Каковы необходимые условия для возбуждения гармонических колебаний в механической системе кратко

Обновлено: 05.07.2024

Темы кодификатора ЕГЭ : гармонические колебания; амплитуда, период, частота, фаза колебаний; свободные колебания, вынужденные колебания, резонанс.

Колебания - это повторяющиеся во времени изменения состояния системы. Понятие колебаний охватывает очень широкий круг явлений.

Колебания механических систем, или механические колебания - это механическое движение тела или системы тел, которое обладает повторяемостью во времени и происходит в окрестности положения равновесия. Положением равновесия называется такое состояние системы, в котором она может оставаться сколь угодно долго, не испытывая внешних воздействий.

Например, если маятник отклонить и отпустить, то начнутся колебания. Положение равновесия - это положение маятника при отсутствии отклонения. В этом положении маятник, если его не трогать, может пребывать сколь угодно долго. При колебаниях маятник много раз проходит положение равновесия.

Сразу после того, как отклонённый маятник отпустили, он начал двигаться, прошёл положение равновесия, достиг противоположного крайнего положения, на мгновение остановился в нём, двинулся в обратном направлении, снова прошёл положение равновесия и вернулся назад. Совершилось одно полное колебание. Дальше этот процесс будет периодически повторяться.

Амплитуда колебаний тела - это величина его наибольшего отклонения от положения равновесия.

Период колебаний - это время одного полного колебания. Можно сказать, что за период тело проходит путь в четыре амплитуды.

Частота колебаний - это величина, обратная периоду: . Частота измеряется в герцах (Гц) и показывает, сколько полных колебаний совершается за одну секунду.

Гармонические колебания.

Будем считать, что положение колеблющегося тела определяется одной-единственной координатой . Положению равновесия отвечает значение . Основная задача механики в данном случае состоит в нахождении функции , дающей координату тела в любой момент времени.

Для математического описания колебаний естественно использовать периодические функции. Таких функций много, но две из них - синус и косинус - являются самыми важными. У них много хороших свойств, и они тесно связаны с широким кругом физических явлений.

Поскольку функции синус и косинус получаются друг из друга сдвигом аргумента на , можно ограничиться только одной из них. Мы для определённости будем использовать косинус.

Гармонические колебания - это колебания, при которых координата зависит от времени по гармоническому закону:

Выясним смысл входящих в эту формулу величин.

Положительная величина является наибольшим по модулю значением координаты (так как максимальное значение модуля косинуса равно единице), т. е. наибольшим отклонением от положения равновесия. Поэтому - амплитуда колебаний.

Аргумент косинуса называется фазой колебаний. Величина , равная значению фазы при , называется начальной фазой. Начальная фаза отвечает начальной координате тела: .

Величина называется циклической частотой. Найдём её связь с периодом колебаний и частотой . Одному полному колебанию отвечает приращение фазы, равное радиан: , откуда

Измеряется циклическая частота в рад/с (радиан в секунду).

В соответствии с выражениями (2) и (3) получаем ещё две формы записи гармонического закона (1) :

График функции (1) , выражающей зависимость координаты от времени при гармонических колебаниях, приведён на рис. 1 .

Рис. 1. График гармонических колебаний

Гармонический закон вида (1) носит самый общий характер. Он отвечает, например, ситуации, когда с маятником совершили одновременно два начальных действия: отклонили на величину и придали ему некоторую начальную скорость. Имеются два важных частных случая, когда одно из этих действий не совершалось.

Пусть маятник отклонили, но начальной скорости не сообщали (отпустили без начальной скорости). Ясно, что в этом случае , поэтому можно положить . Мы получаем закон косинуса:

График гармонических колебаний в этом случае представлен на рис. 2 .

Рис. 2. Закон косинуса

Допустим теперь, что маятник не отклоняли, но ударом сообщили ему начальную скорость из положения равновесия. В этом случае , так что можно положить . Получаем закон синуса:

График колебаний представлен на рис. 3 .

Рис. 3. Закон синуса

Уравнение гармонических колебаний.

Вернёмся к общему гармоническому закону (1) . Дифференцируем это равенство:

Теперь дифференцируем полученное равенство (4) :

Давайте сопоставим выражение (1) для координаты и выражение (5) для проекции ускорения. Мы видим, что проекция ускорения отличается от координаты лишь множителем :

Это соотношение называется уравнением гармонических колебаний. Его можно переписать и в таком виде:

C математической точки зрения уравнение (7) является дифференциальным уравнением. Решениями дифференциальных уравнений служат функции (а не числа, как в обычной алгебре).
Так вот, можно доказать, что:

-решением уравнения (7) является всякая функция вида (1) с произвольными ;

-никакая другая функция решением данного уравнения не является.

Иными словами, соотношения (6) , (7) описывают гармонические колебания с циклической частотой и только их. Две константы определяются из начальных условий - по начальным значениям координаты и скорости.

Пружинный маятник.

Пружинный маятник - это закреплённый на пружине груз, способный совершать колебания в горизонтальном или вертикальном направлении.

Найдём период малых горизонтальных колебаний пружинного маятника (рис. 4 ). Колебания будут малыми, если величина деформации пружины много меньше её размеров. При малых деформациях мы можем пользоваться законом Гука. Это приведёт к тому, что колебания окажутся гармоническими.

Трением пренебрегаем. Груз имеет массу , жёсткость пружины равна .

Координате отвечает положение равновесия, в котором пружина не деформирована. Следовательно, величина деформации пружины равна модулю координаты груза.

Рис. 4. Пружинный маятник

В горизонтальном направлении на груз действует только сила упругости со стороны пружины. Второй закон Ньютона для груза в проекции на ось имеет вид:

Если 0' alt='x>0' /> (груз смещён вправо, как на рисунке), то сила упругости направлена в противоположную сторону, и . Наоборот, если , то 0' alt='F_>0' /> . Знаки и всё время противоположны, поэтому закон Гука можно записать так:

Тогда соотношение (8) принимает вид:

Мы получили уравнение гармонических колебаний вида (6) , в котором

Циклическая частота колебаний пружинного маятника, таким образом, равна:

Отсюда и из соотношения находим период горизонтальных колебаний пружинного маятника:

Если подвесить груз на пружине, то получится пружинный маятник, совершающий колебания в вертикальном направлении. Можно показать, что и в этом случае для периода колебаний справедлива формула (10) .

Математический маятник.

Математический маятник - это небольшое тело, подвешенное на невесомой нерастяжимой нити (рис. 5 ). Математический маятник может совершать колебания в вертикальной плоскости в поле силы тяжести.

Рис. 5. Математический маятник

Найдём период малых колебаний математического маятника. Длина нити равна . Сопротивлением воздуха пренебрегаем.

Запишем для маятника второй закон Ньютона:

и спроектируем его на ось :

Если маятник занимает положение как на рисунке (т. е. 0' alt='x>0' /> ), то:

Если же маятник находится по другую сторону от положения равновесия (т. е. ), то:

Итак, при любом положении маятника имеем:

Когда маятник покоится в положении равновесия, выполнено равенство . При малых колебаниях, когда отклонения маятника от положения равновесия малы (по сравнению с длиной нити), выполнено приближённое равенство . Воспользуемся им в формуле (11) :

Это - уравнение гармонических колебаний вида (6) , в котором

Следовательно, циклическая частота колебаний математического маятника равна:

Отсюда период колебаний математического маятника:

Обратите внимание, что в формулу (13) не входит масса груза. В отличие от пружинного маятника, период колебаний математического маятника не зависит от его массы.

Свободные и вынужденные колебания.

Говорят, что система совершает свободные колебания, если она однократно выведена из положения равновесия и в дальнейшем предоставлена сама себе. Никаких периодических внешних
воздействий система при этом не испытывает, и никаких внутренних источников энергии, поддерживающих колебания, в системе нет.

Рассмотренные выше колебания пружинного и математического маятников являются примерами свободных колебаний.

Частота, с которой совершаются свободные колебания, называется собственной частотой колебательной системы. Так, формулы (9) и (12) дают собственные (циклические) частоты колебаний пружинного и математического маятников.

В идеализированной ситуации при отсутствии трения свободные колебания являются незатухающими, т. е. имеют постоянную амплитуду и длятся неограниченно долго. В реальных колебательных системах всегда присутствует трение, поэтому свободные колебания постепенно затухают (рис. 6 ).

Рис. 6. Затухающие колебания

Вынужденные колебания - это колебания, совершаемые системой под воздействием внешней силы , периодически изменяющейся во времени (так называемой вынуждающей силы).

Предположим, что собственная частота колебаний системы равна , а вынуждающая сила зависит от времени по гармоническому закону:

В течение некоторого времени происходит установление вынужденных колебаний: система совершает сложное движение, которое является наложением выужденных и свободных колебаний. Свободные колебания постепенно затухают, и в установившемся режиме система совершает вынужденные колебания, которые также оказываются гармоническими. Частота установившихся вынужденных колебаний совпадает с частотой
вынуждающей силы (внешняя сила как бы навязывает системе свою частоту).

Амплитуда установившихся вынужденных колебаний зависит от частоты вынуждающей силы. График этой зависимости показан на рис. 7 .

Рис. 7. Резонанс

Мы видим, что вблизи частоты наступает резонанс - явление возрастания амплитуды вынужденных колебаний. Резонансная частота приближённо равна собственной частоте колебаний системы: , и это равенство выполняется тем точнее, чем меньше трение в системе. При отсутствии трения резонансная частота совпадает с собственной частотой колебаний, , а амплитуда колебаний возрастает до бесконечности при .

Техника и окружающий мир являются примерами того, что существуют такие процессы, которые повторяются через определенные промежутки времени, то есть периодически. Их называют колебательными.

Колебательные движения. Формулы

Такие движения относят к явлениям с разной физической природой с подчинением общим закономерностям. Запись колебания тока в электрической цепи и математического маятника производится одним и тем же уравнением. Различная природа колебательных движений позволяет рассматривать их с единой точки зрения, исходя из общности закономерностей.

Механические колебания – это периодические или непериодические изменения физической величины, описывающей механическое движение (скорость, перемещение и так далее).

Когда в заданной среде атомы располагаются очень близко или молекулы испытывают силовое воздействие, наблюдается возбуждение механических колебаний. Это говорит о том, что процесс будет иметь конечную скорость, зависящую от свойств среды, которая распространяется от точки к точке. Так возникают механические волны. Явный пример – звуковые волны в воздухе.

Волновые процессы и колебания разной природы имеют много общего, а их распространение может быть описано аналогичными математическими уравнениями. Это подтверждает единство материального мира.

Гармонические колебания. Определение

В механике предусмотрено движение поступательно, вращательно и с наличием колебаний.

Механические колебания – это движения тел, которые повторяются точно или приблизительно за определенные одинаковые временные промежутки.

Функция x = f ( t ) объясняет закон движения тела с наличием колебаний. При графическом изображении дается представление о протекании колебательного процесса во времени. Рисунок 2 . 1 . 1 наглядно показывает принцип простых колебательных систем груза на пружине или математического маятника.

Рисунок 2 . 1 . 1 . Механические колебательные системы.

Механические колебания подразделяют на свободные и вынужденные.

Действия внутренних сил системы после выведения из равновесия порождают свободные колебания. Примером могут служить колебания груза на пружине или маятника. Если их действие происходит под воздействием внешних сил, тогда их называют вынужденными.

Простейшим видом колебаний являются гармонические колебания, которые описываются уравнением x = x m cos ( ω t + φ 0 ) , где x – смещение тела от положения равновесия, x m – амплитуда колебаний, ω – циклическая или круговая частота, t – время.

Величина, располагаемая под знаком косинуса, получила название фазы гармонического процесса: φ = ω t + φ 0 . Если t = 0 , φ = φ 0 , тогда φ 0 рассматривается в качестве начальной фазы.

Период колебаний Т – это минимальный промежуток времени, через который происходят повторения движения тела. Величина, обратная периоду колебаний, называют частотой колебаний f = 1 T .

Частота гармонических колебаний показывает их количество, совершаемое за единицу времени, измеряемая в герцах ( Г ) . Связь с циклической частотой ω и периодом T выражается с помощью формулы:

ω = 2 π f = 2 π T .

Рисунок 2 . 1 . 2 показывает гармонические колебания тел с разными положениями тел. Данный эксперимент наблюдается в специальных условиях при наличии периодических вспышек освещения, называемого стробоскопическим. Для изображения векторов скорости тела в разные моменты времени используют стрелки.

Рисунок 2 . 1 . 2 . Стробоскопическое изображение гармонических колебаний. Начальная фаза φ 0 = 0 . Интервал времени между последовательными положениями тела τ = T 12 .

На графике 2 . 1 . 3 . показаны изменения, происходящие во время гармонического процесса, при изменении амплитуды колебаний x m , или периода Т (частоты f ), или начальной фазы φ 0 .

Рисунок 2 . 1 . 3 . Во всех трех случаях для синих кривых φ 0 = 0 : a – красная кривая отличается от синей только большей амплитудой ( x ' m > x m ) ; b – красная кривая отличается от синей только значением периода ( T ' = T 2 ) ; с – красная кривая отличается от синей только значением начальной фазы φ 0 ' = - π 2 р а д .

Гармонический закон

Если колебания совершаются вдоль прямой О х , тогда направление вектора скорости аналогично. Определение скорости движения тела υ = υ x определяют из выражения υ = ∆ x ∆ t ; ∆ t → 0 .

Отношение ∆ x ∆ t при ∆ t → 0 математика трактует как вычисление производной функции x ( t ) за определенное время t . Обозначение принимает вид d x ( t ) d t , x ' ( t ) или x ˙ .

Гармонический закон движения записывается в качестве x = x m cos ( ω t + φ 0 ) . После вычисления производной формула приобретает вид:

υ = x ˙ ( t ) = - ω x m sin ( ω t + φ 0 ) = ω x m cos ω t + φ 0 + π 2 .

Слагаемое + π 2 считают изменением начальной фазы. Достижение максимального значения скорости по модулю υ = ω x m производится при прохождении тела через положение равновесия, то есть x = 0 . Аналогично определяют ускорение a = a x . Тогда a = ∆ υ ∆ t , ∆ t → 0 . Отсюда следует, что a равняется производной функции υ ( t ) за время t или второй производной функции x ( t ) . Подставив выражения, получим

a = υ ˙ ( t ) = x ¨ ( t ) = - ω 2 x m cos ( ω t + φ 0 ) = - ω 2 x ( t ) .

Наличие отрицательного знака указывает на то, что ускорение a ( t ) имеет противоположный смещению x ( t ) знак. Исходя из второго закона Ньютона, сила, которая заставляет совершать колебательные движения, направляется в сторону положения равновесия x = 0 .

На рисунке 2 . 1 . 4 изображены графики, где имеются зависимости скорости, ускорения, совершающие гармонические колебания.

Рисунок 2 . 1 . 4 . Графики координаты x ( t ) , скорости υ ( t ) и ускорения a ( t ) тела, совершающего гармонические колебания.

Колебания – процессы (изменения состояния), обладающие той или иной повторяемостью во времени.

Механические колебания – движения, которые точно или приблизительно повторяются во времени. Колебания называются периодическими, если значения физических величин, изменяющихся в процессе колебаний, повторяются через равные промежутки времени. (В противном случае колебания наз. апериодическими).

Примеры колебаний, изображенные на рисунках: колебания математического маятника, колебания жидкости в U-образной трубке, колебания тела под действием пружин, колебания натянутой струны.

Условия возникновения механических колебаний

Хотя бы одна сила должна зависеть от координат.
При выведении тела из положения устойчивого равновесия возникает равнодействующая, направленная к положению равновесия. С энергетической точки зрения это значит, что возникают условия для постоянного перехода кинетической энергии в потенциальную и обратно.
Силы трения в системе малы.

Для возникновения колебания тело необходимо вывести из положения равновесия, сообщив либо кинетическую энергию (удар, толчок), либо – потенциальную (отклонение тела).

Примеры колебательных систем:

Нить, груз, Земля.
Пружина, груз.
Жидкость в U-образной трубке, Земля.
Струна.

Свободные колебания — это колебания, которые возникают в системе под действием внутренних сил, после того как система была выведена из положения устойчивого равновесия. В реальной жизни все свободные колебания являются затухающими (т.е. их амплитуда, размах, уменьшается с течением времени).

Вынужденные колебания – колебания, которые происходят под действием внешней периодической силы.

Характеристики колебательного процесса.

1. Смещение х - отклонение колеблющейся точки от положения равновесия в данный момент времени (м).

2. Амплитуда х_м - наибольшее смещение от положения равновесия (м). Если колебания незатухающие, то амплитуда постоянна.

3. Период Т — время, за которое совершается одно полное колебание. Выражается в секундах (с).

За время, равное одному периоду (одно полное колебание) тело совершает перемещение, равное 0 и проходит путь, равный 2πr.

4. Частота ν — число полных колебаний за единицу времени. В СИ измеряется в герцах (Гц).

Частота колебаний равна одному герцу, если за 1 секунду совершается 1 полное колебание. 1 Гц= 1 с -1 .

5. Циклической (круговой) частотой ω периодических колебаний наз. число полных колебаний, которые совершаются за 2π единиц времени (секунд). Единица измерения – с -1 .

6. Фаза колебания - φ - физическая величина, определяющая смещение x в данный момент времени. Измеряется в радианах (рад).

Фаза колебания в начальный момент времени (t=0) называется начальной фазой (φ₀).

Современный мир невозможен без гармонических колебаний — любая электромагнитная волна их распространяет. Не было бы телефонов, интернета и других электронных средств. О том, что такое гармонические колебания — в этой статье.

О чем эта статья:

9 класс, 11 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Механические колебания

Механические колебания — это физические процессы, которые точно или приблизительно повторяются через одинаковые интервалы времени.

Колебания делятся на два вида: свободные и вынужденные.

Свободные колебания

Это колебания, которые происходят под действием внутренних сил в колебательной системе.

Они всегда затухающие, потому что весь запас энергии, сообщенный в начале, в конце уходит на совершение работы по преодолению сил трения и сопротивления среды (в этом случае механическая энергия переходит во внутреннюю). Из-за этого свободные колебания почти не имеют практического применения.

Вынужденные колебания

А вот вынужденные колебания восполняют запас энергии внешним воздействием. Если это происходит каждый период, то колебания вообще затухать не будут.

Вынужденные колебания — это колебания, которые происходят под действием внешней периодически меняющейся силы.

Частота, с которой эта сила воздействует, равна частоте, с которой система будет колебаться.

Например, качели. Если вас кто-то будет на них качать, каждый раз давая толчок, когда вы приходите в одну и ту же точку — такое колебание будет считаться вынужденным.

Это колебание все еще будет считаться вынужденным, если вас будут раскачивать из положения равновесия. Просто в данном случае амплитуда (о которой речь пойдет чуть ниже) будет увеличиваться с каждым колебанием.

Автоколебания

Иногда вынужденному колебанию не нужно внешнего воздействия, чтобы случиться. Бывают такие системы, в которых это внешние воздействие возникает само из-за способности регулировать поступление энергии от постоянного источника.

У автоколебательной системы есть три важных составляющих:

сама колебательная система
источник энергии
устройство обратной связи, обеспечивающей связь между источником и системой

Часы с кукушкой — пример автоколебательной системы. Гиря на ниточке (цепочке) стремится вращать зубчатое колесо (храповик). При колебаниях маятника анкер цепляет за зубец, и вращение приостанавливается.

Но в результате маятник получает толчок, компенсирующий потери энергии из-за трения. Потенциальная энергия гири, которая постепенно опускается, расходуется на поддержание незатухающих колебаний.

Характеристики колебаний

Чтобы перейти к гармоническим колебаниям, нам нужно описать величины, которые помогут нам эти колебания охарактеризовать. Любое колебательное движение можно описать величинами: период, частота, амплитуда, фаза колебаний.

Период — это время одного полного колебания. Измеряется в секундах и обозначается буквой T.

Формула периода колебаний

T = t/N

N — количество колебаний [—]

Также есть величина, обратная периоду — частота. Она показывает, сколько колебаний совершает система в единицу времени.

Формула частоты

ν = N/t = 1/T

N — количество колебаний [—]

Амплитуда — это максимальное отклонение от положения равновесия. Измеряется в метрах и обозначается либо буквой A, либо x max .

Она используется в уравнении гармонических колебаний:

Гармонические колебания

Простейший вид колебательного процесса — простые гармонические колебания, которые описывают уравнением:

Уравнение гармонических колебаний

x — координата в момент времени t [м]

t — момент времени [с]

(2πνt) в этом уравнении — это фаза. Ее обозначают греческой буквой φ

Фаза колебаний

t — момент времени [с]

Например, в тех же самых часах с кукушкой маятник совершает колебания. Он качается слева направо и приходит в самую правую точку. В той же фазе он будет находиться, когда придет в ту же точку, идя справа налево. Если мы возьмем точку на сантиметр левее самой правой, то идя в нее не слева направо, а справа налево, мы получим уже другую фазу.

На рисунке ниже показаны положения тела через одинаковые промежутки времени при гармонических колебаниях. Такую картину можно получить при освещении колеблющегося тела короткими периодическими вспышками света (стробоскопическое освещение). Стрелки изображают векторы скорости тела в различные моменты времени.

Если изменить период, начальную фазу или амплитуду колебания, графики тоже изменятся.

На рисунке ниже во всех трех случаях для синих кривых начальная фаза равна нулю, а в последнем (с) — красная кривая имеет меньшую начальную фазу.

В первом случае (а) красная кривая описывает колебание, у которого амплитуда больше колебания, описанного синей линией.

Во втором случае (b) красная кривая отличается от синей только значением периода — у красной период в два раза меньше.

Математический маятник

Математический маятник — отличный пример гармонических колебаний. Если мы подвесим шарик на нити, то это еще не будет математическим маятником — пока он только физический.

Математическим этот маятник станет, если размеры шарика много меньше длины нити (тогда этими размерами можно пренебречь и рассматривать шарик как материальную точку), растяжение нити очень мало, а масса нити во много раз меньше массы шарика.

Математическим маятником называется система, которая состоит из материальной точки массой m и невесомой нерастяжимой нити длиной l, на которой материальная точка подвешена, и которая находится в поле силы тяжести (или других сил).

Период малых колебаний математического маятника в поле силы тяжести Земли определяется по формуле:

Формула периода колебания математического маятника

l — длина нити [м]

g — ускорение свободного падения [м/с 2 ]

На планете Земля g = 9,8 м/с 2

Пружинный маятник

Пружинный маятник — это груз, прикрепленный к пружине, массой которой можно пренебречь.

В пружинном маятнике колебания совершаются под действием силы упругости.
Пока пружина не деформирована, сила упругости на тело не действует.

Формула периода колебания пружинного маятника

m — масса маятника [кг]

k — жесткость пружины [Н/м]

Закон сохранения энергии для гармонических колебаний

Физика — такая клевая наука, в которой ничего не исчезает бесследно и не появляется из ниоткуда. Эту особенность описывает закон сохранения энергии.

Читайте также: