Основное уравнение мкт с выводом кратко

Обновлено: 04.07.2024

Идеальный газ

Итак, идеальный газ - это теоретическая модель вещества, в которой почти полностью отсутствует взаимодействие частиц.

Как показывает опыт, молекулы газа распределяются по всему предоставленному для него объему. Следовательно, главную роль в поведении газа играет хаотическое движение молекул, а силы взаимодействия малы, и ими можно пренебречь. Это означает, что молекула газа движется равномерно и прямолинейно, пока не столкнется с другой молекулой. При столкновении изменяется величина и направление скорости движения молекулы, и она снова движется равномерно и прямолинейно до следующего столкновения. Дли на свободного пробега (расстояние между двумя последовательными столкновениями молекулы) λ~10 -7 м. При такой длине свободного пробега только 0,04 % пространства, занятого газом, приходится на собственный объем его молекул. Это дает право воспользоваться моделью идеального газа.

Идеальный газ — это газ с достаточно простыми свойствами:

Между частицами идеального газа нет сил взаимодействия; они действуют только при столкновениях частиц (т.е. потенциальная энергия взаимодействия частиц идеального газа настолько мала, что ею пренебрегают по сравнению с кинетической энергией);
Частицы в идеальном газе имеют настолько маленькие размеры, что их можно считать материальными точками. Их суммарный объём ничтожно мал по сравнению с объёмом сосуда, в котором находится газ. И этим объёмом пренебрегают;
От столкновения до столкновения частицы движутся равномерно и прямолинейно;
Движение частиц идеального газа подчиняется законам Ньютона;
Частицы идеального газа ведут себя при столкновениях как абсолютно упругие шарики;
Среднее время между столкновениями частиц намного превышает время их взаимодействия при соударении. Поэтому временем взаимодействия пренебрегают также.

При небольших давлениях и не очень низких температурах реальные газы близки к идеальному газу. При высоких давлениях молекулы газа находятся так близко, что между ними возникают заметные силы взаимодействия. Пренебречь их собственным объемом нельзя, и газ уже не является идеальным.

Реальные газы при комнатной температуре и нормальном давлении ведут себя как идеальные газы. Идеальными газами можно считать такие газы как гелий, водород, свойства которых уже при обычных условиях отвечают закономерностям идеального газа.

Для описания свойств газов можно пользоваться:

микроскопическими параметрами (скорость, масса молекулы, ее энергия и др.), которые являются характеристиками молекул и средние численные значения которых находятся только расчетным путем;
макроскопическими параметрами (давление, температура, объем газа), значение которых определяется совместным действием огромного числа молекул. Макропараметры — это параметры, характеризующие состояние системы (газа) в целом и не имеющие смысла в применении к отдельным частицам системы. Численные значения их находят измерением с помощью приборов и расчетным путем.

Давление газа p — это средняя сила ударов его молекул о тело (например, о стенки сосуда), отнесенная к единице поверхности тела.

Абсолютная температура T — мера средней кинетической энергии теплового движения молекулы (см. Температура и тепловое равновесие системы).

Под объемом газа V понимают внутренний объем сосуда, в котором находится газ.

P =1/3 m_onV 2 - основное уравнение МКТ идеального газа. Выведено в предположении, что давление газа есть результат ударов его частиц о стенки сосуда.

Уравнение, положенное в основу молекулярно-кинетической теории, связывает макроскопические величины, описывающие состояние идеального газа (например, давление) с параметрами его молекул (их массами и скоростями). Это уравнение имеет вид:

$p=\frac<1> m_0 n\overline$

$\overline<v^2 > Здесь – масса газовой молекулы, – концентрация таких частичек в единице объема,$
– усреднённый квадрат скорости молекул.

Зная, что соударение со стенкой было упругим, мы можем предсказать, как изменится скорость молекулы после столкновения. Модуль скорости останется таким же, как и до соударения, а направление движения изменится на противоположное относительно оси Ох (считаем, что Ох – это та ось, которая перпендикулярна стенке).

Молекул газа очень много, движутся они хаотично и о стенку ударяются часто. Найдя геометрическую сумму сил, с которой каждая молекула воздействует на стенку, мы узнаём силу давления газа. Чтобы усреднить скорости молекул, необходимо использовать статистические методы. Именно поэтому в основном уравнении МКТ используют усредненный квадрат скорости молекул " width="18" height="18" />
, а не квадрат усредненной скорости ^2" width="17" height="16" />
: усредненная скорость хаотично движущихся молекул равна нулю, и в этом случае никакого давления мы бы не получили.

Теперь ясен физический смысл уравнения: чем больше молекул содержится в объеме, чем они тяжелее и чем быстрее движутся – тем большее давление они создают на стенки сосуда.

Основное уравнение МКТ для модели идеального газа

Следует заметить, что основное уравнение МКТ выводилось для модели идеального газа с соответствующими допущениями:

Соударения молекул с окружающими объектами абсолютно упругие. Для реальных же газов это не совсем так; часть кинетической энергии молекул всё-таки переходит во внутреннюю энергию молекул и стенки.
Силами взаимодействия между молекулами можно пренебречь. Если же реальный газ находится при высоком давлении и сравнительно низкой температуре, эти силы становятся весьма существенными.
Молекулы считаем материальными точками, пренебрегая их размером. Однако размеры молекул реальных газов влияют на расстояние между самими молекулами и стенкой.
И, наконец, основное уравнение МКТ рассматривает однородный газ – а в действительности мы часто имеем дело со смесями газов. Как, например, воздух.

Однако для разреженных газов это уравнение дает очень точные результаты. Кроме того, многие реальные газы в условиях комнатной температуры и при давлении, близком к атмосферному, весьма напоминают по свойствам идеальный газ.

$E_k =\frac<mv ^2 > Как известно из законов динамики, кинетическая энергия любого тела или частицы$
. Заменив произведение массы каждой из частичек и квадрата их скорости в записанном нами уравнении, мы можем представить его в виде:

$p= \frac<2> nE _k$

$E_<k> Также кинетическая энергия газовых молекул выражается формулой =\frac kT$
, что нередко используется в задачах. Здесь k – это постоянная Больцмана, устанавливающая связь между температурой и энергией. k=1,38•10 -23 Дж/К.

Основное уравнение МКТ лежит в основе термодинамики. Также оно используется на практике в космонавтике, криогенике и нейтронной физике.

Примеры решения задач

Задание	Определить скорость движения частиц воздуха в нормальных условиях.
Решение	Используем основное уравнение МКТ, считая воздух однородным газом. Так как воздух на самом деле – это смесь газов, то и решение задачи не будет абсолютно точным.

$p= \frac<1> m_0 n\overline$

Можем заметить, что произведение – это плотность газа, так как n – концентрация молекул воздуха (величина, обратная объему), а m – масса молекулы.

Тогда предыдущее уравнение примет вид:

$p= \frac<1> \rho v ^2$

В нормальных условиях давление равно 10 5 Па, плотность воздуха 1,29кг/м 3 – эти данные можно взять из справочной литературы.

Из предыдущего выражения получим скорость молекул воздуха:

$v= \sqrt<\frac<3p > > =\sqrt >= 483 m/c$

Задание	Определить концентрацию молекул однородного газа при температуре 300 К и давлении 1 МПа. Газ считать идеальным.
Решение	Решение задачи начнём с основного уравнения МКТ: $p=\frac<1> m_0 n\overline.$ Кинетическая энергия молекул, как и любых материальных частичек: $E_<k>=\frac$ . Тогда наша расчетная формула примет несколько другой вид:

$p= \frac<2> nE_$

Однако кинетическая энергия молекул в термодинамике определяется и с помощью другого выражения, и напрямую связана с температурой газа:

$E_<k> =\frac kT$

Подставив эту формулу в предыдущее выражение, получим еще одну форму записи основного уравнения МКТ:

Выразим и рассчитаем концентрацию молекул газа:

$n=\frac =\frac \cdot 300> = 2,42\cdot10^ m^$

На прошлых уроках мы сформулировали понятие идеального газа и описали его микро- и макропараметры. Этот урок будет посвящён выведению соотношения между этими параметрами. Таким образом, мы выведем основное уравнение молекулярно-кинетической теории, а также рассмотрим две формы записи данного уравнения.

Строгий вывод уравнения молекулярно-кинетической теории газов довольно сложен.
Поэтому мы ограничимся упрощённым выводом уравнения.

Предположим, что газ идеальный и взаимодействие молекул со стенкой абсолютно упругое.

Вычислим давление газа, находящегося в сосуде, на боковую стенку площадью S, перпендикулярную координатной оси ОХ (рис. 9.2).

Уравнение молекулярно-кинетической теории — первое количественное соотношение, полученное в МКТ, поэтому оно называется основным.
После вывода этого уравнения в XIX в. и экспериментального доказательства его справедливости началось быстрое развитие количественной теории, продолжающееся по сегодняшний день.

При ударе молекулы о стенку её импульс изменяется: Δр_х = m₀(υ_х - υ_0x).

При абсолютно упругом взаимодействии модули скорости молекулы до и после удара равны, и тогда изменение импульса Δр_х = 2m₀υ_x.

Согласно второму закону Ньютона изменение импульса молекулы равно импульсу подействовавшей на неё силы со стороны стенки сосуда, а согласно третьему закону Ньютона импульс силы, с которой молекула подействовала на стенку, будет иметь то же значение.

Следовательно, в результате удара молекулы на стенку подействовала сила, импульс которой равен 2m₀|υ_x|.

Молекул много, и каждая из них передаёт стенке при столкновении такой же импульс.
За время t они передадут стенке импульс 2m₀|υ_x|Z, где Z — число ударов всех молекул о стенку за это время.
Число Z, очевидно, прямо пропорционально концентрации молекул, т. е. числу молекул в единице объёма, а также скорости молекул |υ_x|.

Кроме того, число столкновений молекул со стенкой пропорционально площади S поверхности стенки: Z ~ n|υ_x|St.

Надо ещё учесть, что в среднем только половина всех молекул движется к стенке.

Благодаря хаотичному движению направления движения молекул по и против оси ОХ равновероятны, поэтому вторая половина молекул движется в обратную сторону.
Значит, число ударов молекул о стенку за время t и полный импульс силы, подействовавшей на стенку, Ft = 2m₀|υ_x|Zt.

Учтём, что не все молекулы имеют одно и то же значение квадрата скорости υ 2 _x.

В действительности средняя сила, действующая на стенку, пропорциональна не υ 2 _x, а среднему значению квадрата скорости
Так как согласно формуле (9.5)
Таким образом, давление газа на стенку сосуда равно:

Уравнение (9.6) и есть основное уравнение молекулярно-кинетической теории газов.

Формула (9.6) связывает макроскопическую величину — давление, которое может быть измерено манометром, — с микроскопическими параметрами, характеризующими молекулы: их массой, концентрацией, скоростью хаотичного движения.

Связь давления со средней кинетической энергией молекул.

Если через обозначить среднюю кинетическую энергию поступательного движения молекулы то уравнение (9.6) можно записать в виде

Давление идеального газа пропорционально произведению концентрации молекул и средней кинетической энергии поступательного движения молекул.

Основные положения МКТ. Тепловые явления - Физика, учебник для 10 класса - Класс!ная физика

Читайте также: