Методика изучения производной в школьном курсе математики

Обновлено: 05.07.2024

Произво́дная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке).

Особенности методики преподавания

Анализ основных понятий начал анализа в базовом курсе математики

предел последовательности;
ограниченность последовательности;
граница последовательности;
предел последовательности;
окрестность точки, радиус окрестности;
сходящиеся последовательности;
предел последовательности и предел функции;
производная;
первообразная;
определенный интеграл;
свойства пределов (предел суммы равен сумме пределов; предел произведения равен произведению пределов; предел частного равен частному пределов; постоянный множитель можно вынести за знак предела);
предел функции на бесконечности;
предел функции в точке;
непрерывная функция;
приращение аргумента и приращение функции;
производная ;
формулы дифференцирования;
привила дифференцирования (включает 5 теорем)
уравнение касательной к графику функции;
исследование функций на монотонность;
точки экстремума функции и их нахождение;
нахождение наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на промежутке;
первообразная;
определенный интеграл ;
формула Ньютона — Лейбница.

Представление элементов анализа в школьных учебниках математики

По нашему мнению, в учебнике Мордковича А.Г. теоретический материал по введению понятий математического анализа предложен на доступном уровне, ученики могут самостоятельно знакомиться с материалом, разбирать примеры, которые предложены в учебники, и опираясь на них решать задачи, предлагаемые в задачнике. Задачи предложены разноуровневые и в достаточно большом количестве, решать которые в полном объеме просто не хватает времени. С другой стороны, у учителя всегда есть возможность дополнительно позаниматься со школьниками или наиболее успешным по математике школьникам предложить дополнительную работу на уроке и в домашнем задании.
Учебник Никольского и др. рассчитан на обучение на базовом и профильном уровнях, что позволяет успешно организовать работу с учащимися различного уровня подготовки. Но существует вопрос: можно ли написать одинаково доступным языком для школьников как базового, так и профильного уровня? В целом, учебник написан доступным для учащихся языком, содержит большое количество примеров к изучаемым формулам и основным задачам. Учебник содержит материал для дополнительного повторения.

Методические аспекты обучения производной учащихся 10 - 11 классов

повторить вопросы, связанных с линейной функцией и элементарными функциями, что объясняется основной идеей дифференциального исчисления (представлением о линейной в малой окрестности некоторой точки функции);
отработать понятия приращения функции и приращения аргумента, что может быть иллюстрировано графиками функций;
выработать у обучающихся твердых навыков в их нахождении;
выяснить геометрический смысл отношения приращения функции к приращению аргумента, ввод понятия касательной к кривой как предельного положения секущей.

Найдите производную функции;
Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой х 0 ;
Найдите производную функции.

Исследуйте функцию и постройте ее график;
Определите промежутки монотонности и точки экстремума функции.

Требования к подготовке учащихся в соответствии с ФГОС и ЕГЭ

Анализ учебных пособий для подготовки к ЕГЭ

Диагностика основных видов задач уровня В на производную в пособиях для подготовки к ЕГЭ

На рисунке изображен график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.
Рассмотрим точки A (-3; 2) и B (-1; 6) и найдем приращения: Δx = x2 − x1 = -1 − (-3) = 2;
Δy = y2 − y1 = 6 – 2 = 4.
Найдем значение производной: D = Δy / Δx = 4 / 2 = 2. Ответ: 2.
Задачи на вычисление с помощью производной точек экстремума данной функции или наибольшего (наименьшего) значения данной функции на данном отрезке. Производная в некоторых задачах может быть задана графиком. Решение задания связано с нахождением при помощи производной точек минимума (максимума) заданной функции или ее наименьшего (наибольшего) значения на отрезке.
Задача.

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [-6; 4]. Найдите количество точек максимума функции f(x), принадлежащих отрезку [-4; 3].
Из условия задачи следует, что достаточно рассмотреть только часть графика, ограниченную отрезком [-4; 3]. Поэтому строим новый график, на котором отмечаем только границы [-4; 3] и нули производной внутри него. А именно, точки x = -3,5 и x = 2. Получаем:

На этом графике есть лишь одна точка максимума x = 2. Именно в ней знак производной меняется с плюса на минус. Ответ: 1.
В условии таких задач возможны два основных случая: производная задана графиком, следовательно, на тех промежутках, где он расположен выше оси абсцисс (т.е. производная положительна), функция возрастает; на тех же промежутках, где он расположен ниже оси абсцисс (т.е. производная отрицательна), функция убывает. Точки, в которых график производной пересекает ось абсцисс (т.е. точки, в которых производная меняет знак), является точками экстремума. Если функция задана формулой, то при нахождении наибольшего (наименьшего) значения функции на отрезке можно использовать стандартный алгоритм.

Ключевые слова: методика, пути изучения, понятие производной, приращение аргумента, приращение функции, геометрический смысл, физический смысл, алгоритм.

Нужно на каждом уроке, для каждого ученика создавать ситуацию успеха, сущность которой заключается в том, что каждый ученик работает на уровне своих возможностей, позволяющих ему справляться с предъявленными к нему требованиями.

Посильные трудности вырабатывают у учащихся положительную мотивацию учения, позволяют превратить учение из принудительного в добровольное.

Для достижения желаемого результата учитель должен создать на уроке такую ситуацию, использовать такие методы и средства обучения, которые были бы интересны ученику, располагали бы его к совместной деятельности, активизировали бы его учение.

Только там, где царят творческий труд, взаимное доверие, учителю легко работать, а ученику радостно жить.

В своей работе показан методический подход к процессу обучения именно с этой позиции.

Опыт показывает, что относительно нетрудно научить учащихся формулировать определение производной, вычислять производную, находить производную функции в точке, пользуясь основными правилами дифференцирования. Не вызывает особых затруднений и применение производной к исследованию функции. А для этого в самом начале изучения темы следует найти правильный путь введения производной, ввести на доступном уровне учебный материал. Если учащийся сумеет применить определение производной для ее нахождения, показать геометрический и физический смыслы, то можем сказать, что он сможет и в дальнейшем видеть ее в различных приложениях, в физике, химии, биологии и т. д.

Представим себе, что мы отправляемся в автомобильную поездку. Садясь в машину, посмотрим на счётчик километража. Теперь в любой момент времени мы сможем определить путь, пройденный машиной. Скорость движения мы узнаем по спидометру. Таким образом, с движением автомобиля, как и с движением любой материальной точки, связаны величины — путь S и скорость V, которые являются функциями времени t.

Ясно, что путь и скорость связаны между собой количественными характеристиками.

В конце XVII века английский учёный Исаак Ньютон открыл общий способ описания этой связи. Это открытие стало поворотным пунктом в истории естествознания. Оказалось, что связь между количественными характеристиками многих процессов, исследуемых физикой, химией, биологией, техническими науками, аналогична связи между путём и скоростью.

Основными математическими понятиями, выражающими эту связь, являются производная и интеграл.

Построенная Ньютоном модель механического движения остаётся самым важным и простым источником математического анализа, изучающего производную и её свойства. Вот почему на вопрос, что такое производная, короче всего ответить так:

Производная — это скорость, это скорость изменения функции.

В учебнике производная функции в точке х определяется как предел разностного отношения

=f'(х)

Также определён предел функции при х→0 т. е.

Поэтому необходимо ввести понятие предела на нескольких простых задачах.

Дан квадрат со стороной 1. Разделим его пополам, затем половину пополам, затем четверть пополам, и т. д., получим последовательность чисел ; ; ; ; и т. д. Вычислить предел, к которому стремится сумма всех членов этой последовательности.

Данная последовательность сходящаяся, её члены составляют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию. Эти понятия и сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии изучаем в 9 классе. По чертежу легко видеть, что сумма чисел + + + + … в целом даёт 1, т. к. если заштриховать все получившиеся прямоугольники, то получится весь квадрат, площадь которого равна 1. Значит предел, к которому стремится сумма всех данных дробей, при неограниченном увеличении знаменателя есть число 1.

Подобного рода примеры поясняют учащимся предел числовой последовательности.

Вернёмся к движению. Представим себе любой движущийся предмет материальной точкой. Пусть данная материальная точка движется по прямой по определённому закону, выражающему зависимость S как функцию от времени. Рассмотрим отрезок времени []. Определим среднюю скорость движения материальной точки на данном отрезке как отношение пройденного пути к продолжительности движения:

Для определения скорости движения точки в момент времени t (её в механике часто называют мгновенной скоростью) поступим так: возьмём отрезок времени [t; ], вычислим среднюю скорость на этом отрезке и начнём уменьшать отрезок [t; ] приближая t. Значение средней скорости будет стремиться к некоторому числу, т. е. к пределу, который называется мгновенной скоростью в момент времени t. =

Наряду с И. Ньютоном основные законы математического анализа открыл немецкий математик Г.Лейбниц, решая задачу проведения касательной к произвольной кривой.

Пусть дана некоторая кривая и точка P на ней. Возьмём на этой кривой другую точку , и проведём прямую PР₁, которую называют секущей.

Заставим стремиться точку Р₁ к точке Р по данной кривой. Тогда положение секущей будет меняться. Как только точка Р₁ займёт положение точки Р, секущая займёт положение касательной к данной прямой в точке Р.

Т.о. предельное положение секущей при стремлении точки Р₁ к точке Р будет касательная к кривой в точке Р.

Переведём описанное построение на язык формул. Пусть данная кривая является графиком некоторой функции y=f(x). Точка Р имеет координаты (а; f(а)). Точка Р₁ имеет координаты (х₁;f(x₁)). РР₁ — секущая. РК – касательная к графику функции в точке Р.

Угол φ– угол наклона секущей к положительному направлению оси ОХ.

Угол α — угол наклона касательной к положительному направлению оси ОХ.

И секущая, и касательная являются прямыми линиями, уравнение которых в общем виде записывается как у = kх + b, где k — угловой коэффициент к прямой равный тангенсу угла наклона прямой к положительному направлению оси ОХ. Из Δ РМР, имеем

k=tgφ=

Т. к. касательная – это предельное положение секущей, то =tgα==

Итак, == ;=lim tgφ=

Мы видим, что две различные задачи привели в процессе решения к одному и тому же результату или, как чаще говорят в математике, к одной и той же математической модели — пределу разностного отношения функции и аргумента при условии, что разность аргументов стремится к нулю.

Решение многих задач сводится к необходимости осуществления предельного перехода в выражении вида при стремлении к x. Этот предельный переход носит название дифференцирования функции, а сам предел отношения — производной функции.

Дифференцирование, или нахождение производной функции — это новая математическая операция, имеющая тот же смысл, что в механике нахождение скорости, в геометрии — вычисление углового коэффициента касательной.

Для нахождения значения производной в данной точке надо рассмотреть маленький участок изменения аргумента вблизи этой точки. Производная приближённо будет равна средней скорости на этом участке (на языке механики) или угловому коэффициенту секущей (на языке геометрии).

Для точного вычисления производной надо совершить предельный переход — стянуть отрезок изменения аргумента в точку. Тогда средняя скорость превратится в мгновенную, а секущая — в касательную, и мы вычислим производную.

Итак, при вычислении производной функции мы совершаем предельный переход. В чём его суть?

При определении функции мы имеем дело с переменными величинами. Пусть y = f(x) — функция от аргумента х. Рассмотрим, как ведёт себя функция f(x) при приближении х к некоторому числу a.

При х→а, f(x)→f(a). Иными словами =f(a).

Пусть заданы функции (¹) f(x)=3+ и f(x)= (²)

Предельный переход для (¹) и (²) функций при х→1 определим следующим образом:

==3+=4

===

Если при х→, f(x)→f() т. е. =f(), то говорят, что функция непрерывна в точке , а значит в этой точке она имеет производную. График этой функции плавная, непрерывная кривая линия.

Перейдём непосредственно к определению производной функции.

Пусть задана функция у = f(x). При сравнении значения этой функции в некоторой фиксированной точке со значениями функции в различных точках х, лежащих в окрестности , удобно выражать разность f(x)-f() через разность х-.

Разность х- называется приращением независимой переменной или приращением аргумента в точке х₀ и обозначается Δх. Т.о. Δх=х-х₀ (1). Из (1) следует, что х=х₀+Δх (2).

Говорят также, что первоначальное значение аргумента х₀ получило приращение Δх. Вследствие этого значение функции f тоже изменилось.

Δf называется приращением функции в точке х₀.

Δf называют также приращением зависимой переменной и обозначают через Δу.

Механический смысл производной — скорость изменения функции в точке.

Геометрический смысл производной заключается в следующем: существование производной непрерывной функции в некоторой точке х₀, равносильно существованию касательной, проведённой к графику данной функции в точке с абсциссой х₀. Угловой коэффициент этой касательной равен тангенсу угла её наклона к положительному направлению оси ОХ и равно значению производной функции в точке х₀.

Алгоритм нахождения производной

Зафиксировав значение х, находим f(x).
Придав аргументу х приращение Δх так, чтобы не выйти из области определения функции f(x), найти f(x+Δx).
Вычислить приращение функции

Теперь рассмотрим примеры нахождения некоторых функций на основе определения производной, применяя алгоритм ее нахождения.

Найти: 1) у=х, 2)у=Сх, 3)у=kx+b, 4)у=х 2 ,у=, 5)у=х 3 , 6)у= ,7)у=х n , 8)у=.

1. Найти у', если у=x.2. Найти у', если у=Сx.

1) х – фиксированное; f(x)=x 1) х – фиксированное; f(x)=Сx

2) Δx; x+Δx; f(x+Δx)=x+Δx2) Δx; x+Δx; f(x+Δx)=С(x+Δx)

3) Δf=f(x+Δx)-f(x)= 3)Δf=f(x+Δx)-f(x)=

=(x+Δx)-x=x+Δx-x= Δx =С(x+Δx)-Сx=Сx+СΔx-Сx= СΔx

4) ==14) ==С

5) ==15) ==С

Итак, x'=1.Итак, (Сx)'=С.

3. Найти у', если у=kx+b.4. Найти у', если у=х 2

1) х – фиксированное;f(x)=kx+b1) х – фиксированное, f(x)=x 2

2) Δx; x+Δx; f(x+Δx)=k(x+Δx)+b2) Δх; х+Δх; f(x+Δx)=(x+Δx) 2

3)Δf=f(x+Δx)-f(x)=(k(x+Δx)+b)-(kx+b))=3) Δf=(x+Δx) 2 -x 2 = x 2 +2xΔx+() 2 -x 2 =

=kx+kΔx+b- kx-b= kΔx=2xΔx+() 2

4) ==k4) ==2x+Δx

5) ==k5) ==2x

Итак, (kx+b)'=kИтак, (х 2 )'=2х.

5. Найти у', если у=х 3 6. Найти у', если у=

1) х – фиксированное, f(x)=x 3 1) х – фиксированное, х≠0; f(x)=

2) Δх; х+Δх; f(x+Δx)=(x+Δx) 3 2) Δх; х+Δх; f(x+Δx)=

3) Δf=(x+Δx) 3 -x 3 = 3) Δf=- = -

=x 3 +3x 2 Δx+3x () 2 +() 3 - x 3 = 4) = -= -

=3x 2 Δx+3x () 2 +() 3 5) = -= -

Итак, ()'= -

4) ==

5) ==

Итак, (х 3 ) '=.

Зная производные у=х, у=х 2 ,у=х 3 , можно методом частичной индукции записать производную для у=х n , т. е. (х n )'=. Доказательство этой формулы можно и не приводить. В нашей работе обычно формула доказывается. Приведем ее.

1) х — фиксированное, f(x)=x n

2) Δх; х+Δх; f(x+Δx)=(x+Δx) n

Применим бином Ньютона для раскрытия скобок

(x + a)n = xn + axn-1 + a 2 xn-2 +. + an-1xn + an,

где k — порядковый номер слагаемого в многочлене, тогда

3) Δf=(x+Δx) n -x n = xn + Δxxn-1 + (Δx) 2 xn-2 — +. + (Δx) n -1 xn + (Δx) n — - x n = Δx xn-1 + (Δx) 2 xn-2 +. + (Δx) n -1 xn + (Δx) n

4) =

5) ==, где =

Итак, (х n )'==.

8. Найти у', если у=

Преобразуем =. Так как, (х n )'=, тогда ) '== .

Следовательно, ) '= .

С помощью приведённого алгоритма выводятся все формулы и правила дифференцирования. Таким образом, заполняется таблица производных. Самое главное все формулы выводятся, а не даются в готовом виде.

Основные термины (генерируются автоматически): производная функция, предельный переход, производная, функция, положительное направление оси ОХ, момент времени, приращение функции, скорость, скорость движения, эта.

Ключевые слова

алгоритм, методика, пути изучения, понятие производной, приращение аргумента, приращение функции, геометрический смысл, физический смысл

методика, пути изучения, понятие производной, приращение аргумента, приращение функции, геометрический смысл, физический смысл, алгоритм

Похожие статьи

Приложения определенного интеграла к решению задач экономики

Под предельным (маржинальным) значением показателя в экономическом анализе принято понимать производную функции этого показателя (если эта функция непрерывна). Предельные величины характеризуют процессизменения экономического объекта по времени.

Использование дифференциальных уравнений в методе.

Цель движется параллельно оси x, так что ее положение в момент времени t будет (vt;h). Ракета начинает движение в точке (0;0) со скоростью u. В произвольный момент времени ее положение показано на рисунке 1.

Касательная. Задачи на касательную | Статья в журнале.

Найдем производную функции . В любой точке, в которой функция определена, производная отрицательна.

Графиком данной функции является парабола с ветвями, направленными вверх, пересекающая ось оx в двух точках (случай а=0 нас не устраивает): и учитываем, что х2.

Экономическое и физическое приложения методов.

. Из условия равенства нулю производной найдём значение х, в которой функция достигает экстремума.

Так как движение совершается без начальной скорости, то в произвольный момент времени скорость капли определится по формуле .

В дискретной форме представления функции минимальное приращение равно ненулевой величине .

Нахождение производной дискретной функции рассматривается как производная сложной функции

Математическое моделирование процессов формирования.

Функция потенциальной энергии взаимодействия -той молекулы с полным полем определяется формулой.

Для этого выпишем уравнения, характеризующие связь между производной по времени от углов Эйлера и угловой скоростью [6].

Методика изучения вращательного движения твердого тела.

Рассмотрим производную момента импульса по времени и определим другие аналоги.

Основные термины (генерируются автоматически): момент импульса, вращательное движение, импульсный момент, неподвижная ось, момент инерции, величина, ось вращения, угловая.

Универсальная роботизированная платформа для скалывания льда

Зная скорости и управляющие моменты, можно найти приращение функции затрат. (18).

Вначале будем полагать, что производные входных моментов не ограничены. Тогда алгоритм заключается в следующем

Об одной задаче определения правой части линейного.

Ключевые слова: обратная задача, дифференциального уравнения с частными производными, функция Грина. К настоящему времени обратные задачи превратились в бурно развивающуюся область знаний, проникающую почти во все сферы математики, включая.

Определенно есть разные способы введения понятия производной. В своей статье, рассмотрим наиболее распространенные в действующих учебниках алгебры.

Изучение производной начинается с изучения предела последовательности и предела функции в точке. Потом рассматриваются свойства сходящихся последовательностей и приемы вычисления пределов последовательностей. Понятие предела функции в точке вводится на наглядном уровне, определение при этом не формулируется. Учащимся на примерах разъясняется, как вычислять предел непрерывных функций и функций, не являющихся непрерывными в данной точке. Потом вводятся понятия приращения аргумента и приращения функции. Внимание учащихся акцентируется также на том, что в самом определении производной заложен алгоритм отыскания производной, который формулируется отдельно. В учебнике автор достаточно подробно разъясняет связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции.

К плюсам относится, то, что некоторые темы свободно можно применить для проведения факультативных курсов или на профильном уровне.

В каждом из этих учебников, изучение данной главы приходится на разные периоды обучения, где- то это 9 класс, а в каких- то 10 и 11 классы, разные четверти и разный обьем информации по данной теме, а загруженность общими предметами в классах разная и имеет разные программы обучения. Что ведет к применению более широкого спектра методов обучения.

Методические особенности введения геометрического смысла производной функции одни авторы все объяснения дают на наглядных примерах. Другие же авторы именно с геометрического смысла и начинают эту тему. Представляют графики и полное описание, формулируют в форме задач с решениями.

Методическими особенностями освоения применения производной при исследовании функции Александра Григорьевича Мордковича заключается в следующем. Он в своем учебном пособии описал алгоритм исследования функций: 1. Найти производную функции; 2. Найти стационарные и критические точки; 3. Определить знаки производной на получившихся промежутках; 4. Опираясь на теоремы сделать соответствующие выводы о монотонности функции и экстремумах. В других учебных изданиях дается множество теорем по данной теме, однако явный алгоритм не представлен.

Теоретический материал по введению понятий математического анализа представлен на доступном уровне, ученики могут самостоятельно знакомиться с материалом, разбирать примеры, которые предложены в учебники, основываясь на них решать задачи, предлагаемые в книге. Задачи предложены разного уровня сложности и в достаточно большом количестве, решать которые в полном объеме не хватает времени. С другой стороны, у учителя всегда есть шанс дополнительно позаниматься со школьниками или наиболее одаренными по математике школьникам, порекомендовать дополнительную работу на уроке или задать в домашней работе.
Учебник Никольского Сергея Михайловича и др. рассчитан на обучение на базовом и профильном уровнях, что предоставляет возможность успешно организовать работу с учащимися различного уровня подготовки.

Но имеет место быть такой вопрос: можно ли написать одинаково доступным языком для школьников как базового, так и профильного уровня? В целом, учебное пособие написано простым для учащихся языком, содержит большое количество примеров к изучаемым формулам и основным задачам. Учебник включает в себя материал для дополнительного повторения.

Обратимся к методическим рекомендациям методистов по изучению элементов анализа. Так Мордкович Александр Григорьевич рекомендует перед изучением понятия производной сделать следующее: повторить вопросы, связанных с линейной функцией и элементарными функциями. Отработать понятия приращения функции и приращения аргумента, что может быть иллюстрировано графиками функций. Сформировать у учеников твердых навыков в их нахождении; выяснить геометрический смысл отношения приращения функции к приращению аргумента, ввод понятия касательной к кривой как предельного положения секущей.

Когда это будет достигнуто, можно переходить к введению понятия производной. Успешной будет связка понятия с основной проблемой дифференциального исчисления. К тому же нужно знать правила, которые помогают данный процесс обучения облегчить. Для изучения геометрического смысла производной, нужно осуществить повтор материала по линейной функции, ее угловому коэффициенту, понятия производной, а также уже рассмотренные задачи про мгновенную скорость, касательную к графику функции.

В итоге изучения темы каждому ученику необходимо получить умение по нахождению экстремумов функций. Доказательство признаков максимума и минимума функции необходимо проводить с привлечением учащихся. Внутренние точки области определения функции, где она будет равна нулю или не существует, называются критическими точками данной функции. Они выполняют важную роль в процессе построения графика функции, т.к. лишь они могут быть точками экстремума функции.

Понимание учениками теоретических основ методики обучения функциональному материалу. Развитие взаимосоответствующих профессиональных навыков происходит во время всевозможных видов уроков и самостоятельной познавательной деятельности учеников. В учебные пособия включены вопросы и задания, помогающие ученикам организовывать самостоятельную деятельность. Практическая часть дает возможным устанавливать важные связи между математическим содержанием школьного обучения и выбором соответствующих методов, средств и форм организации деятельности учеников, необходимых для понимания актуального содержания и предоставляющих совершенствование познавательной инициативности школьников.

Читайте также: