Роль математики в физике кратко
Обновлено: 02.07.2024
о, какой хороший вопрос, а то я тут все время возмущаюсь, что в школе у вас физика отдельно, а мухи отдельно, как в том анекдоте
мое любимое изречение, Гильберт сказал- математика- царица всех наук, математика- служанка всех наук
историю копните, дело в том, что в17в, например, никто не делил ученых на физиков и математиков- Ньютон, Гюйгенс занимались механикой, для описания движения тел они ввели производную, интеграл, математики тогда в чистом виде вообще не было. это уже позже. поэтому говорить в этом случае о роли математики нелогично- именно они развивали математику!! !
Далее- противоположный пример- квантовая механика и электродинамика-, что касается квантов- физики создали свой математический аппарат, скобки Пуассона, например, или как в электродинамике обойтись без тензорного анализа, короче
вам хватит понятия производной- изучите как и зачем она была введена, - это целый трактат, а вообще не увлекайтесь докладами, хоть за них ставят хорошие оценки- это расширяет кругозор, но не знания, занимайтесь физикой и математикой, а то тут спрашивают, как построить график S=3t.
Думаю, ни для кого не секрет, что абсолютно все физические законы так или иначе описываются математическими форумалами. И не только законы, но и постулаты теорий, а так же многие другие, более глубокие вещи.
Пожалуй, первым, кто качественно применил математику для описания законов природы, был Ньютон. Для простоты, попробуем рассмотреть законы Ньютона в математической формулировке.
2. Сила, действующая на тело, прямо пропорциональна ускорению и массе тела.
Математически этот закон записывается так:
, где:
- сила, действующая на тело;
- масса тела;
- ускорение тела;
3. Силы, действующие между двумя телами, равны по модулю и противоположны по направлению.
Математически этот закон записывается так:
, где:
- сила, с которой первое тело действует на второе;
- сила, с которой второе тело действует на первое;
Всё это в принципе кажется довольно простым и банальным аспектом физики, может быть даже слишком тривиальным. Чтобы показать важность правильного отождествления математических переменных с реальными объектами и их свойствами, попробуем зайти с другого конца.
Я запишу некоторую математическую функцию:
- это обычная линейная функция в плоскости xOy.
Казалось бы, что тут особенного?
Но если записать легенду к этой функции:
- ускорение тела;
- сила, действующая на тело;
- масса тела;
то получается, что эта функция есть ничто иное, как второй закон Ньютона! А её график характеризует изменение ускорения тела от силы, приложенной к нему, и его массы. Таким образом, произведя ассоциативное присваивание математическим переменным значений реальных свойств тел, мы получили зависимость этих свойств друг от друга.
Однако долгое время люди не осознавали, на сколько глубоко математические законы описывают природу вещей. Как оказалось потом, с помощью математических формул можно добывать не только численные предсказания явлений, но ещё новые знания о сущности самого явления. Так, например, в 1860-1865 годах Джеймс Максвелл сумел показать, что электричество и магнетизм - это просто два проявления одного действия - электромагнетизма. Более того, электромагнетизм и свет так же обладают одной и той же природой - это следует из математических тождеств, которые в своём результате дают скорость, совпадающую по значению со скоростью света.
Сегодняшняя физика просто немыслима без высшей математики. Многие открытые математические законы не могут быть наглядно проассоциированы, однако находят применение при более глубоком изучении природных явлений. Если 200 лет назад открытия делались на основе лишь здравого смысла и непосредственно наблюдаемых явлений, то сегодня многие выводы математических уравнений в физике просто напросто противоречат здравому смыслу человека и, тем не менее, находят своё подтверждение в экспериментах.
- Для учеников 1-11 классов и дошкольников
- Бесплатные сертификаты учителям и участникам
Муниципальный этап окружного конкурса творческих работ учащихся
Секция: Физика. Математика.
Ученицы ГБОУ СОШ с.Чёрный Ключ
Муниципального района Клявлинский
Лебакина Светлана Николаевна
учитель математики и физики
II. Теоретическое обоснование проблемы…………………………………………..…………
2.2.Результаты научно-теоретического исследования………………………………..………
Лучше всего продвигается естественное исследование,
когда физическое завершается в математическом.
Математика и физика обычно считаются наиболее трудными предметами школьного курса. Широко распространено мнение о том, что в школьном преподавании интеграция физики с математикой возможна только в классах с углубленным изучением этих предметов. Мы же считаем, что многие элементы такой интеграции могут сделать изложение физики более ясным и доступным на всех уровнях её изучения. Непонимание школьниками и абитуриентами какого-либо вопроса из курса физики или неумение решить физическую задачу часто связаны с отсутствием навыков анализа функциональных зависимостей, составлением и решением математических уравнений, неумением проводить алгебраические и геометрические построения.
Постановка вопроса: Во время первой мировой войны Альберт Эйнштейн, немецкий физик и математик, принявший в последствии американское гражданство, сделал чрезвычайное и неожиданное открытие, которое потрясло астрономов, физиков и математиков всего мира. Исходя из положений, которые большинству ученых казались ложными, Эйнштейн с помощью математического расчёта точно вычислил, что луч света подчиняется силе тяжести и если он проходит вблизи тяжелого тела, то притягивается и отталкивается в направлении к этому телу. Эйнштейн вычислил, насколько луч должен отклониться и Солнцем. Немедленно астрономы во всех частях света загорелись желанием проверить расчет Эйнштейна. Британское астрономическое общество с согласия правительства начало подготовку к этой проверке во время полного солнечного затмения, которое должно было произойти через два года. Только во время такого полного солнечного затмения можно было наблюдать лучи от какой-нибудь звезды, находящейся за Солнцем, когда они будут проходить вблизи Солнца. Так как ближайшее наиболее подходящее место для наблюдения затмения было в пустыне Южной Африки, то для экспедиции необходимо было подготовить много оборудования и многочисленный персонал. Всё это было сделано, и результаты проверки подтвердили расчеты Эйнштейна.
Тот факт, что расчет Эйнштейна оправдался, показал, на что способен человеческий разум, когда им руководит плодотворная гипотеза. Открытие Эйнштейна лишний раз свидетельствует, что математика может быть использована в качестве точного и строгого инструмента мысли. Тот факт, что все величайшие ученые древности были одновременно математиками, физиками и астрономами подтверждает тот факт, что по отдельности эти науки не существуют. Любое физическое утверждение является справедливым на основе опытных данных и математических выкладок. К сожалению, часто оказывается, что для учеников физика – сама по себе, математика – сама по себе.
В этой работе мы решили показать взаимосвязь изучаемого материала и возможность использования полученных в математике знаний для решения физических задач и наоборот.
1) Определить сущность, функции межпредметных связей и их классификацию;
2) Показать какие понятия математики и каким образом используются в физике.
Показать причины, по которым знания математики необходимы.
Определить необходимые математические понятия для физики.
Объект исследования математические приёмы и методы, физические законы, где возможно и необходимо их применение.
Методы, применяемые в работе: общенаучные, конкретно-научные, логические.
Попробуем показать и доказать вам какую же роль играет математика в физике.
Принцип межпредметной связи лежит в основе изучения физики, поскольку это наука включает знания из других областей и в свою очередь необходима для их понимания. При рассмотрении многих явлений и процессов на уроках физики нужны знания по многим другим предметам, таким как математики, географии, химии, биологии и другие. Вместе с тем и для изучения этих учебных дисциплин необходимы глубокие и прочные знания физики и методов физической науки (например, применение понятий энергии и закона сохранения и превращения энергии в биологических процессах; физические явления, законы и методы в астрономии и т.д.). это значит, что в принципе межпредметных связей находит своё воплощение дифференциация и интеграция наук, которые в настоящее время развиты так хорошо.
Возьмем известный всем математический объект — функцию. В школьной программе ее вводят в виде y = f ( x ) и подразумевают задание какой-то зависимости переменной y от переменной x .
Однако с точки зрения теории множеств, функция — это отображение одного множества в другое:
А с помощью абстрактной алгебры функцию можно представить в виде оператора, а набор значений x и y считать векторами. В данном описании задание функции эквивалентно заданию матрицы оператора F ^ F^ .
Y = F ^ X Y=F^X
А в теории возмущений, функции привычнее задавать в виде бесконечного ряда. Причем для разных областей определения функции конкретный вид ряда может отличаться.
f ( x )=∑ n = 0 ∞anxn
Но все чаще появляются публикации, в которых авторы критикуют процесс излишней математизации физики, затуманивающий, а порой и искажающий физическое содержание явлений.
Физика должна описывать реальную природу, математика же – плод человеческих размышлений. Математика базируется на формальной логике, для нее, например, равноправны и геометрия Эвклида, и геометрия Лобачевского, физика же должна отражать только одну реальную геометрию, существующую в природе. Но дело не только в формализме, присущем математике. Следует иметь в виду еще два обстоятельства.
Во-первых, подтверждение выводов некоей математической теории экспериментальными фактами еще не
говорит о том, что эта математическая теория единственно верная. Те же экспериментальные факты могут быть впоследствии подтверждены и другой математической теорией, и такие примеры в физике имеются. Например, колебательные процессы одинаково успешно описываются и тригонометрическими, и экспоненциальными функциями, и методом векторных диаграмм.
Во-вторых, в физике часто применяется разложение математических функций в ряд с пренебрежением третьего и последующих членов разложения ввиду их малости. Однако, то, что на данном этапе развития физики считается пренебрежительно малым и даже просто незаметным, в дальнейшем на другом уровне развития физики может сыграть исключительно важную роль. Это красочно описано в книге Б.Грина (2004), посвященной теории суперструн.
По всем этим причинам при изучении физики следует, прежде всего, обращать внимание на физическое содержание величин. Даже в тех случаях, когда их математическое описание не совпадает с физическим содержанием. Более того, именно в таких случаях это приобретает особое значение, ибо следует объяснять, почему такое случилось, и как следует понимать в этом свете излагаемый учебный материал.
2. Примеры принципиальных ошибок при применении математики в физике.
1. Прямолинейного движения в природе нет . Прямолинейной можно считать приближенно криволинейную траекторию, кривизна которой стремится к нулю, а радиус кривизны – к бесконечности. Прямая линия – это геометрическое, а не физическое понятие. В физике отрезок прямой линии характеризует кратчайшее расстояние между двумя точками пространства . Расстояние можно измерять в единицах длины, но длину траектории нельзя измерять без учета ее кривизны.
2. Движение в природе всегда связано с вращением, но это не всегда учитывается . Основная характеристика вращения – угол поворота , следовательно, он должен быть основной величиной, имеющей свою размерность и измеряемой в оборотах и его долях. Сейчас в физике угол поворота оценивается математической величиной – плоским углом , измеряемым в радианах. Вследствие этого угол поворота принудительно лишен полагающейся ему размерности, что до предела запутало всю терминологию и метрологию вращательной формы движения и периодических процессов . В настоящее время в связи с предстоящим переопределением единиц исправление этого недостатка пока не планируется.
3. В физике обязательно соблюдение принципа причинности , тогда как в математике его соблюдение не обязательно . В математике если a = b , то b = a . В физике это не так: если a функция от b , то b не может быть функцией от a . Если явление a произошло после явления b , то явление b не может произойти раньше явления a или даже одновременно с ним. В любых определяющих уравнениях в физике причина (аргумент) должна находиться в правой части уравнения, а следствие (функция) – в левой. На любом графике в физике аргумент должен откладываться на оси абсцисс, а функция – на оси ординат. К сожалению, в современной физике имеется большое число примеров нарушения этих очевидных положений.
4. Вне движения нет смысла говорить о пространстве и времени, а в математике это допускается . Пространство является вместилищем движения, а время отмеряет последовательность событий. Движение характеризуется количественно и качественно (по направлению). У движения есть своя количественная мера, и называется она энергией . А направление движения характеризуют импульс и угловой момент (или момент импульса). Пытаться построить всю совокупность физических величин, базируясь только на геометрических сочетаниях размерностей пространства и времени, как это сделал Р.Бартини и пытаются сделать его многочисленные последователи, может оправдать себя только в кинематике. Реальная природа должна описываться в динамике.
5. Безразмерных величин в природе нет , сам термин неверен . Каждая физическая величина имеет свой размер. В английском языке применяется термин "безразмерностная величина", но и этот термин тоже неверен. Каждая величина имеет свою размерность (если даже эта размерность соответствует 1) и свое определяющее уравнение, которое и определяет физическое содержание этой величины. Каждый критерий подобия (каждая относительная физическая величина) тоже имеет свое определяющее уравнение и потому свое собственное физическое содержание. И это не отменяется тем фактом, что в формуле размерности относительной величины все размерности имеют показатель степени, равный нулю. Физическое содержание любой величины
определяется не размерностью, а определяющим уравнением .
6. В природе нет материальных точек, а есть физические системы (тела) . Они имеют объём, могут вращаться вокруг собственного центра вращения, обладают свойством деформируемости и свойством переводить при своем движении энергию упорядоченного движения в энергию неупорядоченного движения. Поэтому консервативные системы являются математической абстракцией . Пренебрежение тем или иным свойством физической системы, конечно, существенно упрощает математические выкладки, но и попутно оттесняет физическое содержание на второй план.
7. В физике существуют величины, записывающиеся, как произведение величин, заключенное в скобки. Сомножители этих произведений нельзя сокращать , не теряя при этом физическое содержание таких величин (это, например, импульс, количество движения, движущийся заряд и токовый заряд ). При сокращении одного из сомножителей таких физических величин, подобные величиню просто исчезают из рассмотрения. В математике же сокращать равные величины в числителе и знаменателе не запрещается.
8. В физике направлением обладает только движение , его различные свойства и побуждающие движение физические величины . Только эти величины можно считать векторными . В математике же можно любую геометрическую величину объявить векторной. Например, в физике при движении электрических зарядов по проводнику векторной величиной должен являться сам поток зарядов ( электрический ток ). При привлечении же математики допускается назначить векторной величиной длину элемента проводника, а поток зарядов сделать скалярной величиной. В физике вектором является поток вещества , а при привлечении математики вектором становится площадь сечения этого потока. В итоге в современной физике при изучении потоков порой не просматривается их физическое содержание.
9. В математическом методе векторных диаграмм вращающийся радиус-вектор не является физической величиной . В этом методе, широко применяющемся для анализа реальных колебательных процессов, вращение радиус-вектора лишь сопоставляется с колебаниями физической величины, которая, в принципе, может не иметь никакого отношения к процессу вращения радиус-вектора. В результате терминология и метрология периодических процессов оказалась нуждающейся в радикальном пересмотре.
1.нужна ли математика в физике?
2.Используете ли вы математику на уроках физики?
3 .Всегда ли вы понимаете ,что учите?
4.Можно ли обойтись на физике без математики?
5.Легко ли даются тебе математика и физика?
6 .Встречал ли ты при изучении физики и математики,повторяющиеся темы?
7.1.Считаешь ли ты, что если совместить контрольные работы по физике и математике при дублирование тем, то качество усвоения предметов будет выше?
7.2.Эмоциональные и физические нагрузки на учащихся уменьшатся?
7.3.количество пропусков контрольных работ по данным предметам уменьшится?
На основе результатов данного исследования, мы можем с уверенностью сказать, что математика необходима в физике.
Значение математики для физики очень огромно. Математика предопределяет большинство законов природы. Она является специальным языком, помогающим исследовать не только окружающий нас мир, но и целую Вселенную. Математика, как фундаментальная наука, является системой различных методов, которые помогают развитию естественных наук в различных направлениях. Применение математики в физике и естественных науках очень огромно, в каждой науке есть хоть одна частица применения математики, что и было представлено в вышеуказанных примерах. Математика – это наука, помогающая другим научным дисциплинам. Математика – это язык развития предметных дисциплин естествознания. Математика – это скопление методов исследования различных наук. Математика применяется всеми естественными науками в большой мере. Математика взаимосвязана с естествознанием, что и было доказано в этой работе.
Под математизацией науки понимают использование математического языка не только в физике, но и в других науках о природе, а также внедрение математических методов в области, ранее весьма далекие от их влияния – в экономику, медицину, психологию, лингвистику и в теорию искусства. В настоящем разделе мы рассмотрим математизацию физики и связанных с ней наук, относящихся к точному естествознанию. Фактически именно в этой сфере накоплен огромный материал, имеется богатая традиция, восходящая к античности, и ряд фундаментальных философско-методологических проблем.
Математизацию науки мы будем понимать как применение математики для теоретического представления научного знания. При этом речь пойдет не только вспомогательном, чисто вычислительном аспекте, но и о таком понимании роли математики, когда она является главным источником представлений и принципов, на основе которых зарождаются новые теории.
В значительной степени наше рассмотрение проблемы математизации будет носить исторический характер: от Античности до современности.
Античное наследие было сохранено и приумножено (в плане математизации научного знания) арабскими учеными и средневековыми мыслителями. Р.Бэкон, например, считал что в основе всех наук должна лежать математика. Наиболее впечатляющим достижением математического подхода в астрономии стала гелиоцентрическая система Н.Коперника.
Ньютоновские законы движения благодаря созданию дифференциального и интегрального исчисления отличались от законов и представлений его предшественников тем существенным признаком, что они носили дифференциальный характер. Впервые в науке стало возможным из состояния движения в данный момент времени выводить состояние, непосредственно следующее за ним. Некоторые мыслители считают, что дифференциальный закон является той единственной формой причинного объяснения, которая может полностью удовлетворить современного физика.
В дальнейшем были выявлены и другие математические представления механики, положившие начало феномену аналитической механики, нацеленному на изучение структур классической механики. оказалось, что ее можно сформулировать как вариационное исчисление, как теоерию дифференциальных уравнений с частными производными первого порядка, как риманову геометрию, как симплектическую геометрию. Эти отождествления оказали решающее воздействие на развитие математики в 19 в. и выявили структурно-математическую мощь классической механики. Лагранжев, гамильтонов и другие формализмы аналитической механики обнаружили удивительную живучесть, сыграв важную роль в создании квантовых и релятивистских теорий 20 в. Кстати говоря, аналитическая механика стала первым образцом математической физики, которая, в отличие от теоретической физики, во главу угла ставит исследование математических структур физики.
Классико-механическая программа (и соответствующая картина мира) открыла описанный выше способ математизации точного естествознания, который, несмотря на значительное количество приверженцев, оказался ограниченным. Физика (как наука о свете, теплоте, электричестве и магнетизме), которая, за небольшим исключением, до начала 19 в. не имела теоретического оформления, подобного классической механике, потребовала привлечения нового типа математизации. Решающим поворотом стало интенсивное использование математического анализа для представления феноменологических отношений в теоретической форме, не сводящейся к классической механике. На этом пути в первой четверти 19 в. были созданы (в основном усилиями французских ученых) математическая электростатика, теория теплопроводности, элементы термодинамики, волновая оптика.
В 1860-1870-х гг. создание классической физики, сопряженное с ее математизацией, в основном было завершено (теория электромагнитного поля Максвелла, термодинамика В.Томсона и Р.Клаузиуса, основы статистической механики Максвелла и Л. Больцмана). Математический анализ, и прежде всего теория дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка, оставался основной математической структурой классической физики. Но вместе с тем важными дополнительными инструментами ее математизации стали векторное исчисление и теория вероятностей. В кристаллографии получила применение теория групп. К концу 19 в. выявилась фундаментальная особенность основных дифференциальных уравнений классической физики – их вариационная структура, т.е. возможность их получения на основе вариационного исчисления (из вариационных принципов, прежде всего принципа Гамильтона). Забегая вперед, подчеркнем, что и фундаментальные дифференциальные уравнения (поля), фигурирующие в квантовой механике, общей теории относительности, квантовой теории поля и элементарных частиц (т.е. уравнения Шредингера, Эйнштейна, Дирака и др.), как выяснилось впоследствии, тоже выводимы из вариационного принципа. Вариационность основных уравнений физики позволяет связать основные законы сохранения с симметриями (группами инвариантности) соответствующих теорий в духе теоремы Нетер.
Математизация других естественных наук осуществлялась через посредство физики и классической механики (небесная механика, астрофизика, некоторые разделы химии). А.Пуанкаре на рубеже 19-20 вв. связал математико-аналитическую (т.е. опирающуюся на математически анализ и дифференциальные уравнения) природу классической физики с ее локальностью и однородностью. В результате знание элементарного факта позволяло получить описание процесса посредством дифференциальных уравнений, интегрирование которых вело к описанию множества наблюдаемых явлений. Отсутствие в биологии характерных для физики локальности, однородности, простых элементарных соотношений, согласно Пуанкаре, препятствовало математизации биологических наук.
Триумфы интенсивной математизации в создании неклассической физики привели к такому пониманию роли математики, когда она рассматривается не только как средство количественного описания явлений, но и как генератор фундаментальных физических понятий и теоретических построений. Вплоть до настоящего времени надежды на прорыв в фундаментальной физик теоретики связывают с поиском математических структур, математических образов, ранее не связывавшихся с реальностью. По существу, это близко к методу математической гипотезы, важность которого в неклассической физике подчеркивал еще С.И.Вавилов.
На стыке различных наук во второй половине 20 в. сформировалось новое синтетическое направление математизации науки, получившее название синергетики, или нелинейной динамики, в котором центральное место заняли нелинейные задачи, процессы самоорганизации и стохастизации динамики. С одной стороны, в рамках этого направления удалось решить ряд важных задач физики и техники, а также математизировать важные разделы химии, биологии и социальных наук; с другой – это привело к новым импульсам для развития математики (нелинейные дифференциальные уравнения, фрактальная геометрия, теория особенностей дифференциальных отображений и т.д.).
Математизация физики соответствует нередко обратный процесс – физикализация математики. Это выражается, с одной стороны, в содержательности и плодотворности математических концепций, порожденных физикой. С другой стороны, теоретическая физика иногда побуждает математиков к преобразованию даже оснований математики.
При анализе общих перспектив применения математики к познанию материальной действительности необходимо подчеркнуть необходимость предварительных качественных преобразований в самой математике, связанных с диалектикой непрерывного и дискретного. Некоторые методологи отмечают, что в ней вплоть до настоящего времени преимущественно разрабатывается концепция непрерывности. Хороших методов описания и анализов процессов дискретной природы математика впрок не заготовила. Вместе с тем дискретность структуры материальных систем есть одна из определяющих особенностей строения материи. Соответственно этому и встает вопрос об особом математическом инструментарии.
Спорным является вопрос о том, считать ли математизацию одним из методологических принципов физики, наряду с принципами симметрии, соответствия и др., или рассматривать ее как отдельную общую черту теоретизации научного знания. Независимо от ответа на этот вопрос следует признать, что математизация всегда была и продолжает оставаться главным и эффективнейшим средством теоретизации научного знания, развитие которого оказывает мощное воздействие на саму математику. При этом приходится констатировать, что проблема математизации науки относится е числу важнейших проблем методологии науки, требующих дальнейшего исследования.
Изучая школьную программу, каждый, наверное, интуитивно относил математику и физику к одной области знаний, отделяя их, к примеру, от химии с биологией и тем более от русского языка с литературой. То общее между этими предметами, что сразу бросается в глаза, - это необходимость решить задачу. Что же объединяет физику и математику на более глубинном уровне?
Физика - задача, математика - инструмент
Как все знают, физика описывает законы и принципы функционирования явлений материального мира. То есть это наука по большей части практическая.
Математика же, напротив, - наука сугубо теоретическая. Она принципиально описывает и изучает объекты, о которых ничего не известно. И даже если требуется решить задачу с предметами реальными, математика сначала абстрагирует и идеализирует их, превратит в форму, функцию и только тогда уже приступит к решению.
Тем не менее, эти две противоположности - физика и математика - именно в силу своих различий не могут существовать друг без друга, будучи тесно взаимосвязаны.
В первую очередь, математика - это "язык" для множества других наук и особенно для физики. Любые физические законы записываются средствами математики, без математики физические явления остались бы несформулированными.
С другой стороны, именно физика ставит перед математикой задачи, требующие решения. Для того чтобы создать абстрактную формулу, математика должна "получить заказ" на нее от физики. Необходимость изучать физические явления влечет за собой необходимость их формулировки и - как следствие - поиска новых решений, развития математического аппарата. Без новых задач математика как наука застыла бы и перестала развиваться.
Таким образом, математика и физика тесно взаимосвязаны и "обязаны" друг другу своим существованием и развитием.
Наш искусственный интеллект решает сложные математические задания за секунды.
Мы решим вам контрольные, домашние задания, олимпиадные задачи с подробными шагами. Останется только переписать в тетрадь!
Читайте также: