Понятие последовательности в школьном курсе математики арифметические и геометрические прогрессии

Обновлено: 02.07.2024

С понятием числовой последовательности, способами ее задания, особыми последовательностями – прогрессиями – школьников знакомят в девятом классе. С различными последовательностями обучающиеся встречались и ранее: натуральный ряд чисел, последовательность квадратов чисел, последовательность четных чисел.

Числовая последовательность – частный случай числовой функции, а именно функция натурального аргумента. Но традиционно определение последовательности не дают, а поясняют на конкретных примерах, показывая, что последовательность может быть задана словесно, аналитически или рекуррентно.

Последовательность рассматривают как некоторый упорядоченный (занумерованный) набор чисел. При введении понятия последовательности важно добиваться понимания понятий: предыдущий и последующий члены последовательности, номер члена последовательности, способ задания последовательности.

Учение о прогрессиях является существенной, хотя и несколько изолированной от остальных разделов частью курса алгебры. Понятие последовательности находит применение в дальнейшем: при определении степени с действительным показателем, получении формулы сложных процентов, введении понятия определенного интеграла, который используют при нахождении площадей плоских фигур и объемов тел.

Арифметическую и геометрическую прогрессии определяют рекуррентными формулами. Хотя можно было бы определить прогрессии формулами их общих членов, а из них получить рекуррентные формулы. Названия прогрессий мотивируют их характеристическими свойствами:

в арифметической прогрессии каждый член, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов;

в геометрической прогрессии каждый член, начиная со второго, равен среднему геометрическому предыдущего и последующего членов.

Формулы общих членов прогрессий выводят индуктивно. Их строгое доказательство можно провести методом математической индукции. Если прогрессии определены формулами их общих членов, то потребность в доказательствах отпадает.

Вывод формул суммы n первых членов прогрессий обосновывают свойствами верных числовых равенств.

Из всех геометрических прогрессий выделяют бесконечно убывающие, которые определяют дополнительным условием: модуль знаменателя меньше единицы. Эти прогрессии играют большую роль в математике и ее приложениях.

При рассмотрении таких прогрессий на наглядно-интуитивном уровне вводится важное математическое понятие предела последовательности как числа, к которому стремятся ее члены при неограниченном возрастании их номера n. Такое понимание предела используется при выводе формулы суммы бесконечно убывающей прогрессии. Формула суммы бесконечно убывающей прогрессии используется для обращения бесконечных десятичных периодических дробей в обыкновенные.

8. Методика изучения понятия производной в школьном курсе математики

Основной идеей дифференциального исчисления служит представление о функции как линейной в достаточно малой окрестности точки. Поэтому первое направление пропедевтики понятия производной – глубокое изучение линейной функции. К моменту введения производной обучающиеся должны знать определение линейной функции, вид ее графика и утверждение: всякая прямая, не параллельная оси ординат, является графиком некоторой линейной функции. Важно, чтобы ученики имели отчетливое представление об угле, составленном прямой с осью абсцисс (величину этого угла называют углом наклона прямой). Главный итог пропедевтики данного направления - прочное усвоение того, что тангенс угла наклона прямой, являющейся графиком этой функции, равен угловому коэффициенту k.

Введению понятия производной функции предшествует рассмотрение задач, которые показывают важность предела некоторого вида и тем необходимость его изучения. Такими задачами являются задачи о мгновенной скорости прямолинейного движения тела, о мгновенной величине тока, о теплоемкости тела в точке, о линейной плотности в точке, о проведении касательной к графику функции.

При изучении технического аппарата для оперирования с производной следует обращать внимание обучающихся на то, что есть формулы дифференцирования (для конкретных функций) и есть правила дифференцирования (дифференцирование операций сложения, умножения, деления). При вычислении производных практически используют двухшаговый алгоритм: сначала применяется то или иное правило дифференцирования, а затем используются нужные формулы.

Наиболее важными из числовых последовательностей являются арифметическая и геометрическая прогрессии. Их понятие вводим конкретно-индуктивным методом. Данная тема в методическом отношении трудностей не вызывает, поэтому подробно останавливаться на ней не будем. (Изложите коротко содержание темы но школьному учебнику.)

Обратим внимание лишь на то, как дать определение прогрессий на формализованном языке: числовая последовательность (а_n)

Перед тем, как дать определение на формализованном языке, необходимо отработать способы доказательства того, что данная последовательность является прогрессией (по определению прогрессии, по характеристическому свойству) и подводим к определению прогрессий на формализованном языке. Так как доказательство необходимо провести в общем виде, то учащиеся почувствуют ценность последнего определения.

С этой целью можно рассмотреть примеры типа: проверьте, являются ли прогрессиями данные последовательности:

Если каждому натуральному числу n поставить в соответствие действительное число a_n , то говорят, что задано числовую последовательность :

Итак, числовая последовательность — функция натурального аргумента.

Число a₁ называют первым членом последовательности , число a₂ — вторым членом последовательности , число a₃ — третьим и так далее. Число a_n называют n-м членом последовательности , а натуральное число n — его номером .

Чтобы задать последовательность, нужно указать способ, позволяющий найти член последовательности с любым номером.

Часто последовательность задают с помощью формулы n-го члена , то есть формулы, которая позволяет определить член последовательности по его номеру.

последовательность положительных нечётных чисел можно задать формулой

а последовательность чередующихся 1 и –1 — формулой

Последовательность можно определить рекуррентной формулой, то есть формулой, которая выражает любой член последовательности, начиная с некоторого, через предыдущие (один или несколько) члены.

если a₁ = 1 , а a_n₊₁ = a_n + 5 , то первые пять членов последовательности находим следующим образом:

Последовательности могут быть конечными и бесконечными .

Последовательность называется конечной , если она имеет конечное число членов. Последовательность называется бесконечной , если она имеет бесконечно много членов.

последовательность двузначных натуральных чисел:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

Последовательность простых чисел:

Последовательность называют возрастающей , если каждый её член, начиная со второго, больше чем предыдущий.

Последовательность называют убывающей , если каждый её член, начиная со второго, меньше чем предыдущий.

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . — возрастающая последовательность;

Последовательность, элементы которой с увеличением номера не убывают, или, наоборот, не возрастают, называется монотонной последовательностью .

Монотонными последовательностями, в частности, являются возрастающие последовательности и убывающие последовательности.

Арифметическая прогрессия

Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, к которому прибавляется одно и то же число.

является арифметической прогрессией, если для любого натурального числа n выполняется условие:

где d — некоторое число.

Таким образом, разность между последующим и предыдущим членами данной арифметической прогрессии всегда постоянна:

Число d называют разностью арифметической прогрессии .

Чтобы задать арифметическую прогрессию, достаточно указать её первый член и разность.

если a₁ = 3, d = 4 , то первые пять членов последовательности находим следующим образом:

Для арифметической прогрессии с первым членом a₁ и разностью d её n -й член может быть найден по формуле:

найдём тридцатый член арифметической прогрессии

каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому предшествующего и последующего членов.

Так как верно и обратное утверждение, то имеет место следующее утверждение:

числа a, b и c являются последовательными членами некоторой арифметической прогрессии тогда и только тогда, когда одно из них равно среднему арифметическому двух других.

докажем, что последовательность, которая задаётся формулой a_n = 2n – 7 , является арифметической прогрессией.

Воспользуемся приведённым выше утверждением. Имеем:

a_n+1 + a_n–1	=	2n – 5 + 2n – 9	= 2n – 7 = a_n,
2		2

что и доказывает нужное утверждение. ◄

Отметим, что n -й член арифметической прогрессии можно найти не толь через a₁ , но и любой предыдущий a_k , для чего достаточно воспользоваться формулой

любой член арифметической прогрессии, начиная со второго равен полусумме равноотстоящих от него членов этой арифметической прогрессии.

Кроме того, для любой арифметической прогрессии справедливо равенство:

в арифметической прогрессии 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

первых n членов арифметической прогрессии равна произведению полусуммы крайних слагаемых на число слагаемых:

Отсюда, в частности, следует, что если нужно просуммировать члены

то предыдущая формула сохраняет свою структуру:

в арифметической прогрессии 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

Если дана арифметическая прогрессия, то величины a₁, a_n, d, n и S _n связаны двумя формулами:

Поэтому, если значения трёх из этих величин даны, то соответствующие им значения двух остальных величин определяются из этих формул, объединённых в систему двух уравнений с двумя неизвестными.

Арифметическая прогрессия является монотонной последовательностью. При этом:

если d > 0 , то она является возрастающей;
если d , то она является убывающей;
если d = 0 , то последовательность будет стационарной.

Геометрическая прогрессия

Геометрической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число.

является геометрической прогрессией, если для любого натурального числа n выполняется условие:

где q ≠ 0 — некоторое число.

Таким образом, отношение последующего члена данной геометрической прогрессии к предыдущему есть число постоянное:

Число q называют знаменателем геометрической прогрессии .

Чтобы задать геометрическую прогрессию, достаточно указать её первый член и знаменатель.

если b₁ = 1, q = –3 , то первые пять членов последовательности находим следующим образом:

Для геометрической прогрессии с первым членом b₁ и знаменателем q её n -й член может быть найден по формуле:

найдём седьмой член геометрической прогрессии 1, 2, 4, . . .

каждый член геометрической прогрессии, начиная со второго, равен среднему геометрическому (пропорциональному) предшествующего и последующего членов.

Так как верно и обратное утверждение, то имеет место следующее утверждение:

числа a, b и c являются последовательными членами некоторой геометрической прогрессии тогда и только тогда, когда квадрат одного из них равен произведению двух других, то есть одно из чисел является средним геометрическим двух других.

докажем, что последовательность, которая задаётся формулой b_n = –3 · 2 n , является геометрической прогрессией. Воспользуемся приведённым выше утверждением. Имеем:

что и доказывает нужное утверждение. ◄

Отметим, что n -й член геометрической прогрессии можно найти не только через b₁ , но и любой предыдущий член b_k , для чего достаточно воспользоваться формулой

квадрат любого члена геометрической прогрессии, начиная со второго равен произведению равноотстоящих от него членов этой прогрессии.

Кроме того, для любой геометрической прогрессии справедливо равенство:

в геометрической прогрессии 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

первых n членов геометрической прогрессии со знаменателем q ≠ 0 вычисляется по формуле:

А при q = 1 — по формуле

Заметим, что если нужно просуммировать члены

то используется формула:

в геометрической прогрессии 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S₁₀ = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 – 2 10 ) / (1 – 2) = 1023;

Если дана геометрическая прогрессия, то величины b₁, b_n, q, n и S_n связаны двумя формулами:

Поэтому, если значения каких-либо трёх из этих величин даны, то соответствующие им значения двух остальных величин определяются из этих формул, объединённых в систему двух уравнений с двумя неизвестными.

Для геометрической прогрессии с первым членом b₁ и знаменателем q имеют место следующие свойства монотонности :

прогрессия является возрастающей, если выполнено одно из следующих условий:

прогрессия является убывающей, если выполнено одно из следующих условий:

Если q , то геометрическая прогрессия является знакопеременной: её члены с нечётными номерами имеют тот же знак, что и её первый член, а члены с чётными номерами — противоположный ему знак. Ясно, что знакопеременная геометрическая прогрессия не является монотонной.

Произведение первых n членов геометрической прогрессии можно рассчитать по формуле:

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

Бесконечно убывающей геометрической прогрессией называют бесконечную геометрическую прогрессию, модуль знаменателя которой меньше 1 , то есть

Заметим, что бесконечно убывающая геометрическая прогрессия может не быть убывающей последовательностью. Это соответствует случаю

При таком знаменателе последовательность знакопеременная. Например,

Суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии называют число, к которому неограниченно приближается сумма первых n членов прогрессии при неограниченном возрастании числа n . Это число всегда конечно и выражается формулой

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 – 0,1) = 11 1 /₉ ,

10 – 1 + 0,1 – 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 /₁₁ . ◄

Связь арифметической и геометрической прогрессий

Арифметическая и геометрическая прогрессии тесно связаны между собой. Рассмотрим лишь два примера.

1, 3, 5, . . . — арифметическая прогрессия с разностью 2 и

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . — геометрическая прогрессия с знаменателем 7 2 . ◄

2, 12, 72, . . . — геометрическая прогрессия с знаменателем 6 и

lg 2, lg 12, lg 72, . . . — арифметическая прогрессия с разностью lg 6 . ◄

Прогрессия — последовательность величин, каждая последующая из них находится в некоторой, общей для всей прогрессии, зависимости от предыдущей.

Арифметическая прогрессия .

Арифметическая прогрессия - это ряд чисел, в котором все член получаются из предыдущего методом добавления к нему 1-го и того же числа d, которое называется разностью арифметической прогрессии.

Или другими словами: арифметическая прогрессия — численная последовательность, которая имеет вид:

т.е. последовательность чисел (членов прогрессии), в которой числа, начиная со 2-го, получаются из предыдущего путем добавления к нему постоянного числа (шаг либо разность прогрессии):

Всякий (n-й) член прогрессии можно вычислить с помощью формулы общего члена:

Арифметическая прогрессия - это монотонная последовательность. При она возрастает, а при — убывает. Если , то последовательность - стационарная. Это следуют из соотношения для членов арифметической прогрессии.

Свойства арифметической прогрессии.

1. Общий член арифметической прогрессии.

Член арифметической прогрессии с номером можно найти с помощью формулы:

где — 1-й член прогрессии, — разность прогрессии.

2. Характеристическое свойство арифметической прогрессии.

Последовательность - это арифметическая прогрессия для элементов этой прогрессии выполняется условие:

3. Сумма 1-х членов арифметической прогрессии.

Сумму 1-х членов арифметической прогрессии можно найти с помощью формул:

где — 1-й член прогрессии,

— член с номером ,

— число суммируемых членов.

где — 1-й член прогрессии,

— разность прогрессии,

— число суммируемых членов.

4. Сходимость арифметической прогрессии.

Арифметическая прогрессия является расходящейся при и сходящейся при . При этом:

5. Связь между арифметической и геометрической прогрессиями.

Есть — арифметическая прогрессия с разностью , где число . Тогда последовательность, которая имеет вид является геометрической прогрессией, имеющей знаменатель .

Примеры арифметических прогрессий.

1. Натуральный ряд 1, 2, 3, 4, 5,… является арифметической прогрессией, в которой 1-й член , а разность .

1, -1, -3, -5, -7 — первые пять членов арифметической прогрессии, в которой и .

2. Если каждый элемент некоторой последовательности имеет такую же величину, как и остальные элементы этой системы и равен некоторому числу , тогда это является арифметической прогрессией, в которой и . В частности, является арифметической прогрессией с разностью .

3. Сумма 1-х натуральных чисел выражают формулой:

Геометрическая прогрессия.

Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел (членов прогрессии), в которой каждое число, начиная со 2-го, получают из предыдущего путем умножения его на определённое число (знаменатель прогрессии), где , : .

Или другими словами: геометрическая прогрессия - это численная последовательность, каждое из чисел равняется предыдущему, умноженному на определенное постоянное число q для данной прогрессии, которое называется знаменателем геометрической прогрессии.

Каждый член геометрической прогрессии можно вычислить при помощи формулы:

Когда и , значит, прогрессия возрастает , когда , значит, прогрессия убывает, а при — знакочередуется.

Название геометрическая прогрессия взяла из своего характеристического свойства:

т.е. все члены равны среднему геометрическому их соседей.

Свойства геометрической прогрессии.

1. Логарифмы членов геометрической прогрессии (если они определены) образуют арифметическую прогрессию:

2. Произведение 1-х n членов геометрической прогрессии рассчитывают при помощи формулы:

3. Произведение элементов геометрической прогрессии, начиная с k-ого члена, и заканчивая n-ым членом, рассчитывают при помощи формулы:

4. Сумма n 1-х членов геометрической прогрессии:

5. Если , то при , и при .

Примеры геометрических прогрессий.

1. Последовательность площадей квадратов, в которой каждый последующий квадрат получают соединением середин сторон предыдущего — геометрическая прогрессия со знаменателем ½, не имеющая предела. Площади образующихся на каждом этапе треугольников тоже образуют нескончаемую геометрическую прогрессию со знаменателем ½, сумма которой равняется площади начального квадрата.

2. Последовательность числа зёрен на клетках в задаче о зёрнах на шахматной доске.

3. 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8192 — прогрессия со знаменателем 2 из 13 членов.

4. 50; −25; 12,5; −6,25; 3,125; … — нескончаемо убывающая прогрессия со знаменателем -½.

5. — геометрическая прогрессия со знаменателем равным единице (и арифметическая прогрессия с шагом 0).

Читайте также: