Методика изучения квадратичной функции в школьном курсе математики

Обновлено: 02.07.2024

Все согласны с тем, что нет “царского пути в математику”. Много труда в терпения, настойчивости и внимания требуется от учителя и школьника, чтобы последний смог освоить программный минимум знание по этому предмету.

изобретены лазеры и голография;
расшифрован код наследственности;
синтезирован ген;
научались выращивать копии животных.

Недалеко, видимо, то время, когда и в психологии в педагогике будут найдены такие средства обучения, эффективность которых трудно сейчас представить.

Н.Е. Жуковский имел основания считать, что методы обучения математике можно сделать столь совершенными, что ее будет понимать “всякий желающий из публики”.

Добиться того, чтобы человек за меньшее, чем прежде, время овладел большим объемом основательных и действенных знаний, – такова одна из главных забот современной педагогики.

Нередко структура учебника математики определяет лишь формально – логическими связями самой науки математики, вне учета закономерностей усвоения математических знаний.

Между тем средства формальной логики ограничены, они упорядочивают отвлеченные результаты мышления, но никак не сам процесс мышления, к этим результатам приводящий.

Формально – логические соображения не только не являются единственными, но и не являются главными при решении вопросов методики: дело в том, что категории формальной логики не учитывают фактора времени, учет которого являются важнейшем элементом для совершенствования процесса обучения.

Как при изобретении новых механизмов, так и при конструировании новых методов обучения исходным толчком к удачным находкам и обобщениям могут стать соображения, связанные с любой из указанных наук. Это человек для удобства создал разные науки, а “природа не знает деления на науки”.

Укрупненная дидактическая единица – это клеточка учебного процесса, состоящая из логически различных элементов, обладающих в то же время информационной общностью. Укрупненная дидактическая единица обладает качествами системности и целостностями, устойчивостью к сохранению во времени и быстрым проявлением в памяти.

совместное и одновременное изучение взаимосвязанных действий, операций, функций теорем и т.п. (в частности, взаимно обратных);
обеспечение единства процессов составления и решения задач (уравнений, неравенств т.п.);
рассмотрение во взаимопереходах определенных и неопределенных заданий (в частности, деформированных упражнений);
обращение структуры упражнения, что создает условия для противопоставления исходного и преобразованного заданий;
выявление сложной природы математического знания, достижение системности знаний;
реализация принципа дополнительности в системе упражнений (понимание достигается в результате межкодовых переходов между образным и логическим в мышлении, между его сознательным и подсознательным компонентами).

Общность выводов теоретического анализа позволяет предвидеть и выгоды переноса указанной методической системы с младших классов на старшие, с математики на друга учебные предметы, от школьной практики в вузовскую дидактику.

общий графический образ;
общность символов для группы формул;
наличие одних и тех же слов или словосочетаний в сравниваемых высказываниях, в цепи доказательств и в ткани развивающихся системных знаний, предыдущие и последующие во времени звенья должны иметь, как правило, больше общих носителей информации, начиная, с возможно более низкого, кода.

Цели: формирование умения решать квадратные уравнения и неравенства, строить графики квадратичных функций, развитие самостоятельного и творческого мышления, воспитание самостоятельной и творческой личности, потребности к учению.

изучить одновременно взаимообратные действия и операции;
обеспечить единство процессов составления и решения уравнений, неравенств;
сформировать общеучебные, интеллектуальные практические умения.

Сейчас существует множество учебников я методических рекомендаций по изучению “Алгебры 7-11 кл.”. Учителю в данной сфере важно выбрать для своих учеников наиболее оптимальный и адаптированный вариант для контингента учащихся данного класса. А самое главное, расположить изучаемый материал в логической последовательности, чтобы повысить эффективность и качество усвоения изучаемого материала. Так например, можно укрупнить и преподать в логической цепи такие темы “Линейная функция. Решение линейных уравнений и неравенств. Решение систем линейных уравнений и неравенств”. Мне бы хотелось остановиться на изложении следующих тем “Квадратные уравнения Квадратичная функция. Квадратные неравенства”.

Примерное тематическое планирование курса алгебры 8 класса
(3 часа в неделю, всего 102 часа)

Приближенные вычисления
Квадратные корни
Иррациональные числа
Квадратные уравнения
Квадратичная функция
Квадратные неравенства
Итоговое повторение

Планирование тем в такой последовательности предусматривает работу учащихся 8 классов по учебнику О.П. Эрдниева, П.М. Эрдниева “Математика” 8 класс.

Изучение темы “Квадратные уравнения” начинается с III четверти, на которую я отвожу – 20ч.

Вид квадратных уравнений с заданными корнями. Решение неполных квадратных уравнений.
Решение приведенных квадратных уравнений т. Виета
Решение полных квадратных уравнений т. Виета
Решение биквадратных уравнений
Решение задач с помощью квадратных уравнений
Обобщающий урок
Контрольная работа

Важно, что на обобщающем уроке учащиеся вместе с учителем систематизируют и упорядочивают всю информацию по решению квадратных уравнений, заполнив следующую таблицу:

Виды квадратных уравнений

2. ax 2 +c=0
ax 2 =-c
x 2 =-c/a

если –c/a >0
(2 корня)

если –c/a 0
ax 2 -c=0
x 2 -c/a=0

если p 2 /4-q>0, то 2 корня
если p 2 /4-q=0, то 1 корень
если p 2 /4-q 2 +bx+c=0

b 2 -4ac=D – называется дискриминант

На изучение темы “Квадратичная функция” отвожу 17 часов и распределяю материал следующим образом:

График квадратичной функции у = ах 2
Построение графика функции у = ах 2 + bх + с переносом графика функции у = ах 2 . Применение метода неопределенных коэффициентов
Построение графика квадратного трехчлена выделением полного квадрата
Координаты вершины параболы
Исследование квадратного трехчлена
Обобщающей урок
Контрольная работа

Можно изучение квадратичной функции вида у = ах 2 провести в форме лабораторной работы. Урок можно построить следующим образом.

Урок №1-2
Тема: Функция у = ах 2

Цель: Построение функции у = ах 2 , свойства данной функции; построение графиков функции вида у = ах 2 , изучение влияния значения коэффициента а на форму и расположение параболы.

Ход урока

1. Построение графика функции у = ах 2 , изучения ее свойства

Рассмотрим функцию у = ах 2 , то есть квадратичную функцию у = ах 2 +bх+с при a= 1, b =с = 0. Для построения графика этой функции составим таблицу ее значений:

Построив указанные в таблице точки и соединив их плавной кривой, получим график функции у = ах 2 .

Кривая, являющаяся графиком функции у = ах 2 , называется параболой.

значениями аргумента (абсциссами) могут быть любые числа. Говорят, областью изменения аргумента является множество действительных чисел;
график функции у = ах 2 симметричен относительно оси ординат, то есть, ось ординат является осью симметрии параболы;
парабола у = ах 3 проходит через начало координат, то есть, парабола у = ах 3 касается оси абсцисс в точке (0;0), которая является вершиной параболы;
функция у = аx 2 является возрастающей на промежутке х>0.
функция у = ах 2 является убывающей на промежутке х 2

Цель: изучение влияния значения коэффициента а на форму и расположение параболы.

Матрица “Расположение и форма параболы у = ах 2 в зависимости от значения коэффициента а”.
Таблицы функции у = х 2 _, у = 2х 2 , у = 0,5х 2 .
Маркеры трех цветов (красный, зеленый, синий).

I часть

1. Построить таблицу значений функций у = ах 2 , а>0.

аргумент	x	0	± 1	± 2	± 3	значение a
функция	y=ax 2
(e₁)	y=0,5x 2	0	0,5	2	4,5	a=0,5
(e₂)	y=x 2	0	1	4	9	a=1
(e₃)	y=2x 2	0	2	8	18	a=2

2. Построим на одном чертеже графики трех данных функция е₁ – у=0,5х 2 – синим цветом; е₂- у=х 2 – красным цветом; и е₃ – у=2x 2 – зеленым цветом.

3.. Учащееся сравнивают положение графиков функции вида у = ах 2 (а>0) и отмечают чем похожи все три параболы:

а) они имеют одинаковую форму;
б) ветви парабол неограниченно стремятся ветвями вверх;
в) ветви всех парабол симметричны относительно оси ординат 0_у;
г) все эти параболы имеют самую низкую общую точку (0; 0), т.е. функция имеет минимум.

4. Чем отличаются положения графиков функций вида функции у = ах 2 (а>0):
функция вида у=ах 2 (а>О) возрастает тем круче (а соответствующая парабола тем быстрее поднимается вверх), чем больше коэффициент при х 2

II часть

5. Сравнить графики двух функций вида у = ах 2 (например, у = 0,5 х 2 и у = – 0,5 х 2 ), у которых коэффициентами а являются противоположные числа 0,5 и – 0,5.

6. Построить таблицу значений функций у = 0,5х 2 и у = -0,5х 2

7. Достроим в той же таблице недостающий график функции у = -0,5х 2 (см. таблицу)

8. Сравнить положения графиков функции у = 0,5х 2 и y=-0,5x 2

а) точка О (0; 0) есть самая низшая точка параболы у = 0,5 х 2 и наибольшая параболы у=-0,5х 2
б) графики (e₁ и e₁ 1 ) двух функций у = 0,5х 2 и у = – 0,5х 2 симметричны друг другу относительно оси абсцисс.

9. Чем отличаются положение графиков функций вида у=0,5x 2 ,у=-0,5х 2

Запомним важное правило:

Если в уравнении квадратичной функции у=ах 2 коэффициент, то парабола неограниченно стремится ветвями

Верно и обратное:

Если парабола стремится ветвями , то коэффициент a в уравнении квадратичной функции y=ax 2

После прохождения всех способов построения графика функции у =ах 2 +bх+с переносом графика функции у=ах 2 можно провести урок по решению взаимно обратных задач: по заданному графику составить уравнение функции и обратные задачи – это по заданному уравнению функции у = ах 2 +bх+с построить её график. На этом же уроке необходимо завершить работу над матрицей “Взаимное расположение квадратной функции у=ах 2 +bх+с относительно оси абсцисс”.

Урок №10

Тема: Построение графика функций у=ах 2 +bх+с переносом графика функций у=ах 2

Закрепление навыков учащихся по построению графиков функций вида у=ах 2 +bх+с, выполнение обратных задач, завершение работы над матрицей.
Формирование умения выделять существенные признаки и свойства функция вида у=ах 2 +bх+c и построение её графика
Воспитание положительного отношения к знаниям.

I. Устная работа

Назовите основные свойства функции у=ах 2 ?
Как можно записать квадратичную функцию?
Что значит, построить график функции у=ax 2 +bx+c?
Что нужно вычислять в первую очередь при построении графика функции у=ax 2 +bx+c?
Сколько вы знаете способов их нахождения?

II. Выполнение заданий на чтение графиков

Задача: По заданному графику составить уравнение функции. (У доски работают трое учащихся, выполняют задания по трём заданным графикам).

(По завершении работы дети проверяют решение и выставляют оценки)

По результатам решенных заданий, делаем вывод и заносим в матрицу:

Взаимное расположение квадратичной функции y=ax 2 +bx+с относительно оси абсцисс

III Решение обратной задачи

Задачи: Дан квадратный трехчлен y=x 2 -10x+27. Построить его график.

Работают трое учащихся, решают одновременно тремя различными способами.

По формуле	Методом выделения полного квадрата	Методом неопределенных коэффициентов
x₀=-(b/2a)=(-(10/2*1)=5

Тот учащийся, который решает первым, чертит с помощью шаблона на доске график функции y=x 2 -10x+27

Матрица “Взаимное расположение квадратной функции y=ax 2 +bx+с относительно оси абсцисс”.
Плакат с расчетной системой координат.
Таблицы функций y=x 2 , y=2x 2 , y=0,5x 2
Маркеры четырех цветов (красный, синий, зеленый, коричневый)

По завершению изучения темы “Квадратичная функция” можно провести контрольную работу по следующему тексту:

1 вариант

Задание №1.
Найти координаты точек пересечения параболы с осями координат:

y=-8x 2 -2x+1

y=3x 2 +13x-10

Задание №2.
По заданному графику составить уравнение функции

Задание №3.
Построить график функции y=2x 2 -4x+5 (тремя способами найти координаты вершины параболы), выяснить какими свойствами обладает эта функция.

Квадратное неравенство и его решение
Решение квадратного неравенства с помощью графика квадратичной функции
Метод интервалов
Обобщающий урок
Контрольная работа

На обобщающем уроке целесообразно вернуться к матрице “Взаимное расположение функции y=ax 2 +bx+с относительно оси абсцисс”, которую мы начали заполнять, когда изучали тему “Квадратичная функция”, чтобы дополнить ее информацией о решении квадратных неравенств и уравнений.

Таблица решений квадратных уравнений и неравенств

Данную таблицу заполняют ученики, конечно, с помощью учителя в процессе изучения материала, а в дальнейшем она служит им как опорный конспект при решении заданий по данной теме.

Такая матрица, составленная совместно учителем и учащимися, облегчает обобщение по пройденному материалу и вносит системность в знания.

Заключение

С развитием кибернетики появилось новое научное направление – общая теория систем. В пример можно привести энергосистему страны, всемирную метеослужбу автоматизированные заводы в многое другое. В связи с этим имеет смысл говорить о системе знаний человека. Возникновение системного качества званий зависит от множества факторов: от порядка расположения изучаемых разделов и их оформления в учебнике; от структуры упражнения на уроке в наличия информационных связей между соседними заданиями; от логики объяснений учителя и т.п. П.М. Эрдниев считает, что если освоение знаний осуществляется укрупненными дозами, то создаются лучшие условия благодаря многообразным связям между этими элементами.

Традиционное обучение нередко “разводит” во времени прямые и обратные операции, соответствующие понятия и т.п. (сложение – вычитание, умножение – деление, показательная функция – логарифмическая функция, дифференцирование – интегрирование). Методика УДЕ академика РАО П.М. Эрдниева сводит подобные операции, понятия, отношения в пары, беря каждую как проявление одной в той же дидактической единицы. Такой прием как раз и приносит желаемый эффект повышения информационной емкости знания, поскольку при образовании, например, пары “умножение – деление” происходят непросто суммирование количества информации, которая несет каждая из составляющих пару операций, а именно, приращение информационного содержания. При таком подходе учащиеся больше рассуждают, больше производят самостоятельных мыслительных операций. И это вполне объяснимо дидактически: укрупнение единиц усвоения непременно ведет к возрастанию информационного потока, проходящего в единицу времени через органы восприятия учащегося. Важно отметить, что позитивный эффект имеет место в том случае, когда достигается ускорение подачи учебной информации и другими путями.

Он также считает, что точкой роста укрупненного знания становится связь между генетически родственными понятиями: если решено уравнение, то надо сопоставить его с одноименным неравенством; если решена задача, то имеет смысл исследовать обратную задачу; если выполнено тождественное преобразование в буквах, то необходимо проверять его подстановкой числовых значений; если же закон интерпретирован в числах, то важно трансформировать его в буквенные обобщения.

Методология УДЕ – это создание информационно совершенной последовательности тем школьной математики, обеспечивающей целостность таких разделов, как тождественные преобразования; линейные (и нелинейные) функции, уравнения, неравенства; многоугольники и многогранники (площади и объемы); пространственные координаты (векторы) и т.п.

Сегодня в мире, перенасыщенном информацией, дети больше знают, чем умеют. А я надеюсь, что, занимаясь в школе по методике УДЕ, они научатся и умению.

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего образования Московской области

Кафедра математических дисциплин

Итоговая практико-значимая работа

слушатель учебного курса

учитель математики МБОУ СОШ с УИОП им. Г.К. Жукова №4

г. Краснознаменск, Московская область

старший преподаватель кафедры математических дисциплин

ГЛАВА 1. Методические аспекты организации обучения при подготовке школьников к итоговой аттестации

ГЛАВА 2. Проектирование системной работы по подготовке учащихся к итоговой аттестации

В материалах для подготовки к единому государственному экзамену достаточно заданий требующих проверке умений читать по графику свойства функции и использовать их в решении задач. В тестах итоговой аттестации по математике за курс основной школы также предполагается наличие этих знаний, поэтому необходимо формировать основы этих знаний.

Для достижения поставленной цели необходимо решение следующих задач.

Задачи исследования:

5. Разработать методические рекомендации по использованию отобранной системы задач в образовательном процессе.

ГЛАВА 1. Методические аспекты организации обучения при подготовке школьников к итоговой аттестации.

Вводятся понятия: парабола, вершина параболы, ветви параболы, ось симметрии, ограниченность функции сверху и снизу, y _наиб. , y _наим , квадратичная функция , квадратный трехчлен, старший коэффициент, вспомогательная система координат.

При изучении данной темы закладываются основы аналитического мышления, формируется соответствующая интуиция, развивается логика и интеграция полученных знаний в других науках

Большое внимание уделяется построению графиков и чтению графиков.

Данный УМК состоит из двух частей. Первая часть - учебник , в нем представлен в доступной форме теоретического материала , а также есть решения типовых задач по теме. Вторая часть УМК - задачник - большое количество заданий, распределенных по двум уровням сложности.

Ожидаемые результаты в ходе изучения данной темы:

ученики должны знать определения парабола, вершина параболы, ветви параболы, ось симметрии, ограниченность функции сверху и снизу, квадратичная функция , квадратный трехчлен, правила построения квадратичной функции, уметь отличать квадратичную функцию, определять коэффициенты a , b и c , уметь построить квадратичную функцию, знать правила параллельного переноса и уметь его осуществлять, уметь схематично построить график . указать в каких координатных четвертях они проходят, указать направление ветвей параболы и координаты вершины. Находить координаты точек пересечения параболы с осями координат, нули функции, найти наибольшее или наименьшее её значение .

а) характеристика частей

а) Материал в учебнике по данной теме представлен в 8 главе в §37 ( 7 класс), в 3 главе в §17,19-23 ( 8класс).

б) структура наименьшей части

Представление задачного материала.

Нумерация соответствует теме в учебнике, задания до черты - базовый уровень, включает в себя устные и полуустные заданию и средний уровень сложности(слева от номеров таких заданий стоит значок " ▫ ", после черты - задания вышесреднего и задания повышенной сложности (слева от номеров таких заданий стоит значок " ▪".

б) представление текста задачи

в заданиях иногда указывается метод решения или построения, буквы а, б - отличаются, задания под буквами б, г - для домашней работы.

Другие структурные особенности

В учебнике все изложено подробно. В конце параграфа есть вопросы для самопроверки, каждая глава заканчивается разделом "Основные результаты", а также учащимся предложены темы исследовательских работ.

В задачном материале -а, б - отличаются, задания под буквами б, г - для домашней работы. Несколько подряд однотипных заданий, можно выбрать по темпу работы класса или по мере усвоения материала классом.

Использование цвета, особых выделений главного

Название глав и параграфов выделено красным цветом .На полях используются значки-символы, для быстрой ориетации в изучаемом материале. Определения выделены жирным курсивом.

Задание на повторения отдельно не выделены

Учебник написан простым доступным языком, много примеров , в задачнике подобраны разноуровневые задание в большом количестве

Изучение функции в школе состоит из основных трех частей:

- изучение понятия функция и способов ее задания;

- исследование функции элементарными средствами;

- изучение начал математического анализа их применение к исследованию функций средствами дифференциального исчисления.

Свойства функции в основной школе устанавливаются по графику, на основе наглядных соображений и соответствующих приемов. Перечень свойств, подлежащих рассмотрению, увеличивается постепенно по мере овладения учащимися соответствующим теоретическим материалом.

7.5.1. Определение квадратичной функции и ее свойства

Практически во всех учебниках изучение данной темы начинается с введения определения квадратичной функции.

Определение. Квадратичной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида , где- независимая переменная,некоторые числа, причём.

Изучение квадратичной функции происходит в следующей последовательности:

1), где(график - парабола);

2), где.

Предлагается рассмотреть следующие функции:, которые обладают теми же свойствами, что и функция, а их графики строятся с использованием некоторых преобразований.

3) . Учащиеся усваивают, что график данной функции может быть получен из графика функциис помощью симметрии относительно осих.

4) . Решая квадратное уравнение, учащиеся находятся его корни.

5) ,. Учащиеся усваивают, что- вершина параболы.

6) , если. Вводится понятие квадратичной функции.

Свойства квадратичной функции, если a>0

1) , так как значение квадратного трехчлена однозначно определено для любого действительного числа.

2) Убывает на луче (], возрастает на луче [)

у(х₁) – у(х₂) =…=а(х₁ – х₂) ((х₁ – х₀) + (х₂ – х₀)). Имеем а> 0, х₁ > х₂ х_0. Тогда все три сомножителя в полученном выражении положительны. Это означает, что у(х₁) – у(х₂) > 0 , при а> 0 квадратичная функция является возрастающей на промежутке .

3) Точки пересечения с осями координат.

Если х = 0, то получим точку с координатами (0;с).

Если Д = 0, то - (х₀; 0).

Если Д 0, то квадратное уравнение имеет два корня, которые вычисляются по формуле. Поэтому существует две точки пересечения с осью абсцисс, они имеют координаты (х₁;0), (х₂;0).

4) Ограничена снизу, не ограничена сверху.

5) не существует.

6) Функция непрерывна (дается поясняющее описание);

7) [)

Доказательство. Преобразуем квадратный трехчлен, выделив полный квадрат.

у = ах 2 + вх + с = а(х 2 + в/а х + с/а) = а ((х + в/2а) 2 - ) = а(х –х₀) 2 + у₀, где использованы обозначения, ,. Выражение (х –х₀) 2 может принимать любое неотрицательное значение в зависимости от х. Поэтому областью значений выражения а(х –х₀) 2 + у₀ при всех действительных х является [).

8) Выпуклая вниз (первичное знакомство).

Аналогично рассматриваются свойства функции, если а 0, и вниз, если a 23 / 25 23 24 25 > Следующая > >>

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Функциональная линия школьного курса математики является одной из ведущих, определяющих стиль изучения многих тем и разделов курса алгебры. С помощью функций описываются многие реальные процессы. Изучение функций позволяет раскрыть внутренние связи между понятием функции и другими понятиями школьного курса математики, осуществить межпредметные связи.

В школе обучающиеся овладевают понятиями функции, ее графика и способов задания; изучают элементарные функции, знакомятся с такими свойствами функций, как область определения, область значения, монотонность, четность и нечетность и другие; учатся применять знания о функциях к изучению разнообразных процессов и явлений.

Изучение квадратичной функции расширяет представление учащихся о функции, ее свойствах и графике. Изучение свойств функций имеет огромное развивающее значение для учащихся: они учатся вырабатывать алгоритм действий при решении задач, на основе исследований делать выводы, строить зависимости между величинами. Исследование свойств функции применяется для решения широкого спектра задач.

Квадратичная функция изучается в разделе курса алгебры 8 класса.

Система целей обучения:

Раздел 4. Математическое моделирование и анализ

1. Начала математи-ческого анализа

8.4.1.2 - знать свойства и строить графики квадратичных функций вида y=a(x-m) 2 , y=ax 2 +n, y=a(x-m) 2 +n, a≠0;

8.4.1.3 - знать свойства и строить графикквадратичной функции вида

8.4.1.4 - находить значения функции по заданным значениям аргумента и находить значение аргумента по заданным значениям функции;

2. Решение задач с помощью математического моделирования

8.4.2.3 - использовать квадратичную функцию для решения прикладных задач;

3. Математический языки матема-тическая модел

8.4.3.1 - составлять математическую модель по условию задачи;

Изучение квадратичной функции и ее свойств начинается с изучения функций вида

y=a(x-m) 2 , y=ax 2 +n, y=a(x-m) 2 +n, a≠0. Для отработки построения графиков названных функций удобно пользоваться заданиями, в которых описываются простейшие преобразования графиков функций, здесь можно использовать шаблон функции y=x .

Построение графиков квадратичных функций вида y=a(x-m) 2 , y=ax 2 +n, y=a(x-m) 2 +n, a≠0.

В предложенных карточках работа в парах в группе из 4 человек методика взаимообмен заданиями.

I 1) Как можно получить график функции

у=(х-3) 2 -4 из графика функции у=х 2 ?

2) Как можно получить график функции

у=-х 2 +3 из графика функции у=х 2 ?

II 1) Как можно получить график функции

у=(х+2) 2 -3 из графика функции у=х 2 ?

2) Как можно получить график функции

у=-х 2 -6 из графика функции у=х 2 ?

Дана парабола у=х 2 .

Напишите уравнение каждой из парабол, полученных при следующих сдвигах данной параболы:

I 1) на 5 единиц вверх вдоль оси Оу;

2) на 4 единицы влево вдоль оси Ох;

3) на 3 единицы вправо вдоль оси Ох и на 4 единицы вверх вдоль оси Оу;

4) на 6 единиц вниз вдоль оси Оу и на 2 единицы влево вдоль оси Ох.

II 1) на 7 единиц вверх вдоль оси Оу;

2) на 2 единицы влево вдоль оси Ох;

3) на 4 единицы влево вдоль оси Ох и на 5 единиц ввниз вдоль оси Оу;

4) на 7 единиц вверх вдоль оси Оу и на 3 единицы вправо вдоль оси Ох.

На одной координатной плоскости постройте графики функций:

I 1) у=х 2 -1 и у=х 2 +2;

2) у=(х-3) 2 и у=(х+2) 2 .

II 1) у=х 2 -2 и у=х 2 +1;

2) у=(х-2) 2 и у=(х+3) 2

Найдите точки пересечения графика с осями координат:

I 1) у=2х 2 -8; 2) у=2(х-3) 2 .

II 1) у=4х 2 -4; 2) у=3(х+6) 2 .

Указание: если график пересекается с осью Ох, то у=0; если же с осью Оу, то х=0.

Тест (для проверки понимания простейших преобразований графиков)

Куда должен перейти график функции у = 2х 2 чтобы построить график функции у=2(х-3) 2 .

а) параллельным переносом вдоль оси у на 3 единицы вверх;

б) параллельным переносом вдоль оси у на 3 единицы вниз;

в) параллельным переносом вдоль оси х на 3 единицы вправо;

г) параллельным переносом вдоль оси х на 3 единицы влево.

Куда должен перейти график функции у = 2х 2 чтобы построить график функции у = 2х 2 + 3

а) параллельным переносом вдоль оси у на 3 единицы вверх;

б) параллельным переносом вдоль оси у на 3 единицы вниз;

в) параллельным переносом вдоль оси х на 3 единицы вправо;

г) параллельным переносом вдоль оси х на 3 единицы влево.

Куда должен перейти график функции у = 2х 2 чтобы построить график функции у = 2х 2 - 5

а) параллельным переносом вдоль оси у на 5 единиц вверх;

б) параллельным переносом вдоль оси у на 5 единиц вниз;

в) параллельным переносом вдоль оси х на 5 единиц вправо;

г) параллельным переносом вдоль оси х на 5 единиц влево.

4. Куда должен перейти график функции у = 2х 2 чтобы построить график функции у = 2(х+4) 2 .

а) параллельным переносом вдоль оси у на 4 единицы вверх;

б) параллельным переносом вдоль оси у на 4 единицы вниз;

в) параллельным переносом вдоль оси х на 4 единицы вправо;

г) параллельным переносом вдоль оси х на 4 единицы влево.

5. Куда должен перейти график функции у = 2х 2 чтобы построить график функции у = 2(х+4) 2 -5

а) параллельным переносом вдоль оси у на 4 единицы вверх и параллельным переносом вдоль оси х на 5 единиц влево

б) параллельным переносом вдоль оси у на 5 единицы вниз и параллельным переносом вдоль оси х на 4 единицы влево.;

в) параллельным переносом вдоль оси х на 4 единицы вправо и параллельным переносом вдоль оси у на 5 единиц вниз;

г) параллельным переносом вдоль оси х на 4 единицы влево и параллельным переносом вдоль оси у на 5 единиц вверх.

После изучения функций вида y=a(x-m) 2 , y=ax 2 +n, y=a(x-m) 2 +n, a≠0 обучающиеся начинают изучать общий вид функции, ее определение, ее свойства. Для изучения свойств можно использовать теоретический материал:

Квадратичная функция.

y=ax 2 +bx+c, графиком является парабола.

График симметричен относительно прямой, проходящей через вершину параболы.

ax 2 +bx+c=0, x_1, x₂ - нули функции (точки пересечения с осью ох)

А(х₀; у₀) – вершина (критическая точка, экстремум)

а > 0 ⇒ ветви направлены вверх

(-∞;х) - убывает, (х; +∞) - возрастает.

а ⇒ ветви направлены вниз,

(-∞;х) - возрастает, (х; +∞) - убывает.

Алгоритм построения графика функции у = ах 2 + b х +с.

Определить направление ветвей параболы.
Найти координаты вершины параболы
Провести ось симметрии.
Определить точки пересечения графика функции с осью О_х, т.е. найти нули
функции.
Составить таблицу значений функции с учетом оси симметрии параболы.

Для проверки теоретического материала

Контрольные вопросы:

Что представляет собой график функции y=ax 2a≠0 ?
Начертите схематически график функции y=ax 2 , если а) a>0, б) a
Сформулируйте определение квадратичной функции .
Что представляет собой график функции y=ax 2+bx+c ?
Как найти координаты вершины параболы? (Учащиеся должны знать формулу а ординату вершины параболы вычислить подстановкой найденного значения абсциссы в заданное уравнение.)
Как построить ось симметрии?
Как определить направление ветвей параболы?

Математический диктант.

Числа а, b , c являются коэффициентами квадратичной функцией у=_________
Кривая являющаяся графиком квадратичной функции является_______________
Если коэффициент а
Прямая, параллельная оси Оу, проведенная через _______________

параболы называется _________________

Координаты вершины находятся по формулам (__________________)
Обведите функции не являющиеся квадратичными: у=х 2 +2х+3; у=4х 2 ; у=2х+3;

Вариант 1

Вариант 2

Вариант 3

Составьте квадратный трёхчлен у = ах 2 + b х +с, у которого коэффициенты a,b,c равны соответственно 1;5; 6.

Составьте квадратный трёхчлен

у = ах 2 + b х +с, у которого коэффициенты a,b,c равны соответственно 1; -4;-6.

Составьте квадратный трёхчлен у = ах 2 + b х +с, у которого коэффициенты a,b,c равны соответственно 3;-12;9.

Укажите координаты вершины параболы y=x 2 -2x-8

Укажите координаты вершины параболы y=x 2 -4x-5

Найдите абсциссу точки,через которую проходит ось симметрии параболы y=x 2 -4x-5

Найдите абсциссу точки,через которую проходит ось симметрии параболы y=2x 2 -4x-6

Изучение функции в школе состоит из основных трех частей:

- изучение понятия функция и способов ее задания;

- исследование функции элементарными средствами;

7.5.1. Определение квадратичной функции и ее свойства

Практически во всех учебниках изучение данной темы начинается с введения определения квадратичной функции.

Определение. Квадратичной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида , где - независимая переменная, некоторые числа, причём .

Изучение квадратичной функции происходит в следующей последовательности:

1) , где (график - парабола);

Предлагается рассмотреть следующие функции: , которые обладают теми же свойствами, что и функция , а их графики строятся с использованием некоторых преобразований.

3) . Учащиеся усваивают, что график данной функции может быть получен из графика функции с помощью симметрии относительно оси х.

4) . Решая квадратное уравнение , учащиеся находятся его корни.

5) , . Учащиеся усваивают, что - вершина параболы.

6) , если . Вводится понятие квадратичной функции.

Свойства квадратичной функции, если a >0

1) , так как значение квадратного трехчлена однозначно определено для любого действительного числа.

2) Убывает на луче ( ], возрастает на луче [ )

у(х₁) – у(х₂) =…=а(х₁ – х₂) ((х₁ – х₀) + (х₂ – х₀)). Имеем а > 0, х₁ > х₂ х_0. Тогда все три сомножителя в полученном выражении положительны. Это означает, что у(х₁) – у(х₂) > 0 , при а> 0 квадратичная функция является возрастающей на промежутке .

3) Точки пересечения с осями координат.

Если х = 0, то получим точку с координатами (0;с).

Если Д = 0, то - (х₀; 0).

4) Ограничена снизу, не ограничена сверху.

5) не существует.

6) Функция непрерывна (дается поясняющее описание);

Доказательство. Преобразуем квадратный трехчлен, выделив полный квадрат.

у = ах 2 + вх + с = а(х 2 + в/а х + с/а) = а ((х + в/2а) 2 - ) = а(х –х₀) 2 + у₀, где использованы обозначения, , . Выражение (х –х₀) 2 может принимать любое неотрицательное значение в зависимости от х. Поэтому областью значений выражения а(х –х₀) 2 + у₀ при всех действительных х является [ ).

8) Выпуклая вниз (первичное знакомство).

Далее изложение материала осуществляется следующим образом:

- рассматриваются свойства и график функции у = ах 2 ;

- доказывается теорема о том, что график любой функции вида у = ах 2 + вх +с может быть получен путем сдвигов вдоль координатных осей параболы у = ах 2 ;

- по коэффициентам квадратного трехчлена у = ах 2 + вх + с школьники учатся представлять общий вид соответствующей параболы и вычислять ее вершину.

В системе упражнений значительное место отводится задачам прикладного характера.

Завершается тема рассмотрением вопроса о решении квадратных неравенств. Прием, к которому при этом обращаются, основан на использовании графиков.

Планирование темы

-создание первоначальных представлений о графике квадратичной функции, знакомство с параболой как геометрической фигурой;

-повторение некоторых общих сведений о функциях, известных учащимся из курса 8 класса.

При работе с теоретической частью и при выполнении заданий учащиеся должны проводить наблюдение, выдвигать гипотезы, рассуждать, доказывать, переходить от одной системы терминов к другой.

Теоретический текст пункта разбит на 4 фрагмента.

1. Приводится определение квадратичной функции, которое иллюстрируется примерами зависимостей из геометрии и физики.

2. Цель второго фрагмента – создание общих представлений о графике квадратичной функции. На рис. 2.2. учебника в одной системе координат построены графики функций вида у = ах 2 + вх + с. Необходимо обсудить с учащимися, что общего у этих графиков и чем они различаются.

3. Рассматривается построение графика функции у = х 2 – 2х -3, вводится понятие области значений функции. Все рассуждения проводятся сначала с использованием геометрической терминологии и с опорой на график, а затем те же самые факты формулируются на алгебраическом языке. Формирование таких понятий, как наименьшее (наибольшее) значение функции, неограниченность сверху (снизу), происходит с опорой на наглядное представление.

4. Рассматривается график квадратичной функции, описывающей реальный процесс. Теоретическая часть пункта завершается рассказом об особенностях параболических зеркал. Дана авторская характеристика (назначение, дидактическая цель выполнения…) некоторых упражнений.

№181 – 184 – восстановить навыки использования функциональной символики, приемов нахождения значений у по заданному значению х (и наоборот) с использованием формулы и графика.

№188 - 191 направлены на овладение учащимися одним из алгоритмов построения квадратичной функции (имея пару симметричных точек параболы, можно построить ее ось симметрии и найти координаты вершины).

№192 – задача исследования (из всех прямоугольников с данным периметром наибольшую площадь имеет квадрат).

Задания к лекции

Указание. Система может включать в себя:

1.Задачи на доказательство того, что функция, заданная формулой, не имеющей вида

у = кх + в, а) является линейной, б) не является линейной.

2. Задачи на распознавание линейной функции в ее частных видах при различных значениях к и в.

3. Задачи на усвоение того факта, что областью определения линейной функции может быть как множество всех чисел, так и любое (непустое) его подмножество.

4. Задачи на распознавание линейной функции в функциях, заданных различными способами (не с помощью формул).

II. Подберите задачи практического содержания, для решения которых использовалась бы формула у = кх + в. Разработайте методику решения таких задач и раскрытия в них конкретного смысла коэффициентов к и в.

III. Подберите задачи на усвоение геометрического смысла коэффициентов к и в.

IV. Составьте беседу для учащихся 9 класса по обоснованию доказательства того факта, что графиком линейной функции является прямая или некоторое подмножество прямой, опираясь на знания учащимися курса геометрии.

Учебное издание

Нина Михайловна Епифанова

Ольга Павловна Шарова

Методика обучения алгебре основной школы

(Материалы к лекционным занятиям)

Редактор М.А. Кротова

Подписано в печать26.02.2006. Форма 60 х92/16.

Объём 4 п. л. Тираж 100 экз. Заказ №______.

Издательство Ярославского государственного

имени К.Д. Ушинского (ЯГПУ)

150000, Ярославль. Республиканская ул., 108

150000, Ярославль, Которосльная наб., 44

[1] Это, например, алгоритмы выполнения операций над многозначными и целыми числами, обыкновенными и десятичными дробями, проценты.

[4] Множество натуральных чисел строилось дедуктивным путем, на основе аксиом.

[6] См. в главе 40 библейской книги пророка Иезекииля: мерная трость разделяется на шесть локтей.

[10] К элементарным функциям принадлежат целые функции, рациональные, степенные, показательные, логарифмические, тригонометрические и обратные тригонометрические функции, а также их комбинации.

[12] В учебнике А.Г. Мордковича на этот способ задания функции обращается особое внимание, а в учебнике С.А. Теляковского задания данного вида встречаются только в задачном материале.

© 2014-2022 — Студопедия.Нет — Информационный студенческий ресурс. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав (0.015)

Читайте также: