Методика изучения параллельности в школьном курсе геометрии

Обновлено: 02.07.2024

Развивающая: сформировать пространственное, образное и логическое мышление. Школьник должен уметь: строить логические цепочки, приводящие к истинному положению; мог охватывать сразу весь чертеж (сначала простой, потом – посложнее) и улавливать те соотношения между элементами чертежа, которые могут быть нужны при решении данного вопроса

Воспитательная: сформировать понимание того, что в основе научного мировоззрения лежат формы как объекты абстракции, честность, правдивость, настойчивость и мужество.
Школьник должен уметь: преодолевать познавательные затруднения.

Почему нельзя без геометрии?

Потому что в ней самая строгая логика соединена с наглядным представлением. Следовательно, развивается: логическое мышление, пространственное воображение и практическое понимание.

Важной проблемой построения курса геометрии является взаимоотношение вопросов планиметрии и стереометрии. При этом возможны следующие подходы:
-сначала вся планиметрия, потом вся стереометрия,
-планиметрия с элементами стереометрии;
-фузионистский курс, когда планиметрия изучается совместно со стереометрией.

История развития школьной геометрии

Первый этап (VI-IV вв. до н.э.) – период преобразования практической геометрии в науку теоретиче6скую и начало обучения геометрии (Фалес Милетский, Пифагор, Гиппократ и т.д.).

Третий этап (I в. – до конца XV в.) – период начала схоластического обучения геометрии (в монастырях, городских училищах и т.п.)

Четвертый этап (начало XVI в. – до конца XVI в.) – период начала критики евклидовского курса в качестве школьного учебника. Создание первых курсов, ориентированных на практические начала геометрии (геодезию, черчение, архитектура, землемерие и т.д.)

Пятый этап (начало XVII в. – до конца XVII в.) – период определения принципов первичного обучения геометрии (наглядности, доступности – Я.А. Коменский), формирование наглядно-прикладного направления в геометрии (А.Арно). Период возникновения острых противоречий между чувственным и абстрактным в процессе усвоения геометрических знаний.

Шестой этап (начало XVIII в. – до середины XVIII в.) – период появления в России геометрии как учебной дисциплины, с преобладанием ее практической составляющей, появление первых российских учебников (Г.В. Крафт, Л.Ф. Магницкий и др.)

Седьмой этап (вторая половина XVII в.) – период начала массового обучения геометрии в России как самостоятельной учебной дисциплине. Начинается активное создание адаптированных для учащихся отечественных учебников по геометрии (Д.С. Аничков, М.Е. Головин, Н.Г. Курганов, С.Я. Разумовский).

Восьмой этап (первая половина XIX в.) – период зарождения наглядной геометрии как составной части школьного курса геометрии .

Девятый этап (вторая половина XIX в.) – характеризуется становлением начального и систематического курсов геометрии. Появляется значительное число учебников, реализующих разнообразные подходы к изложению геометрии (А.П. Киселев, А.Н. Остроградский).

Десятый этап (начало XX в. – до революции 1917 г.) – завершение оформления курса элементарной геометрии, формируются методические теории обучения геометрии.

Двенадцатый этап (от 30 – х гг. до 90х годов) – экспериментальное преподавание геометрии, основанное на разных аксиоматиках.

Тринадцатый этап (конец XX-начало XXI в.) – современный этап в преподавании геометрии.

Психолого-педагогические основы обучения геометрии

Пространственное мышление — специфический вид мыслительной деятельности, которая необходима при решении задач, требующих ориентации в пространстве (как видимом, так и воображаемом), и основывается на анализе пространственных свойств и отношений реальных объектов или их графических изображений.

Главным содержанием этого вида мышления является оперирование пространственными образами в процессе решения задач (геометрических, графических, конструктивно-технических, технологических и др.) на основе создания этих образов путем восприятия (или по представлению) пространственных свойств и отношений объектов. В данном определении подчеркиваются, во-первых, характер того материала, которым оперирует мышление — его пространственное содержание, во-вторых, специфические средства мышления (пространственные образы, различные по структуре и механизмам образования) и, в-третьих, особое содержание самой мыслительной деятельности (оперирование образами).

Деятельность пространственного мышления направлена в основном на оперирование пространственными отношениями путем выделения их из реального объекта или его изображения. Вычленение этих отношений, как правило, не может быть достигнуто простым созерцанием наглядного материала. Оно требует активной мыслительной деятельности, направленной на преобразование данного материала, своеобразной его интеллектуализации. Это преобразование обеспечивается динамическим узнаванием изображенных объектов путем их мысленной перегруппировки, избирательным анализом объекта (изображения), благодаря которому восприятие становится более планомерным, целенаправленным, категориальным.

Основная оперативная единица пространственного мышления — не слово, а образ, воспроизводящий пространственные свойства и отношения объекта (его геометрическую форму, размер, пропорции, положение на плоскости в пространстве, относительно других объектов или наблюдателя со строго фиксированной или произвольно выбранной точкой отсчета). Как показало исследование некоторой группы учащихся, способных к математике, отличительной чертой этих школьников является их быстрая ориентация в любом графическом материале, усмотрение в нем искомых пространственных соотношений сразу, как бы ≪с места≫, независимо от способа их наглядно-графического выражения и сложности задания.

Пространственное мышление – специфический вид деятельности, которая необходима при решении задач, требующих ориентации в пространстве, и основывается на анализе пространственных свойств и отношений реальных объектов или их графических изображений.

Специфика заключается в том, что мышление протекает преимущественно в образной форме (в форме образов).

Мотивация к изучению геометрии

Практико-ориентированные задачи.
Проблемные задания.
Поиск истины.

Современное содержание курса геометрии в основной школе

1.Методика знакомства учащихся 5-6 классов в понятием прямой, окружности и плоскости.
2.Методика изучения геометрических фигур и их измерений в систематическом курсе геометрии.
3.Методика изучения параллельности и перпендикулярности на плоскости и в пространстве.
4.Методика изучения векторов и координат на плоскости и в пространстве
5.Методика изучения геометрических преобразований на плоскости и в пространстве

Одним из основных методов построения школьного курса геометрии является аксиоматический метод.
Суть: то что не можем описать и не нужно описывать, главное, чтобы были правильные интуитивные представления об основных понятиях геометрии. Так появились неопределяемые понятия, отношения и аксиомы.

Методический вопрос такой: какую выбрать аксиоматику, чтобы она была пригодная для первоначального изучения геометрии?

1)Одним из вопросов построения школьного курса геометрии является – с чего начинать? С фигур или линий?
2)Надо понимать, что к 7 классу учащиеся знакомы почти со всеми фигурами, поэтому можно дать такое задание..
3)Давать четкие определения или не давать?
4)Выделение свойств и признаков понятий (фигур).
5)Центральным вопросом курса геометрии 7 класса является равенство треугольников.

Особенности изучения содержательно-методических линий

Изучение векторов и координат на плоскости и в пространстве .

1.Причина включения: потребности физики. 2.Векторы служат еще одним способом установления связи линейных и угловых величин, а так же связи алгебры и геометрии. 3.Векторы и координаты вооружают учащихся новыми методами. 4.В профильном обучении векторы позволят расширить поле изучения и ввести понятие группы и линейного пространства. 5.Существуют разные подходы к определению понятия вектора. 6.В школьном курсе рассматриваются: определение вектора, равенство векторов, действия над векторами, скалярное произведение, теорема о разложении векторов, координаты вектора, векторный метод решения задач. 7.При рассмотрении вектора следует четко выделить две составляющие: численное значение и направление. 8.С координатами учащиеся знакомы из курсы алгебры 5-6 классов, и при изучении функций, поэтому сконцентрировать внимание учащихся нужно на координатном методе решения задач.

Особенности обучения геометрии

1.В курсе геометрии приходится иметь дело с большим количеством понятий, т.к. изучаются свойства большого числа фигур и различные отношения между ними. Обязательно учить определения и теоремы!
2.Учить строить динамичный чертеж.
3.Особый подход к актуализации знаний.
4.Два основных метода решения задач (геометрический и алгебраический).
5. Вопросно-ответные процедуры.
6. Методическая система обучению доказывать

В качестве вывода

Цели и задачи раздела Изучение раздела на ступени основного общего образования направлено на достижение следующей цели: дать систематические сведения о параллельности прямых, первое представление об аксиомах и аксиоматическом методе в геометрии, ввести аксиому параллельных прямых. Данная цель достигается посредством реализации следующих задач: образовательных: знание определения параллельных прямых, отрезков, секущей; признаков параллельности прямых; аксиомы параллельных прямых и следствий из неё и научить применять полученные знания на практике, при решении задач; воспитательных: воспитывать аккуратность и точность при построении и чтении чертежей, повышать математическую культуру, стимулировать интерес к математике; развивающих: способствовать формированию умений и навыков в применении полученных знаний: выделение главного в условии задачи; перенос знаний в новую ситуацию; развитие внимания, памяти, логического мышления, математической речи учащихся.

Психолого-педагогическое обоснование Специфика восприятия содержания раздела обусловлена: особенностями возраста (подростковый возраст), когда ребенок может строить гипотезы, проверять или опровергать их, что свидетельствует о приоритетном развитии у него логического мышления.

Психолого-педагогическое обоснование особенностями содержания раздела, его непосредственной связью с формированием основных приемов мыслительной деятельности (анализа и синтеза); особенностями контингента, для которого характерны: высокий уровень общительности, саморегуляция в деятельности.

Ожидаемые результаты изучения раздела В результате изучения раздела ученик должен: знать / понимать: определение параллельных прямых; признаки параллельности прямых; различия между признаком параллельности двух прямых и свойством параллельных прямых; уметь: решать планиметрические задачи с использованием вышеперечисленных определений и теорем; распознавать виды математических утверждений (аксиомы, теоремы); проводить логические обоснования, доказательства утверждений; использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности для: общей ориентации в вопросах геометрии; реализации геометрических знаний в русле укрепления логического мышления.

Используемые технологии, методы, формы организации деятельности Методы: устный, наглядный, печатно-словестный, репродуктивный, элементы проблемного изложения. Формы организации деятельности: индивидуальная, парная (сильнее – слабее), групповая. Индивидуальный подход.

Этапы урока и виды деятельности учащихся Организационный момент, постановка цели. (2 мин.) Актуализация знаний — повторение теоретического материала. (3 мин.) Решение задач по готовым чертежам. (10-12 мин.) Отработка практических умений при решении задач на применение признаков и свойств параллельных прямых. (21 мин) . Подведение итогов (5 мин). Домашнее задание (2 мин).

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Методическая разработка раздела программы по истории 7 класс

Материал содержт презентацию методической разработки раздела программы по истории России для 7 класса к учебнику "История России конец XVI-XVIIIвв.", авторы А.А Данилов, ЛГ. Косулина.

Разработка раздела программы

разработка раздела программы по физике 7 класс "Агрегатные состояния вещества".

Методическая разработка раздела программы по математике в 5 классе "Обыкновенные дроби"

Одно из первых математических понятий, с которым ребёнок встречается в школе, – понятие о числе. Это понятие является одним из базовых понятий математики, и его усвоение имеет для учащегося большое зн.

методическая разработка раздела программы формирования здорового образа жизни "Здоровье и безопасность жизнедеятельности"

разработка включает в себя задачи программы, актуальность, направления программы, ожидаемые результаты, обоснования формы работы, список литературы.

Методическая разработка раздела программы по организации работы со старшими вожатыми

Методической разработке показано разнообразие форм работ РМО старших вожатых.

Урок музыки 2 класса. Тема урока: "Танцы, танцы, танцы. " Программа Г.П. Сергеева, ЕД. Критская. Разработка раздела программы 2 класса "День, полный событий. Программа Г.П. Сергеева, Е.Д. Критская.

Урок музыки для 2 класса . Тема урока: "Танцы, танцы, танцы. " Программа Г.П.Сергеева, Е.Д. Критская.Разработка раздела программы 2 класс "День, полный событий" Программа Г.П.Сергеева,Е.Д.Критская.

Разработка раздела программы Параллельные прямые

В данной разработке рассматривается психологичнское обоснование введение темы "Параллельные прямые" именно в 7 классе, вводится обоснование используемых в образовательном процессе технологий, мет.

Методическая разработка содержит теоретический материал и материал для самостоятельного выполнения заданий обучающимися.

План лекции:

Взаимное расположение прямых в пространстве.

Параллельность прямых в пространстве.

Взаимное расположение прямой и плоскости.

Параллельность прямой и плоскости.

Взаимное расположение прямых в пространстве.

Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Параллельность прямых a и b обозначается так: a∥b или b∥a.

Две прямые называются скрещивающимися, не лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Проиллюстрировать данные определения наглядно нам поможет куб.

Давайте укажем некоторые пары параллельных прямых:

AB||A₁B₁; AB|| CD; A₁B₁||C₁D₁; CD||C₁D₁; AD||A₁D₁; BC||B₁D₁; AD||BC; A₁D₁||B₁C₁.

А теперь рассмотрим некоторые пары скрещивающихся прямых, как мы отметили, они не должны лежать в одной плоскости:

AB и A₁D₁; AB и B₁C₁; CD и A₁D₁; CD и B₁C₁; BC и C₁D₁; BC и A₁B₁; AB и B₁C₁; AB и A₁D₁.

Параллельность прямых в пространстве.

Теорема. Через любую точку пространства вне данной прямой можно провести прямую, параллельную данной прямой, и притом только одну.

Теорема. Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны.

Взаимное расположение прямой и плоскости.

Параллельность прямой и плоскости.

Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Теорема. Если одна из двух параллельных прямых a∥b параллельна данной плоскости α , то другая прямая либо параллельна этой плоскости, либо лежит в этой плоскости. a‖b, a‖α = b‖α

Задание для самостоятельного выполнения

Задание 1. Сделать краткий конспект по данной теме.

Задание 2. Выучить все формулировки определений и теорем.

Задание 4. Сделать рисунок и решить задачу:

Через концы отрезка АВ и его середину М проведены параллельные прямые, пересекающие некоторую плоскость в точках А₁, В₁, М₁. Найдите длину отрезка ММ₁, если отрезок АВ не пересекает плоскость и если АА₁=5м, ВВ₁=7м.

Изучение параллельности в пр-ве изучается в противопоставлении со скрещивающимися прямыми и тогда добавка, что прямые должны лежать в одной пл-ти будет ученикам понятна.

1) изложение первого пункта следует начать с беседы о том, сколько общих точек м. иметь две прямые: 2 прямые м. иметь бесчисленное множ-во точек, т.е. совпадать ; 2 прямые м. иметь только одну общую точку, т.е. пересекаться.

Взаимное расположение прямых в простр-ве:

а) прямые a и b имеют только одну общую точку : a и b пересекаются

б) все точки прямых a и b- общие; прямые совпадают.

в) прямые a и b не имеют общих точек ; a и b параллельны

г) прямые a и b не имеют общих точек: a и b – скрещивающиеся.

В случаях а)-в) a и b лежат в одной пл-ти, в случае г)- не лежат в одной пл-ти.

Теорема о парал-ти прямых: ч/з любую точку пр – ва, не лежущую на данной прямой, проходит прямая парал-я данной и притом только одна.

2) О ½½-ти прямой и пл-ти следует начать с беседы о возможном числе общих точек у прямой и пл-ти..

Прямая и пл-ть не могут иметь только 2 общие точки, ибо в противном случае прямая будет лежать в этой пл-ти. Может ли прямая иметь с плоскостью только одну общую точку? Да.

Взаим. расположение прямой и пл-ти в пр-ве:

Пользуясь чертежами, уч-ся могут самост-но дать определ-е ½½-ти прямой и плоскости.

С помощью определения не всегда можно судить о том, что данные прямая и плоскость параллельны, поскольку прямая и плоскость безграничны.

Лемма о пересеч. пл-ти паралл. прямыми: Если одна из двух // пр-х пересек. данную пл-ть, то и др. прямая пересек. эту пл-ть.

Признак // прямой и пл-ти: если прямая, не лежащая в данной пл-ти // к.-либо прямой, лежащей в пл-ти, то она // данной пл-ти.

3) следует начать с разговора о возможном числе общих точек у 2-х плоскостей. Две разл. плоскости не могут иметь только одну общую точку. Две плоскости пересекаются по прямой.

Две плоскости могут совсем не иметь общих точек.

В ученике Погорелова (10 кл)тема ½½-ть прямых и плоскостей начинается с ½½-ти прямых в простр-ве, затем рассматривается признак ½½-ти прямых ( две прямые параллельные третьей прямой параллельны). Потом признак ½½-ти прямой и плоскости ( если прямая не принадлежащая плос-ти ½½-на какой-нибудь прямой в этой пл-ти , то она ½½-на и самой пл-ти, признак ½½-ти 2-х плоскостей, свойства параллельных плоскостей.)

Признак // 2-х пл-й: Если 2 пересек-ся прямые одной пл-ти соотв-но парал-ны 2 пересек-ся прямым др. пл-ти, то эти пл-ти парал-ны.

Св-ва // пл-ей: 1. Если 2 // пл-ти пересек. третьей, то линии их пересеч-я //.

2. отрезки // прямых, заключенных м/у // пл-ми, равны.

S(F) = S(F1) + S(F2) + S(F3), св-во аддитивности.

4. Площадь квадрата со стороной 1. S(1) = 1, св-во нормированности.

Погорелов вводит понятие простой фигуры и задачу вычисления делает для простой фигуры. Даёт определение фигуры, кот. наз. простой, такая, кот. допускает разбиение на треугольники диагоналями, выход. из одной точки. Какие фигуры яв-ся простыми? Все многоугольники - простые фигуры. Б. устанавливать формулы для различных видов многоугольников.

Прямоугольник: традиционно - рассм. метод полной индукции: 1.

Зап - ся в виде бесконечных десятичных дробей. Проходит сложное док-во. Чтобы его упростить, Погорелов в посл. Изданиях переработал этот пункт в сторону упрощения. Доказывает лемму - вспомогательное утверждение: если мы имеем прямоугольник АВСД с высотой h1, если ещё пристроим на основании АД прямоугольник ВСС1В1, высота h2, то справедлива формула: S1/S2 = h1/h2. Док-во сложное.

Берем квадрат со стор-1 1, S=1. На стороне выстраиваем вспомомг-й прямойг-к, у кот-го длина =1, а высота а, на стороне а построим прямоуг-к со стор-ми а и в. Дважды взять пропорцию, перемножить и получится.

Параллелограмм. Метод равносоставленности.

Из этого параллелограмма нужно получить прямоугольник, площадь которого мы уже знаем. Отрезаем треугольник, приставляем с др. стороны S=а*h.

1. содержащие её; 2. содержащиеся в ней с площадями как угодно мало отличающимися от S.

Для вычисления площади круга исп-ся метод исчерпывания. При n→∞ пол-ся формула S=πR2. Погорелов не приемлет предельного перехода. Круговой сегмент и сектор. Рассм. их площади.

Александров: вводит понятие площади многоугольной фигуры, сост.

1. св-во положительности

3. равные треугольники имеют одну и ту же S.

Посл-ть: прямоугольник, прямоугольный треугольник, произвольный треугольник, трапеция, параллелограмм.

Алгебра и начала анализа.

Площадь криволинейной трапеции.

2. тела вращения.

Sсф = 4πR2. (производная от Vш), по Колмогорову.

(1) После прямого параллелепипеда идёт наклонный параллелепипед: V=Sосн*h.

Док-во: данный парал. подвергаем 2-м преобр-м: отсекаем и дополняем. От накл. Парал. сначала перейдем к прямому, избавляемся от наклонности, а потом из прямого делаем прямоугольный. Придумал кто-то сделать это с помощью наглядной модели. Призма: сначала треугольная, а потом произвольная. Треугольная призма дополняется до параллелепипеда такой же треугольной призмой. Vпар. = 2Vпр. Произвольную разбивают на треугольные, её объём суммируется, V=Sосн*h. Пирамида: те преобразования, кот. мы делали в прямоугол. параллелепипеде: дополнения и отсечения не проходят с пирамидой. Нельзя заменить пирамиду равносоставленной с ней призмой. Т. Дэна Кадэна. Не все многогранники яв-ся равносоставленными. Однако формулу м. получит практически. Если куб Кюстера, кот. м. разбить на три равные пирамиды, тогда V=1/3 Vкуба = 1/3 Sосн*h. Как доказать? Док-во элементарными ср-ми сложное. Атанасян прибегает к интегралу, однако Погорелов считает, что надо элементарными ср-ми. Сначала вводится лемма: пирамиды с равными основаниями и высотами имеют равные объёмы. Т: V = 1/3 Sосн*h. Док-во простое. Дополняем данную пирамиду 2-мя ещё пирамидами с равными объемами до треугольной призмы, а призма треугольная уже известна. Произвольная пирамида. Разбиваем на тетраэдры. Усечённая пирамида: даётся через задачу. Замечание: Погорелов показывает, что объём не зависит от выбора основания тетраэдра и от способа разбиения простого тела на тетраэдры.

В начале изучался вопрос об объёме простого тела (разобьём на конечное число), тела вращения не яв-ся простыми телами - их нельзя разбить на конечное число тетраэдров.

Даём общее определение объёма, аналогия с площадями, когда говорили о площади о окружности. Данное тело имеет объём, если существует: 1. содержащие его простые тела; 2. содержащиеся в нем простые тела с объёмами сколь угодно мало отличающимися от объёма. Это определение применим к цилиндру. Строим две прямые призмы: 1. содержит цилиндр; 2. сод-ся в цилиндре. Т.к. площади их оснований сколь угодно мало отл-ся от площади круга (основ. цилиндра), то их объём сколь угодно мало отл-ся от объёма призм. Конус: строим две пирамиды. Усечённый конус: на задаче.

Объём тела вращения: это понятие важно само по себе. Оно б. применено к шару, объём которого б. вычислять по интегралу. Уч-м сообщ-ся общая формула V тел вращения.

Сечение тела вращения плоскостью ХОУ:

V=∫πf2(π)dx. V = 4/3 πR3 - объём шара.

Выбираем декартовую с.к. с осями: х,у,z и помещаем туда шар. Договариваемся, как мы его поместим туда: центр шара д. совпадать с начало координат, R - радиус шара. Поверхность шара пересекаем плоскостью ХОУ. Получится окружность, вспоминаем с учениками ур-е окружности: х2 + у2 = R2

Пересекли поверхность шара, не весь шар, берем только верхнюю часть окружности. Как пол-ся шар? Надо взять полуокружность.

у=√R2 - x2, где -R≤x≤R.

У Атанасяна - через интеграл. Уч. Смирновых и Александрова: последовательность изучения другая: сначала тела вращения, а потом многогранники, причём в основе лежит общее определение цилиндра. Если ортогональная проекция, то получаем прямой цилиндр; если ║ - я проекция, то наклонный цилиндр. Если в основании круг, то б. круговой цилиндр. Призмы - частный случай цилиндра. Начинаем рассмотрение с прямого цилиндра, т.е. берётся ортогональная проекция, Sосн*h. 1. в основании - квадрат, сторона а=1, h. V=h. 2. в основании - фигура F с площадью S, h, V= S*h.

Читайте также: