Задача о непрерывном начислении процентов кратко
Обновлено: 03.07.2024
Для непрерывных процентов не существует различий между процентной и учетной ставками, поскольку сила роста – универсальный показатель. Однако наряду с постоянной силой роста может использоваться переменная процентная ставка, величина которой меняется по заданному закону (математической функции).
Непрерывное начисление процентов используется при анализе сложных финансовых задач, например, обоснование и выбор инвестиционных решений. Оценивая работу финансового учреждения, где платежи за период поступают многократно, целесообразно предполагать, что наращенная сумма непрерывно меняется во времени и применять непрерывное начисление процентов.
Все ситуации, которые мы до сих пор рассматривали, относились к дискретным процентам, поскольку их начисление осуществляется за фиксированные промежутки времени (год, квартал, месяц, день, час). Но на практике нередко встречаются случаи, когда проценты начисляются непрерывно, за сколь угодно малый промежуток времени. Если бы проценты начислялись ежедневно, то годовой коэффициент (множитель) наращения выглядел так:
Но поскольку проценты начисляются непрерывно, то m стремится к бесконечности, а коэффициент (множитель) наращения стремится к e j :
где e ≈ 2,718281, называется числом Эйлера и является одной из важнейших постоянных математического анализа.
Отсюда можно записать формулу наращенной суммы для n лет:
FV = PV • e j • n = P • e δ • n
Ставку непрерывных процентов называют силой роста (force of interest) и обозначают символом δ, в отличие от ставки дискретных процентов ( j ).
Пример. Кредит в размере на 100 тыс. долларов получен сроком на 3 года под 8% годовых. Определить сумму подлежащего возврату в конце срока кредита, если проценты будут начисляться:
а) один раз в год;
Решение:
Используем формулы дискретных и непрерывных процентов:
начисление один раз в год
FV = 100'000 • (1 + 0,08) 3 = 125'971,2 долларов;
ежедневное начисление процентов
FV = 100'000 • (1 + 0,08 / 365) 365 • 3 = 127'121,6 долларов
непрерывное начисление процентов
FV = 100'000 • e 0,08 • 3 = 127'124,9 долларов.
12. Расчет срока кредита:
- при наращении по сложной годовой ставке %,
- при наращении по номинальной ставке % m раз в году,
- при наращении по постоянной силе роста.
В любой простейшей финансовой операции всегда присутствуют четыре величины: современная величина (PV), наращенная или будущая величина (FV), процентная ставка (i) и время (n).
Иногда при разработке условий финансовой сделки или ее анализе возникает необходимость решения задач, связанных с определением отсутствующих параметров, таких как срок финансовой операции или уровень процентной ставки.
Как правило, в финансовых контрактах обязательно фиксируются сроки, даты, периоды начисления процентов, поскольку фактор времени в финансово-коммерческих расчетах играет важную роль. Однако бывают ситуации, когда срок финансовой операции прямо в условиях финансовой сделки не оговорен, или когда данный параметр определяется при разработке условий финансовой операции.
Обычно срок финансовой операции определяют в тех случаях, когда известна процентная ставка и величина процентов.
Если срок определяется в годах, то
а если срок сделки необходимо определить в днях, то появляется временная база в качестве сомножителя:
Так же как для простых процентов, для сложных процентов необходимо иметь формулы, позволяющие определить недостающие параметры финансовой операции:
Пример. Что выгоднее: увеличение вклада в три раза за три года или 46% годовых?
Решение:
Такого рода задачи приходится решать не только лицам, занимающимся финансовой работой, но и населению, когда решается вопрос о том, куда выгоднее вложить деньги. В таких случаях решение сводится к определению процентной ставки:
Таким образом, увеличение вклада за три года в три раза эквивалентно годовой процентной ставке в 44,3%, поэтому размещение денег под 46% годовых будет более выгодно.
13. Расчет срока кредита:
- при дисконтировании по сложной годовой учетной ставке,
- при дисконтировании по номинальной учетной ставке m раз в году.
14. Расчет процентной ставки:
- при наращении по сложной годовой ставке %,
- при наращении по номинальной ставке % m раз в году,
- при наращении по постоянной силе роста.
15. Расчет процентной ставки:
- при дисконтировании по сложной годовой учетной ставке,
- при дисконтировании по номинальной учетной ставке m раз в году.
При использовании простых процентов размер вклада ежегодно будет увеличиваться на одну и ту же величину (p/100)Q0, т.е.
На практике значительно чаще применяются сложные проценты. В этом случае размер вклада ежегодно будет увеличиваться в одно и то же число раз, т.е.
Если начислять проценты по вкладам не один раз в году, а то при том же ежегодном приросте p% процент начисления за часть года составит (p/n)%, а размер вклада за при nt начислениях составит:
Будем полагать, что проценты по вкладу начисляются каждое полугодие ежеквартально ежемесячно каждый день каждый час и т.д., непрерывно Тогда размер вклада за составит:
или с учетом второго замечательного предела при :
Эта формула выражает показательный (экспоненциальный) закон роста или убывания Она может быть использована при непрерывном начислении процентов.
Чтобы почувствовать результаты расчетов в зависимости от способа начисления процентов, в таблице в качестве примера приводятся размеры вкладов Qt, вычисленные при
| Формула простых процентов | Формула сложных процентов | Формула непрерывного начисления процентов | |||||
| n = 1 | n = 2 | n = 4 | n = 12 | n = 365 | |||
| Размер вклада, ден. ед. | 2,0000 | 2,6355 | 2,6851 | 2,7015 | 2,7126 | 2,7181 | 2,7182 |
Как видим, погрешность вычисления суммы вклада по формуле непрерывного начисления процентов по сравнению с формулой сложных процентов, начисляемых ежегодно , при одной и той же процентной ставке оказалась незначительной около
Замечание. Хотя в практических финансово-кредитных операциях непрерывное начисление процентов применяется крайне редко, оно оказывается весьма эффективным при анализе сложных финансовых проблем, в частности, при обосновании и выборе инвестиционных решений.
Задача 6.1 (для самостоятельного решения).
Первоначальный вклад, положенный в банк под 10% годовых, составил 6 млн. руб. Найти размер вклада через 5 лет при начислении процентов: а) ежегодном; б) поквартальном; в) непрерывном.
Есть интересные задачи по теме - присылайте, разберемся вместе!
Currently, in many branches of the economy develops efficiently. From the level of its development depends on the level of society, industry and science. Hence the need for an accurate calculation of all financial transactions, that is, the application of mathematical methods for the calculation. In modern society, banks offer a huge number of operations. For each type of transaction has its own method of calculation, according to which the transfer of funds is executed. That's how the bank calculates the financial results of its operations is an important criterion when choosing a bank customer. This is the face of the bank, so the exact calculation of the theme is very relevant.
Key words: financial mathematics, interest, deposits, mathematical analysis, the operation of banks, financial institutions, limit function, the second remarkable limit, continuous charging of financial uncertainty
В данной работе будем рассматривать задачу начисления процентов, актуальную для любого финансового института и человека.
Целью исследования является выявить возможность непрерывного начисления процентов.
Возьмем к примеру депозитные вклады любого коммерческого банка. Проценты по такому вкладу могут начисляться как ежегодно так и ежемесячно. В данной работе рассматривается модель, при которой проценты могу начисляться ежегодно, ежемесячно, ежечасно и так далее уменьшая срок выплаты устремив его в бесконечность. Чтобы решить данную задачу, необходимо рассмотреть теорию пределов.
Из курса математического анализа известно, что пределом числа А называется предел функции y=f(x) при , если для любого сколь угодно малого положительного числа Е для которого существует такое число ∂, такое что для любого числа х, удовлетворяющему неравенству ∂ будет выполняться неравенство E.
Вспомним также 2 замечательный предел. Вторым замечательным пределом называется предел числовой последовательности при. Второй замечательный предел вводит такое понятие как число e.
Вернемся к задаче рассмотрения непрерывных процентов.
Допустим открыт счет в банке на n лет, с первоначальным суммой . Ежегодно выплачиваются к% годовых. Нужно рассчитать значение, то есть размер вклада через n лет.
Виды процентов можно разделить на 2 вида: простые и сложные. Если использовать простые проценты, то сумма вклада будет увеличиваться на одно и тоже значение . Получается, что сумма вклада через год будет равна а через n лет[1]
В настоящей практике в большинстве случаев используют сложные проценты. От простых отличаются тем, что вклад ежегодно увеличивается на число раз, то есть [1]
Рассмотрим возможность начислять проценты непрерывно. Если начислять проценты не раз в год а m число раз, то при том же ежегодном приросте k% процент начисления составит за 1/m-ый период года k/n%, а сумма вклада за n лет при заданных начислениях будет равна
Устремим m в бесконечность, то есть начисления по вкладам будут происходить непрерывно. Тогда решение задачи будет выглядеть следующим образом:
Данная формула похожа на 2 замечательный предел, вынесем за знак предела, а скобку возведем в степень, обратную дроби , перейдя во 2 замечательному пределу, и домножим степень nm на
Упростив выражение получает ответ [2]
, где kn/100 ставка непрерывных процентов.
Понятно, что погрешность при вычислении простых процентов намного выше по сравнению с формулой непрерывных процентов. Также очевидно, что формула непрерывных процентов точнее формулы сложных процентов [3].
На практике формула непрерывных процентов используется очень редко. Если теоритически рассмотреть сложные финансовые проблемы то, данный метод является максимально эффективным. Данный метод был предложен лишь как математическая модель, позволяющая оценить уровень погрешностей при расчете процентов по финансовым операциям, а также провести финансовый анализ на предприятии, поэтому на практике практические не используется [4].
- С. И. Макров, Л.И Уфимцева, М. В. Мищенко, Р.И Горбунова, Л. В. Сергеева. Математические модели финансовых операций. Учебное пособие. – Самара: изд-во СГЭА, 2005. – 136 с.
- Федянова Н. А. О проблеме применения математических методов в экономике и бизнесе. Бизнес. Образование. Право. Вестник Волгоградского института бизнеса. 2008. № 5. С. 63–66.
- Терелянский П. В., Попова И. О. Применение методов теории принятия решений для оценки интеллектуального капитала компаний. Бизнес. Образование. Право. Вестник Волгоградского института бизнеса. 2008. № 5. С. 72–75.
- Сметанина Т. В., Лашкова И. А. Экономико-математическое обоснование взаимосвязи методов оценки уровня стандартизации систем менеджмента организаций с моделью Леонтьева. Бизнес. Образование. Право. Вестник Волгоградского института бизнеса. 2015. № 1 (30). С. 223–228.
Основные термины (генерируются автоматически): замечательный предел, процент, сумма вклада, формула, число раз.
Ключевые слова
математический анализ, проценты, финансовая математика, депозитные вклады, операции банков, финансовые институты, предел функции, второй замечательный предел, непрерывное начисление, финансовые погрешности
финансовая математика, проценты, депозитные вклады, математический анализ, операции банков, финансовые институты, предел функции, второй замечательный предел, непрерывное начисление, финансовые погрешности
Похожие статьи
Экономические задачи на уроках математики | Статья в журнале.
Предел функции и непрерывность. Постоянные и переменные издержки.
В этом случае размер вклада ежегодно будет увеличиваться в одно и то же число раз, т. е.
Основные термины (генерируются автоматически): размер вклада, процент, банк, сумма рублей, счет.
Исследование простых и сложных процентов. Математика вокруг.
n–число промежутков времени. I–процентная ставка прибыли за определенный срок.
— Сколько денег будет на счете через 1 год? Воспользуемся формулой простых процентов.
,т. е. р.; сумма вклада увеличилась в раз.
Три основных действия с процентами. Математика вокруг нас
- узнать некоторые экономические термины и формулы.
Три основных действия с процентами. 1 действие. Нахождение процентов от числа.
Ответ: на 2 года. Вопрос 5. Под какой процент банк выдал нужную сумму денег?
Коррекция формулы сложного процента и модели оценки.
В этой связи нельзя признать правомерным суммирование единицы с размерной ставкой процента в формуле (2).
Тогда произведение будет представлять коэффициент наращения первоначальной суммы вклада за 1 мес., который можно суммировать с единицей дисконтного.
Приложения определенного интеграла к решению задач экономики
. (5). Заменяя в формуле (3) суммирование интегрированием, получим дисконтированную стоимость денежного потока через лет при непрерывных процентах
Тогда дисконтированная сумма капиталовложения вычисляется по формуле (6)
Теория игр: основные понятия, типы игр, примеры
Если игра повторяется достаточно большое количество раз, то игроков может интересовать не выигрыш
В данном случае сумма всех выигрышей равна сумме всех проигрышей при любом ходе. В таблице числа означают платежи игрокам, и их сумма в каждой клетке равна нулю.
Публикация научных статей — Молодой ученый
Качество журнала замечательное, обязательно покажу журнал коллегам из других ВУЗов города. До новых публикаций!
Уважаемая Галина Анатольевна! В очередной раз убеждаемся в профессионализме и высокой ответственности Вас и всей Вашей команды!
Особенности вычисления временных интервалов в Excel
Статья просмотрена: 6398 раз.
Рассмотрены различные варианты определения количества полных лет, месяцев и дней между датами с помощью формул Excel, макрокоманд Excelи недокументированных возможностей Excel.
Оценка эффективности долгосрочных инвестиций
i — ставка процента на капитал, минимальная ставка его рентабельности; К 0 — сумма первоначальных инвестиций в нулевом периоде
Он определяется по формуле.
Похожие статьи
Экономические задачи на уроках математики | Статья в журнале.
Предел функции и непрерывность. Постоянные и переменные издержки.
В этом случае размер вклада ежегодно будет увеличиваться в одно и то же число раз, т. е.
Основные термины (генерируются автоматически): размер вклада, процент, банк, сумма рублей, счет.
Исследование простых и сложных процентов. Математика вокруг.
n–число промежутков времени. I–процентная ставка прибыли за определенный срок.
— Сколько денег будет на счете через 1 год? Воспользуемся формулой простых процентов.
,т. е. р.; сумма вклада увеличилась в раз.
Три основных действия с процентами. Математика вокруг нас
- узнать некоторые экономические термины и формулы.
Три основных действия с процентами. 1 действие. Нахождение процентов от числа.
Ответ: на 2 года. Вопрос 5. Под какой процент банк выдал нужную сумму денег?
Коррекция формулы сложного процента и модели оценки.
В этой связи нельзя признать правомерным суммирование единицы с размерной ставкой процента в формуле (2).
Тогда произведение будет представлять коэффициент наращения первоначальной суммы вклада за 1 мес., который можно суммировать с единицей дисконтного.
Приложения определенного интеграла к решению задач экономики
. (5). Заменяя в формуле (3) суммирование интегрированием, получим дисконтированную стоимость денежного потока через лет при непрерывных процентах
Тогда дисконтированная сумма капиталовложения вычисляется по формуле (6)
Теория игр: основные понятия, типы игр, примеры
Если игра повторяется достаточно большое количество раз, то игроков может интересовать не выигрыш
В данном случае сумма всех выигрышей равна сумме всех проигрышей при любом ходе. В таблице числа означают платежи игрокам, и их сумма в каждой клетке равна нулю.
Публикация научных статей — Молодой ученый
Качество журнала замечательное, обязательно покажу журнал коллегам из других ВУЗов города. До новых публикаций!
Уважаемая Галина Анатольевна! В очередной раз убеждаемся в профессионализме и высокой ответственности Вас и всей Вашей команды!
Особенности вычисления временных интервалов в Excel
Статья просмотрена: 6398 раз.
Рассмотрены различные варианты определения количества полных лет, месяцев и дней между датами с помощью формул Excel, макрокоманд Excelи недокументированных возможностей Excel.
Оценка эффективности долгосрочных инвестиций
i — ставка процента на капитал, минимальная ставка его рентабельности; К 0 — сумма первоначальных инвестиций в нулевом периоде
Теорема 1. Предел постоянной равен самой постоянной: .
Док-во. Проводится на основании определения, где в качестве можно взять любое положительное число. Тогда при .▲
Теорема 2. Функция не может иметь более одного предела в данной точке.
Док-во. Предположим противное. Пусть и , . Тогда по теореме о связи предела и БМ:
- БМ при ,
- БМ при . Вычитая эти равенства, получим:
.
На основании свойства 1 БМФ это есть БМ. Переходя в этом равенстве к пределу, получим:
,
.
Получено противоречие, доказывающее теорему.▲
Необходимые условия существования конечного предела функции.
Теорема3 (о локальной ограниченности) . Для существования конечного предела функции в точке необходимо, чтобы в некоторой окрестности этой точки (за исключением самой точки) функция была ограничена.
Теорема 4 (о локальном повторении функцией свойств предела). Для существования в точке конечного предела необходимо, чтобы в некоторой окрестности этой точки (за исключением самой точки) .
Достаточные условия существования конечного предела функции.
Теорема 5 (об арифметике). Если для и существуют конечные пределы, то для их суммы и произведения также существуют конечные пределы, причем:
;
.
Если , то существует конечный предел частного:
.
Док-во. Докажем, например, второе равенство.
Пусть существуют конечные пределы и . Докажем, что существует конечный предел .
Итак, мы должны доказать, что:
.
Возьмем произвольное . Найдем из условия , т.е. для этого : .
Найдем из условия , т.е. для этого :
.
Т.к. для по условию существует конечный предел в т. , то эта функция будет ограниченной в некоторой окрестности т. (по теореме о локальной ограниченности), т.е. - некоторой константы.
Положим . Проверим, что это - искомое. Действительно,
В силу произвольности можно считать утверждение доказанным (или можно было искать не по , а по ). ▲
Теорема 6 (о промежуточной функции). Пусть для функций и существуют конечные пределы в т., равные друг другу, и в некоторой окрестности т. , за исключением самой этой точки, выполняется условие:
. Тогда для тоже существует конечный предел в т. , равный значению пределов функций и .
Теорема 7 (о пределе монотонной ограниченной функции). Если функция монотонно возрастает (убывает) в некоторой окрестности т. и ограничена сверху (снизу), то она имеет в этой точке соответствующий односторонний предел.
Вычисление пределов функций.
Теорема об арифметике позволяет не только устанавливать факт существования конечного предела, но и вычислять его.
Пример. .
Однако, в ряде случаев теорема об арифметике не может быть применена.
, .
, . Теорему применять нельзя, хотя
.
В этих случаях говорят, что имеет место неопределенность. Для вычисления предела необходимо преобразовать функцию тождественным образом так, чтобы теорема об арифметике стала применима (т.е. раскрыть неопределенность).
К неопределенностям относят следующие ситуации:
, , , , , .
Пример. .
Замечательные пределы.
Теорема 1 (первый замечательный предел). Предел отношения синуса бесконечно малой дуги к самой дуге, выраженной в радианах, равен единице:
.
Док-во. Рассмотрим круг радиуса R с центром в точке О. Пусть сначала . Из рисунка видно, что .
;
;
.Таким образом,
.
Разделив обе части этого выражения на
>0, получим:
или .
Переходя в этом неравенстве к пределу при , получим: .
По теореме о промежуточной функции .
При полученные выводы также будут справедливы (доказать самостоятельно).▲
Следствия. ; ; .
Теорема 2 (второй замечательный предел). Числовая последовательность имеет конечный предел, равный числу е:
, ()
Следствия. ; .
; .
К числу е приводят многие задачи из области физики, биологии, ядерной физики, демографии и т.п. Рассмотрим применение второго замечательного предела в экономических расчетах.
Задача о непрерывном начислении процентов.
1. Простые проценты. В банк под проценты положена денежная сумма . Ежегодная процентная ставка составляет р %. Каков будет размер вклада Q через t лет?
При использовании простых процентов размер вклада ежегодно увеличивается на одну и ту же величину.
Через год сумма составит ,
Через два года: ;
Через t лет:
- формула простых процентов.
;
;
- формула сложных процентов.
Как можно добиться максимального роста положенной на вклад суммы?
Один из возможных способов – воспользоваться услугами банка по начислению процентов не один раз в году, а более.
Если начислять проценты n раз в году, то процент начисления за часть года составит %, а размер вклада за t лет при п ежегодных начислениях составит:
.
Например, при р=100%:
;
Предположим, что через полгода счет закрыт с результатом
,
а затем снова открыт в том же банке. Тогда через год сумма будет составлять
.
При ежеквартальном повторении этих операций сумма в конце года составит:
;
При ежемесячном повторении этих операций:
и т.д.
Предположим (абстрактно), что проценты начисляются непрерывно, т.е. . Тогда
.
- формула непрерывных процентов.
Таким образом, при в нашем примере , т.е. при непрерывном начислении процентов за год можно получить доход не более 172%, а через два года () можно увеличить начальный капитал более чем в 7 раз.
В практических финансово-кредитных операциях непрерывное начисление процентов не применяется, но используется в демографических, инвестиционных и др. расчетах.
Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.
Читайте также: