, чтобы опровергнуть общее утверждение и, таким образом, найти правильный путь решения проблемы.

Во-вторых, из двух противоречивых высказываний одно отрицает то, что утверждается другим, и одновременно утверждает нечто новое. Например, известно, что судебные приговоры могут быть либо обвинительными, либо оправдательными. Если приговор оправдательный - значит он не обвинительный. Никакого иного приговора, помимо обвинительного или оправдательного, суд вынести не может.

Уточнив понятия, мы можем сказать о двух суждениях, одно из которых является отрицанием другого: одно из них обязательно истинно, другое - ложно, а какого-то третьего варианта не дано, не может быть.

Объективным основанием закона исключенного третьего является качественная определенность вещей и явлений, относительная устойчивость их свойств. Отражая эту сторону действительности, закон утверждает, что у объекта не могут одновременно отсутствовать оба противоречащих признака: отсутствие одного из них закономерно предполагает наличие другого. Так, оценивая мотивы поведения человека с учетом всех, иногда довольно противоречивых, сторон его характера, следует быть последовательным: нельзя одновременно ему приписывать взаимоисключающие свойства, например исполнительность и нерадивость, активность и пассивность в выполнении профессиональных обязанностей и т.д.

Однако закон исключенного третьего нельзя абсолютизировать. Он применим к жестко фиксированным ситуациям и справедлив там, где возможно четкое решение одной из альтернатив, сформулированных в противоречащих суждениях. Реальность часто далека от четкости и ясности.

В такого рода ситуациях мы не можем мыслить только по законам классической двузначной логики, а прибегаем к трехзначной логике, в которой суждения принимают три значения истинности: истина, ложь и неопределенность.

Закон исключенного третьего, как и закон противоречия, не отрицает того, что вещи меняются, а состояния одного и того же предмета могут переходить одно в другое. Он требует лишь в целях определенности вывода провести хотя бы условную грань между одним состоянием (этапом) и другим, между А и не-А. Иначе окружающая действительность приобретает совершенно произвольный вид.

Таким образом, закон исключенного третьего, не рассматривая самих противоречий объективного мира, не допускает признания одновременно истинными или одновременно ложными два противоречащих друг другу суждения. Это и составляет его важную роль для теоретической и практической деятельности юриста.

Закон исключённого третьего — это один из основных общелогических принципов, согласно которому в процессе рассуждения всякое суждение или истинно, или ложно. Данный закон устанавливает связь между противоречащими друг другу осмысленными высказываниями (в рассуждении, в тексте или теории): одно (и только одно) из них истинно, другое ложно. Относится к четырём так называемым основополагающим логическим законам — закону тождества, закону противоречия, закону исключённого третьего и закону достаточного основания (см. Законы логики), которые подразумевают наиболее общие принципы (или постулаты) теоретического мышления и используются при оперировании понятиями и суждениями, в умозаключениях, доказательствах и опровержениях, и поэтому присутствуют практически во всех логических системах.

Закон исключённого третьего подразумевает, что если истинно A, то не истинно — не-A, либо наоборот, неистинно A и истинно не-A. Здесь буква A обозначает произвольное высказывание. Символически закон выражается формулой:

Третьего не дано, как не дано ещё какого-либо B, которое претендовало бы на выражение истины. Таким образом, само название закона выражает его смысл: дело обстоит так, как говорится в рассматриваемом высказывании, или так, как говорится в его отрицании, и никакой третьей возможности нет.

Аристотель считал, что закон исключённого третьего следует ограничить высказываниями о прошлом и настоящем и не прилагать его к высказываниям о неопределённых будущих событиях, то есть к таким, наступление которых в настоящий момент ещё не предопределено, поскольку нет причины ни для того, чтобы они произошли, ни для того, чтобы они не случились.

От Аристотеля идёт традиция давать закону исключённого третьего три разные интерпретации:

Логическая интерпретация. Закон понимается как принцип логики о высказываниях и их истинности: или высказывание, или его отрицание должно быть истинным.
Онтологическая интерпретация. Закон понимается как утверждение об устройстве мира: всякий объект или реально существует, или не существует.
Методологическая интерпретация. Закон понимается как принцип методологии научного познания: исследование каждого объекта должно вестись до тех пор и быть настолько полным, чтобы относительно каждого утверждения об этом объекте можно было решить, истинно оно или нет.

Закон исключённого третьего содержит в себе следующие предписания:

Устанавливается альтернативность A и не-A и предлагается сделать выбор между ними по истинностному признаку.
Запрещается выбирать в качестве альтернативы ещё какие-либо суждения.
Устанавливается отношение контрарности (противоположности) между альтернативами таким образом, что одна из них является отрицанием другой.
Трактуется универсальный приём логического мышления, согласно которому противоположное истине есть ложь.

Сильный закон исключённого третьего оказался тем критическими местом, вокруг которого развивались дискуссии в течение всего времени существования логики как науки. Стоики и эпикурейцы рассматривали логики, несовместимые с законом исключённого третьего (как правило, не замечая разницы между его сильной и формулировкой Аристотеля). Интуиционизм начинался с утверждения о недостоверности сильного закона исключённого третьего, но он опровергает его достаточно тонко, сохраняя слабый закон исключённого третьего и придавая ему точную математическую формулировку: ¬¬ (A ⋁ ¬A), не вводя дополнительных логических значений. Эту формулировку ввёл Л. Брауэр в рамках критики применимости законов классической логики в математике (1908). Впоследствии её назвали брауэровым законом исключённого третьего. Брауэр был убеждён, что логические законы не являются абсолютными истинами, не зависящими от того, к чему они прилагаются. Возражая против закона исключённого третьего, он настаивал на том, что кроме утверждения и его отрицания имеется ещё третья возможность, которую нельзя исключить: она обнаруживает себя при рассуждениях о бесконечных множествах объектов. Ограничение Брауэром сферы действия этого закона существенно сужало круг тех способов рассуждения, которые применимы в математике и это сразу же вызвало резкую оппозицию многих математиков. Первое формальное доказательство брауэрова закона дал В. И. Гливенко (1928). Критика Брауэром закона исключённого третьего положила начало новому направлению в формальной логике (см. Логика формальная) — интуиционистской логике. В ней не принимается данный закон и отбрасываются все те способы рассуждения, которые с ним связаны.

В целом, закон исключённого третьего представляется теперь спорным законом логики, более того, в некоторых рассуждениях его следует считать ложным. Общая критика закона (в его сильной форме) сводится к следующим положениям. Он применим для рассмотрения терминов в фиксированной обстановке с фиксированной точки зрения. Он не подходит для меняющейся обстановки и субъективных понятий. Он не допустим даже для терминов, если исследователя интересует не просто доказательство, а построение. Тем не менее, во всех указанных случаях иногда его использование корректно и весьма эффективно, но требует дополнительных обоснований.

Содержание

Формулировка

В математической логике закон исключенного третьего выражается формулой

$A \vee\neg A,$

где — знак дизъюнкции, — знак отрицания.

Другие формулировки

Подобный смысл имеют другие логические законы, многие из которых сложились исторически. В частности, закон двойного отрицания и закон Пирса эквивалентны закону исключённого третьего. Это означает, что расширение системы аксиом интуиционистской логики любым из этих трёх законов в любом случае приводит к классической логике. И всё же, в общем случае, существуют логики, в которых все три закона неэквивалентны [1] .

Примеры

Гораздо более тонкий пример применения закона исключённого третьего, который хорошо демонстрирует, почему он не является приемлемым с точки зрения интуиционизма, состоит в следующем. Предположим, что мы хотим доказать теорему, что существуют два иррациональных числа a и b, таких что рационально. Известно, что " width="" height="" />
иррационально. Рассмотрим ^>" width="" height="" />
. Если данное число рационально, то теорема доказана. Иначе возьмём ^>" width="" height="" />
и " width="" height="" />
. Тогда

$a^b = \left(\sqrt</p> <p>^>\right)^> = \sqrt^<\left(\sqrt\cdot\sqrt\right)> = \sqrt^2 = 2,$

то есть рациональное число. По закону исключённого третьего иных вариантов быть не может. Поэтому, теорема в общем случае доказана. Причём доказательство предельно просто и элементарно. С другой стороны, если принять интуиционистскую точку зрения и отказаться от закона исключённого третьего, теорема хотя и может быть доказана, но доказательство её становится исключительно сложным.

Поправка: доказательство того факта, что иррациональное число в иррациональной степени может быть рациональным, может быть проведено элементарным способом. Он не требует использования каких-то глубоких результатов из теории чисел. А именно, в качестве первого числа возьмём корень квадратный из двух, а второе число пусть будет равно удвоенному логарифму 3 по основанию 2. Очевидно, что при возведении в степень получается рациональное число 3. При этом как основание степени, так и показатель иррациональны. Доказательство того, что логарифм иррационален, состоит в том, что если бы он равнялся m/n, то 2 в степени m было бы равно 3 в степени n, что невозможно.

Читайте также: