Применение производной к исследованию функции и построению графиков кратко

Обновлено: 05.07.2024

Асимптота графика функции y = f(x) – прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки (х, f(x)) до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат.

Возрастание функции. Функция y=f(x) возрастает на интервале X, если для любых х₁и х₂, из этого промежутка выполняется неравенство . Другими словами – большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Выпуклость вверх. Функция выпукла вверх, если, соединив любые две точки ее графика отрезком прямой, обнаруживают, что соответствующая часть графика лежит выше проведенного отрезка.

Выпуклость вниз. Функция выпукла вниз, если, соединив любые две точки ее графика отрезком прямой, обнаруживают, что соответствующая часть графика лежит ниже проведенного отрезка.

Максимум функции. Значение функции в точке максимума называют максимумом функции.

Минимум функции. Значение функции в точке минимума называют минимумом функции.

Производная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, которое характеризует скорость изменения функции (в конкретной точке).

Производная второго порядка (вторая производная). Производная второго порядка есть первая производная от производной первого порядка.

Производную определяют, как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к 0, если такой предел существует.

Точка минимума функции. Точку х₀ называют точкой минимума функции y = f(x), если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство .

Точка перегиба. Точки, в которых выпуклость вверх меняется на выпуклость вниз или наоборот, называются точками перегиба.

Точки экстремума функции. Точки минимума и максимума называют точками экстремума.

Убывание функции. Функция y=f(x) убывает на интервале X, если для любых х₁ и х₂ , из этого промежутка выполняется неравенство . Другими словами – большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Дополнительная литература:

Орлова Е. А., Севрюков П. Ф., Сидельников В. И., Смоляков А.Н. Тренировочные тестовые задания по алгебре и началам анализа для учащихся 10-х и 11-х классов: учебное пособие – М.: Илекса; Ставрополь: Сервисшкола, 2011.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Функция выпукла вниз, если, соединив любые две точки ее графика отрезком прямой, обнаруживают, что соответствующая часть графика лежит ниже проведенного отрезка.

Функция выпукла вверх, если, соединив любые две точки ее графика отрезком прямой, обнаруживают, что соответствующая часть графика лежит вышепроведенного отрезка.

Полная схема построения графика функции:

Найти область определения функции D(f).
Исследовать функцию на четность (найти f(-x)).
Найти асимптоты.
Найти стационарные и критические точки.
Найти промежутки монотонности.
Найти интервалы выпуклости вверх и выпуклости вниз.
Найти точки перегиба
Составить таблицу значений функции для некоторых точек.
По полученным данным построить график функции.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Пример 1. Постройте график функции у = х 3 – 3х + 3, используя краткую схему построения. схему построения.

2) Функция не является ни четной, ни нечетной, т. к.

4) f’(x) = 3x 2 – 3, f’(x) = 0 при х = 1, х = -1.

х = 1, х = -1 – стационарные точки.

5) f’(x)>0 при . Так как в точках х = 1, х = -1 функция непрерывна, то эти точки также включаются в промежутки возрастания.

2) Функция не является ни четной, ни нечетной, т. к.

3) х = 1 – вертикальная асимптота

х = 2, х = 0 – стационарные точки.

5) f’(x)>0 при . Так как в точках х = 0, х = 2 функция непрерывна, то эти точки также включаются в промежутки возрастания.

Математика берет свои истоки со времен Античности. Благодаря ней архитектура, строительство и военное дело дали новый виток развития, достижения, которые были получены с помощью математики, привели к движению прогресса. И по сей день математика остается главной наукой, которая встречается во всех остальных отраслях.

Чтобы быть образованными, дети с первого класса начинают постепенно вливаться в эту среду. Очень важно разбираться в математике, так как она, в той или иной степени, встречается каждому человеку на протяжении всей его жизни. В этой статье будет разобран один из ключевых элементов - нахождение и применение производных. Не всякий человек может представить, насколько широко используется это понятие. Рассмотрим более 10 применений производных в определенных областях или науках.

Применение производной к исследованию функции

Производная - это такой предел отношения приращения функции к увеличению ее аргумента, когда показатель аргумента стремится к нулю. Производная - незаменимая вещь при исследовании функции. Например, с помощью нее можно определить возрастание и убывание последней, экстремумы, выпуклости и вогнутости. Дифференциальные исчисления входят в обязательную программу обучения студентов 1 и 2 курса математических вузов.

Область определения и нули функции

Первый этап любого исследования графика начинается с выяснения области определения, в более редких случаях - значения. Область определения задается по оси абсциссы, если говорить другими словами, то это числовые значения на оси OX. Часто область определения уже задана, но если она не задана, то следует оценить значение аргумента х. Допустим, если при каком-то значениях аргумента функция не имеет смысла, то этот аргумент исключается из области определения.

Нули функции находятся простым способом: функцию f(x) следует приравнивнять к нулю и решить полученное уравнение относительно одной переменной x. Полученные корни уравнения являются нулями функции, то есть в этих x функция равна 0.

Возрастание и убывание

Применение производной для исследования функций на монотонность может рассматриваться с двух позиций. Монотонная функция - это категория, которая имеет только положительные значения производной, либо только отрицательные. Простыми словами - функция только возрастает или только убывает на всем исследуемом промежутке:

Параметр возрастания. Функция f(x) будет возрастать, если производная f`(x) больше нуля.
Параметр убывания. Функция f(x) будет убывать, если производная f`(x) меньше нуля.

Касательная и угловой коэффициент

Применение производной к исследованию функции определяется еще и касательной (прямой, направленной под углом) к графику функции в данной точке. Касательная в точке (x₀) - прямая, которая проходит через точку и принадлежит функции, координаты которой (x₀, f(x₀)), и имеющая угловой коэффициент f`(x₀).

y = f(x₀) + f`(x₀)(x - x₀) - уравнение касательной к данной точке графика функции.

Геометрический смысл производной: производная функции f(x) равняется угловому коэффициенту образованной касательной к графику этой функции в данной точке x. Угловой коэффициент, в свою очередь, равняется тангенсу угла наклона касательной к оси ОХ (абсцисс) в положительном направлении. Это следствие является основополагающим к применению производной к графику функции.

Точки экстремума

Применение производной к исследованию включает в себя нахождение точек максимума и минимума.

Для того чтобы найти и определить точки минимума и максимума, необходимо:

Отыскать производную функции f(x).
Приравнять полученное уравнение к нулю.
Найти корни уравнения.
Определить точки максимума и минимума.

Чтобы найти экстремумы функции:

Отыскать точки минимума и максимума по способу выше.
Подставить эти точки в первоначальное уравнение и высчитать y_наиб. и y_наим.

Точка максимума функции - это наибольшее значение функции f(x) на промежутке, другими словами x_наиб.

Точка минимума функции - это наименьшее значение функции f(x) на промежутке, другими словами x_наим.

Точки экстремума - то же самое, что и точки максимума и минимума, а экстремум функции (y_{наиб. и} у_наим) - значения функций, которые соответствуют точкам экстремума.

Выпуклости и вогнутости

Определить выпуклость и вогнутость можно, прибегая к применению производной для построения графиков:

Функция f(x), исследуемая на промежутке (a, b), является вогнутой, если функция расположена ниже всех своих касательных, находящихся внутри этого интервала.
Функция f(x), исследуемая на промежутке (a, b), является выпуклой, если функция расположена выше всех своих касательных, находящихся внутри этого интервала.

Точка, которая разделяет выпуклость и вогнутость, называется точкой перегиба функции.

Чтобы найти точки перегиба:

Найти критические точки второго рода (вторую производную).
Точками перегиба являются те критические точки, которые разделяют два противоположенных знака.
Вычисление значений функций в точках перегиба функции.

Частные производные

Применение производных такого типа есть в задачах, где используется больше одной неизвестной переменной. Чаще всего такие производные встречаются при построении графика функции, если быть точнее, то поверхности в пространстве, где вместо двух осей - три, следовательно, три величины (две переменные и одна постоянная).

Основное правило при вычислении частных производных - выбираем одну переменную, а остальные рассматриваем как постоянные. Следовательно, при вычислении частной производной постоянная величина становится как-будто числовым значением (во многих таблицах производных они обозначаются как C = const). Смысл такой производной - это скорость изменения функции z = f(x, y) по оси OX и OY, то есть характеризует крутизну впадин и выпуклостей построенной поверхности.

Производная в физике

Применение производной в физике имеет широкое распространение и значение. Физический смысл: производная пути по времени - скорость, а ускорение - производная скорости по времени. Из физического смысла можно провести множество ответвлений в различные разделы физики, при этом полностью сохраняя смысл производной.

С помощью применения производной находятся такие величины:

Скорость в кинематике, где вычисляется производная от пройденного пути. Если находится вторая производная от пути или первая производная от скорости, то находится ускорение тела. Помимо этого, возможно нахождение мгновенной скорости материальной точки, однако для этого необходимо знать приращение ∆t и ∆r.
В электродинамике: вычисление мгновенной силы переменного тока, а также ЭДС электромагнитной индукции. Вычисляя производную, можно найти максимальную мощность. Производная от количества электрического заряда - сила тока в проводнике.

Производная в химии и биологии

Химия: производная используется для определения скорости протекания химической реакции. Химический смысл производной: функция p = p(t), в данном случае p - количество вещества, которое вступает в химическую реакцию во времени t. ∆t - приращение времени, ∆p - приращение количества вещества. Предел отношения ∆p к ∆t, при котором ∆t стремится к нулю, называется скоростью протекания химической реакции. Среднее значение химической реакции - отношение ∆p/∆t. При определении скорости необходимо точно знать все необходимые параметры, условия, знать агрегатное состояние вещества и среду протекания. Это довольно большой аспект в химии, который широко применяется в различных отраслях и деятельности человека.

Биология: понятие производной используют при вычислении средней скорости размножения. Биологический смысл: имеем функцию y = x(t). ∆t - приращение по времени. Тогда с помощью некоторых преобразований получаем функцию y`= P(t) = x`(t) - активность жизнедеятельности популяции времени t (средняя скорость размножения). Такое применение производной позволяет вести статистику, отслеживать темпы размножения и так далее.

Производная в географии и экономике

Производная позволяет географам решать такие задачи, как нахождение численности населения, вычислять значения в сейсмографии, рассчитать радиоактивность ядерно-геофизических показателей, вычислить интерполяцию.

В экономике важную часть расчетов занимает дифференциальное исчисление и вычисление производной. В первую очередь это позволяет определить пределы необходимых экономических величин. Например, наибольшую и наименьшую производительность труда, издержки, прибыль. В основном эти величины рассчитываются по графикам функций, где находят экстремумы, определяют монотонность функции на нужном участке.

Заключение

Роль данного дифференциального исчисления задействована, как было отмечено в статье, в различных научных структурах. Применение производных функций - важный элемент в практической части науки и производства. Не зря нас в старшей школе и университете учили строить сложные графики, исследовать и работать над функциями. Как видим, без производных и дифференциальных исчислений невозможно было бы рассчитать жизненно важные показатели и величины. Человечество научилось моделировать различные процессы и исследовать их, решать сложные математические задачи. Действительно, математика - царица всех наук, потому что эта наука лежит в основе всех других естественных и технических дисциплин.

Данный видеоурок будет посвящён применению производной к построению графиков функций. Мы приведём общую схему исследования свойств функции с помощью её производной. Будем строить график функции, используя результаты исследования.

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобретя в каталоге.

Получите невероятные возможности

Конспект урока "Применение производной к построению графиков функций"

Сегодня на уроке мы приведём общую схему исследования свойств функции с помощью её производной. Будем строить график функции, используя результаты исследования.

Прежде чем приступить к рассмотрению новой темы, давайте вспомним, что на предыдущих занятиях мы рассмотрели применение производной к нахождению промежутков возрастания и убывания функций. Выяснили, какие точки называют точками максимума функции и точками минимума функции. Научились находить эти точки и значения функции в них. Сегодня на уроке мы применим эти знания к построению графиков функций.

Давайте начнём с примера. Итак, постройте график функции .

Полученные результаты исследования функции удобно записать в виде следующей таблице.

В первой строке этой таблицы указаны в порядке возрастания критические точки функции и ограниченные ими промежутки. Во второй строке отмечены знаки производной на этих промежутках. В третьей строке записаны выводы о ходе изменения данной функции, в четвёртой строке – о виде критических точек.

При построении графика обычно находят точки пересечения графика с осями координат.

Построим график функции.

Получается, что для построения графика функции сначала исследуют свойства этой функции с помощью её производной.

Давайте приведём схему исследования свойств функции с помощью её производной.

Итак, при исследовании свойств функции надо найти:

1) область определения; производную; стационарные точки;

2) промежутки возрастания и убывания;

3) точки экстремума и значения функции в этих точках.

Результаты исследования удобно записать в виде таблицы, используя которую, строят график функции. Для более точного построения графика обычно находят точки пересечения с осями координат. Также можно найти координаты ещё нескольких точек графика.

Отметим, что для построения графика чётной (нечётной) функции достаточно исследовать свойства и построить её график при , а затем отразить его симметрично относительно оси ординат (начала координат).

Давайте построим график функции .

Полученные результаты исследования запишем в виде таблицы.

Найдём значение функции в точке – крайней точке рассматриваемого интервала. .

Построим график функции.

Так как рассматриваемая функция является нечётной, то её график при строим с помощью симметрии относительно начала координат.

Часто встречаются задачи, в которых требуется исследовать функцию не на всей области определения, а на некотором промежутке.

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Описание презентации по отдельным слайдам:

Цель урока: научиться применять таблицу производных при исследовании функций и построении графиков

Классная работа Одной из основных задач, возникающих при исследовании функции, является нахождение промежутков монотонности функции (промежутков возрастания и убывания). Такой анализ легко сделать с помощью производной.

Функция y=f(x) называется возрастающей в некотором интервале, если в точках этого интервала большему значению аргумента соответствует большее значение функции, и убывающей, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

возрастающая убывающая убывающая убывающая возрастающая возрастающая и убывающая на интервалах возрастающая и убывающая на интервалах возрастающая и убывающая на интервалах

Если дифференцируемая функция y=f(x) возрастает (убывает) в данном интервале, то производная этой функции не отрицательна (не положительна) в этом интервале. Теорема 1.

Если производная функции y=f(x) положительна (отрицательна) на некотором интервале, то функция в этом интервале монотонно возрастает (монотонно убывает). Теорема 2.

Находим область определения функции f(x). Вычисляем производную f’(x) данной функции. Находим точки, в которых f’(x)=0 или не существует. Эти точки называются критическими для функции f(x). Делим область определения функции этими точками на интервалы. Они являются интервалами монотонности. Исследуем знак f’(x) на каждом интервале. Если f’(x)›0, то на этом интервале f(x) возрастает; если f’(x)‹0, то на таком интервале функция f(x) убывает. Правило нахождения интервалов монотонности

Область определения: R. Функция непрерывна. Вычисляем производную : y’=6x²-6x-36. Находим критические точки: y’=0. x²-x-6=0 Д=1-4*(-6)*1=1+24=25 Делим область определения на интервалы: Функция возрастает при xϵ(-∞;-2]υ[3;+∞), функция убывает при xϵ[-2;3]. Пример №1. Найти промежутки монотонности функции y=2x³-3x²-36x+5

Область определения: R. Функция непрерывна. Вычисляем производную : y’=3x²-6x. Находим критические точки: y’=0. x²-2x=0 x(x-2)=0 x1=0 и x2=2 Делим область определения на интервалы: Функция возрастает при xϵ(-∞;0]υ[2;+∞), функция убывает при xϵ[0;2]. Пример №2. Найти промежутки монотонности функции y=x³-3x²

Точку x=x0 называют точкой минимума функции y=f(x), если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой выполняется неравенство f(x)≥f(x0). Точку x=x0 называют точкой максимума функции y=f(x), если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой выполняется неравенство f(x)≤f(x0).

Если функция y=f(x) имеет экстремум в точке x=x0, то в этой точке производная функции или равна нулю, или не существует. Теорема 3.

Если производная f’(x) при переходе через точку x0 меняет знак, то точка x0 является точкой экстремума функции f(x). Если производная меняет знак с + на –, то точка будет являться точкой максимума, если с – на +, то точка будет точкой минимума Теорема 4.

Область определения: R. Функция непрерывна. Вычисляем производную : y’=-6x²-6x+12. Находим критические точки: y’=0. -x²-x+2=0 Д=1-4*(-1)*2=1+8=9 x1=1; x2=-2 Делим область определения на интервалы: x=-2 – точка минимума. Найдём минимум функции ymin=-24. x=1 – точка максимума. Найдём максимум функции: ymax=3. Пример №3. Найти экстремумы функции y=-2x³-3x²+12x-4

Работа на уроке: № 564. Исследовать на экстремум функцию y=x2+2. Решение: Находим область определения функции: D(y)=R. Находим производную: y’=(x2+2)’=2x. Приравниваем её к нулю: 2x=0, откуда x=0 – критическая точка. Делим область определения на интервалы и определяем знаки производной на каждом интервале: x=0 – точка минимума. Найдём минимум функции ymin=2.

№ 565. Исследовать на экстремум функцию y=1/3x3-2x2+3x+1. Решение: Находим область определения функции: D(y)=R. Находим производную: y’=(1/3x3-2x2+3x+1)’=x2-4x+3. Приравниваем её к нулю: x2-4x+3=0, откуда x1=1, x2=3 – критические точки. Делим область определения на интервалы и определяем знаки производной на каждом интервале: x=1 – точка максимума. Найдём максимум функции ymax=7/3. x=3 – точка минимума. Найдём минимум функции: ymin=1.

№ 566. Исследовать на экстремум функцию y=x3+3x2+9x-6. Решение: Находим область определения функции: D(y)=R. Находим производную: y’=(x3+3x2+9x-6)’=3x2+6x+9. Приравниваем её к нулю: 3x2+6x+9=0, откуда D 0:

№ 571. Исследовать на экстремум функцию y=x2-x-6. Решение: Находим область определения функции: D(y)=R. Находим производную: y’=(x2-x-6)’=2x-1. Приравниваем её к нулю: 2x-1=0, откуда x=1/2 – критическая точка. Делим область определения на интервалы и определяем знаки производной на каждом интервале: x=1/2 – точка минимума. Найдём минимум функции: ymin=-6,25.

Учебник Лисичкин В. Т., Соловейчик И. Л.: № 572, 573, 575, 576 – стр. 253; Выучить достаточные и необходимые условия монотонности и существования экстремумов функции. Задание на дом:

подготовка к ЕГЭ/ОГЭ и ВПР
по всем предметам 1-11 классов

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Курс повышения квалификации

Инструменты онлайн-обучения на примере программ Zoom, Skype, Microsoft Teams, Bandicam

Курс добавлен 31.01.2022
Сейчас обучается 24 человека из 17 регионов

ЗП до 91 000 руб.
Гибкий график
Удаленная работа

Дистанционные курсы для педагогов

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 611 492 материала в базе

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Другие материалы

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

30.04.2017 4250
PPTX 735 кбайт
62 скачивания
Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Алексеева Оксана Сергеевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

40%

Подготовка к ЕГЭ/ОГЭ и ВПР
Для учеников 1-11 классов

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Время чтения: 2 минуты

Минтруд предложил упростить направление маткапитала на образование

Время чтения: 1 минута

Рособрнадзор предложил дать возможность детям из ДНР и ЛНР поступать в вузы без сдачи ЕГЭ

Время чтения: 1 минута

Россияне ценят в учителях образованность, любовь и доброжелательность к детям

Время чтения: 2 минуты

Минпросвещения России подготовит учителей для обучения детей из Донбасса

Время чтения: 1 минута

В Госдуме предложили ввести сертификаты на отдых детей от 8 до 17 лет

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Читайте также: