Правило вычитания десятичных дробей кратко
Обновлено: 02.07.2024
Десятичных! да что с тобой, 0,9-0,8=0,1 0,9-0,09=0,081. Разве это сложно. Правило. Сложение и вычитание десятичных дробей производится по разрядам целой и дробной части как натуральных чисел. При письменном сложении и вычитании десятичных дробей запятая, отделяющая целую часть от дробной, должна находиться у слагаемых и суммы или у уменьшаемого, вычитаемого и разности в одном столбце (запятая под запятой от записи условия до конца вычисления).
Чтобы сложить или вычесть дроби, нужно:
1)уровнять количество знаков после запятой
2)записать их друг под другом, так что бы запятая была под зяпятой
3)выполнить сложение или вычитание не обращая внимание на запятые
4)поставить в ответе запятую под запятой в данных дроях.
Изучаем другие действия, которые можно совершать с десятичными дробями. В этом материале мы узнаем, как правильно подсчитать разность десятичных дробей. Отдельно разберем правила для конечных и бесконечных дробей (как периодических, так и непериодических), а также посмотрим, как считать разность дробей столбиком. Во второй части мы объясним, как вычесть десятичную дробь из натурального числа, обыкновенной дроби, смешанного числа.
Отметим заранее, что в этой статье рассмотрены только случаи, когда меньшая дробь вычитается из большей, т.е. результат этого действия положителен; другие случаи относятся к нахождению разности рациональных и действительных чисел и должны быть объяснены отдельно.
Основные правила вычитания десятичных дробей
Процесс вычисления как конечных, так и бесконечных периодических десятичных дробей можно свести к нахождению разности дробей обыкновенных. Раньше мы говорили о том, что десятичные дроби можно записывать в виде обыкновенных дробей. Исходя из этого правила, разберем несколько примеров нахождения разности.
Найдите разность 3 , 7 - 0 , 31 .
Решение
Переписываем десятичные дроби в виде обыкновенных: 3 , 7 = 37 10 и 0 , 31 = 31 100 .
Что делать потом, мы уже изучали. Мы получили ответ, который переводим обратно в десятичную дробь: 339 100 = 3 , 39 .
Подсчеты, связанные с десятичными дробями, удобно производить столбиком. Как же пользоваться этим методом? Покажем, решив задачу.
Вычислите разность между периодической дробью 0 , ( 4 ) и периодической десятичной дробью 0 , 41 ( 6 ) .
Решение
Переведем записи периодических дробей в обыкновенные и подсчитаем.
0 , 4 ( 4 ) = 0 , 4 + 0 , 004 + . . . = 0 , 4 1 - 0 , 1 = 0 , 4 0 , 9 = 4 9 . 0 , 41 ( 6 ) = 0 , 41 + ( 0 , 006 + 0 , 0006 + . . . ) = 41 100 + 0 , 006 0 , 9 = = 41 100 + 6 900 = 41 100 + 1 150 = 123 300 + 2 300 = 125 300 = 5 12
Итого: 0 , ( 4 ) - 0 , 41 ( 6 ) = 4 9 - 5 12 = 16 36 - 15 36 = 1 36
Если нужно, ответ мы можем представить в виде десятичной дроби:
Ответ: 0 , ( 4 ) − 0 , 41 ( 6 ) = 0 , 02 ( 7 ) .
Разберем далее, как найти разность, если у нас в условиях стоят бесконечные непериодические дроби. Такой случай также можно свести к нахождению разности конечных десятичных дробей, для чего понадобится округлить бесконечные дроби до определенного разряда (обычно самого меньшего из возможных).
Найдите разность 2 , 77369 … - 0 , 52 .
Решение
Вторая дробь в условии – конечная, а первая – бесконечная непериодическая. Мы можем округлить ее до четырех знаков после запятой: 2 , 77369 … ≈ 2 , 7737 . После этого можно выполнять вычитание: 2 , 77369 … − 0 , 52 ≈ 2 , 7737 − 0 , 52 .
Как считать разность десятичных дробей столбиком
Вычитание столбиком – быстрый и наглядный способ узнать разность конечных десятичных дробей. Процесс подсчета очень схож с аналогичным для натуральных чисел.
Чтобы подсчитать разность десятичных дробей столбиком, необходимо:
- если в указанных десятичных дробях отличается количество знаков после запятой, уравняем его. Для этого допишем к нужной дроби нули;
- запишем вычитаемую дробь под уменьшаемой, разместив значения разрядов строго друг под другом, а запятую под запятой;
- выполним подсчет столбиком так же, как мы это делаем для натуральных чисел, запятую при этом игнорируем;
- в ответе отделим нужное количество чисел запятой так, чтобы она располагалась на том же месте.
Разберем конкретный пример использования этого метода на практике.
Найдите разность 4 452 , 294 - 10 , 30501 .
Решение
Для начала выполним первый шаг – уравняем количество десятичных знаков. Допишем два нуля в первую дробь и получим дробь вида 4 452 , 29400 , значение которой идентично исходной.
Запишем получившиеся числа друг под другом в нужном порядке, чтобы получился столбик:
Считаем как обычно, игнорируя запятые:
В получившемся ответе поставим запятую в нужном месте:
Наш результат : 4 452 , 294 − 10 , 30501 = 4 441 , 98899 .
Как вычесть натуральное число из десятичной дроби и наоборот
Найти разность между конечной десятичной дробью и натуральным числом легче всего описанным выше способом – столбиком. Для этого число, из которого мы вычитаем, необходимо записать в виде десятичной дроби, в дробной части которой стоят нули.
Вычислите 15 - 7 , 32 .
Запишем уменьшаемое число 15 в виде дроби 15 , 00 , поскольку дробь, которую нам нужно вычесть, имеет два знака после запятой. Далее выполняем подсчет столбиком, как обычно:
Таким образом, 15 − 7 , 32 = 7 , 68 .
Если из натурального числа нам нужно вычесть бесконечную периодическую дробь, то мы опять же сводим эту задачу к аналогичному вычислению. Заменяем периодическую десятичную дробь на обыкновенную.
Вычислите разность 1 - 0 , ( 6 ) .
Решение
Указанной в условии периодической десятичной дроби соответствует обычная 2 3 .
Считаем: 1 − 0 , ( 6 ) = 1 − 2 3 = 1 3 .
Полученный ответ можно перевести в периодическую дробь 0 , ( 3 ) .
Если данная в условии дробь непериодическая, поступаем так же, предварительно округлив ее до нужного разряда.
Отнимите 4 , 274 … от 5 .
Решение
Указанную бесконечную дробь мы округлим до сотых и получим 4 , 274 … ≈ 4 , 27 .
После этого вычисляем 5 − 4 , 274 … ≈ 5 − 4 , 27 .
Преобразуем 5 в 5 , 00 и запишем столбик:
В итоге 5 − 4 , 274 … ≈ 0 , 73 .
Если перед нами стоит обратная задача – вычесть натуральное число из десятичной дроби, то мы выполняем вычитание из целой части дроби, а дробную часть не трогаем совсем. Мы поступаем так и с конечными, и с бесконечными дробями.
Найдите разность 37 , 505 – 17 .
Решение
Отделяем от дроби целую часть 37 и вычитаем требуемое число из нее. Получаем 37 , 505 − 17 = 20 , 505 .
Как вычесть десятичную дробь из смешанного числа или обыкновенной дроби и наоборот
Эту задачу также необходимо свести к вычитанию обыкновенных дробей – как в случае со смешанными числами, так и с десятичными дробями.
Вычислите разность 0 , 25 - 4 5 .
Решение
Представим 0 , 25 в виде обыкновенной дроби – 0 , 25 = 25 100 = 1 4 .
Теперь нам нужно найти разность между 1 4 и 4 5 .
Считаем: 4 5 − 0 , 25 = 4 5 − 1 4 = 16 20 − 5 20 = 11 20 .
Запишем ответ в виде десятичной записи: 0 , 55 .
Если в условии стоит смешанное число, из которого надо вычесть конечную или периодическую десятичную дробь, то поступаем аналогично.
Условие: отнимите 0 , ( 18 ) от 8 4 11 .
Перепишем периодическую дробь в виде обыкновенной. 0 , ( 18 ) = 0 , 18 + 0 , 0018 + 0 , 000018 + . . . = 0 , 18 1 - 0 , 01 = 0 , 18 0 , 99 = 18 99 = 2 11
Получается, что 8 4 11 - 0 , ( 18 ) = 8 4 11 - 2 11 = 8 2 11 .
В виде десятичной дроби ответ можно записать как 8 , ( 18 ) .
Таким же образом мы действуем, когда вычитаем смешанное число или обыкновенную дробь из конечной или периодической дроби.
Подсчитайте 9 40 - 0 , 03 .
Решение
Заменяем дробь 0 , 03 на обыкновенную 3 100 .
У нас получается, что: 9 40 − 0 , 03 = 9 40 − 3 100 = 90 400 − 12 400 = 78 400 = 39 200
Ответ можно оставить так или преобразовать в десятичную дробь 0 , 195 .
Если нам требуется выполнять вычитание с участием бесконечных непериодических дробей, то нам нужно будет свести их к конечным. Со смешанными числами поступаем аналогично. Для этого запишем обыкновенную дробь или смешанное число в виде десятичной дроби и округлим вычитаемую дробь до определенного разряда. Проиллюстрируем нашу мысль примером:
Отнимите 4 , 38475603 … . из 10 2 7 .
Решение
Преобразуем смешанное число в неправильную дробь.
10 2 7 = 10 · 7 + 2 7 = 72 7
Далее эту дробь запишем в десятичном виде и получим 10 , ( 285714 ) .
В итоге 10 2 7 - 4 , 38475603 . . . = 10 , ( 285714 ) - 4 , 38475603 . . . .
Теперь округлим вычитаемые числа до седьмого знака: 10 , ( 285714 ) = 10 , 285714285714 … ≈ 10 , 2857143 и 4 , 38475603 … ≈ 4 , 3847560
Тогда 10 , ( 285714 ) − 4 , 38475603 … ≈ 10 , 2857143 − 4 , 3847560 .
Единственное, что осталось сделать – вычесть одну конечную десятичную дробь из другой. Выполним подсчет столбиком:
Как и сложение, вычитание десятичных дробей зависит от правильной записи чисел.
Правило вычитания десятичных дробей
1) ЗАПЯТАЯ ПОД ЗАПЯТОЙ!
Эта часть правила самая важная. При вычитании десятичных дробей их следует записать так, чтобы запятые уменьшаемого и вычитаемого находились строго одна под другой.
2) Уравниваем количество цифр после запятой. Для этого в том числе, где количество цифр после запятой меньше, дописываем после запятой в конце нули.
3) Вычитаем числа, не обращая внимания на запятую.
4) Сносим запятую под запятыми.
Примеры на вычитание десятичных дробей .
1) 9,7-3,5
Чтобы найти разность десятичных дробей 9,7 и 3,5, запишем их так, чтобы запятые в обоих числах находились строго одна под другой. Затем вычитаем, не обращая внимания на запятую. В полученном результате запятую сносим, то есть записываем под запятыми уменьшаемого и вычитаемого:
2) 23,45 — 1,5
Чтобы из одной десятичной дроби вычесть другую, надо записать их так, чтобы запятые располагались точно одна под другой. Так как у 23,45 после запятой две цифры, а у 1,5 — только одна, дописываем в 1,5 нуль. После этого ведем вычитания, не обращая внимания на запятую. В результат сносим запятую под запятыми:
3) 63,5-8,921
Вычитание десятичных дробей начинаем с их записи так, чтобы запятые были расположены ровно одна под одной. В первом числе после запятой одна цифра, во втором — три, поэтому на место недостающих двух цифр в первом числе записываем нули. Затем вычитаем числа, не обращая внимания на запятую. В полученном результате сносим запятую под запятыми:
4) 2,8703 — 0,507
Чтобы вычесть эти десятичные дроби, записываем их так, чтобы запятая второго числа расположилась точно под запятой первого. В первом числе после запятой четыре цифры, во втором — три, поэтому второе число дополняем после запятой нулем в конце. После этого вычитаем эти числа, как обычные натуральные, не учитывая запятую. В полученном результате записываем запятую под запятыми :
2,8703 — 0,507 = 2,3663.
5) 35,46 — 7,372
Вычитание десятичных дробей начинаем с записи чисел таким образом, чтобы запятые находились одна под другой. Дополняем нулем после запятой первое число, чтобы в обоих дробях после запятой было по три цифры. Затем вычитаем, не обращая внимания на запятую. В ответе сносим запятую под запятыми:
35,46 — 7,372 = 28,088.
6) 45 — 7,303
Чтобы из натурального числа вычесть десятичную дробь, в его записи в конце ставим запятую и приписываем необходимое количество нулей после запятой. Зачем вычитаем, не беря во внимание запятую. В ответ сносим запятую ровно под запятыми:
45 — 7,303 = 37,698.
7) 17,256 — 4,756
Этот пример на вычитание десятичных дробей выполняем аналогично. В результате получили число с нулями после запятой в конце. Их в ответе не пишем: 17,256 — 4,756 =12,5.
Ключевые слова конспекта: десятичная дробь, сравнение дробей, арифметические действия с дробями, нахождение части от целого и целого по его части, представление десятичной дроби в виде обыкновенной и обыкновенной в виде десятичной.
Дробные числа, знаменатель которых равен 10, 100, 1000 и т. д., можно записать не только в виде обыкновенных, но и в виде десятичных дробей.
Сравнение десятичных дробей
- Из двух десятичных дробей больше та, у которой целая часть больше: 7,99 > 6,399.
Арифметические действия с десятичными дробями
Сложение и вычитание десятичных дробей
Чтобы сложить (вычесть) десятичные дроби, нужно:
- уравнять в этих дробях количество знаков после запятой;
- записать их друг под другом так, чтобы запятая была записана под запятой;
- выполнить сложение (вычитание), не обращая внимания на запятую;
- поставить в ответе запятую под запятой в данных дробях.
Умножение десятичных дробей
При умножении десятичных дробей сначала нужно выполнить умножение, не обращая внимания на запятую, а затем в произведении отделить запятой справа столько знаков, сколько их имеется после запятой в обоих множителях вместе.
Чтобы умножить десятичную дробь на 0,1; 0,01; 0,001, нужно перенести запятую влево на сколько цифр, сколько нулей стоит перед единицей в множителе.
Деление десятичных дробей
Чтобы разделить десятичную дробь на натуральное число, нужно:
- разделить дробь на это число, не обращая внимания на запятую;
- поставить в частном запятую после того, как закончено деление целой части;
- если целая часть меньше делителя, то частное начинается с нуля целых.
Чтобы разделить десятичную дробь на 10, 100, 1000, …, нужно перенести влево запятую в этой дроби на сколько цифр, сколько нулей стоит после единицы в делителе.
Чтобы разделить число на десятичную дробь, нужно:
- в делимом и делителе перенести запятую вправо на сколько цифр, сколько их после запятой в делителе;
- выполнить деление на натуральное число.
Чтобы разделить десятичную дробь на 0,1; 0,01; 0,001, нужно перенести в ней запятую вправо на столько цифр, сколько нулей стоит в делителе перед единицей (т. е. умножить дробь на 10, 100, 1000, …).
Представление десятичной дроби в виде обыкновенной
и обыкновенной в виде десятичной
Чтобы обратить десятичную дробь в обыкновенную, достаточно в числителе дроби записать число, стоящее после запятой, а в знаменателе — единицу с нулями, причем нулей должно быть столько, сколько цифр справа от запятой. Если можно, дробь сократить.
Чтобы обратить обыкновенную дробь в десятичную, следует разделить числитель на знаменатель по правилу деления десятичной дроби на целое число.
Не каждую обыкновенную дробь можно перевести в десятичную. Если знаменатель обыкновенной дроби не содержит простых множителей, кроме 2 и 5, то эту обыкновенную дробь можно перевести в десятичную.
Учитывая это правило, можно переводить обыкновенную дробь в десятичную не с помощью деления, а приведением ее к знаменателю 10, 100, 1000 путем умножения числителя и знаменателя этой дроби на недостающие множители.
Десятичная дробь — это вид дроби, является методом записи действительных чисел в таком виде:
± d m … d 1 d 0 , d - 1 d - 2 … ,
± — знак дроби: + или -;
, — десятичная запятая, отделяет целую часть от дробной части числа;
d k — десятичные цифры.
Последовательность чисел, которые стоят до запятой, является конечной. Последовательность чисел после запятой конечна или бесконечна.
Число 123 , 45 является конечной десятичной дробью.
Число π можно записать, как бесконечную десятичную дробь: 3 , 1415926535897 . . .
Десятичная дробь ± d m … d 1 d 0 , d - 1 d - 2 … имеет значение в виде действительного числа:
± d m · 10 m + … + d 1 · 10 1 + d 0 · 10 0 + d - 1 · 10 - 1 + d - 2 · 10 - 2 + … ,
Такое действительное число равно сумме конечного или бесконечного числа слагаемых.
Представлять действительные числа, как десятичные дроби, — значит, обобщать записи целых чисел в десятичной системе счисления. Когда целое число записывают в виде десятичной дроби, после запятой не будет других цифр, кроме нулей:
что соответствует записи данного числа в десятичной системе счисления.
Сложение и вычитание десятичных дробей выполняется путем записи их друг под другом, чтобы запятая была под запятой. Далее действия аналогичны операциям с обычными числами. В ответ нужно перенести запятую.
Как вычитать десятичные дроби в столбик
В процессе вычитания десятичных дробей, как и сложения, необходимо руководствоваться правилами, согласно которым вычитают в столбик натуральные числа. Последовательность действий:
- Уравнение числа знаков, расположенных после запятой, дописыванием необходимого количества нулей.
- Запись десятичных дробей в столбик, то есть друг под другом — запятая под запятой.
- Вычитание десятичных дробей без учета запятых, исходя из правил, по которым вычитают в столбик натуральные числа.
- Запись в ответе запятой под запятыми.
Альтернативный способ
Существует другой способ вычитания десятичных дробей. При этом не требуется записывать их в столбик, а действия следует выполнять, опираясь на следующие правила:
- Вычитание десятичных дробей нужно проводить справа налево, то есть началом будет самая правая цифра после запятой.
- Вычитание выполняют по цифрам разрядов. Целые вычитают из целых, десятые вычитают из десятых, сотые вычитают из сотых и так далее.
- Если требуется большую цифру отнять от меньшей, то у соседней цифры слева нужно занять десяток.
Разобрать этот способ можно на примере:
Проводим вычитание, двигаясь с правой стороны в левую. Самой правой цифрой в обеих дробях — сотые. 1 — в первом числе, 1 — во втором. Найдем их разность:
В результате получен 0, который следует записать на месте сотых в разности:
Далее следует из десятых вычесть десятые. 2 — в первом числе, 3 — во втором числе. Заметим, что из 2 (меньшего) нельзя отнять 3 (большее), поэтому нужно занять десяток у соседа с левой стороны для 2. В данном случае, это 5. Получается, что 3 вычитается из 12:
В десятые нового числа можно записать 9. Важно помнить о необходимости вычитания единицы из 5, так как был занят десяток из 5.
Переходим к вычитанию целых частей. 14 — в первом числе, 8 — во втором числе.
Десятые допускается вычитать лишь из десятых, сотые из сотых, тысячные из тысячных и так далее. Когда одна из десятичных дробей не имеет цифру необходимого разряда, ее можно заменить нулем.
Рассмотрим вычитание десятичных дробей:
Второе число в крайнем правом положении имеет 2 (сотые), а в первом числе сотые отсутствуют. В этом случае необходимо к первому числу с правой стороны от 9 дописать ноль и выполнить вычитание по стандартному алгоритму.
Вычитание десятичных дробей с разными знаками
Вычитать обычные дроби, имеющие неодинаковые знаки, следует по правилам:
- Разность дробей представляет собой дробь.
- В процессе вычитания дробей, разность нужно заменить сложением уменьшаемого и числа, которое противоположно вычитаемому.
6,90 - (-2,52) = 6,90 + 2,52 = 9,42
Как вычесть десятичную дробь из смешанного числа или обыкновенной дроби и наоборот
Когда нужно вычислить разность десятичной дроби и целого натурального числа, в конце последнего необходимо дописать запятую, а после нее проставить нули в количестве, равном количеству знаков после запятой в десятичной дроби. Затем нужно выполнить вычитание.
Если необходимо найти разность десятичной дроби и простой дроби, то следует рассмотреть 2 варианта и выбрать наиболее подходящий:
- Простую дробь перевести в десятичную. Затем нужно выполнить вычитание.
- Перевести десятичную дробь в обыкновенную. В результате действие сводится к вычитанию простых дробей.
В качестве примеров можно рассмотреть вычитание десятичных дробей:
Примеры вычитания числа, которое является целым и натуральным, из десятичной дроби, а также обратный случай:
Вычитание десятичной дроби из смешанной, или наоборот, выполняют путем приведения дроби к единому виду дробей.
Данное правило распространяется на все виды дробей при их вычитании и сложении. Рассмотреть действие можно на примере:
Важно заметить, что десятичная дробь в любом случае можно перевести в обычную дробь. С другой стороны, обычную дробь не всегда получается перевести в десятичную, к примеру, 1 3 .
В первую очередь требуется проверка возможности перевода знаменателя смешанной дроби в число, кратное 10, 100 и так далее. Другими словами, необходимо какое-либо из перечисленных чисел разделить на знаменатель. В этом случае при умножении на знаменатель 5 числа 2 получается 10.
Далее следует отделить единицу, то есть целое, умножить дробь на 2. Умножение предусмотрено для числителя и знаменателя. Так как множитель одинаковый, то значение дроби не меняется:
2 × 2 5 × 2 = 4 10 = 0 , 4
После возврата единицы получим:
1 , 4 – 0 , 3 = 1 , 1
Вычитание смешанной дроби из десятичной выполняют путем перевода десятичной дроби в смешанную.
Рассмотрим действие на примере:
Отделим целые части от дробных:
Далее следует определить минимальный единый знаменатель. Это число 10. Умножим вторую дробь на 2:
2 × 2 5 × 2 = 4 10
Анализируя дроби, которые необходимо отнять 5 10 и 4 10 , можно заключить, что первая дробь превышает вторую. В этом случае не потребуется занимать, а можно сразу перейти к вычитанию целых частей:
Далее нужно вычесть дробные части:
5 10 - 4 10 = 1 10
Сложим целую и дробную часть, чтобы получить ответ:
1 + 1 10 = 1 1 10
Примеры решения задач для 5 класса
В данном случае количество цифр после запятой разное. Поэтому к 3,1 после единицы нужно дописать пару нулей: 3,100. Далее нужно записать выражение в столбик и выполнить вычисления:
Нужно найти разность:
Запишем выражение в столбик:
Начать следует с вычитания самостоятельных сотых частей: 6-9. При этом необходимо занять единицу у соседнего разряда:
Полученный ответ нужно записать на место сотой части:
Далее можно приступить к вычитанию десятых частей. Следует помнить, что ранее была занята единица. Таким образом, в десятых вместо 4 осталась цифра 3. Выполним вычисления в десятых:
Полученный результат нужно записать в десятые:
Затем можно вычесть целые части:
Единицу, которая получилась в результате, следует записать в целой части ответа:
Целую часть нужно отделить от дробной:
Требуется решить выражение:
Выражение необходимо записать в столбик:
Следует сравнять количество цифр после запятой путем постановки запятой после 3 и записи одного нуля:
Далее можно приступить к вычитанию десятых частей: 0 – 2. При этом необходимо занять единицу у соседнего разряда:
Затем требуется вычесть целые части с учетом того, что была занята единица, и отделить с помощью запятой дробную часть:
Требуется отделить целую часть от дробной и вычесть из нее указанное число:
Читайте также: