Применение геометрического смысла производной к решению задач школьного курса математики

Обновлено: 02.07.2024

Учебный материал отобран на основе ознакомления с соответствующими разделами учебной литературы, а именно (см. главу 6 данной методической разработки).

Материал, который нужно рассмотреть на уроке, полностью соответствует учебному плану и рабочей программе. В методической разработке использованы исторический материал (биографии ученых - математиков), приведены целесообразные примеры из жизни (применение производной в естественных, социальных, экономических науках), показана взаимосвязь математики с историей, географией, искусством, литературой (в методической разработке приведены учебные задания для учеников 11-ых классов, которые содержат познавательную информацию, работа над такими заданиями позволяет формировать у учащихся математические навыки, и дает возможность воспитывать любознательность, а учителю - создать положительный эмоциональный фон на уроке).

Вложение	Размер
geometricheskiy_smysl_proizvodnoy.docx	148.53 КБ

Предварительный просмотр:

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

11 класс (17-18 лет)

Автор: Новикова Светлана Сергеевна

2.Подготовка учителя к уроку

Многолетний опыт проведения уроков по математике с применением интересных рассказов об ученых - математиках, с применением культурных ценностей предопределяет восприятие детьми сложных математических понятий. Поэтому основная часть урока построена в форме познавательной игры. Игра, как метод обучения, организует, развивает учеников, воспитывает личность.

При подготовке учителя к уроку нужно продумать структурную организацию урока, а также продумать:

1) возможности класса, где будет проводиться урок;

2) анализ всех затрат времени в учебном процессе на повторение опорных знаний, формирование навыков, закрепление, контроль и коррекцию знаний и умений.

При проведении урока используются следующие методы:

а) по традиционной классификации:

- устные и письменные упражнения - практические;

- метод компьютерной презентации;

- устный и письменный контроль в виде фронтального опроса и самостоятельной работы - методы контроля;

- познавательная игра (для стимулирования познавательного интереса);

б) согласно классификации по типу познавательной деятельности

(И. Я. Вернер, М. Н. Скаткин):

в) по дидактическим целям (Щукин):

- методы, способствующие закреплению и совершенствованию приобретенных знаний.

При проведении урока были продуманы такие средства обучения:

а) наглядные средства (плакаты, таблицы);

б) дидактические раздаточные материалы (карточки с заданиями);

в) технические средства обучения (компьютер).

Вид урока: практический.

Тема урока: Выполнение упражнений по теме "Производная функция, ее геометрический и механический смысл".

1. Формирование и закрепление умений и навыков учащихся в нахождении производных элементарных и сложных функций;

2. Формирование и закрепление умений и навыков учащихся решать задачи, используя геометрический и механический смысл производной.

3. Проверить сформированные умения и навыки учащихся по теме: "Производная функции, ее геометрический и механический смысл" написанием разноуровневой самостоятельной работы.

1. Расширить представление учащихся и показать широкие возможности математики:

а) межпредметные связи с литературой, географией, искусством, историей (все это способствует усвоению учениками культурных ценностей);

б) заинтересовать историей развития математики, биографиями известных ученых-математиков.

2. Воспитание любознательности, умения сосредотачиваться в нестандартных условиях.

1. Развивать математические способности, логическое мышление, сообразительность и память учащихся.

1. Методы организации и осуществления учебно-познавательной деятельности:

Наглядные: компьютерная презентация;

Практические: устные и письменные упражнения.

2. Методы стимулирования и мотивации учебно-познавательной деятельности:

3. Методы контроля и самоконтроля в обучении:

Методы устного контроля: устное выполнение упражнений, фронтальный опрос;

Методы письменного контроля: самостоятельная письменная работа.

1. Компьютер, экран.

2. Плакаты с заданиями.

3. Плакаты с цитатами об ученых математиках: Лейбнице Г.Ф. и Ньютоне И.

Цитата о Лейбнице:

Цитата о Ньютоне:

4 Раздаточный материал: карточки с заданиями по вариантам.

5. Плакаты с изображениями великих ученых.

1. Алгебра и начала математического анализа: учеб. пособие для 11 кл. / С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников, А. В. Шевкин, М.: Просвещение, 2008. – С. 89-111.

2. Математика: Учебник / А.Н. Афанасьев, Я.С. Бродский, А.Л. Павлов, А.К. Слипенко, - М.: шк.2001. - С. 112-130.

3. Алгебра и начала анализа: Учеб. Для 10-11 кл. / Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров – М.: Просвещение, 2004. – С. 225-253.

1. Роганин О.М. Алгебра и начала анализа: 11классов: Планы-конспектов уроков. Х -.: АО, 2002. - С. 44-81.

3. Перькова А., Сазанова Л. Встреча с Пушкиным на уроках математики / / Математика -1999. - № 17. - С. 2-7.

4. Гутман Н. Урок с обучающими карточками / / Математика. - 2000. - № 34. - С. 12-15.

1. Организационный момент.

Учитель приветствует учащихся, проверяет отсутствующих.

Мотивация учебной деятельности.

3. Актуализация опорных знаний.

1. Устное решение упражнений (с помощью компьютерной презентации на экране высвечивается таблица с заданиями, и учащиеся устно решают примеры).

2. Фронтальный опрос по вопросам: геометрический и механический смысл производной. Также выступления учеников с докладами о великих математиках: Г.Ф. Лейбнице и И. Ньютоне.

4. Формирование умений и навыков.

Проводится в форме познавательной игры. Учащимся предлагается вопрос из одной области: геометрия, география, искусство, общие знания, история, литература, Пушкин. Если ученик не может ответить на поставленный вопрос, то ему необходимо решить математическое задание или математическую задачу. Вопросы по конкретной области записаны на карточке. Решив математическую задачу, ученик легко находит правильный ответ на вопрос (один ученик работает у доски, остальные решают математические задачи и упражнения у себя в тетрадях).

После каждого задания учитель или ученики объясняют ответ на поставленный вопрос (дают более полный ответ).

1. Решение упражнений на нахождение производной элементарных функций;

2. Решение упражнений на нахождение производной сложных функций;

3. Решение задачи на использование геометрического смысла производной;

4. Решение задачи на использование механического смысла производной.

5. Контроль усвоения учениками учебного материала.

1. Написание самостоятельной работы;

6. Подведение итогов урока.

1. Учитель кратко обобщает, что было сделано на уроке;

2. Учитель характеризует работу учеников на уроке (активная / пассивная), определяет уровень усвоения учащимися материала и делает вывод, в каком объеме была достигнута цель урока.

7. Выдача задания для самостоятельной работы учащимся.

Учитель задает домашнее задание

4. Организация и ход урока.

Организация и ход урока являются постепенной реализацией на практике структуры урока, которая описана в предыдущем пункте данной методической разработки.

1. Организационный момент.

Учитель приветствует учеников, проверяет отсутствующих.

- Тема сегодняшнего урока: "Выполнение упражнений по теме" Производная функция, ее механический и геометрический смысл ".

Понятие производной - фундаментальное понятие математического анализа, с помощью которого исследуют процессы и явления в естественных, социальных и экономических науках. Изучение различных процессов (механического движения, химических реакций, расширения жидкости при нагревании, значение электрического тока) приводят к необходимости вычисления скорости изменения различных величин, т.е. к понятию производной.

Итак, наша ближайшая цель - закрепить умения и навыки решения тематических упражнений, а именно: нахождение производных элементарных и сложных функций, применение геометрического и механического смысла при решении задач.

3. Актуализация опорных знаний.

1. Устное решение упражнений.

Таблица с заданиями выводится на экран.

Задание: устно вычислить производную функции:

Ответы: 1.1.) ; 1.2.) ; 2.1.) ; 2.2.) ;

3.1.) ; 3.2.) ; 4.1.) ; 4.2.) cosx;

5.1.) х; 5.2.) ; 6.1.) ; 6.2.) 2cosx+5;

7.1.) ; 7.2.) ; 8.1.) cosx cosx – sinx sinx; 8.2.) ;

2. Фронтальный опрос.

1. В чем состоит геометрический смысл производной? С именем какого ученого он связан?

Ответ: Значение производной функции в точке : .

А уравнение касательной к функции в точке имеет вид: .

Открыл геометрический смысл производной в 17-м в. Г. Ф. Лейбниц.

(см. приложение А).

Краткий доклад ученика о жизнедеятельности Г. Ф. Лейбница.

Готфрид Вильгельм Лейбниц родился 1 июня 1646 в городе Лейпциг. Его отец-юрист и профессор философии, умер, когда Лейбницу было 6 лет.

Сначала Лейбниц интересовался только философией. В 1666 году получил звание доктора юридических наук. Первые его математические труды были написаны в 1668 и 1671 годах. Математическое образование Лейбниц получил в Париже и Лондоне. В Париже Лейбниц сделал счетную машину. Создание дифференциального и интегрального исчисления является достижением в его жизни. Он открыл геометрический смысл производной. Лейбниц пришел к открытию производной при решении вопроса о нахождении касательной к кривой.

Умер 14 ноября 1716 в Ганновере.

2. В чем состоит механический смысл производной? С чьим именем он связан?

Ответ: Если материальная точка движется прямолинейно и ее координата изменяется по закону , то скорость ее движения в момент времени равна производной : .

Открыл механический смысл производной И. Ньютон (см. Приложение А).

Краткий доклад ученика о жизнедеятельности И. Ньютона.

Ньютон родился в семье бедного фермера в городе Вулсторп. После окончания школы он поступил в Тринити Колледж. Там он получил степень магистра (1668). Затем Ньютон возглавил кафедру математики и физики в Кембриджском университете, которой руководил 32 года.

Ньютон первый создал основы дифференциального и интегрального исчислений, создал основы теории всемирного тяготения, новую теорию света и цветов.

В его трудах по математике приведено решение таких вопросов, как нахождение экстремумов функций, точек перегиба, уравнений касательных и приведены методы решения простейших дифференциальных уравнений.

В 1690 году Ньютон заболел, что очень испугало всех людей, которые занимались наукой. Болезнь прошла и Ньютон был избран членом Академии Наук в Париже.

Великий ученый умер в 1727 году.

4. Формирование умений и навыков.

Методика проведения : проводится в форме познавательной игры. Ученикам предлагается вопрос из конкретной области (геометрии, истории, литературы, искусства, географии, общие знания, Пушкин). Если ученик не знает ответа на поставленный вопрос, то ему необходимо решить математическую задание или задачу. Решив математическую задание или задачу, ученик находит ответ по таблице на поставленный вопрос из конкретной области. (Один ученик работает у доски, остальные решают математические задачи в тетрадях). После каждой полученного ответа на поставленный вопрос, учитель или учащиеся дают более полный ответ, или объясняют его.

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Зарегистрироваться 15–17 марта 2022 г.

Саенко Н.В., учитель математики

по алгебре и началам математического анализа

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.

Задачи урока:

Метапредметные: способствовать развитию познавательного интереса, логического мышления, графической культуры; развивать умение анализировать и систематизировать имеющуюся информацию.

Личностные: воспитывать ответственное отношение к учебной деятельности, познавательной активности и самостоятельности, способствовать самореализации учащихся.

Урок призван способствовать развитию у учащихся исследовательских навыков, умению работать с большим объёмом информации, осуществлять отбор и анализ информации.

Поэтому в качестве девиза будут слова немецкого поэта, мыслителя Иоганна Гёте:

І. Мотивация и целеполагание

ІІ . Актуализация опорных знаний

Повторение проходит по слайдам презентации, во время которого учащимся предлагается вспомнить основные понятия геометрического смысла производной, рассмотреть типовые задания на применение производной. Презентация выводится на экран с помощью проектора.

По ходу появления объектов слайда учитель ведёт диалог с классом. Каждый новый объект слайда выводится по щелчку, поэтому темп повторения материала задаёт учитель.

К доске вызывается учащийся, который по слайду 2 и 3 объясняет основные положения взаимосвязи производной функции в точке, коэффициентом в уравнении касательной и тангенсом угла наклона касательной к положительному направлению оси ОХ.

Второй учащийся объясняет зависимость монотонности функции от знака производной на определённом интервале по слайду 4 и решен ие задания по образцу слайда 5.

ІІІ. Решение тренировочных упражнений

Мы рассмотрим взаимосвязь монотонности функции и знака её производной, нахождение производной по графику касательной. Различные задания на чтение графика производной функции, встречаются в текстах единого государственного экзамена. Эти задания хороши тем, что на их выполнение не нужно много времени. Во время государственной итоговой аттестации это очень важно: быстро и правильно записать ответ.

Учащимся для решения предлагаются задания, изображённые на слайдах. На доске и в рабочую тетрадь записываются номер задания и ответ. После записи ответа каждого задания на экран выводится следующий слайд с правильным рассуждением и решением. Для решения каждого задания к экрану и доске вызывается учащийся.

В конспекте представлены слайды с условием и его решением. В презентации каждому заданию выделяется два слайда: один с условием, второй с рассуждением и ответом. Слайды 6 и 8.

Производная функции в точке х = 5 – это производная в точке касания х _о , а она равна тангенсу угла наклона касательной. tg α =3/5 =0,6

Геометрический смысл производной:

k = tg α . Угол наклона касательной к оси Ох тупой, значит k o .

Из прямоугольного треугольника

находим tg α = 6 : 3 =2. Значит, k = -2

Решение : 3 точки (-4; 1,5; 3)

5 - точка излома. В этой точке производная НЕ существует!

Решение: Длина промежутка 4 (-1;3)

Упражнения для глаз

Алгебра и геометрия - неотъемлемые части одного предмета математика. Поэтому повторим геометрию.

Глазами опишем периметр прямоугольника экрана, проведём одну диагональ, потом вторую. Найдём глазами центр, опишем глазами окружность справа налево и наоборот.

І V . Совершенствование практических умений и навыков.

На этом этапе урока решаются задания у доски и в рабочих тетрадях для подготовки к самостоятельной работе.

Задание 1. Найти абсциссу точки графика функции f ( x ) = , касательная в которой параллельна или совпадает с прямой у = - 32х + 7.

1) D(f): x

2) f(x) = = = x 4 + 1

3) k = tgα, tgα = f ʹ (x₀) => k = f ʹ (x₀)

у = - 32х + 7 => k = -32, таким образом, f ʹ ( x ₀ ) = -32

4) f ʹ ( x ) =( x 4 + 1) ' = 4х 3 и f ʹ ( x ₀ ) = -32 => 4х₀ 3 = -32,

Задание 2. Напишите уравнение касательной к графику функции f ( x ) = х 2 + 2х, параллельной прямой у = 4х – 5. В ответе укажите площадь треугольника, образованного этой касательной и осями координат.

2) Уравнение касательной у = f ( x ₀ ) + f ʹ ( x ₀ )(х – х₀), касательная параллельна прямой у = 4х – 5 => f ʹ ( x ₀ ) = 4

3) f ' ( x ) = (х 2 + 2х) ' = 2х + 2,

5) f (1) =1 2 + 2* 1 = 3

6) Запишем уравнение касательной

у = 3 + 4(х – 1), у = 4х – 1 и построим график касательной.

График касательной

Найдем площадь образованного треугольника S_Δ = * * 1 = = 0, 125

V . Самостоятельная работа с последующей проверкой

Задания самостоятельной работы подобраны по двум уровням сложности. Каждый уровень сложности представлен в двух вариантах

Задания для среднего уровня

1. Записать уравнение кастельной к графику функции у = 2х 3 -7х +3 в точке х₀ = 1.

2. Найти f ʹ (-1) для функции

1. Записать уравнение кастельной к графику функции у = 3х 3 -5х 2 +1 в точке х₀ = 1.

2. Найти f ʹ (-1) для функции

Ответы: 1) у = -х – 1; 2) - 80

Ответы : 1) у = 4х – 5; 2) - 108

Задания для высокого и достаточного уровней.

Найти соответствие, решение записывать в виде четвёрки чисел (например: 1564)

Ответы: 1274, 2456, 4567, 5645, 6318, 7821, 8182

Ответы: 2567, 3816 , 4152, 5335, 6271, 7628, 8484

Решения высокого и достаточного уровней проверяются учащимися по слайдам 22 и 23 путём самопроверки.

Тетради сдаются учителю. Работы среднего уровня будут проверены учителем после урока.

V І . Домашнее задание

Повторить § 48, решить упражнение №861, 882.

V ІІ . Итог урока. Рефлексия

Характеризуя успехи своего ученика, учитель сказал: “Он мало знает, но у него положительная производная”. Что это означает?

Учитель хотел сказать: “Скорость приращения знаний у ученика положительная, а это есть залог того, что его знания возрастут”.

На уроке я работал …

Своей работой на уроке я …

Доволен / не доволен

Урок для меня показался …

Не устал / устал

Материал урока мне был…

Историческая справка:

Честь открытия основных законов математического анализа принадлежит английскому физику и математику Исааку Ньютону и немецкому математику, физику, философу Лейбницу.

Ньютон ввёл понятие производной, изучая законы механики, тем самым раскрыл её механический смысл.

Физический смысл производной: производная функции y=f(x) в точке x₀ – это скорость изменения функции f(x) в точке x₀.

Лейбниц пришёл к понятию производной, решая задачу проведения касательной к производной линии, объяснив этим её геометрический смысл.

Поставим своей задачей определить скорость, с которой изменяется величина у в зависимости от изменения величины х. Так как нас интересуют всевозможные случаи, то мы не будем придавать определенного физического смысла зависимости y=f(x), т.е. будем рассматривать величины х и у как математические. Рассмотрим функцию y=f(x), непрерывную на отрезке [а, b]. Возьмем два числа на этом отрезке: х и х+?x; первое, х, в ходе всего рассуждения считаем неизменным, ?x — его приращением. Приращение ?x; аргумента обусловливает приращение ?у функции, причем: ?y=f(x+?x)-f(x). (I) Найдем отношение приращения ?у функции к приращению ?x аргумента: ?у/?x=(f(x+?x)-f(x))/ ?x. (II) По предыдущему, это отношение представляет собой среднюю скорость изменения у относительно х на отрезке [x, x+?x]. Будем теперь неограниченно приближать ?x к нулю. Для непрерывной функции f(x) стремление ?x к нулю вызывает стремление к нулю ?у, отношение (II) становится при этом отношением бесконечно малых, вообще величиной переменной. Пусть это переменное отношение (II) имеет вполне определенный предел(утверждать, что определенный предел отношения ?x/?у всегда существует нельзя), обозначим его символом f '(х).

В данной работе представлена теория и приведены примеры решения задач на применение производной.

Решать физические задачи или примеры по математике совершенно невозможно без знаний о производной и методах ее вычисления. Производная - одно из важнейших понятий математического анализа. Этой фундаментальной теме мы и решили посвятить сегодняшнюю статью. Что такое производная, каков ее физический и геометрический смысл, как посчитать производную функции? Все эти вопросы можно объединить в один: как понять производную?

Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.

Геометрический и физический смысл производной

Пусть есть функция f(x), заданная в некотором интервале (a, b). Точки х и х0 принадлежат этому интервалу. При изменении х меняется и сама функция. Изменение аргумента – разность его значений х-х0. Эта разность записывается как дельта икс и называется приращением аргумента. Изменением или приращением функции называется разность значений функции в двух точках. Определение производной:

Производная функции в точке – предел отношения приращения функции в данной точке к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю.

Иначе это можно записать так:

Какой смысл в нахождении такого предела? А вот какой:

Геометрический смысл производной: производная от функции в точке равна тангенсу угла между осью OX и касательной к графику функции в данной точке.

Физический смысл производной: производная пути по времени равна скорости прямолинейного движения.

Действительно, еще со школьных времен всем известно, что скорость – это частное пути x=f(t) и времени t. Средняя скорость за некоторый промежуток времени:

Чтобы узнать скорость движения в момент времени t0 нужно вычислить предел:

Кстати, о том, что такое пределы и как их решать, читайте в нашей отдельной статье.

Приведем пример, иллюстрирующий практическое применение производной. Пусть тело движется то закону:

Нам нужно найти скорость в момент времени t=2c. Вычислим производную:

Правила нахождения производных

Сам процесс нахождения производной называется дифференцированием. Функция, которая имеет производную в данной точке, называется дифференцируемой.

Как найти производную? Согласно определению, нужно составить отношение приращения функции и аргумента, а затем вычислить предел при стремящемся к нулю приращении аргумента. Конечно, можно вычислять все производные так, но на практике это слишком долгий путь. Все уже давно посчитано до нас. Ниже приведем таблицу с производными элементарных функций, а затем рассмотрим правила вычисления производных, в том числе и производных сложных функций с подробными примерами.

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Правило первое: выносим константу

Константу можно вынести за знак производной. Более того - это нужно делать. При решении примеров по математике возьмите за правило - если можете упростить выражение, обязательно упрощайте.

Пример. Вычислим производную:

Правило второе: производная суммы функций

Производная суммы двух функций равна сумме производных этих функций. То же самое справедливо и для производной разности функций.

Не будем приводить доказательство этой теоремы, а лучше рассмотрим практический пример.

Найти производную функции:

Правило третье: производная произведения функций

Производная произведения двух дифференцируемых функций вычисляется по формуле:

Пример: найти производную функции:

Здесь важно сказать о вычислении производных сложных функций. Производная сложной функции равна произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной.

В вышеуказанном примере мы встречаем выражение:

В данном случае промежуточный аргумент – 8х в пятой степени. Для того, чтобы вычислить производную такого выражения сначала считаем производную внешней функции по промежуточному аргументу, а потом умножаем на производную непосредственно самого промежуточного аргумента по независимой переменной.

Правило четвертое: производная частного двух функций

Формула для определения производной от частного двух функций:

Мы постарались рассказать о производных для чайников с нуля. Эта тема не так проста, как кажется, поэтому предупреждаем: в примерах часто встречаются ловушки, так что будьте внимательны при вычислении производных.

С любым вопросом по этой и другим темам вы можете обратиться в студенческий сервис. За короткий срок мы поможем решить самую сложную контрольную и разобраться с заданиями, даже если вы никогда раньше не занимались вычислением производных.

Иван Колобков, известный также как Джони. Маркетолог, аналитик и копирайтер компании Zaochnik. Подающий надежды молодой писатель. Питает любовь к физике, раритетным вещам и творчеству Ч. Буковски.

Производная функции — одна из сложных тем в школьной программе. Не каждый выпускник ответит на вопрос, что такое производная.

В этой статье просто и понятно рассказано о том, что такое производная и для чего она нужна. Мы не будем сейчас стремиться к математической строгости изложения. Самое главное — понять смысл.

Производная — это скорость изменения функции.

На рисунке — графики трех функций. Как вы думаете, какая из них быстрее растет?

Ответ очевиден — третья. У нее самая большая скорость изменения, то есть самая большая производная.

Вот другой пример.

Костя, Гриша и Матвей одновременно устроились на работу. Посмотрим, как менялся их доход в течение года:

На графике сразу все видно, не правда ли? Доход Кости за полгода вырос больше чем в два раза. И у Гриши доход тоже вырос, но совсем чуть-чуть. А доход Матвея уменьшился до нуля. Стартовые условия одинаковые, а скорость изменения функции, то есть производная, — разная. Что касается Матвея — у его дохода производная вообще отрицательна.

Интуитивно мы без труда оцениваем скорость изменения функции. Но как же это делаем?

На самом деле мы смотрим, насколько круто идет вверх (или вниз) график функции. Другими словами — насколько быстро меняется у с изменением х. Очевидно, что одна и та же функция в разных точках может иметь разное значение производной — то есть может меняться быстрее или медленнее.

Производная функции обозначается .

Покажем, как найти с помощью графика.

Нарисован график некоторой функции . Возьмем на нем точку A с абсциссой . Проведём в этой точке касательную к графику функции. Мы хотим оценить, насколько круто вверх идет график функции. Удобная величина для этого — тангенс угла наклона касательной.

Производная функции в точке равна тангенсу угла наклона касательной, проведённой к графику функции в этой точке.

Обратите внимание — в качестве угла наклона касательной мы берем угол между касательной и положительным направлением оси .

Иногда учащиеся спрашивают, что такое касательная к графику функции. Это прямая, имеющая на данном участке единственную общую точку с графиком, причем так, как показано на нашем рисунке. Похоже на касательную к окружности.

Найдем . Мы помним, что тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему. Из треугольника

Мы нашли производную с помощью графика, даже не зная формулу функции. Такие задачи часто встречаются в ЕГЭ по математике.

Есть и другое важное соотношение. Вспомним, что прямая задается уравнением

Величина в этом уравнении называется угловым коэффициентом прямой. Она равна тангенсу угла наклона прямой к оси .

Мы получаем, что

Запомним эту формулу. Она выражает геометрический смысл производной.

Производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке.

Другими словами, производная равна тангенсу угла наклона касательной.

Мы уже сказали, что у одной и той же функции в разных точках может быть разная производная. Посмотрим, как же связана производная с поведением функции.

Нарисуем график некоторой функции . Пусть на одних участках эта функция возрастает, на других — убывает, причем с разной скоростью. И пусть у этой функции будут точки максимума и минимума.

В точке функция возрастает. Касательная к графику, проведенная в точке , образует острый угол с положительным направлением оси . Значит, в точке производная положительна.

В точке наша функция убывает. Касательная в этой точке образует тупой угол с положительным направлением оси . Поскольку тангенс тупого угла отрицателен, в точке производная отрицательна.

Вот что получается:

Если функция возрастает, ее производная положительна.

Если убывает, ее производная отрицательна.

А что же будет в точках максимума и минимума? Мы видим, что в точках (точка максимума) и (точка минимума) касательная горизонтальна. Следовательно, тангенс угла наклона касательной в этих точках равен нулю, и производная тоже равна нулю.

Вывод: с помощью производной можно узнать о поведении функции всё, что нас интересует.

Если производная положительна, то функция возрастает.

Если производная отрицательная, то функция убывает.

Запишем эти выводы в виде таблицы:

возрастает	точка максимума	убывает	точка минимума	возрастает
+	0	-	0	+

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

Сделаем два небольших уточнения. Одно из них понадобится вам при решении задач ЕГЭ. Другое — на первом курсе, при более серьезном изучении функций и производных.

Возможен случай, когда производная функции в какой-либо точке равна нулю, но ни максимума, ни минимума у функции в этой точке нет. Это так называемая точка перегиба:

В точке касательная к графику горизонтальна, и производная равна нулю. Однако до точки функция возрастала — и после точки продолжает возрастать. Знак производной не меняется — она как была положительной, так и осталась.

Бывает и так, что в точке максимума или минимума производная не существует. На графике это соответствует резкому излому, когда касательную в данной точке провести невозможно.

А как найти производную, если функция задана не графиком, а формулой? В этом случае применяется таблица производных.

Читайте также: