Раскройте основные положения десятичной системы счисления в начальной школе

Обновлено: 14.05.2024

Система счисления — это набор правил записи чисел посредством конечного набора цифр.

Системы счисления разделяются на:

позиционные, в которых значение цифры зависит от позиции;
непозиционные — самое древнее представление, когда значение цифры не зависит от позиции или от положения в записи числа (римские цифры, унарные цифры и другие).

Основание системы счисления — это количество цифр, используемых в данной системе.

Вес разряда — это отношение количественного эквивалента цифры в данном разряде к количественному эквиваленту такой же цифры в нулевом разряде:

p i = s i , г д е i - н о м е р р а з р я д а , s - о с н о в а н и е с и с т е м ы с ч и с л е н и я .

Разряды числа нумеруются справа налево. Младший разряд имеет номер ноль. Разряды дробной части нумеруются отрицательными числами:

1 2 2 1 3 0 , 4 - 1 5 - 2

Что такое десятичная система счисления

Десятичная система счисления — это система счисления по целочисленному основанию 10 (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 арабские цифры). Она является позиционной системой счисления и наиболее распространенной.

Ученые утверждают, что использование такой распространенной системы связана с количеством пальцев на руках у человека.

Десятичные цифры используют в двоично-десятичном кодировании в двоичных компьютерах.

Алгоритм перевода чисел из любой системы счисления в десятичную

Перевести целое число с основанием q в десятичное можно с помощью следующего алгоритма:

A n = a n - 1 · q n - 1 + a n - 2 · q n - 2 + . . . + a 0 · q 0 , г д е А - ч и с л о , q - о с н о в а н и е с и с т е м ы с ч и с л е н и я , n - к о л и ч е с т в о р а з р я д о в ч и с л а .

Также можно переводить дроби с основанием q в десятичную систему счисления. Воспользуемся следующей формулой:

A n = a n - 1 · q n - 1 + a n - 2 · q n - 2 + . . . + a 0 · q 0 + a - 1 · q - 1 + . . . a - m · q - m , г д е А - ч и с л о , q - о с н о в а н и е с и с т е м ы с ч и с л е н и я , n - к о л и ч е с т в о ц е л ы х р а з р я д о в , m - к о л и ч е с т в о д р о б н ы х р а з р я д о в .

Примеры решения задач

Дано число в двоичной система 10011. Перевести число в десятичную систему счисления.

10011 2 = 1 ∙ 2 4 + 0 ∙ 2 3 + 0 ∙ 2 2 + 1 ∙ 2 1 + 1 ∙ 2 0 = 1 ∙ 16 + 0 ∙ 8 + 0 ∙ 4 + 1 ∙ 2 + 1 ∙ 1 = 16 + 0 + 0 + 2 + 1 = 19 10

Перевести в десятичную систему счисления число 17 из восьмеричной системы.

17 8 = 1 ∙ 8 1 + 7 ∙ 8 0 = 1 ∙ 8 + 7 ∙ 1 = 8 + 7 = 15 10

Перевести из пятеричной системы счисления число 20341 в десятичную систему.

20341 5 = 2 ∙ 5 4 + 0 ∙ 5 3 + 3 ∙ 5 2 + 4 ∙ 5 1 + 1 ∙ 5 0 = 2 ∙ 625 + 0 ∙ 125 + 3 ∙ 25 + 4 ∙ 5 + 1 ∙ 1 = 1250 + 0 + 75 + 20 + 1 = 1346 10

Число 0,F3D0 из шестнадцатеричной системы счисления перевести в десятичную систему.

0 . F 3 D 0 16 = 0 ∙ 16 0 + F ∙ 16 - 1 + 3 ∙ 16 - 2 + D ∙ 16 - 3 + 0 ∙ 16 - 4 = 0 ∙ 1 + 15 ∙ 0 . 0625 + 3 ∙ 0 . 00390625 + 13 ∙ 0 . 000244140625 + 0 ∙ 1 . 52587890625 E - 5 = 0 + 0 . 9375 + 0 . 01171875 + 0 . 003173828125 + 0 = 0 . 952392578125 10

Перевести в десятичную систему счисления двоичное число 101,11.

101 , 11 2 = 1 · 2 2 + 0 · 2 1 + 1 · 2 0 + 1 · 2 - 1 + 1 · 2 - 2 = 4 + 0 + 1 + 0 , 5 + 0 , 25 = 5 , 75 10

Трудности в развитии науки были преодолены с созданием в Древней Индии десятичной системой записи чисел и понятия нуля. Ее завезли в Европу арабские купцы, поэтому ее долго называли арабской.

В десятичной системе счисления для записи чисел используются 10 знаков (цифр): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Для краткости записи цифры пишут друг за другом, а значение цифры зависит от ее места, считая справа налево.

5 •10 3 + 4 • 10 2 + 5 • 10 + 7.

Десятичной записью числа х называется его представление в виде:

х = а_п • 10 п + а_п-1 • 10 п-1 +. + а₁ • 10 + а₀, где а_п, а_п-1. а₁, a₀ принимают значения:0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, и а_п¹0.

Краткая запись числа выглядит так: а_п а_п-1. а₁ a₀.

Числа 1,10,10 2 ,10 3 . 10 n называются разрядными единицами соответственно первого, второго и т.д. разряда.

10 единиц одного разряда составляют 1 единицу следующего высшего разряда.

10 – основание системы счисления, поэтому она называется десятичной.

Три первых разряда образуют класс единиц, следующие три разряда - классом тысяч, затем идет класс миллионов и др.

Для записи любого числа достаточно 10 цифр. Для называния чисел в пределах миллиарда достаточно 16 различных слов: один, два, три, четыре, пять, шесть, семь, восемь, девять, десять, сорок, девяносто, сто, тысяча, миллион, миллиард. Остальные названия чисел получаются из основных.

Некоторые вопросы наименования и записи чисел можно рассматривать с дошкольниками. Например:

Объяснение происхождения названий чисел второго десятка, счет десятками дает хорошую подготовку дошкольникам к усвоению десятичной системы счисления в курсе математики в школе.

Задания для самостоятельной работы

1. Приведите примеры деятельности дошкольников в соответствии с этапами развития числа:

а) непосредственное сравнение множеств,

б) опосредованное сравнение множеств,

в) сравнение множеств на основе счета,

г) запись чисел и действий.

2. Придумайте правило счета для дошкольников в целях предотвращения ошибок.

3. Сформулируйте вопросы дошкольникам с целью уточнения их представлений о количественном и порядковом значении числа.

4. Придумайте диалог с дошкольником, показывающий происхожде-ние названия чисел второго десятка и круглых чисел в пределах 100.

Лекция 6

ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ

1. Понятие текстовой задачи.

2. Способы решения задачи.

3. Основные этапы решения задачи.

4. Моделирование в процессе решения задачи.

В десятичной системе счисления для записи чисел используются 10 знаков (цифр): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Для краткости записи цифры пишут друг за другом, а значение цифры зависит от ее места, считая справа налево.

5 •10 3 + 4 • 10 2 + 5 • 10 + 7.

Десятичной записью числа х называется его представление в виде:

х = а_п • 10 п + а_п-1 • 10 п-1 +. + а₁ • 10 + а₀, где а_п, а_п-1. а₁, a₀ принимают значения:0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, и а_п¹0.

Краткая запись числа выглядит так: а_п а_п-1. а₁ a₀.

Числа 1,10,10 2 ,10 3 . 10 n называются разрядными единицами соответственно первого, второго и т.д. разряда.

10 единиц одного разряда составляют 1 единицу следующего высшего разряда.

10 – основание системы счисления, поэтому она называется десятичной.

Некоторые вопросы наименования и записи чисел можно рассматривать с дошкольниками. Например:

Задания для самостоятельной работы

1. Приведите примеры деятельности дошкольников в соответствии с этапами развития числа:

а) непосредственное сравнение множеств,

б) опосредованное сравнение множеств,

в) сравнение множеств на основе счета,

г) запись чисел и действий.

2. Придумайте правило счета для дошкольников в целях предотвращения ошибок.

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Описание презентации по отдельным слайдам:

Система счисления –
язык дл наименования, записи чисел и выполнения действий над ними
(Л.П. Стойлова)

Виды систем счисления:
позиционные;
непозиционные
(Л.П. Стойлова)

Позиционные системы счисления – системы, в которых один и тот же знак может обозначать различные числа в зависимости от места (позиции), занимаемого этим знаком в записи числа
(Л.П. Стойлова)

Непозиционные системы счисления – системы, в которых каждый знак (из совокупности знаков, принятых в данной системе для обозначения чисел) обозначает одно и то же число, независимо от места (позиции), занимаемого этим знаком в записи числа
(Л.П. Стойлова)

В десятичной системе счисления для записи чисел используют
10 знаков (цифр):
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Десятичная запись натурального числа х - …….?
(ключ – Л.П. Стойлова, А.М. Пышкало, раздел 10, пункт 65, стр. 166)

РАЗМЫШЛЯЕМ
Чем определено место числа в ряду чисел?

Место в ряду чисел определено СПОСОБОМ его ПОЛУЧЕНИЯ:
каждое следующее число становится в ряду справа от предыдущего

Что нужно ребенку для понимания такого расположения чисел?

ЧИСЛО ПРЕДЫДУЩЕЕ стоит левее данного?
Когда оно называется при счете?

ЧИСЛО ПРЕДЫДУЩЕЕ стоит левее данного; при счете называется непосредственно перед данным; количественно содержит на 1 единицу меньше данного.

ЧИСЛО ПОСЛЕДУЮЩЕЕ (СЛЕДУЮЩЕЕ) стоит ……. данного?
Когда оно называется при счете?

ОБРАЗОВАНИЕ ЧИСЕЛ:
присчитывание и отсчитывание по 1 (с иллюстрацией на предметах)
положили 2 палочки, добавили еще 1. Сколько стало палочек? Как получили 3 палочки?

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ ИЛЛЮСТРАЦИЙ:

ПРИВЕДИТЕ ПРИМЕР ЗАДАЧИ

ЧЕРЧЕНИЕ И ИЗМЕРЕНИЕ ОТРЕЗКОВ:

ЗАДАНИЯ НА ЗАПОМИНАНИЕ МЕСТА ЧИСЛА:

РАБОТА С РАЗЛИЧНЫМИ УМК

Благодарим
за внимание!

подготовка к ЕГЭ/ОГЭ и ВПР
по всем предметам 1-11 классов

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Курс повышения квалификации

Дислексия, дисграфия, дискалькулия у младших школьников: нейропсихологическая диагностика и коррекция

Курс добавлен 24.12.2021
Сейчас обучается 212 человек из 54 регионов

Курс повышения квалификации

Актуальные вопросы теории и методики преподавания в начальной школе в соответствии с ФГОС НОО

ЗП до 91 000 руб.
Гибкий график
Удаленная работа

Дистанционные курсы для педагогов

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 611 669 материалов в базе

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Другие материалы

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

22.11.2021 257
PPTX 689 кбайт
6 скачиваний
Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Филатова Наталья Анатольевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

40%

Подготовка к ЕГЭ/ОГЭ и ВПР
Для учеников 1-11 классов

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Рособрнадзор предложил дать возможность детям из ДНР и ЛНР поступать в вузы без сдачи ЕГЭ

Время чтения: 1 минута

Россияне ценят в учителях образованность, любовь и доброжелательность к детям

Время чтения: 2 минуты

В Госдуме предложили ввести сертификаты на отдых детей от 8 до 17 лет

Время чтения: 1 минута

Минобрнауки и Минпросвещения запустили горячие линии по оказанию психологической помощи

Время чтения: 1 минута

Школы граничащих с Украиной районов Крыма досрочно уйдут на каникулы

Время чтения: 0 минут

Время чтения: 2 минуты

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Все вычисления в математике выполняются в позиционной десятичной системе счисления. Кратко об особенностях десятичной системы можно прочитать в данной статье.

Что такое десятичная система счисления

В десятичной системе для представления чисел использует десять арабских цифр от 0 до 9, соответственно основанием десятичной системы счисления является число 10.

Историки, изучающие культуру древнего востока, в Индии обнаружили плиту с начертанием числа в позиционной десятичной системе. Возраст найденного артефакта составляет порядка 1,5 тысяч лет. Здесь же в древней Индии впервые используется ноль, как самостоятельная цифра.

Рис. 1. Индийские цифры, эволюция индийских цифр.

Развернутая форма представления десятичного числа

Важным понятием в позиционном подходе представления чисел является понятие разряда. Различают разряды единиц, десятков, сотен, тысяч и так далее. Любое десятичное число можно представить, в так называемом развернутом виде, когда число записывается в виде суммы разрядных слагаемых, представленных в виде произведения значащей цифры разряда и числа десять в степени соответствующего разряда.

Например, десятичное число 46758 в развернутом виде будет выглядеть следующим образом:

46758 = 4 * 10^4 + 6 * 10^3 + 7 * 10^2 + 5 * 10^1 + 8 * 10^0

46758 = 4 * 10000 + 6 * 1000 + 7 * 100 + 5 * 10 + 8 * 1

Прямой перевод числа из десятичной системы

Перевод целого десятичного числа в какую-либо систему счисления выполняется путем поочередного деления самого числового значения, а затем полученных частных на основание системы счисления, в которую производится перевод.

Например, для перевода десятичного числа в двоичную систему выполняют деление на два, в восьмеричную – на восемь, в шестнадцатеричную – на шестнадцать. В принципе, десятичное число можно перевести и в пятеричную и семеричную системы, выполнив деление на пять или семь.

Выполнив первый шаг деления на, например, два, остаток запоминают, а полученное частное снова делят на основание. Эту операцию выполняют до тех пор, пока последнее частное не будет меньше или равно делителю.

Записывать сформированное число в новой системе счисления необходимо начиная с итогового частного и затем друг за другом выписывая остатки от деления от последнего к первому.

Например, прямой перевод числа 27 из десятичной системы в двоичную выполняют так:

27 / 2 = 13 и остаток 1

13 / 2 = 6 и остаток 1

6 / 2 = 3 и остаток 0

3 / 2 = 1 и остаток 1

Таким образом, 27 в двоичном формате это число 11011.

Для перевода чисел в пределах можно пользоваться таблицей соответствия десятичных и двоичных чисел

Рис. 2. Таблица соответствия двоичных и десятичных чисел.

Обратный перевод числа в десятичную систему

Для перевода чисел в десятичную систему удобно пользоваться развернутой формой. При этом числовые значения записываются в виде суммы произведений цифр разрядов на основание текущей системы счисления в степени разряда.

Например, двоичное число 11011 можно представить так:

1 * 2^4 + 1 * 2^3 + 0 * 2^2 + 1 * 2^1 + 1 * 2^0 = 1 * 16 + 1 * 8 + 0 * 4 + 1 * 2 + 1 * 1 =27

Для упрощения вычислений удобно пользоваться таблицей степени двойки

Рис. 3. Степени двойки.

Что мы узнали?

В десятичной позиционной системе для представления числовых значений используются десять арабских цифр. Числа в такой системе можно представлять в развернутом виде. Перевод десятичных чисел в другую систему выполняется путем поочередного деления на основание новой системы счисления. Обратный перевод удобно выполнять с использованием развернутой формы записи числа.

Читайте также: