Показательная функция это кратко
Обновлено: 02.07.2024
В данной публикации мы рассмотрим определение и формулу показательной функции, перечислим ее основные свойства, а также продемонстрируем, как выглядит ее график и приведем пример его построения.
Определение показательной функции
Показательная функция – это функция вида , где:
- a – основание степени, при этом и ;
- x – показатель степени.
Примеры:
Свойства показательной функции
- Область определения – все действительные числа: .
- (a x ) ‘ = a x ln a
- если вместо x более сложное выражение u :
График показательной функции
Согласно Свойству 3, представленному выше, график показательной функции может быть:
Асимптота – ось Ox , т.е. линия графика будет стремиться к оси абсцисс, но никогда не коснется ее.
Пример: построим график функции .
Для начала составим таблицу соответствия значений x и y .
В практике часто используются функции y = 2 x , y = 10 x , y = 1 2 x , y = 0,1 x и т. д., т. е. функция вида y = a x , где a — заданное число, x — переменная. Такие функции называют показательными . Это название объясняется тем, что аргументом показательной функции является показатель степени, а основанием степени — заданное число.
Функция, заданная формулой y = a x (где a > 0, a ≠ 1 ), называется показательной функцией с основанием a .
3. При a > 1 функция возрастает на всей числовой прямой; при 0 a 1 функция убывает на множестве ℝ .
Приведены справочные данные по показательной функции – основные свойства, графики и формулы. Рассмотрены следующие вопросы: область определения, множество значений, монотонность, обратная функция, производная, интеграл, разложение в степенной ряд и представление посредством комплексных чисел.
Определение
Показательная функция – это обобщение произведения n чисел, равных a :
y ( n ) = a n = a·a·a···a ,
на множество действительных чисел x :
y ( x ) = a x .
Здесь a – фиксированное действительное число, которое называют основанием показательной функции.
Показательную функцию с основанием a также называют экспонентой по основанию a .
Обобщение выполняется следующим образом.
При натуральном x = 1, 2, 3. , показательная функция является произведением x множителей:
.
При этом она обладает свойствами (1.5-8) (см. ниже ⇓), которые следуют из правил умножения чисел. При нулевом и отрицательных значениях целых чисел , показательную функцию определяют по формулам (1.9-10). При дробных значениях x = m/n рациональных чисел, , ее определяют по формуле(1.11). Для действительных , показательную функцию определяют как предел последовательности:
,
где – произвольная последовательность рациональных чисел, сходящаяся к x : .
При таком определении, показательная функция определена для всех , и удовлетворяет свойствам (1.5-8), как и для натуральных x .
Свойства показательной функции
Показательная функция y = a x , имеет следующие свойства на множестве действительных чисел ( ) :
(1.1) определена и непрерывна, при , для всех ;
(1.2) при a ≠ 1 имеет множество значений ;
(1.3) строго возрастает при , строго убывает при ,
является постоянной при ;
(1.4) при ;
при ;
(1.5) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.8) ;
(1.9) ;
(1.10) ;
(1.11) , .
Другие полезные формулы.
.
Формула преобразования к показательной функции с другим основанием степени:
При b = e , получаем выражение показательной функции через экспоненту:
Частные значения
Графики показательной функции
Графики показательной функции y = a x при различных значениях основания a .
На рисунке представлены графики показательной функции
y ( x ) = a x
для четырех значений основания степени: a = 2 , a = 8 , a = 1/2 и a = 1/8 . Видно, что при a > 1 показательная функция монотонно возрастает. Чем больше основание степени a , тем более сильный рост. При 0 1 показательная функция монотонно убывает. Чем меньше показатель степени a , тем сильнее убывание.
Возрастание, убывание
Показательная функция, при является строго монотонной, поэтому экстремумов не имеет. Основные ее свойства представлены в таблице.
y = a x , a > 1 | y = a x , 0 1 | |
Область определения | – ∞ | – ∞ |
Область значений | 0 | 0 |
Монотонность | монотонно возрастает | монотонно убывает |
Нули, y = 0 | нет | нет |
Точки пересечения с осью ординат, x = 0 | y = 1 | y = 1 |
+ ∞ | 0 | |
0 | + ∞ |
Обратная функция
Обратной для показательной функции с основанием степени a является логарифм по основанию a .
Дифференцирование показательной функции
Для дифференцирования показательной функции, ее основание нужно привести к числу e , применить таблицу производных и правило дифференцирования сложной функции.
Для этого нужно использовать свойство логарифмов
и формулу из таблицы производных:
.
Пусть задана показательная функция:
.
Приводим ее к основанию e :
Применим правило дифференцирования сложной функции. Для этого вводим переменную
Тогда
Из таблице производных имеем (заменим переменную x на z ):
.
Поскольку – это постоянная, то производная z по x равна
.
По правилу дифференцирования сложной функции:
.
Производная показательной функции
Пример дифференцирования показательной функции
Найти производную функции
y = 3 5 x
Выразим основание показательной функции через число e .
3 = e ln 3
Тогда
.
Вводим переменную
.
Тогда
Из таблицы производных находим:
.
Поскольку 5ln 3 – это постоянная, то производная z по x равна:
.
По правилу дифференцирования сложной функции имеем:
.
Интеграл
Выражения через комплексные числа
Рассмотрим функцию комплексного числа z:
f ( z ) = a z
где z = x + iy ; i 2 = – 1 .
Выразим комплексную постоянную a через модуль r и аргумент φ :
a = r e i φ
Тогда
.
Аргумент φ определен не однозначно. В общем виде
φ = φ 0 + 2 πn ,
где n – целое. Поэтому функция f ( z ) также не однозначна. Часто рассматривают ее главное значение
.
Разложение в ряд
Правильное построение графика показательной функции является не такой простой задачей. Рекомендуется выяснить основные ее свойства, а также разобрать применение в жизненных ситуациях. В интернете информация о ней не систематизирована, и нужно выбирать из нескольких источников, а затем проверять. Начинать изучение следует с базовых понятий, после которых переходить к более сложным элементам.
Общие сведения
Функцией называется закон зависимости одной величины от другой. Выражается она при помощи выражений алгебраического, тригонометрического, иррационального и других типов. Существует два типа переменных, которые встречаются в любых функциях: зависимая и независимая. Последняя называется также аргументом.
Сферы использования
Скорость роста функции можно проиллюстрировать на примере шахматной доски с зернами пшеницы. История гласит, что изобретатель шахмат попросил в награду положить на 1 клетку 1 зерно, на вторую — 2, на третью — 2 * 2 = 4 и так далее. На последнюю положили 2 63 штуки злаковых зерен. Следует отметить, что на шахматной доске 64 клетки. Решение простое, но результат вычисляется затруднительно, поскольку следует посчитать значение 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + … + 2 63 .
Используя формулу геометрической прогрессии Sn = b1 * [(q^n) — 1] / (q — 1), можно без проблем вычислить значение. Первое значение b1 = 1, знаменатель q = 2 3 / 2 2 = 2 2 / 2 = 2 / 1 = 2. Общее число зерен определяется таким образом: S64 = 1 * [(2 64 ) — 1] / (2 — 1) = (2 64 ) — 1. Ученые подсчитали, что такое количество превышает урожай пшеницы на планете за 2008−2009 год в 1800 раз. Если воспользоваться справочником или компьютером, то S64 = 18446744073709551615 — 1 = 18446744073709551614.
Примеры иллюстрируют применение степенной функции в жизни, поскольку она может описывать явления природы, в которой протекают различные процессы. Например, деление клеток злокачественных опухолей, увеличение количества молекул озона при разрядах молнии и так далее.
Представление функции
Необходимо рассмотреть свойства функции, а затем строить ее график. Они различаются между собой, поскольку существует несколько вариантов представления. Для правильного построения и анализа необходимо разобрать все варианты. Это позволит воспользоваться уже готовым материалом и существенно оптимизирует процесс решения задач. Представление функции состоит из свойств и графика.
Основные свойства
Свойствами функции z = a^y называется совокупность некоторых характеристик, присущих только ей. Они нужны не только для построения графика, но и для дифференцирования, анализа и интегрирования. Список свойств и полезных соотношений:
Свойства функции доказываются математическим путем. Они основаны на алгоритмах исследования ее поведения.
Доказательства некоторых утверждений
Соотношения необходимы для решения различных задач, основанных на дифференцировании, интегрировании и упрощении выражений. Можно доказать третье свойство, то есть попытаться найти минимум и максимум. Для нахождения экстремумов следует воспользоваться таким алгоритмом:
- Найти производную: [a^y]' = a^y * ln (a).
- Производная существует во всех точках, кроме следующих: при x = 0 (a = 0), x 0.
- Поиск стационарных точек [a^y]' = 0: a^y * ln (a) = 0. Решений нет, поскольку a^y не может принимать нулевое значение.
- Вывод: минимального и максимального значений нет вообще.
Точка пересечения с осью ординат рассчитывается таким образом: решается уравнение z = a^y относительно y, принимающего нулевое значение: z = a 0 = 1. Искомая точка имеет координаты (0;1).
Построение графиков
Для построения графика существуют свои правила, которых рекомендуют придерживаться математики. Процедура осуществляется в двух режимах: схематическом и точном. В первом случае нужно знать свойства. Таблица зависимостей значения от аргумента не составляется. При точном построении необходимо составить таблицу. В ней необходимо рассмотреть около 5-10 значений независимой переменной. Затем все точки отмечаются на декартовой системе координат и плавно соединяются.
Оформление играет очень важную роль, поскольку не допускаются исправления. Очень важно соблюдать масштаб, и не отмечать каждое значение шкалы делений на оси абсцисс и ординат. Следует учитывать, что графики чертят также в двух режимах: автоматизированном и ручном. В первом случае применяются специализированные программы и веб-приложения (онлайн-калькуляторы). В последнем необходимо чертить карандашом, используя линейку. Этот момент очень важен, поскольку приучает к дисциплине на уроках, а также повышает читабельность материала. Для примера нужно начертить график z = 2^y. Необходимо составить таблицу 1:
z | 0,3 | 0,5 | 1 | 2 | 4 | 8 |
у | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
Таблица 1. Зависимость значения от аргумента (z = 2^y).
По таблице нужно построить график, отмечая координаты каждой из точек. После этого нужно плавно их соединить. Должен получиться примерно такой график:
Рисунок 1. График z = 2^y (a > 0 и y > 0).
Если рассмотреть пример, в котором y > 0 и 0 0 график также существенно изменится, поскольку будет постоянно убывать:
Рисунок 3. Графическая иллюстрация при a 0.
Когда основание равно 0, тогда функция перестает быть показательной, поскольку не соблюдается условие из определения. На рисунке 4 представлен ее график:
Рисунок 4. Графическое представление при a = 0 и x > 0.
Последний случай — основание равно 1. Функция также не является показательной.
Рисунок 5. График при a = 1 и x > 0.
Кроме того, встречаются задачи не только на построение графика, но и на осуществление операций дифференцирования, нахождения производной и первообразной.
Правила дифференцирования
В некоторых задачах следует найти производную или дифференциал степенной функции. Для осуществления этой операции существует определенный алгоритм, который специалисты рекомендуют рассмотреть на конкретном примере. Условие задачи следующее: найти дифференциал z = 4^(6y). Для его нахождения нужно предпринять такие шаги:
- Выразить через основание "e": 4 = e^(ln4).
- Подставить в исходную функцию (следует воспользоваться 20 свойством): z = 4^(6y) = e^[ln(4 * 6 * y] = e^[6ln(4y)].
- Ввести новую переменную t = [6ln(4y)]: z = e^t.
- Воспользовавшись таблицей производных, найти значение функции в третьем пункте: z' = [e^t]' = e^t.
- Дифференциал находится по такой формуле: dz / dy = (dz / dt) * (dt / dy) = (e^t) * 6ln(4) = [4^(6y)] * 6ln(4).
Необходимо отметить, что производная берется из таблицы простейших (элементарных) функций. Когда выражение является сложным, как в примере, то дифференциал ищется по частям. Формула для сложного выражения имеет такой вид: [w(y(z(x)))]' = [z(x)]' * [y(z(x))]' * [w(y(z(x)))]'. Соотношение трудно понять, но на примере все довольно просто. Например, нужно найти производную z = e^(2cos(2x^2 + 1)). Функция состоит из трех элементов: f = 2x^2 + 1, y = 2cos(f) и v = e^y.
Следует воспользоваться формулой и вычислить производную каждого элемента: z' = [e^(2cos(2x^2 + 1))]' = 2[2x^2 + 1]' * [cos(f)]' * [e^y]' = 8x * (-sin(2x^2 + 1)) * e^(2cos(2x^2 + 1)). Результат следует оставить в таком виде, поскольку подобных слагаемых нет. Однако математики рекомендуют выносить минус в начало выражения: z' = -8x * (sin(2x^2 + 1)) * e^(2cos(2x^2 + 1)).
Поиск первообразных
Отдельным классом задач является интегрирование или нахождение первообразных. Для этой цели применяются специальные таблицы интегралов простейших функций. Кроме того, можно воспользоваться и табличными значениями производных. Они позволяют найти искомое первообразное выражение. Интегрирование считается обратной операцией и позволяет найти тождество, из которого была получена производная.
Таким образом, для решения задач со степенной функцией нужно пользоваться свойствами и алгоритмами, поскольку это существенно сэкономит время и избавит от множества ошибок.
- примеры реальных процессов, описываемых показательной функцией.
Глоссарий по теме
Функция вида , a>0, а≠1 называется показательной функцией с основанием а.
Функция называется монотонно возрастающей на промежутке , если (чем больше аргумент, тем больше значение функции).
Функция называется монотонно убывающей на промежутке , если (чем больше аргумент, тем меньше значение функции).
Основная литература:
Открытые электронные ресурсы:
Теоретический материал для самостоятельного изучения
1. Определение, свойства и график показательной функции
Функция вида y=а х , a>0, а≠1 называется показательной функцией с основанием а.
Такое название она получила потому, что независимая переменная стоит в показателе. Основание а – заданное число.
Для положительного основания значение степени а х можно найти для любого значения показателя х – и целого, и рационального, и иррационального, то есть для любого действительного значения.
Сформулируем основные свойства показательной функции.
1. Область определения.
Как мы уже сказали, степень а х для a>0 определена для любого действительного значения переменной х, поэтому область определения показательной функции D(y)=R.
2. Множество значений.
Так как основание степени положительно, то очевидно, что функция может принимать только положительные значения.
Множество значений показательной функции Е(y)=R + , или Е(y)=(0; +∞).
3. Корни (нули) функции.
Так как основание a>0, то ни при каких значениях переменной х функция не обращается в 0 и корней не имеет.
При a>1 функция монотонно возрастает.
6. График функции.
Рисунок 1 – График показательной функции при a>1
При 0 1 при х стремящемся к минус бесконечности.
2. Рассмотрим пример исследования функции y=–3 х +1.
1) Область определения функции – любое действительное число.
2) Найдем множество значений функции.
Так как 3 х >0, то –3 х х +1 х +1 представляет собой промежуток (-∞; 1).
3) Так как функция y=3 х монотонно возрастает, то функция y=–3 х монотонно убывает. Значит, и функция y=–3 х +1 также монотонно убывает.
4) Эта функция будет иметь корень: –3 х +1=0, 3 х =1, х=0.
5) График функции
Рисунок 3 – График функции y=–3 х +1
6) Для этой функции горизонтальной асимптотой будет прямая y=1.
3. Примеры процессов, которые описываются показательной функцией.
1) Рост различных микроорганизмов, бактерий, дрожжей и ферментов описывает формула: N= N0·a kt , N– число организмов в момент времени t, t – время размножения, a и k – некоторые постоянные, которые зависят от температуры размножения, видов бактерий. Вообще это закон размножения при благоприятных условиях (отсутствие врагов, наличие необходимого количества питательных веществ и т.п.). Очевидно, что в реальности такого не происходит.
2) Давление воздуха изменяется по закону: P=P0·a -kh , P– давление на высоте h, P0 – давление на уровне моря, h – высота над уровнем моря, a и k – некоторые постоянные.
3) Закон роста древесины: D=D0·a kt , D– изменение количества древесины во времени, D0 – начальное количество древесины, t – время, a и k – некоторые постоянные.
4) Процесс изменения температуры чайника при кипении описывается формулой: T=T0+(100– T0)e -kt .
5) Закон поглощения света средой: I=I0·e -ks , s– толщина слоя, k – коэффициент, который характеризует степень замутнения среды.
6) Известно утверждение, что количество информации удваивается каждые 10 лет. Изобразим это наглядно.
Примем количество информации в момент времени t=0 за единицу. Тогда через 10 лет количество информации удвоится и будет равно 2. Еще через 10 лет количество информации удвоится еще раз и станет равно 4 и т.д.
Рисунок 4 – График функции y=2 х – изменение количества информации
Закон изменения количества информации описывается показательной функцией y=2 х .
Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля
Выберите показательные функции, которые являются монотонно убывающими.
Монотонно убывающими являются показательные функции, основание которых положительно и меньше единицы. Такими функциями являются: 2) и 4) (независимо от того, что коэффициент в показателе функции 4) равен 0,5), заметим, что функцию 4) можно переписать в виде: , используя свойство степеней.
Также монотонно убывающей будет функция 5). Воспользуемся свойством степеней и представим ее в виде:
Найдите множество значений функции y=3 x+1 – 3.
Так как 3 x+1 >0, то 3 x+1 – 3>–3, то есть множество значений:
Найдите множество значений функции y=|2 x – 2|
2 x –2>–2, но, так как мы рассматриваем модуль этого выражения, то получаем: |2 x – 2|0.
Читайте также: