Понятие площади фигуры и ее измерение кратко

Обновлено: 13.05.2024

Площадью фигуры называется положительная величина, определенная для каждой фигуры так, что: 1) равные фигуры имеют равные площади; 2) если фигура состоит из двух частей, то ее площадь равна сумме площадей этих частей. Чтобы измерить площадь фигуры, нужно иметь единицу площади. Как правило, такой единицей является площадь квадрата со стороной, равной единичному отрезку. Условимся площадь единичного квадрата обозначать буквой Е, а число, которое получается в результате измерения площади фигуры – S(F). Это число называют численным значением площади фигуры F при выбранной единице площади Е. Оно должно удовлетворять условиям: 1. Число S(F) - положительное. 2. Если фигуры равны, то равны численные значения их площадей.

3. Если фигура F состоит из фигур F1иF2, то численное значение площади фигуры равно сумме численных значений площадей фигурF1иF2. 4. При замене единицы площади численное значение площади данной фигуры F увеличивается (уменьшается) во столько же раз, во сколько новая единица меньше (больше) старой. 5. Численное значение площади единичного квадрата принимается равным 1, т.е.S(F) = 1. 6. Если фигура F1 является частью фигуры F2, то численное значение площади фигуры F1 не больше численного значения площади фигуры F2, т.е. F1 FÌ2 S (FÞ1) ≤ S (F2) . В геометрии доказано, что для многоугольников и произвольных плоских фигур такое число всегда существует и единственно для каждой фигуры. Фигуры, у которых площади равны, называются равновеликими Многоугольники называются равносоставленными, если их можно разбить на соответственно равные части.

Нет ничего плохого в том, когда человек владеет богатством. Но плохо, если богатство завладевает человеком. © Билли Грэм ==> читать все изречения.

Длиной отрезка называется положительная величина, определенная для каждого отрезка так, что:

Равные отрезки имеют равные длины.
Если отрезок состоит из конечного числа отрезков, то его длина равна сумме длин этих отрезков.

Процесс измерения отрезка а:

выбирают отрезок е и принимают его за единицу длины;
на отрезке а откладывают от одного из его концов отрезки равные е, пока это возможно;
если отрезки отложились n раз, и конец последнего совпал с концом отрезка а, то говорят, что значение длины отрезка а есть натуральное число п.

если отрезок е отложили n раз, и остался остаток, меньший е, то на нем откладываются отрезки равные е₁ = 1/10 ∙ е и т.д.

Таким образом, значение длины любого отрезка можно представить в виде бесконечной десятичной дроби, т.е. действительного числа.

Некоторые свойства длин отрезков:

При выбранной единице длины длина любого отрезка выражается действительным числом, и для каждого положительного действительного числа есть отрезок, длина которого выражается этим числом.
Если два отрезка равны, то равны численные значения их длин, и обратно: если равны численные значения длин отрезков, то равны и сами отрезки.
При замене единицы длины численное значение длины увеличивается (уменьшается) во столько раз, во сколько новая единица меньше (больше) старой.

Например, 1 м = 100 см, т.к. 1 см в 100 раз меньше метра.

Второй отрезок, который на 1 см длиннее первого, можно построить по-разному. Например, на луче ОА можно сначала отложить отрезок ОВ длиной 1 дм, а затем от точки В отложить отрезок ВА₁, длина которого 1 см.

А можно сначала найти сумму 1дм + 1 см = 10 см +1 см = (10+1) см = 11 см, а затем построить отрезок длиной 11 дм.

1 способ. Строят отрезок длиной 6 см, а затем на луче ОА последовательно откладывают два равных отрезка длиной 6 см. Полученный отрезок ОА является искомым, его длина равна 2∙6 см= 12 см.

2 способ. Находят длину второго отрезка: 2∙6 см= 12 см, а затем строят 2 отрезка: один длиной 6 см, а другой длиной 12 см.

Площадь — численная характеристика двумерной (плоской или искривлённой) геометрической фигуры [1] , неформально говоря, показывающая размер этой фигуры. Исторически вычисление площади называлось квадратурой. Фигура, имеющая площадь, называется квадрируемой. Конкретное значение площади для простых фигур однозначно вытекает из предъявляемых к этому понятию практически важных требований (см. ниже). Фигуры с одинаковой площадью называются равновеликими.

Общий метод вычисления площади геометрических фигур предоставило интегральное исчисление. Обобщением понятия площади стала теория меры множества, пригодная для более широкого класса геометрических объектов.

Для приближенного вычисления площади на практике используют палетку или специальный измерительный прибор — планиметр.

Содержание

Свойства

Площадь единичного квадрата равна 1.
Площадь аддитивна.
Площадь неотрицательна.
Площади конгруэнтных фигур равны.

Для фигур на плоскости, не состоящих из целого количества единичных квадратов, а также для искривлённых трёхмерных поверхностей, площадь определяется с помощью предельного перехода; при этом требуется, чтобы как фигура, так и её граница были кусочно-гладкими [2] .

Общий метод определения площади

Площадь плоской фигуры

Декартовы координаты

Площадь между графиками двух функций равна разности интегралов от этих функций в одинаковых пределах интегрирования

Площадь, заключённая между графиком непрерывной функции на интервале и горизонтальной осью, может быть вычислена как определённый интеграл от этой функции:

$S = \int\limits_a^b f(x)\, dx$

Площадь, заключённая между графиками двух непрерывных функций на интервале находится как разность определённых интегралов от этих функций:

$S = \int\limits_a^b \left | f(x)-g(x) \right |\, dx$

Полярные координаты

В полярных координатах: площадь, ограниченная графиком функции и лучами вычисляется по формуле:

$S = <1 \over 2> \int\limits_^ r^2(\theta) \, d\theta$
.

Площадь поверхности

$\mathbf Площадь искривлённой поверхности A, заданной вектор-функцией =\mathbf(u,v),$
, даётся двойным интегралом:

$S = \iint\limits_A \left|\frac<\partial\mathbf<r> ><\partial u>\times\frac<\partial\mathbf<r>><\partial v>\right|\,du\,dv.$

То же в координатах:

$S = \iint\limits_A \sqrt<\left(\frac<D(x,y)> \right)^2+\left(\frac\right)^2+\left(\frac\right)^2>\;\mathrm\,u\,\mathrm\,v$

$\frac<D(y,z)> Здесь =\beginy$
.

Единицы измерения площади

Метрические единицы

Квадратный дециметр, 100 дм² = 1 м²; , 10 000 см² = 1 м²; , 1 000 000 мм² = 1 м².

Русские устаревшие

Копна = 0,1 десятины — сенные покосы меряли копнами
Квадратная сажень = 4,55224 м²

Мерами земли при налоговых расчетах были выть, соха, обжа, размеры которых зависели от качества земли и социального положения владельца. Существовали и различные местные меры земли:коробья, веревка, жеребья и др.

Понятие площади фигур рассматривается одним из разделов математики — конкретно, геометрией. Результат решения задач с нахождением площади геометрических фигур может использоваться для решения математических задач, в быту, в производстве.

Площадь фигуры — численная характеристика, которая передает информацию о размере геометрической фигуры.

Фигура, в математическом мире определяемая как множество точек на плоскости, должна быть ограничена со всех сторон, чтобы иметь понятие площади. Если фигура располагается на одной плоскости, она не имеет объема, а только площадь.

В самом простом случае, площадь фигуры можно посчитать по количеству клеток, которые она занимает. Подобным способом можно легко посчитать площадь квадрата, прямоугольника или прямоугольного равнобедренного треугольника.

Площадь в геометрии обозначается знаком S, от английского square — площадь.

Как математическая характеристика, площадь имеет четыре характеристики:

Положительность — величина площади не может быть отрицательной.
Нормировка — если сторона квадрата равна единице, то он имеет площадь 1.
Равнозначность — фигуры с равными сторонами и одинаковые по свойствам имеют одинаковую площадь.
Сложение площадей — фигуры, располагающиеся рядом, но не имеющие общих точек соприкосновения, будут иметь площадь равную сумме их отдельных площадей.

Единицы измерения площади

Площадь фигуры может измеряться в разных единицах в зависимости от поверхности, на которой располагается. Основной системой измерения считается Международная система единиц СИ.

Площадь измеряется в единицах измерения в квадрате:

барн — 10 - 28 м 2 ;
квадратный миллиметр — 1 м м 2 ;
квадратный сантиметр — 1 с м 2 ;
квадратный метр — 1 м 2 ;
квадратный километр — 1 к м 2 ;
ар — 1 а = 100 м 2 ;
гектар — 1 г а = 10000 м 2 и другие.

В Древней Руси употребляли такие величины, как квадратная верста, десятина, квадратный сажень.

В античных источниках единицей измерения площади были актус, арура, центурия, югер.

В некоторых странах есть свои единицы измерения площади, например, рай в Таиланде. Также другими единицами измерения могут пользоваться разные виды научного знания, например, понятием планковской площади пользуется ядерная физика.

Формула нахождения площади в математике

Существует множество формул нахождения площади простых геометрических фигур, которые зависят, в основном, от количества углов, сторон и их соотношений.

Площадь прямоугольника

Прямоугольником является геометрическая фигура, все углы которой равны 90°. При этом таких углов должно быть, как минимум три, а четвертый будет равен 90° в силу закона о сумме углов четырехугольника в евклидовой геометрии.

Вычисление площади прямоугольника будет происходить через умножение сторон:

где a и b являются сторонами прямоугольника.

Площадь квадрата

Квадратом является прямоугольник с равными сторонами. Все его углы равны 90°. Площадь квадрата можно найти сразу двумя способами:

по длине стороны;
через его диагонали.

По длине стороны:

Так как квадрат является частным случаем прямоугольника, его площадь также можно найти по формуле S = a × b , однако в таком случае a и b будут равны, а формула по смыслу будет повторять выше написанную.

Через диагонали:

где a — длина сторон квадрата;

d — длина диагоналей квадрата.

Площадь круга

Кругом является часть плоскости, которая лежит внутри окружности. Круг не имеет ни одного угла, а точки его окружности находятся на равном удалении от центра.

Площадь круга можно найти двумя способами:

Через радиус:

где π — постоянная Пи, равна 3,14.

Радиус, упоминаемый в формуле, является линией или отрезком, соединяющим центр и любую из точек окружности.

Через диаметр:

где π — постоянная Пи, равна 3,14.

Диаметр является отрезком, соединяющим две точки окружности и проходящим через центр. Он включает в себя два противоположно направленных радиуса.

Площадь эллипса

Эллипс является частным случаем окружности. Он, так же, как и круг, не имеет ни одного угла, но при этом точки окружности находятся на разном удалении от центра.

Найти площадь эллипса можно только одним способом: через произведение длин большой и малой полуосей эллипса и числа пи.

Площадь эллипса находится через произведение длин большой и малой полуосей эллипса и числа пи:

Площадь параллелограмма

Параллелограмм является геометрической фигурой с 4 углами и 4 сторонами, однако он отличается от прямоугольника по строению. Его противолежащие стороны попарно параллельны, а углы равны зеркально противолежащим.

Частными случаями параллелограмма являются квадрат, прямоугольник и ромб.

Найти площадь параллелограмма можно тремя способами:

через сторону и высоту;
через две его стороны и величину угла между ними;
через диагонали и угол между ними.

Через сторону и высоту:

где a — сторона, к которой проведена высота,

h — высота непосредственно.

Через две стороны и величину угла между ними:

Через диагонали и угол между ними:

S = 1 2 × d 1 × d 2 × sin y

где d 1 и d 2 — это диагонали параллелограмма,

y — угол между ними.

Площадь ромба

Ромб, как частный случай параллелограмма, имеет те же свойства, кроме того, что все его стороны равны.

Площадь ромба также можно найти тремя способами:

по длине стороны и высоте;
по длине стороны и углу;
по длине его диагоналей.

По длине стороны и высоте:

Формула площади ромба по стороне и высоте выглядит так же, как и площадь параллелограмма по таким же характеристикам, с условием, что все высоты ромба будут равны:

По длине стороны и углу:

Формула площади ромба через длину сторон и углу между ними похожа на соответствующую формулу площади параллелограмма с условием того, что стороны равны, а значит, их перемножение можно заменить квадратом величины стороны:

По длине его диагоналей:

S = 1 2 × d 1 × d 2

Площадь трапеции

Трапеция отличается от всех предыдущих фигур тем, что только две ее стороны, боковые, могут быть равны между собой. При этом они не параллельны. Две другие стороны параллельны, но не равны. Сумма углов трапеции равна 360°.

Площадь трапеции можно найти двумя способами:

по формуле Герона;
по длине основ и высоте.

По формуле Герона:

S = a + b a - b p - a p - b p - a - c p - a - d

где a , b — длины оснований трапеции,

c , d — длины боковых сторон,

p = a + b + c + d 2

По длине основ и высоте:

Площадь треугольника

Треугольник является геометрической фигурой с тремя сторонами и суммой углов, равной 180°. По величине углов треугольники делятся на острые, тупые и прямоугольные. По числу равных сторон треугольники делятся на разносторонние, равносторонние и равнобедренные.

Площадь треугольника можно найти множеством способов:

по гипотенузе и острому углу;
через сторону и высоту;
через три стороны;
через две стороны и угол между ними;
через три стороны и радиус описанной окружности;
через три стороны и радиус вписанной окружности.

По гипотенузе и острому углу:

S = 0 , 25 × c 2 × sin 2 a

где c — гипотенуза,

a — любой из прилежащих острых углов.

Через сторону и высоту:

Через три стороны:

S = p ( p - a ) p - b p - c

где р — полупериметр.

p = a + b + c + d 2

Через две стороны и угол между ними:

S = 1 2 × a × b × sin y

Через три стороны и радиус описанной окружности:

Через три стороны и радиус вписанной окружности:

где р — полупериметр.

p = a + b + c + d 2

Стены класса равны 7 и 5 метрам. Чему будет равна площадь пола в данной комнате?

Решение: S = 7 × 5 = 35

Елена делает торты на заказ. Ей поступила просьба сделать небольшой торт, чтобы он поместился в форму с диаметром 16 сантиметров. Какую форму должна взять Елена для торта, если площадь формы А равна 113 с м 2 , площадь формы В равна 176 с м 2 , а площадь формы С — 283 с м 2 ?

Решение: S = π × 15 2 = 201 , 06 с м 2 . Торт из формы А будет слишком маленьким, а из формы С — слишком большим. Подходит форма В.

Ткань летучего змея порвалась. Вася решил сделать новую форму. Он посчитал, что длина жердей летучего змея равна 15 и 23 см. Форму какой площади нужно взять Васе с учетом того, что для припусков для пришивания нужно взять еще 2 см?

Решение: S = 1 2 × ( 15 + 2 ) × ( 23 + 2 ) = 195 , 5 с м 2 или 1 , 955 м 2 .

Равнобедренный треугольник имеет основание 4 дм и высоту 7 дм. Сколько будет его площадь?

Читайте также: