Методика обучения решению текстовых задач на движение и работу в основной школе
Обновлено: 08.07.2024
Стоит заметить, что при решении задач на движение в начальной школе имеется ввиду равномерное движение, что важно отметить для учащихся.
Подготавливая детей к решению задач, связанных с движением, необходимоповторить:
— единицы длины — 1 км, 1 м, 1 дм, 1 см, 1 мм;
— единицы времени — 1 ч, 1 мин, 1 с.
На этом этапе важно познакомиться с задачами на различные скорости, в зависимости от единиц длины (расстояния) и единиц времени.
И. М. Моро и ее коллеги предлагает закрепить понятие скорости с помощью следующего упражнения:
«Как ты понимаешь это предложение? Скажи по-другому:
- электричка проходит 1 километр в минуту;
- самолет летел со скоростью 850 км/ч;
Важно помнить, что задачи на движение оперируют пропорциональными величинами (скорость, время, расстояние) и их взаимозависимостью. Знакомство с обозначениями V,t,S и пр. является нецелесообразным, хотя и можно дать учащимся общее представление об этих латинских символах.
Н. Б. Истомина предлагает для демонстрации этой зависимости разобрать задачу на отрезках: нарисовать в тетради три отрезка, каждый длиною в 12 клеток. Один отрезок разделить на 2 части,другой на 3, третий на 4 и использовать данную модель для анализа конкретной ситуации: один пешеход проходит расстояние 12 км за 2 часа, другой — за 3 часа,третий — за 4 часа. Покажите отрезок, который обозначает скорость каждого пешехода?
Решая задачи на пропорциональные величины, необходимо отрабатывать умение на перевод одних единиц в другие. Например: скорость одного пешехода 50 м/мин, а другого — 4 км/ч. За какое время первый пешеход пройдет 12 км? За какое время это расстояние пройдет второй пешеход? В данном случае необходимо выяснить: на что важно ориентироваться при переводе единиц (на расстояние), в каких значениях выражена каждая величина и каким образом сделать преобразование.
При решении задач на движение традиционно используются схемы. Они отражают отношения между величинами, процесс движения, прочие условия решения задачи.
После решения задач на движение единичных объектов в одном из направлений, учащиеся переходят к решению задач на встречное движение. В курсе математики И. М. Моро рассматривается три вида решения задач на встречное движение двух объектов:
- определение пути через сумму расстояний, пройденных объектами с разной скоростью сближения за одно время;
- определение пути через сумму расстояний сближения за единицу времени обоими объектами;
- определение скорости или времени пути через соответствующие операции деления.
Перед тем как перейти к решению задач на движение в противоположных направлениях, учащиеся решают пропедевтическое задание, в котором определяют на сколько километров удалились велосипедисты друг от друга за 1, 2, 3 часа при разной скорости удаления.
Методика обучения решению задач на движение в противоположных направлениях подобна при решении задач на встречное движение.
В процессе работы важно сравнить те и другие задачи, чтобы отметить:
а) их различия – в направлении движения, в наличии скорости сближения и удаления;
б) их сходство – в решении двумя действиям, в двух случаях – решение двумя способами.
В работе с задачами на движение, так же, впрочем, как и с другими, мы опираемся на базовые компоненты овладения математическими знаниями:
«1) начальные логические знания и операции;
2) необходимые виды знаково – символической деятельности;
Методика обучения решению данных задач включает в качестве логического компонента: выделение свойств движущихся объектов, анализ условий движения, сравнение понятий.
В общем целом задачи на движение требуют сформированности тех же знаний и действий, что и при решении прочих задач.
Стоит заметить, что при решении задач на движение в начальной школе имеется ввиду равномерное движение, что важно отметить для учащихся.
Подготавливая детей к решению задач, связанных с движением, необходимоповторить:
— единицы длины — 1 км, 1 м, 1 дм, 1 см, 1 мм;
— единицы времени — 1 ч, 1 мин, 1 с.
На этом этапе важно познакомиться с задачами на различные скорости, в зависимости от единиц длины (расстояния) и единиц времени.
И. М. Моро и ее коллеги предлагает закрепить понятие скорости с помощью следующего упражнения:
«Как ты понимаешь это предложение? Скажи по-другому:
- электричка проходит 1 километр в минуту;
- самолет летел со скоростью 850 км/ч;
Важно помнить, что задачи на движение оперируют пропорциональными величинами (скорость, время, расстояние) и их взаимозависимостью. Знакомство с обозначениями V,t,S и пр. является нецелесообразным, хотя и можно дать учащимся общее представление об этих латинских символах.
Н. Б. Истомина предлагает для демонстрации этой зависимости разобрать задачу на отрезках: нарисовать в тетради три отрезка, каждый длиною в 12 клеток. Один отрезок разделить на 2 части,другой на 3, третий на 4 и использовать данную модель для анализа конкретной ситуации: один пешеход проходит расстояние 12 км за 2 часа, другой — за 3 часа,третий — за 4 часа. Покажите отрезок, который обозначает скорость каждого пешехода?
Решая задачи на пропорциональные величины, необходимо отрабатывать умение на перевод одних единиц в другие. Например: скорость одного пешехода 50 м/мин, а другого — 4 км/ч. За какое время первый пешеход пройдет 12 км? За какое время это расстояние пройдет второй пешеход? В данном случае необходимо выяснить: на что важно ориентироваться при переводе единиц (на расстояние), в каких значениях выражена каждая величина и каким образом сделать преобразование.
При решении задач на движение традиционно используются схемы. Они отражают отношения между величинами, процесс движения, прочие условия решения задачи.
После решения задач на движение единичных объектов в одном из направлений, учащиеся переходят к решению задач на встречное движение. В курсе математики И. М. Моро рассматривается три вида решения задач на встречное движение двух объектов:
- определение пути через сумму расстояний, пройденных объектами с разной скоростью сближения за одно время;
- определение пути через сумму расстояний сближения за единицу времени обоими объектами;
- определение скорости или времени пути через соответствующие операции деления.
Перед тем как перейти к решению задач на движение в противоположных направлениях, учащиеся решают пропедевтическое задание, в котором определяют на сколько километров удалились велосипедисты друг от друга за 1, 2, 3 часа при разной скорости удаления.
Методика обучения решению задач на движение в противоположных направлениях подобна при решении задач на встречное движение.
В процессе работы важно сравнить те и другие задачи, чтобы отметить:
а) их различия – в направлении движения, в наличии скорости сближения и удаления;
б) их сходство – в решении двумя действиям, в двух случаях – решение двумя способами.
В работе с задачами на движение, так же, впрочем, как и с другими, мы опираемся на базовые компоненты овладения математическими знаниями:
«1) начальные логические знания и операции;
2) необходимые виды знаково – символической деятельности;
Методика обучения решению данных задач включает в качестве логического компонента: выделение свойств движущихся объектов, анализ условий движения, сравнение понятий.
В общем целом задачи на движение требуют сформированности тех же знаний и действий, что и при решении прочих задач.
В статье рассматривается методика решения задач на движение в начальной школе. Представлены виды задач на движение, приведены примеры их решения.
Ключевые слова
Текст научной работы
Решение текстовых задач занимает значительное место в начальном курсе математики. Киричек К.А. отмечает, что текстовые задачи также называют сюжетными в связи с тем, что они описывают реальные жизненные ситуации, процессы, явления, например, такие как: куплю — продажу, производительность труда, движение и т.п. [2].
Задачи на движение — особый вид задач, в котором описывается процесс движения друг относительно друга двух или нескольких тел, перемещаемых в различных (навстречу и в противоположных направлениях) или в одном (вдогонку и с отставанием) направлениях. Они содержат взаимосвязанные величины: преодолеваемый путь, скорость движения и время.
Рассмотрим методику формирования у младших школьников умения решать задачи на движение двух тел в разных направлениях (навстречу или в противоположные стороны) — они являются самыми сложными для усвоения обучающимися. Это актуализирует необходимость создания такой системы учебных задач и методики работы над ними, с помощью которых ученик понял бы особенности способов решения задач этого типа и получил сноровку в их реализации.
В методической литературе описан такой подход к ознакомлению с задачами на одновременное движение в разных направлениях: сначала ученики знакомятся с задачами на одновременное движение навстречу и решают их двумя способами; после этого аналогично обрабатывают задачи на одновременное движение в противоположных направлениях.
Но задачи на нахождение расстояния (времени и скорости) при одновременном движении навстречу и в противоположных направлениях имеют одинаковые способы решения. Поэтому есть смысл рассматривать эти виды задач одновременно [4].
Согласно традиционному подходу, ученики сразу знакомятся с двумя способами решения задач на нахождение расстояния и скорости движения. Однако эти способы принципиально отличные: при решении первым способом рассматривают движение каждого тела в отдельности и только потом отвечают на вопросы задачи; при решении вторым способом рассматривают движение одного тела относительно другого и узнают, насколько меняется расстояние между телами за единицу времени. Именно это является ключом к решению задачи, после чего можно ответить на ее вопросы. Практика показывает, что дети лучше усваивают первый способ рассуждения, тогда как второй вызывает у многих из них трудности.
Во время работы над задачами на движение можно выделить такие основные понятия, без осознания которых невозможно их правильное решение.
1. Встречное движение:
- скорость сближения;
- время движения до встречи (время сближения), если два тела одновременно (не одновременно) начали двигаться навстречу друг другу с одинаковыми (неодинаковыми) скоростями.
2. Движение в противоположных направлениях:
- скорость удаления;
- время удаления, если два тела начали одновременно (не одновременно) двигаться из одного пункта в противоположных направлениях с одинаковыми (разными) скоростями.
3. Движение в одном направлении:
- скорость сближения (удаления)
- время сближения (удаления).
4. Движение по течению или против течения:
- собственная скорость катера (моторной лодки и т.д.);
- скорость катера по течению;
- скорость катера против течения;
- скорость сближения и время сближения, когда катер настигает плот;
- скорость сближения и время сближения, когда катер движется навстречу плоту;
- скорость удаления и время удаления, когда катер и плот двигаются из одного пункта в противоположных направлениях.
5. Средняя скорость движения:
- средняя арифметическая величина;
- средняя скорость как средняя арифметическая величина [1].
Успешность обучения школьников решать задачи на движение в значительной степени зависит от качественно проведенной подготовительной работы. Ей целесообразно посвятить два урока. Цель подготовительной работы — актуализировать знания о взаимосвязанных величинах (преодоленный путь, скорость и время движения тел), взаимосвязи между ними; организовать наблюдение за одновременным движением двух тел друг относительно друга (навстречу и в противоположных направлениях). Такую деятельность организуют на основе решения простых и составных задач известных детям видов. На этом этапе не только повторяют взаимосвязь между данными величинами, но и уделяют определенное внимание актуализации физического смысла скорости [5].
Рассмотрим на примере актуализацию физического смысла скорости:
Пример 1. Объясни, что означают утверждение: гусеница ползет со скоростью 18 м/ч; самолет летит со скоростью 950 км/ч.
В ходе обсуждения выясняют: скорость гусениц 18 м/ч означает, что за каждый час она преодолевает по 18 м; скорость самолета 950 км/ч означает, что за каждый час он пролетает по 950 км.
Пример 2. Определи, чему равна скорость движения таких объектов: меч-рыбы, если она каждый час проплывает 100 км; верблюда, который каждый час проходит 8 км; велосипедиста, который каждую секунду преодолевает 3 м.
На основе рассуждений дети дают объяснения. Если меч-рыба каждый час проплывает по 100 км, то ее скорость составляет 100 км/ч. Верблюд, который за каждый час проходит по 8 км, движется со скоростью 8 км/ч. Если велосипедист преодолевает каждую секунду по 3 м, то его скорость — 3 м/с.
Пример 3. Выбери скорость, с которой, по твоему мнению, может ехать легковой автомобиль: 60 км/мин; 80 км/ч; 8 км/с.
Эта задача способствует развитию критического мышления обучающихся. Они анализируют эти показатели скорости и оценивают их соответствие реальным техническим характеристикам автомобиля. Делают вывод, что машина может двигаться со скоростью 80 км/ч.
Знание физического смысла скорости как пути, который одолевает тело за единицу времени, ученики используют в решении простых и составных задач.
Пример 4. Задача на нахождение четвертого пропорционального
Самолет за 3 часа пролетел 2700 км. Какой путь он преодолеет за 6 часов, если будет лететь с такой же скоростью?
Составляют план решения задачи:
- Находим скорость движения самолета, одинаковую величину, действием деления;
- Находим преодоленный путь во втором случае, отвечаем на вопросы задачи действием умножения.
Обучающиеся самостоятельно записывают решение задачи и ответ.
После выполнения упражнений из учебника обучающиеся смогут сравнить скорости живых существ и различных видов транспорта, сделать четкие выводы о зависимости между величинами: скорость, время и расстояние. Именно при решении простых задач, связанных с этими величинами, приемы составления обратных задач и изменения числовых данных определенным образом помогают ознакомить обучающихся с пропорциональной зависимостью между величинами.
Затем учителю следует продемонстрировать ученикам, что произойдет, если одну из величин зафиксировать (не менять), а вторую увеличить или уменьшить в несколько раз. Условия задач, сравниваются, записываются одной таблицей.
Полезно также по готовым таблицам составлять и решать задачи устно, а затем проводить беседы с учениками, сравнивая условия и ответы задач [6].
Таким образом, обучение школьников решению задач — одна из сложнейших методических проблем. Математическая задача на движение создается в результате конструирования реально предполагаемого процесса, с целью решения проблемы бытового, производственного или социального характера. Во время работы над задачами на движение у обучающихся формируются следующие основные понятия: встречное движение (скорость сближения, время сближения) движение в противоположных направлениях (скорость удаления, время удаления), движение в одном направлении (скорость сближения (удаления), время сближения (удаления) движение по течению или против течения (собственная скорость плавсредства, скорость плавсредства по течению, скорость плавсредства против течения, скорость сближения и время сближения, скорость удаления и время удаления), средняя скорость движения.
- Головина Е.А.
- Бачурина А.К.
- Климов А.В.
Список литературы
Цитировать
Задача на движение включает три величины: скорость, время, расстояние, которые связаны пропорциональной зависимостью.
Рассматривая классификацию задач на движение, необходимо отметить следующее. Различают простые и составные задачи на движение. Составные задачи на движение подразделяют на задачи на движение в одном направлении, задачи на сближение объектов, задачи на удаление объектов, задачи на движение по реке. Кроме того, некоторые задачи на движение могут рассматриваться как задачи на нахождение четвертого пропорционального, задачи на нахождение неизвестного по двум разностям, задачи на пропорциональное деление.
В виду специфичности задач на движение для их решения удобно записывать данные условия в виде таблицы (скорость – время – расстояние) и использовать схемы, которые отражают процесс движения, а не отношения между величинами.
В процессе решения задач на движение формируется представление учащихся о некоторых средних скоростях движения пешехода, велосипедиста, теплохода, автомобиля и др., и представление о равномерном и неравномерном движении. Сначала рассматривают простые задачи на равномерное движение.
Следует помнить, что при ознакомлении с задачами на движение недопустимо заучивание приемов решения задач с прямо и обратно пропорциональной зависимостью. Затем вводятся составные задачи на встречное движение объектов, на удаление объектов, на движение в одном направлении, на движение по реке. Кроме того, учащиеся работают над задачами на движение, которые по способу решения можно отнести к задачам на нахождение четвертого пропорционального, на нахождение неизвестного по двум разностям, на пропорциональное деление.
Закрепление осуществляется посредством включения в содержание уроков задач на различные виды движения и решения их различными способами с последующим отбором наиболее рационального из них.
Отдельное внимание уделим решению составных задач на встречное движение и на противоположное движение.
В результате решения соответствующих простых задач ученики должны усвоить такие связи: если известны расстояния и время движения, то можно найти скорость действием деления; если известна скорость и время движения, можно узнать расстояние действием умножения; если известны расстояние и скорость, можно найти время движения действием деления.
Далее, опираясь на эти знания, дети будут решать составные задачи, в том числе задачи на нахождение четвертого пропорционального, на пропорциональное деление, на нахождение неизвестного по двум разностям с величинами S, t, V.
При работе с этими задачами надо чаще использовать иллюстрации в виде чертежа, так как чертеж помогает правильно использовать, определять и представлять жизненную ситуацию, отраженную в задаче.
Задачи на пропорциональное деление вводятся по-разному: можно предложить для решения готовую задачу, а можно сначала составить ее, преобразовать задачу на нахождение четвертого пропорционального, в задачу на пропорциональное деление, и после их решения сравнить как сами задачи, так и их решения [20, с.49].
Обобщению умения решать задачи рассмотренного вида помогают упражнения творческого характера.
Полезны упражнения на составление задач учащимися с последующим их решением, а также упражнения по преобразованию задач. Это прежде всего составление задач аналогичных решению. Или составление и решение задач по их краткой схематической записи.
Прежде чем ввести задачи на встречное движение очень важно сформировать правильные понятия об одновременном движении двух тел. Важно, чтобы дети уяснили, что если два тела вышли одновременно навстречу друг другу, то до встречи они будут в пути одинаковое время и пройдут все расстояние [31, с.67].
Теперь можно ознакомить детей с решением задач на встречное движение. Целесообразно на одном уроке ввести все 3 вида, получая новые задачи путем преобразования данных в обратные. Такой прием позволяет детям самостоятельно найти решение, поскольку задача нового вида будет получена из задачи, уже решенной детьми.
На последующих уроках проводится работа по закреплению умения решать задачи рассмотренных видов.
Здесь так же, как и при решении других задач, полезно предлагать различные упражнения творческого характера. В частности, ставится вопрос вида: «Могли ли велосипедисты (теплоходы, пешеходы и т.п.) встретиться на середине пути? При каких условиях? Если велосипедисты после встречи будут продолжать движение, то какой их них придет раньше к месту выхода другого велосипедиста, если будет двигаться с той же скоростью и др.?
Ознакомление с задачами на движение в противоположных направлениях может быть проведено аналогично введению задач на встречное движение. Проведя подготовительную работу, надо, чтобы ученики пронаблюдали движение двух тел (пешеходов, автомашин, катеров и т.д.) при одновременном выходе их одного пункта. Ученики должны заметить, что при таком движении расстояние между движущимися телами увеличивается. При этом надо показать, как выполняется чертеж. При ознакомлении с решением задач этого вида тоже может на одном уроке решать три взаимообратные задачи, после чего выполнить сначала сравнение задач, а затем их решений.
На этапе закрепления умения решать такие задачи ученики выполняют различные упражнения, как и в других случаях, в том числе проводят сравнение соответствующих задач на встречное движение в противоположных направлениях, а также сравнение решений этих задач.
Таким образом, рассмотрев основные положения методики работы над составными задачами в школе, приходим к следующим выводам.
При ознакомлении с составными задачами ученики должны уяснить основное отличие составной задачи от простой - ее нельзя решить сразу, т. е. одним действием, а для ее решения надо выделить простые задачи, установив соответствующую систему связей между данными и искомым. Причем при работе над изучением составных задач нового вида необходимо использовать схемы, чертежи, занимательные задачи и задачи развивающего характера, которые повышают интерес у учащихся, способствуют осознанному приобретению знаний, умений и навыков, развивают память, речь и мышление.
В заключение необходимо отметить, что методика обучения решению составных задач будет эффективна только тогда, если в результате ее применения происходит повышение уровня умения решать задачи. Выработке умения решать составные задачи помогают так называемые упражнения творческого характера. К ним относятся решение задач повышенной трудности, решение задач несколькими способами, решение задач с недостающими и лишними данными, решение задач, имеющих несколько решений, а так же упражнения в составлении и преобразовании задач.
Разработка методического обеспечения для учителя разработана с целью вспомогательного материала к изучению текстовых задач на движение.
Традиционные задачи на движение включают в себя три взаимосвязанных пропорциональной зависимостью элемента: скорость, время и расстояние. Если изменяется одна из величин, то вероятно изменятся и две другие. Задачи на движение имеют различные виды, которые можно классифицировать по ряду признаков. Различают простые и составные задачи на движение. Составные задачи на движение подразделяют на:
задачи на движение в одном направлении,
задачи на сближение объектов,
задачи на удаление объектов,
задачи на движение по реке.
Кроме того, некоторые задачи на движение могут рассматриваться как:
задачи на нахождение четвертого пропорционального;
задачи на нахождение неизвестного по двум разностям;
задачи на пропорциональное деление.
Простые задачи на движение характерны в большей степени для программы начальной школы. В основной школе рассматриваются задачи составные.
При ознакомлении с задачами ученики должны понимать основное отличие составной задачи от простой. Чтобы решить составную задачу необходимо условно разбить ее на несколько простых, восстановив целую систему связей между данными и исходными. Для того, чтобы решение такой задачи было наиболее эффективно для школьников, необходимо использовать схемы, чертежи, занимательные задачи и задачи развивающего характера, которые повышают интерес у детей, способствуют осознанному освоению знаний, умений и навыков, помогают развивать мышление, память, речь и т.п .
1.Задача на движение создается в результате конструирования реально предполагаемого процесса, с целью решения проблемы бытового, производственного или социального характера.
2. Эмпирический путь возникновения задачи – это возникновение на основе наблюдений, анализа, сравнения, вычислений, графических построений и т.п.
3. Между понятиями, и свойствами задач на движение существуют взаимосвязи. Они используются для составления задач. Задачи можно составлять эквивалентными, когда условие или требование или то и другое равносильны. Можно составить задачу аналогичную по сюжету, методу или используемым в ней приемам решения. Можно составить задачу, обратную данной, и, как правило, не одну.
Рассмотрим несколько различных примеров задач на движение.
Задача на движение объектов в одном направлении: Грузовик и
Пассажирский автобус выехали в одно время из города N в город K. Автобус ехал со скоростью60км/ч, а грузовика45км/ч. Найдите время, через которое автобус опередит грузовик на 50км?
Решение: Проанализируем условие. Нам известно:
Скорость автобуса V2=60км/ч
Расстояние (путь)на которое автобус опередит грузовикS= 50 км
В подобных задачах необходимо свести условие к наглядному изображению для того, чтобы лучше понять что дано, и как это можно использовать при решении. Поэтому, необходимо изобразить схематично условие
Рисунок 1. Задача на движение в одном направлении
Данную задачу удобнее решить арифметическим способом.
60-45=15 (км/ч)-скорость автобуса больше скорости грузовика
50:15=3 (ч)-время за которое автобус опередит грузовик на 50 км
3 =3 ч 20 мин
Ответ: 3 часа 20 мин.
Задачи на встречное движение. При решении задач на встречное
движение важной величиной является скорость сближения движущихся объектов. Скорость сближения-это то расстояние, которое преодолевают движущиеся на встречу друг другу объекты за единицу времени. Скорость сближения можно найти по формуле: Vсб=V1+V2, где V1 и V2 – скорости движущихся на встречу друг другу объектов.
Рассмотрим пример задачи на сближение: Расстояние между пунктом А и В 3450 км. Два поезда из этих пунктов вышли навстречу друг другу в одно время и встретились через 24 часа. Найдите скорость второго поезда, если первый поезд за 3 часа проходил 240км.
Рисунок 2. Задача на сближение
Решение: Пусть х км/ч – скорость второго поезда. По условию между ними 3450км. И встретятся они через 24 часа. Найдем скорость первого поезда и составим уравнение:
240:3=80 (км/ч)-скорость первого поезда
Ответ: 63,75 км/ч скорость второго поезда
Задачи на движение в противоположном направлении. При решении
задач такого типа суммарная скорость двух движущихся объектов несет другую смысловую нагрузку. Расстояние, на которое удаляются движущиеся предметы за единицу времени, называют скоростью удаления. При движении в противоположных направлениях скорость удаления равна сумме скоростей движущихся объектов. На математическом языке можно записать это следующим образом: Vуд=V1+V2, где V1 и V2 – скорости движущихся в противоположных друг от друга объектов.
Пример: Два друга Леша и Коля вышли в одно время из школы после уроков в противоположных направлениях. Скорость Леши 3 км/ч, скорость Коли 4 км/ч. На каком расстоянии друг от друга будут друзья через 2 часа? Какова скорость их удаления друг от друга?
Построим схему по условию задачи.
Рисунок 3. Иллюстрация к задачи на отдаление объектов
Данная задача является достаточно простой и решается в курсе 4-5 классов. Именно поэтому целесообразно использовать арифметический метод.
3+4=7 (км/ч)-скорость удаления друзей друг от друга
7•2=14(км)-расстояние, которое будет между ними через 2 часа
Задачи на движение по реке. Также такие задачи называют «на
Особенностью задач на движение по течению или, как еще говорят, вниз по реке заключается в том, что объект, движущийся по реке, плывет по течению быстрее на величину течения реки, чем если бы он плыл по стоячей воде. Таким образом, чтобы найти с какой скоростью плывет объект по течению, мы должны к собственной скорости объекта прибавить скорость течения. В виде формулы можно записать это следующим образом:
Задачи на движение объекта против течения реки отличаются от предыдущих тем, что движения объекта против течения реки замедляется на величину скорости течения. Это объясняется тем, что река движется на встречу и тем самым создает сопротивления для движущегося объекта. Таким образом, чтобы вычислить скорость движения против течения реки необходимо от собственной скорости отнять скорость течения реки. Выразить эту величину на математическом языке можно следующим образом: Vпротив теч=Vсоб - Vтеч.
Если в задаче необходимо вычислить собственную скорость катера, теплохода, плота, баржи или любого другого объекта, то необходимо руководствоваться тем, что известно в задаче. Исходя из формул, описанных выше, можно выразить формулы собственной скорости объекта:
Vсоб =Vпо теч - Vтеч.
Vсоб =Vпротив теч+ Vтеч.
Задачи на движение по реке в основной школе обычно включают в себя несколько неизвестных компонентов, которые нужно найти для того, чтобы ответить на вопрос задачи. Такие задачи решаются как арифметическим так и алгебраическим методами. Рассмотрим примеры задач на движение по водоему:
Пример1.Рыбаки плыли на надувной лодке по течению реки 48 км и 48 км против течения, затратив на весь путь 5 часов. Найдите собственную скорость лодки если скорость течения реки равна 4 км/ч.
Решим эту задачу алгебраическим методом. Для этого поэтапно распишем все решение, начиная с анализа текста задачи.
Этап 1. Анализ условия. Проведем анализ условия в виде предполагаемого диалога учителя и учеников.
Деятельность учителя (предполагаемые вопросы)
Деятельность ученика (предполагаемые ответы)
С чего начинают работу над любой задачей?
Итак, проведем анализ условия задачи.
С анализа ее условия.
.Задача на движение по реке. (В задаче идет речь о движении.)
О каких объектах идёт речь в задаче? Каков характер их взаимодействия? Итак, какие части можно выделить в задаче?
В задаче идёт речь о движении рыбаков на лодке сначала по течении, потом против течения. По условию задачи они проплали 48 ком по течению и 48 км против, затратив на путь 5 часов. В задаче можно выделить 2 части:
1.Движение лодки по течению
2.Движение лодки против течения
Что известно о движении лодки по течению?
Она проплыла 48км
Что известно о движении лодки по течению?
Она проплыла 48км
Что известно о течении реки?
Скорость реки-4 км/ч
Что известно о времени, затраченном на путь лодки?
Туда и обратно рыбаки затратили 5 часов.
Какие величины в задаче известны а какие неизвестны?
Известно: Скорость реки, расстояние туда, расстояние обратно, время, затраченное на весь путь.
Неизвестно: скорость лодки по течению и против, а также собственная скорость.
Какая связь существует в задаче между соответствующими неизвестными величинами?
1) Сумма собственной скорости и скорости течения реки будет равна скорости по течению
2) Разность собственной скорости и скорости течения реки будет равна скорости против течения
Что требуется найти?
Собственную скорость лодки
Этап 2 Поиск способа решения задачи. Выражение искомой величины через переменную
1. Итак, что нужно найти в задаче?
1. Собственную скорость лодки
2. Каким методом (арифметически или алгебраически) будем решать задачу?
Задачу будем решать алгебраическим методом.
3. С чего начинают решение задачи алгебраическим методом?
3. С выбора условия для составления уравнения.
Какое условие можно выбрать для составления уравнения?
Лодка прошла по реке туда и обратно за 5 часов
4. Итак, условие для составления уравнения выбрали. Что делаем дальше?
4. Одну из неизвестных величин обозначаем через х.
Какую величину можно обозначать через х?
Собственную скорость лодки
5. Итак, обозначили неизвестную величину через х. Какой шаг будет следующим?
5. Нужно остальные неизвестные величины выразить через х.
Какие величины нужны, и можно ли их выразить через х?
Скорость лодки по течению и скорость лодки против течения
6. Итак, нужные величины выразили через х. Сможем ли теперь составить уравнение?
6. Да, теперь можно составить уравнение
7. Составьте план решения задачи.
7. 1) Обозначаем собственную скорость за х
2) Выразим скорость по течению и скорость против течения;
3) Выразим время, затраченное рыбаками по течению и время, затраченное против течения
4) Составим уравнения.
Этап 3. Составление уравнения.
Пусть х км/ч – собственная скорость лодки. Следовательно, скорость лодки по течению реки х+4 км/ч, а против х-4 км/ч. По условию задачи, рыбаки по течению проплыли 48 км., а против 48. Мы знаем, что для того чтобы выразить время необходимо расстояние разделить на скорость. Время, затраченное на весь путь составляет 5 часов. Таким образом, время, затраченное на путь по течению равно 48:(х+4), время затраченное на путь против течения равно 48:(х-4), а сумма этого времени и будет равна 6 часам. Следовательно, наше уравнение будет выглядеть следующим образом:
Этап 4. Решение уравнения
Приведя к общему знаменателю получим:
+96х+80=0
Отрицательный корень не подходит так как скорость не может быть отрицательной. Поэтому проверяем положительный
Этап 5. Проверка
Задача решена верно
Ответ: 20 км/ч собственная скорость лодки.
В результате решения любой математической задачи у учеников формируется определенный набор универсальных учебных действий, которые являются важным условием для успешной реализации учебного процесса в условия реализации федеральных государственных стандартов (ФГОС). Рассмотрим, какие УУД формируется у учеников в результате решения предыдущей задачи:
Этап решения задачи
Познавательные
Регулятивные
Коммуникативные
1)Анализ текста задачи и обозначение искомой величины.
Определение корректности формулировок, дополнение условия задачи недостающими данными или вопросами;
Уметь составлять план и последовательность действий; осуществлять контроль собственной деятельности; уметь концентрировать внимание
уметь высказывать мысли на заданную тему, оформлять свои высказывания устно; уметь задавать вопросы
Формирование устойчивой мотивации к изучению и закреплению нового
2) Выражение величин через переменную х.
осуществление синтеза как составления целого из частей;
осуществлять контроль собственной деятельности; уметь концентрировать внимание
3)Составления математической модели задачи
построение модели задачи, планирование хода решения,
ставить учебную задачу на основе соотнесения того, что уже известно и усвоено, и того, что еще неизвестно;
договариваться и приходить к общему решению в совместной деятельности;
4)Решение полученного уравнения (системы, неравенства)
реализация построенного плана, запись решения
Таким образом, текстовые задачи на движение являются важным элементом в системе текстовых задач основной школы. Они сопровождают школьников на протяжении всего периода обучения с начальной школы до среднего звена вплоть до единого государственного экзамена.
Текстовые задачи являются одним из важных средств обучения математике. С их помощью школьники получают опыт работы с величинами, познают взаимосвязи между ними, набирают опыт применения математики к решению практических задач. Использование алгебраических, геометрических, арифметических, логических способов решения задач развивает логику, сообразительность, умение ставить вопросы, отвечать на них, то есть развивает естественный язык, подготавливает учащихся к дальнейшему обучению.
Также необходимо отметить, что методика обучения решению задач будет эффективна тогда, когда в результате ее применения происходит повышение уровня умения учащимися решать задачи; выработке способности решать составные задачи помогают упражнения творческого характера. К ним относятся решение задач повышенной трудности, решение задач, имеющих несколько решений, решение задач несколькими способами, решение задач с недостающими и лишними данными, а так же упражнения в составлении и преобразовании задач.
Читайте также: