Сформулируйте основные свойства умножения вектора на число кратко
Обновлено: 02.07.2024
В данной публикации мы рассмотрим, каким образом вектор можно умножить на число (геометрическая интерпретация и алгебраическая формула). Также перечислим свойства этого действия и разберем примеры задач.
Геометрическая интерпретация произведения
Если вектор a умножить на число m, то получится вектор b , при этом:
- b || a
- | b | = |m| · | a |
- b ↑↑ a , если m > 0,
Таким образом, произведением ненулевого вектора на число является вектор:
- коллинеарный исходному;
- сонаправленный (если число больше нуля) или имеющий противоположное направление (если число меньше нуля);
Формула умножения вектора на число
Произведение ненулевого вектора на число – это вектор, координаты которого равняются соответствующим координатам исходного вектора, умноженным на заданное число.
Произведение ненулевого вектора на число - это вектор, коллинеарный данному (сонаправленный данному, если число положительное, имеющий противоположное направление, если число отрицательное), а его модуль равен модулю данного вектора, умноженному на модуль числа.
Алгебраическая интерпретация. Произведение ненулевого вектора на число - это вектор, координаты которого равны соответствующим координатам данного вектора, умноженным на число.
Формулы умножения вектора на число
Формула умножения вектора на число для плоских задач
В случае плоской задачи произведение вектора a = < ax ; ay > и числа k можно найти воспользовавшись следующей формулой:
Формула умножения вектора на число для пространственных задач
В случае пространственной задачи произведение вектора a = < ax ; ay ; az > и числа k можно найти воспользовавшись следующей формулой:
Формула умножения n -мерного вектора
В случае n -мерного пространства произведение вектора a = < a 1 ; a 2; . ; an > и числа k можно найти воспользовавшись следующей формулой:
Свойства вектора умноженного на число
Если вектор b равен произведению ненулевого числа k и ненулевого вектора a , то есть b = k · a , тогда:
a ↑↓ b , если k b и a противоположно направленные, если число k b | = | k | · | a | - модуль вектора b равен модулю вектора a умноженному на модуль числа k
Вектор является направленным отрезком прямой, то есть представляет собой отрезок с обозначенными граничными точками, одна из которых определяет его начало, в вторая — конец.
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Особенность такого действия, как умножение вектора на число заключается в том, что число является простой численной формой величины, для которого отсутствует направление, а вектор определяется в качестве направленного отрезка, обладающего численным измерением и направлением.
Подобная операция, как и вычитание, нередко используется при решении задач в математике, геометрии и физике.
В качестве примера можно рассмотреть случай из теории, при котором по дороге движутся машины в количестве двух штук. При этом скорость первого автомобиля составляет 30 км/ч, а второго — 60 км/ч. Достаточно просто определить, что вторая машина передвигается со скоростью, которая в два раза больше, чем скорость первой машины. Таким образом, скорость второго транспортного средства допустимо выразить с помощью скорости первого автомобиля путем умножения скорости первой машины на два.
Геометрическая и алгебраическая интерпретация умножения
Геометрическая интерпретация: произведением ненулевого вектора на число является вектор, который коллинеарный заданному, то есть сонаправлен данному вектору в том случае, когда число больше нуля, либо имеет противоположное направление при отрицательном значении числа, а его модель равен модулю данного вектора, умноженному на модуль числа.
Алгебраическая интерпретация: произведение ненулевого вектора на число представляет собой вектор с координатами, равными соответствующим координатам данного вектора, умноженным на число.
Яркий пример умножения вектора на число является второй закон Ньютона, который часто применяют при решении задач в физике. Если умножить обе части закона Ньютона на массу тела, то формула примет следующий вид:
Рассматриваемая формула записана в векторном виде:
В таком случае говорят не только о модулях, то есть длинах векторов. С помощью векторного вида можно определить направление вектора. Согласно рассмотренному ранее определению произведения вектора на число, результат подобной операции не влияет на направление вектора. Его нельзя повернуть на какой-либо угол путем умножения на число. Результат произведения отличается лишь длиной вектора. Таким образом, векторы \(\vec\) и \(\vec\) характеризуются одинаковым направлением, но отличается по длине. В данном случае длина векторов отличается в m раз.
Понятие, основные свойства
В том случае, когда вектор \(\vec\) равен произведению ненулевого числа k и ненулевого вектора \(\vec\) , то есть \(\vec=k*\vec\) , справедливы следующие утверждения:
Вектор можно умножить на число в виде скалярной величины. При этом в результате получится тоже вектор. После операции умножения длина заданного вектора изменится:
- длина вектора будет увеличена при умножении на число, модуль которого больше 1;
- длина вектора уменьшится в том случае, когда модуль числа меньше 1.
Если вектор умножить на положительное число, полученный вектор будет обладать таким же направлением, что и первоначальный. В том случае, когда предполагается произведение вектора на отрицательное число, полученный в результате вектор будет направлен в противоположную сторону.
При произведении вектора на число, он не может быть повернут на какой-либо угол по отношению к исходному положению. Таким образом, заданный и полученный векторы параллельны друг другу.
В том случае, когда есть информация о координатах вектора, при умножении его на число следует умножить каждую координату рассматриваемого вектора на данное число.
Данная запись представляет собой координаты вектора \(\vec.\)
Формулы применяющиеся при перемножении вектора и числа
В случае умножения вектора на число удобно использовать формулу умножения, предназначенную для решения плоских задач. При этом произведение вектора \(\vec=\left\;a_ \right\>\) и какого-то числа k вычисляют по формуле:
Примеры задач с решением
В данном случае целесообразно воспользоваться формулой для решения плоских задач:
В случае пространственной задачи следует воспользоваться следующей формулой:
Подставив числовые значения, получим:
Исходя из определения, для умножения заданного вектора на число \(\lambda =2\) требуется каждую координату вектора \(\bar\) умножить на это число. Таким образом:
В том случае, когда требуется найти искомое произведение, следует умножить каждую координату заданного вектора \(\bar\) на число \(\lambda =-3\) . В результате умножения вектора на число получим:
Согласно анализу рассмотренных закономерностей, действия с векторами аналогичны действиям с алгебраическими выражениями. По этому принципу требуется упростить следующую запись:
В первую очередь следует раскрыть скобки:
Далее необходимо привести подобные:
Имеется некий отрезок АВ. Точка С является серединой данного отрезка, точка О представляет собой произвольную точку плоскости. Также \(\vec=\vec\) и \(\vec=\vec.\) Требуется доказать, что:
Используя правило треугольника, можно выразить вектор \(\vec\) в виде суммы двух векторов:
Кроме того, следует отметить, что:
В результате получилась система двух уравнений:
Далее необходимо сложить уравнения системы:
Исходя из того, что С является серединой АВ, следует вывод: модули данных векторов равны, но они обладают разными направлениями. Таким образом, сумма векторов является нулевым вектором. В результате:
При делении обеих частей уравнения на 2 получим:
Следует раскрыть скобки и привести подобные:
Требуется доказать, что средняя линия трапеции и ее основания параллельны друг другу, а также средняя линия трапеции равна половине суммы оснований.
Известно, что средней линией трапеции соединены ее боковые стороны. Основания трапеции параллельны друг другу. Согласно правилу многоугольника, можно выразить вектор \vec как сумму векторов:
С другой стороны:
В результате получена система уравнений:
Следует сложить уравнения системы:
Векторы \(\vec\) и \(\vec\) обладают противоположными направлениями и в сумме дают нулевой вектор, так как М — середина АВ, то есть модули данных векторов равны, кроме того, они противонаправлены. Аналогично векторы \(\vec\) и \(\vec\) дают в сумме нулевой вектор. Таким образом, получаем:
Затем можно поделить обе части уравнения на 2:
В результате получено доказательство того, что средняя линия равна половине суммы оснований. Кроме того, прямая MN параллельна основаниям трапеции.
ГОСТ
Откладывание вектора от данной точки
Для того чтобы ввести понятие умножения вектора на число, сначала необходимо разобраться в таком понятии, как откладывание вектора от данной точки.
Введем следующую теорему:
От любой точки $K$ можно отложить вектор $\overrightarrow$ и притом только один.
Доказательство.
Существование: Здесь нужно рассмотреть два случая:
В этом случае, очевидно, что искомый вектор -- вектор $\overrightarrow$.
Рисунок 2. Иллюстрация теоремы 1
Теорема доказана.
Умножение вектора на число
Пусть нам дан вектор $\overrightarrow$ и действительное число $k$.
Произведением вектора $\overrightarrow$ на действительное число $k$ называется вектор $\overrightarrow$ удовлетворяющий следующим условиям:
Длина вектора $\overrightarrow$ равна $\left|\overrightarrow\right|=\left|k\right||\overrightarrow|$;
Векторы $\overrightarrow$ и $\overrightarrow$ сонаправлены, при $k\ge 0$ и противоположно направлены, если $k
Отметим, что в результате произведения вектора на число всегда получается векторная величина.
Свойства произведения вектора на число
Произведение любого вектора с числом ноль равняется нулевому вектору.
Доказательство.
По определению 2, имеем $\left|\overrightarrow\right|=\left|k\right|\left|\overrightarrow\right|=0\cdot \left|\overrightarrow\right|=0$, следовательно,$\overrightarrow=k\overrightarrow=\overrightarrow$
Для любого вектора $\overrightarrow$ и любого действительного числа $k$ векторы $\overrightarrow$ и $k\overrightarrow$ коллинеарны.
Доказательство.
Так как по определению 2, векторы $\overrightarrow$ и $k\overrightarrow$ сонаправлены или противоположно направлены (в зависимости от значения $k$), то они будут коллинеарны.
Для любых действительных чисел $m$ и $n$ и вектора $\overrightarrow$ справедлив сочетательный закон:
Доказательство этого закона иллюстрирует рисунок 3.
Рисунок 3. Сочетательный закон
Для любых действительных чисел $m$ и $n$ и вектора $\overrightarrow$ справедлив первый распределительный закон:
Доказательство этого закона иллюстрирует рисунок 4.
Рисунок 4. Первый распределительный закон
Для любого действительного числа $m$ и векторов $\overrightarrow$ и $\overrightarrow$ справедлив второй распределительный закон:
\[m\left(\overrightarrow+\overrightarrow\right)=m\overrightarrow+m\overrightarrow\]
Доказательство этого закона иллюстрирует рисунок 5.
Рисунок 5. Второй распределительный закон
Готовые работы на аналогичную тему
Пример задачи на использование понятия произведения вектора на число
Пусть $\overrightarrow=\overrightarrow+\overrightarrow$, $\overrightarrow=\overrightarrow-\overrightarrow$. Найти векторы:
Решение.
$2\overrightarrow+2\overrightarrow=2\left(\overrightarrow+\overrightarrow\right)+2\left(\overrightarrow-\overrightarrow\right)=2\overrightarrow+2\overrightarrow+2\overrightarrow-2\overrightarrow=4\overrightarrow$
$\overrightarrow+\frac\overrightarrow=\overrightarrow+\overrightarrow+\frac\left(\overrightarrow-\overrightarrow\right)=\overrightarrow+\overrightarrow+\frac\overrightarrow-\frac\overrightarrow=\frac\overrightarrow+\frac\overrightarrow=\frac<3\overrightarrow+\overrightarrow>$
$-\overrightarrow-\overrightarrow=-\left(\overrightarrow-\overrightarrow\right)-\left(\overrightarrow+\overrightarrow\right)=-\overrightarrow+\overrightarrow-\overrightarrow-\overrightarrow=-2\overrightarrow$
Геометрия:
Контакты
Умножение вектора на число обладает следующими основными свойствами.
Рисунок 1 иллюстрирует сочетательный закон. На этом рисунке представлен случай, когда k = 2, l = 3.
Рисунок 2 иллюстрирует первый распределительный закон. На этом рисунке представлен случай, когда k = 3, l = 2.
Пример 1. Коллинеарны ли векторы $2\overrightarrow \,и\, -\overrightarrow$ ?
Решение
а) Векторы $\overrightarrow \,и\, \overrightarrow$ — противоположные, поэтому $\overrightarrow = -\overrightarrow\text< , или >\overrightarrow = -\overrightarrow$ .
б) По правилу треугольника $\overrightarrow = \overrightarrow + \overrightarrow$ . Но $\overrightarrow = -\overrightarrow$ , поэтому $\overrightarrow = \overrightarrow + (-\overrightarrow) = \overrightarrow -\overrightarrow = \overrightarrow - \overrightarrow$ .
в) $\overrightarrow + \overrightarrow = \overrightarrow = -\overrightarrow = -\overrightarrow$.
Инструменты страницы
Записаться на занятия
Записаться на занятия к репетитору
Читайте также: