Методика изучения равенств и неравенств в начальной школе

Обновлено: 03.07.2024

2 Научить читать равенства и неравенства.

Процесс сравнения чисел и обозначение отношений между ними с помощью знаков сравнения приводит к получению неравенств. Неравенства могут быть также верными и неверными.

Методика формирования у младших школьников представлений о числовых равенствах и неравенствах предусматривает следующую этапность работы.

На I этапе, учащиеся выполняют упражнения на сравнение совокупностей предметов, используя прием установления взаимно однозначного соответствия. На этом этапе результаты сравнения еще не записываются с помощью соответствующих знаков отношения.

На II этапе учащиеся выполняют сравнение чисел. Сначала они опираются на предметную наглядность. Затем опора происходит на то свойство чисел натурального ряда. В соответствии с этим свойством: из двух различных чисел то число больше, которое при счете называют позже, и то число меньше, которое называют раньше. Установленные таким образом отношения младшие школьники записывают с помощью соответствующих знаков. Например, 3 > 2, 2

1) по месту их расположения в натуральном ряду;

2) на основе сравнения соответствующих разрядных чисел, начиная с высших разрядов.

Например, 826 4 дм 3 см, так как дециметров в них содержится поровну, а сантиметров в первой величине больше, чем во второй. Кроме того, величины можно сначала выразить в единицах одного наименования и уже после этого сравнить их: 45 см > 43 см.

На III этапе переходят к сравнению выражений вида 3 2; 5 + 2 = 10 – 3 и т. п.

Подобные упражнения вводятся уже при изучении сложения и вычитания в пределах 10. Их полезно выполнять с опорой на наглядность.

Например: ученики выкладывают слева четыре кружка, справа 4 треугольника

Дети выясняют, что кружков и треугольников поровну и записывают 4 = 4.

Затем, к фигурам слева добавляют еще один кружок

и записывают сумму 4 + 1. Слева фигур больше, чем справа, значит, 4 + 1 > 4.

Используя прием уравнивания, учащиеся переходят от неравенства кравенству. Например, на наборное полотно ставят 3 гриба и 4 белочки. Чтобы грибов и белочек было поровну, можно:

1) добавить один гриб (тогда будет 4 гриба и 4 белочки) или

2) убрать одну белочку (тогда будет 3 гриба и 3 белочки).

На наборном полотне 5 легковых и 5 грузовых машин. Чтобы одних машин было больше, чем других, можно:

1) убрать одну (две, три) машину (легковую или грузовую) или

2) добавить одну (две, три) машину.

Постепенно при сравнении выражений школьники переходят от опоры на наглядность к сравнению их значений. Этот способ в начальных классах является основным. При сравнении выражений учащиеся могут также опираться и на знания:

а) взаимосвязи между компонентами и результатом арифметического действия: 20 + 5 * 20 + 6 (слева записана сумма чисел 20 и 5, справа — сумма чисел 20 и 6. Первые слагаемые этих сумм одинаковые, второе слагаемое суммы слева меньше, чем второе слагаемое суммы справа, значит, сумма слева меньше, чем сумма справа: 20 + 5 7; 3 > □.

В дальнейшем неравенства становятся более разнообразными и сложными по структуре. Например, 24 + 6 5 + 2, но проверка происходит также методом подбора.

Изучение уравнений

Понятие уравнения занимает особое место в ряду алгебраических понятий, изучаемых в начальных классах. Оно тесно связано с понятием выражения, переменной, равенства.

Равенство с неизвестным числом называют уравнением. Например: 34 + х. = 45.

Решить уравнение – значит найти такое значение неизвестного числа, при котором равенство будет верным. Это число называется корнем уравнения.

Изучение понятия уравнения осуществляется в начальной школе в несколько этапов, рассматривается два способа решения уравнений.

Непосредственно решение уравнений осуществляется:

1. Способом подбора.

2. Способом использования взаимосвязи компонентов действия.

Способ подбора. Из заданных значений или из произвольного множества чисел подбирается подходящее значение неизвестного числа. При этом выбранное число должно при подстановке в выражение превращать его в верное равенство. Например: из чисел 3, 5, 6, 7, 10 подбери такое значение х., при котором равенство х. + 3 = 10 будет верным.

При решении методом подбора у учащихся формируется осознанное представление о том, что значит решить уравнение (найти такое число, при подстановке которого в данное уравнение получается верное равенство).

Накопление учащимися опыта решения уравнений позволяет им усовершенствовать (с помощью учителя) методику подбора значений неизвестного. При решении, например, уравнения 5 – х. = 3, ученик может определить, с какого числа целесообразнее начать подбор. Начнем с числа, которое не больше 5, так как при значениях, больших 5, действие 5 - х. на множестве целых неотрицательных чисел невыполнимо. Таким образом, решение уравнений становится более осознанным.

Одновременно идет работа по чтению и оформлению записи решения уравнения.

Способ использования взаимосвязи компонентов действий. Используется правила взаимосвязи компонентов действий при решении уравнения:

1) 6 + Х. = 13

Имеем неизвестным второе слагаемое. Вспоминаем правило, чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы (значения суммы) вычесть известное слагаемое.

Значит, Х. = 13 – 6

2) 8 – х. = 5, неизвестно вычитаемое, чтобы его найти, надо из уменьшаемого вычесть разность (значение разности).

3) х. – 3 = 5, неизвестно уменьшаемое, чтобы его найти, надо к вычитаемому прибавить разность (значение разности).

4) 72 : х. = 18, неизвестен делитель, чтобы его найти, надо делимое разделить на частное (значение частного).

5) х. : 4 = 18, неизвестно делимое, чтобы его найти, надо частное (значение частного) умножить на делитель.

6) Х. · 12 = 39, неизвестен множитель, чтобы его найти, надо произведение (значение произведения) разделить на известный множитель.

Естественно, что использование правил взаимосвязи между компонентами действий способствует более быстрому решению уравнений, однако школьники часто допускают ошибки при их использовании. Поэтому, перед введением этого способа необходимо провести подготовительную работу, повторить названия компонентов действий и взаимосвязь между ними.

(х. - 4) · 2, вычитаемое 121, значение разности 245. Найдем уменьшаемое (х. - 4) · 2 = 245 + 121,

(х. - 4) · 2 = 366. определив порядок действий в уравнении, получаем, что данное равенство с неизвестной - произведение. Неизвестный множитель (х. - 4) = 366 : 2, х. – 4 = 183, получили уравнение, в котором неизвестно уменьшаемое. Находим его: х. = 183 + 4, х. = 187.

Вычислив значение левой части, убеждаемся, что решено уравнение верно. Подобное решение – длительный, трудоемкий процесс, требующий от учащегося высокого уровня синтеза и абстрагирования, а с существующим универсальным методом решения уравнений, с которым знакомы старшеклассники (раскрытие скобок, перенос компонентов действий слева направо), учащихся в начальной школе не знакомят.

В методике преподавания математики есть рекомендации о том, как обучать детей решению задач с помощью уравнений в несколько этапов.

На подготовительном этапе учащегося обучают составлению выражений, в соответствии с текстом задачи.

На втором этапе с помощью уравнений решаются простые задачи. Традиционный учебник не содержит прямых указаний на необходимость использовать именно этот метод при решении задачи. Данный выбор делает учитель.

На третьем этапе уравнения используются при решении составных задач. В традиционной программе обучения метод решения задачи выбирает учитель.

Уравнения могут использоваться как для решения простых, так и составных задач. Последовательность составления уравнения по условию задачи может быть такой: выясняется, что известно и что неизвестно в задаче; неизвестное обозначается х. Исходя из принятого обозначения и условия задачи, составляется уравнение (здесь широко применяются иллюстрации). Полученное уравнение решается. Результат решения истолковывается в соответствии с требованием задачи.

Детям трудно научиться составлять запись задачи в виде уравнения, поэтому вначале при составлении уравнения широко используются средства наглядности: рисунки, схемы, чертежи.

Удобно по условию задачи делать чертеж, где на отрезках показаны связи между данными и искомым.

Например: У Оли было 12 открыток, несколько штук она подарила. Осталось 7 открыток. Сколько открыток подарила Оля?

Известно, что было 12 открыток, подарила х. открыток. Осталось 7. составим чертеж.

Из чертежа видно, что отрезок АВ состоит из двух отрезков: АС и СВ. Это можно записать в виде уравнения: 7 + х. = 12. Решая его, получаем х. = 5, следовательно, Оля подарила 5 открыток.

В.Л. Дрозд предлагает показать учащимся, как можно составить уравнение по условию задачи, используя синтетический и аналитический методы.

6+9 – количество книг, которые были на полке первоначально;

х. – 6 – количество книг, оставшихся на полке;

х. – 9 – количество книг, взятых с полки.

Рассмотрев отдельно каждое выражение и соотнеся его с условием задачи, можно получить 3 уравнения:

х. = 6 + 9, х. – 6= 9, х. – 9 = 6. Решив одно из уравнений, получим ответ: на полке стояло 15 книг. В результате получается не одно, а несколько уравнений, описывающих ситуацию, представленную в задаче.

3 · х. – стоимость всех карандашей, купленных мальчиком;

30–15 – стоимость всех карандашей, купленных мальчиком.

Очевидно, что. 3 · х. =30–15. Решив это уравнение, получим ответ к задаче: мальчик купил 5 карандашей.

Для того чтобы дети умели составлять задачу по уравнениям, можно предложить следующие задания:

1. Реши задачу, составив уравнение. Составь похожую задачу по уравнению х. + 5 = 24.

2. Составь задачу по уравнению 12 – Х. = 7, используя опорные слова: было, уехало, осталось.

А.В. Белошистая отмечает, что решение задач алгебраическим методом (с помощью уравнений) является перспективным с точки зрения преемственности между начальной и основной школой.

В процессе работы над уравнениями, выражениями и неравенствами с переменной учащиеся, убеждаются в том, что равенства и неравенства бывают как верные, так и неверные. Ознакомление с неравенствами в начальных классах непосредственно связывается с изучением нумерации и арифметических действий. Сравнение осуществляется сначала на основе сравнения множеств.

Вложение	Размер
dokument_microsoft_word_2.docx	20.11 КБ

Предварительный просмотр:

Методика изучения уравнений и неравенств, содержащих переменную.

Работа над неравенствами ведется с I класса, органически сочетаясь с изучением арифметического материала. Числовые неравенства учащиеся получают в результате сравнения заданных чисел или арифметических выражений. Поэтому знаками соединяются не любые два числа, не любые два выражения, а лишь те, между которыми существуют указанные отношения. Если одно число больше (меньше) другого или одно выражение имеет значение больше (меньше), чем другое выражение, то, соединенные соответствующим знаком, они образуют неравенство.

Таким образом, первоначально у младших школьников формируются понятия только о верных неравенствах. Однако в процессе работы над уравнениями, выражениями и неравенствами с переменной учащиеся, подставляя различные значения переменной, накапливают наблюдения и убеждаются в том, что равенства и неравенства бывают как верные, так и неверные. Ознакомление с неравенствами в начальных классах непосредственно связывается с изучением нумерации и арифметических действий. Сравнение осуществляется сначала на основе сравнения множеств. (7 кружков, 5 треугольников). Установленные отношения записываются с помощью знаков, учащиеся упражняются в чтении и записи неравенств.

Рассматривая во II классе, например, неравенство х+3

В начальных классах в соответствии с программой изучаются простейшие уравнения, то есть уравнения, в которых зависимость между компонентами и результатом действия используется только один раз. Например: х + 9 = 27; х · 8 = 56 и т.п. Уравнения в начальных классах решаются способом подбора и с использованием зависимости между компонентами и результатом действия.

Получаем запись: 10 + х = 13. Это уравнение. Уточняем, что значит решить уравнение. Решаем первые уравнения способом подбора. Обращаем внимание детей на необходимость выполнять проверку и соответствующую запись:

Затем рассматривается решение уравнений на основе связи между компонентами и результатом действий - вначале сложения и вычитания, а затем действий умножения и деления. х • 10 = 130

Следует отметить, что умение сравнивать числа на первых порах (при изучении чисел до 5) формируется на основе умения сравнивать множества предметов, затем – на умении устанавливать порядок следования чисел при счете и, наконец, уже при изучении чисел от 1 до 100 и дальше рассматривается поразрядное сравнение.

В учебниках математики имеется большое количество заданий на сравнение. Учителю необходимо тщательно продумывать методику работы при выполнении этих заданий.

При сравнении чисел необходимо учить детей грамотно обосновывать выбор соответствующего знака.

Например: Сравни числа:

1) 6 и 8 (6 10, так как в нем 1 десяток и 9 единиц, а в числе 10 – 1 десяток и 0 единиц);

3) 999 и 1111 (999 , 43, значит ставим знак >, получаем 37 + 8 > 43.

Однако следует учитывать, что эти задания часто несут дополнительную дидактическую нагрузку. Поэтому следует выделять такие задания и учить детей вести рассуждения, опираясь на соответствующие задания.

Числовое равенство – это запись, состоящая из двух числовых выражений, соединённых знаком равенства (5=5, 5+6=7+4, 4+5=10-1, (4:2+5)*3=21).

В дальнейшем, дети сравнивают числа, используя их расположение в натуральном ряду: 4>3, т. к. 4 называется позже при счёте.

Позже дети учатся сравнивать величины . Сначала величины, выраженные в одних единицах измерения: 5м >3м, а потом величины, выраженные в разных единицах измерения и связанные с разрядными единицами: 5дес. >40ед., т.к. 5дес.=50ед., а 50ед. >40ед., 5дм >40см., т.к. 5дм=50см, а 50см >40см.

Затем дети учатся сравнивать два числовых выражения с использованием наглядности.Учитель организует наблюдение и помогает учащимся сделать вывод: для того чтобы сравнить два числовых выражения, надо выполнить указанные действия и сравнить получившиеся значения этих выражений.

В дальнейшем дети учатся сравнивать выражения, не вычисляя их значения, а пользуясь изученными свойствами и закономерностями. Например:

(12+5)*8>12*8+5, т. к. при умножении суммы на число надо умножить число на каждое слагаемое, а здесь 5*8>5.

По программе Петерсон, не вычисляя, сравнивают буквенные неравенства 5а>3а, т.к. при одном постоянном множителе, чем больше другой множитель, тем больше произведение.

Непосредственно с понятием равенства и неравенства знакомят во 2 классе. Детям предлагается разбить на две группы записи и объяснить свой выбор:, 5+6=7+4, 4+5=10-1, ,5 4, 5=5, 4 4, 4 закрепления учитель предлагает:

§ Выбрать из перечисленных записей равенства, неравенства.

§ Выбрать из перечисленных равенств и неравенств верные, неверные, объяснить свой выбор.

§ Проверить, верны ли равенства.

Числовое неравенство – это запись, состоящая из двух числовых выражений, соединённых знаками (5 4, 4

(12+5)*8>12*8+5, т. к. при умножении суммы на число надо умножить число на каждое слагаемое, а здесь 5*8>5.

§ Выбрать из перечисленных записей равенства, неравенства.

§ Выбрать из перечисленных равенств и неравенств верные, неверные, объяснить свой выбор.

Читайте также: