Использование координат и векторов при решении математических и прикладных задач кратко

Обновлено: 04.07.2024

Суть координатного метода решения задач в геометрии

Координатный метод решения задач в геометрии — это способ, при котором для нахождения каких-либо параметров геометрической фигуры, используется координатная плоскость.

Есть и другие варианты наименования представленного способа: координатно-векторный или векторно-координатный.

Основные сведения и формулы для векторов в координатах

Для того, чтобы выполнить задание рассматриваемым способом, нужно не только сделать чертеж координатной плоскости, но и использовать определенные формулы:

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Угол между прямой и плоскостью.
Угол между прямыми.
Расстояние от точки до плоскости.
Угол между плоскостями.
Расстояние между скрещивающимися прямыми.
Расстояние от точки до прямой.

Угол между прямой и плоскостью

Возьмем первую формулу. Сначала приведем уравнение плоскости, проходящей через три точки:

Уравнение прямой на плоскости выглядит так:

Тогда уравнение плоскости в пространстве:

При этом вектор k с координатами (A, B, C) — вектор, перпендикулярный плоскости α. Это называют вектором нормали.

Известно, что три точки в пространстве определяют единственную плоскость. Поэтому если заданы три точки, то мы можем найти уравнение плоскости. Мы можем подставить координаты заданных точек в уравнение плоскости и решить систему из трех уравнений с тремя переменными:

В этой системе четыре неизвестных, однако, мы можем избавить от одной, если разделим все на D:

После решения этой системы мы найдем коэффициенты уравнения плоскости.

Угол между прямыми

Она гласит, что прямая АВ имеет направляющий вектор:

У прямой CD есть направляющий вектор \(\overrightarrow=\.\)

Расстояние от точки до плоскости

Предположим, что даны координаты некоторой точки \(M\left(x_0;y_0;z_0\right)\) и уравнение \(Ax+By+Cz+D=0\) . Тогда расстояние от точки до плоскости находят по формуле:

Угол между плоскостями

Уравнение первой плоскости:

Тогда косинус можно найти по следующей формуле:

Расстояние между скрещивающимися прямыми

Расстояние между скрещивающимися прямыми есть расстояние между плоскостью, проходящей через одну из прямых параллельно второй, и второй прямой. Чтобы найти эту величину, необходимо провести прямую b, параллельную с, чтобы с пересекалась с а. Плоскость α, которая проходит через прямые с и а, будет плоскостью, параллельной прямой b. Далее из точки пересечения прямых а и с на прямую b нужно опустить перпендикуляр HB. Затем необходимо найти длину данного отрезка.

Расстояние от точки до прямой

Расстояние от точки до прямой есть длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую.

Уравнение прямой — это \( Ax+By+C=0\)

Тогда можно найти S от точки до прямой с помощью выражения:

Общая схема решения задач координатным методом

Примерная схема для выполнения заданий векторно-координатным методом выглядит так:

Ввести систему координат удобным образом, исходя из свойств заданной фигуры.
Записать условие задачи в координатах, определив во введенной системе координат координаты точек и векторов.
Используя алгебраические преобразования, решить задачу.
Интерпретировать полученный результат в соответствии с условием данной задачи.

Пример задачи на применение векторного метода

Задача

Введем систему координат с началом в вершине А. Интересующие нас точки будут иметь координаты:

Презентация на тему: " Публичная лекция. Метод координат и метод векторов при решении задач Подготовила учитель математики Краснова Е.В." — Транскрипт:

1 Публичная лекция. Метод координат и метод векторов при решении задач Подготовила учитель математики Краснова Е.В.

2 Рассмотрение эффективных приемов использования популярных методов решения задач (векторного и координатного) Рассмотрение примеров решения задач. Цель:

3 Пьер Ферма Рено Декарт История

4 Координаты точки на прямой. Некоторые определения и вычислительные формулы А(а) 0 1 а А

5 1. Вычисление длины отрезка АВ. Дано: А(х 1 ), В(х 2 ). Найти АВ. Решение: Задачи на прямой в координатах

6 2. Вычисление координаты середины отрезка. Дано: А(х 1 ), В(х 2 ), С – середина отрезка АВ. Найти координату С. Решение: Задачи на прямой в координатах

7 Координаты точки на плоскости Определение координат точки методом проекций на оси.

8 Координаты точки на плоскости Определение координат точки через координаты ее радиус-вектора.

9 Деление отрезка пополам. Дано: А(х 1, у 1 ), В(х 2, у 2 ),С(х, у) – середина отрезка АВ. Найти координаты С. Решение:

10 Дано: А(х 1, у 1 ), В(х 2, у 2 ) Найти АВ. Решение: Расстояние между точками

11 Коллинеарность векторов Первый признак: Второй признак: Некоторые свойства векторов

12 Вычисление координат вектора по координатам его начала и конца. Некоторые свойства векторов

13 Вычисление длины вектора и длины отрезка Некоторые свойства векторов

14 Скалярное произведение векторов в прямоугольной системе координат Некоторые свойства векторов

15 Признак перпендикулярности векторов: два ненулевых вектора перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю. Некоторые свойства векторов

16 Вычисление угла между векторами. Некоторые свойства векторов

17 Вычисление площади параллелограмма, построенного на двух векторах. Некоторые свойства векторов

18 Параметрические уравнения прямой. Уравнения прямой и отрезка

19 Канонические уравнения прямой. Уравнения прямой и отрезка

20 Общее уравнение прямой. Уравнения прямой и отрезка

21 Условие перпендикулярности двух прямых, заданных как графики линейных функций. Уравнения прямой и отрезка

23 Примеры решения задач Задача 1. Дана прямоугольная трапеция с основаниями a и b. Найдите расстояние между серединами ее диагоналей. Решение. 1. Введем систему координат как указано на рисунке 3. Тогда вершины трапеции будут иметь координаты: A(0,0), B(0,y), C(b,y) и D(a,0). (y – высота трапеции, АВ). 2. Найдем координаты середин диагоналей. Для точки О, для точки О 1 :. По формуле найдем расстояние между точками О и О 1 :

24 Примеры решения задач Задача 2. Медиана, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, равна 160 см, а основание треугольника равно 80 см. Найдите две другие медианы этого треугольника. Решение. 1. Введем прямоугольную систему координат так, как показано на рисунке 4. В этой системе вершины треугольника будут иметь координаты: А(-40,0), В(0, 160), С(40,0), а точка М 2 (0,0).. Вычислим длины отрезков АМ 1 и СМ 3, используя формулу (6). Для АМ 1 получим:.

25 Примеры решения задач Задача 3. В прямоугольном равнобедренном треугольнике проведены медианы острых углов. Вычислите косинус угла между ними. Решение. 1. Введем систему координат так, как показано на рисунке 5. В этом случае Вершины треугольника будут иметь координаты: С(0,0), А(а,0), В(0,а), а середины катетов (Здесь а – длина катета.): 2. По формуле (4) вычислим координаты векторов

26 МЕТОД КООРДИНАТ В ПРОСТРАНСТВЕ

27 Координаты вектора по координатам его начала и конца определяются так: если М 1 (x 1,y 1,z 1 ), M 2 (x 2, y 2, z 2 ), то = (x 2 – x 1, y 2 – y 1, z 2 – z 1 ) Основные формулы

28 Скалярное произведение векторов = (а 1, а 2, а 3 ) и = (b 1, b 2, b 3 ) в координатах равно: Основные формулы

29 Длина вектора = (а 1, а 2, а 3 ) вычисляется по формуле Основные формулы

30 Угол между векторами = (а 1, а 2, а 3 ) и = (b 1, b 2, b 3 ) из определения скалярного произведения Основные формулы

31 Угол между векторами = (а 1, а 2, а 3 ) и = (b 1, b 2, b 3 ) из определения скалярного произведения = = Основные формулы

32 Расстояние между двумя различными точками М 1 (x 1,y 1,z 1 ) и M 2 (x 2, y 2, z 2 ) равно = = Основные формулы

33 Уравнение сферы с центром в точке С(x 0,y 0,z 0 ) и радиусом r имеет вид: (x – x 0 ) 2 + (y – y 0 ) 2 + (z – z 0 ) 2 = r 2 Основные формулы

34 Координаты точки М(x,y,z) – середины отрезка М 1 М 2, где М 1 (x 1,y 1,z 1 ) и M 2 (x 2, y 2, z 2 ), М 1 М 2 находятся по формулам: Основные формулы

35 Условие коллинеарности векторов = (а 1, а 2, а 3 ) и = (b 1, b 2, b 3 ) имеет вид Основные формулы

36 Примеры решения задач

38 Выбираем в пространстве систему координат из соображений удобства выражения координат и наглядности изображения. Находим координаты необходимых для нас точек. Решаем задачу, используя основные задачи метода координат. Переходим от аналитических соотношений к геометрическим Алгоритм применения метода координат к решению геометрических задач сводится к следующему:

39 Примеры решения задач Задача 5. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ребра имеют следующую длину: AB=8, AD=6, AA 1 =12. Пусть М – середина отрезка DA 1, а F – центр стороны BC. Рисунок 1.Введите систему координат, с началом в точке А и координатными осями, направленными по лучам AB, AD, и AA 1 - соответственно, и определите координаты всех вершин параллелепипеда и точек M и F. 2.Составьте уравнения прямых FD 1 и BM. 3.Определите угол между этими прямыми. 4.Найдите координаты вектора, перпендикулярного плоскости AD 1 F. 5.Определите угол между этой плоскостью и прямой BM.

40 Примеры решения задач

44 Многие задачи в математике решаются методом координат, суть которого состоит в следующем: Задавая фигуры уравнениями (неравенствами) и выражая в координатах различные геометрические соотношения, мы применяем алгебру к решению геометрических задач; Пользуясь координатами, можно истолковывать алгебраические соотношения геометрически, применяя геометрию к решению алгебраических задач.

1. Введение
• 2. История возникновения понятия вектор.
• 3. Применение векторов в прикладн ых науках.
• 3.1 Векторы в математике
• 3.2.Вектор в географии
• 3.3.Векторы в физике
• 3.4.Векторы в навигации.
• 3.5.Векторы в экономике
• 3.6.Векторы в психологии
• 3.7. Векторы в проффесиях
• 4.Заключение
• 5. Литература:
2
3
6
6
8
9
9
11
11
11
12

4. Гипотеза

5. Задачи:

Исследование 1. Знаете ли вы что-либо о
векторах?
45
40
35
30
знаю очень хорошо
25
имею представление
20
плохо знаю эту тему
15
10
5
0
8 класс
9 класс
10 класс

Исследование 2. Как вы думаете , в каких науках больше всего может
быть использован вектор?
45
40
35
математика
30
физика
25
билогоия
география
20
др науки
15
профессии
10
5
0
8 класс
9 класс
10 класс

8. История возникновения понятия вектор.

Лазар Николя Карно также внес
свой вклад в векторное
исчисление.До него
положительные и отрицательные
отрезки рассматривались лишь в
пределах одной прямой, он же
ввел отрезки, имеющие любое
направление, и фактически
проложил путь к векторному
исчислению. Некоторые
введенные Карно термины и
символы, в частности
обозначение вектора с помощью
черты наверху , сохранились и
поныне.
Лаза́р Николя́ Маргери́ т Карно́
(13 мая 1753, Ноле — 2 августа
1823, Магдебург) —
французский государственный
и военный деятель, инженер и
учёный

• В конце 16- начале 17 в. многие
ученые - физики, в том числе
Леонардо да Винчи, и Галилео
Галилей, пользовались
направленными отрезками для
наглядного представления сил.
Формулируя свои законы
движения планет, Кеплер по
существу рассматривает
направленный отрезок, началом
которого является Солнце, а
конец совпадает с движущейся
точкой.
Леона́рдо ди сер Пье́ро да
Ви́ нчи — итальянский и
учёный, изобретатель,
писатель, музыкант

• Галиле́о Галиле́й—
итальянский физик,
механик, астроном,
философ, математик,
оказавший
значительное влияние
на науку своего
времени. Он первым
использовал телескоп
для наблюдения
небесных тел и сделал
ряд выдающихся
астрономических
открытий.

• Иога́нн Ке́плер—
немецкий математик,
астроном, механик,
оптик,
первооткрыватель
законов движения
планет Солнечной
системы.(использовал
векторное
направление)

• В последней четверти 19 в. происходит
слияние, синтез трех путей
(геометрического, алгебраического и
физического) исторического развития и
трех источников формирования
векторного исчисления. Векторное
исчисление становится независимой
ветвью математикиДжоза́йя Уи́ ллард
Гиббс — американский физик,
физикохимик, математик и механик,
один из создателей векторного анализа,
статистической физики, математической
теории термодинамики, что во многом
предопределило развитие современных
точных наук и естествознания в целом.

17. Применение векторов в прикладных науках.

Векторы в географии
• Оказывается, векторы, как отрезки, показывающие направление
нашли своё отражение и в географии. Так, ветер –
характеризуемый величиной и направлением, рассматривается
как вектор. Распределение ветра исследуется в векторной форме.
Таким образом, ветер (горизонтальное движение воздушных
частиц относительно подстилающей поверхности) – векторная
величина и описывается двумя параметрами – скоростью ( м/с) и
направлением. Вектор – модель ветра. Аналогично, с помощью
векторов показывают направление движения воздушных масс в
циклонах и антициклонах.
• С помощью векторов составляют карты миграции птиц и
животных.
• Используя действия над векторами можно рассчитать пролетные
пути перелетных птиц.

19. Мы можем увидеть природное явление- молния, которая как-никак, вектор

20. Векторы в физике

21. Электрический ток- также является вектором

22. Векторы в навигации.

• Часто для навигации в 3D программисты берут единичные
вектора и, путём умножения их на матрицу вида камеры,
получают вектора для навигации. Для навигации в
трёхмерном пространстве, обычно так же необходимо иметь
всего три вектора – один вбок (для стрейфа), один к камере
либо от неё (что бы ходить вперёд/назад) и один вверх, либо
вниз (для прыжков, например).
• В практике судовождения довольно часто встречаются
случаи, когда одновременно с учетом дрейфа судна от ветра
приходится учитывать и снос течением.
• Чтобы не ошибаться в последовательности действия при
совместном учете течения и дрейфа, необходимо помнить, что
в скоростном треугольнике одна из сторон всегда
представляет собой вектор относительной скорости судна. В
данном случае этот вектор направлен по линии пути при
дрейфе.

23. Векторы в экономике

• Векторы можно рассматривать в
качестве элементов любой
природы, в том числе и
экономической. Предположим,
что некоторая текстильная
фабрика должна выпустить в
одну смену 30 комплектов
постельного белья, 150
полотенец, 100 домашних
халатов, тогда производственную
программу данной фабрики
можно представить в виде
вектора, где всё, что должна
выпустить фабрика – это
трехмерный вектор.

24. Векторы в психологии

Все больше обретает
популярность такое
необычное направление, как
системно-векторная
психология, в ней существует
8 вектор:
-звуковой
-зрительный
-кожный и т.д.
Все эти понятия
характеризуют человека, его
характер

Векторы в профессиях
• Мы выяснили, что векторы используются во многих науках для
моделирования самых различных процессов и явлений. Значит, это понятие
потребуется во всех технических профессиях, профессиях, связанных с
компьютерном деле, в медицине, химии и т.д. Векторы нужны для освоения
профессии строителя и архитектора, так как особое место вектору отводится в
сопромате, ведь нагрузка на разные элементы конструкций является
разложением вектора по базису векторов силы тяжести и других приложенных
к конструкции сил. В самолетостроении, судостроении, автомобилестроении
при конструировании транспорта также применяются векторы и их свойства.
• В науке судовождение используются векторы и их свойства для определения
кажущегося ветра во время движения судна. В штилевую погоду на судне,
имеющего ход, всегда ощущается встречный ветер, равный скорости судна. Он
имеет название курсовой ветер и имеет направление, противоположное
движению судна. Таким образом, на движущемся судне наблюдается
кажущийся ветер, вектор которого равен геометрической сумме истинного и
курсового ветров. Для определения направления ветра используется способ
построения векторного треугольника.
• Векторы понадобятся и портному для правильного составления выкроек
одежды

27. Заключение

28. Литература:

• 1. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк
Э.Г., Юдина И.И. Геометрия. 7 – 9 классы: учебник
для общеобразовательных учреждений.
• 2. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б.,
Киселева Л.С., Позняк Э.Г. Геометрия. Учебник для
10-11 классов средней школы.
• 3. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика.
Том первый: элементы линейной алгебры и
аналитической геометрии.
• 4. Википедия

- применять правила действия над векторами при решении математических и прикладных задач.

Сведения из теории:

Рассмотрим задачи трёх типов, которые целесообразно решать с помощью векторов.

Первый тип : задачи, связанные с доказательством параллельности прямых и отрезков, прямых и плоскости

Пример 1. Доказать что вектор, концами которого являются середины двух противолежащих сторон четырехугольника, равен половине векторной суммы двух других противолежащих сторон.

Решение: пусть ABCD – четырехугольник, M – середина AB, N– середина CD. Тогда необходимо доказать, что .

Пусть О – произвольная точка плоскости, соединим ее с вершинами и серединами двух сторон четырехугольника, выполним рисунок.

По правилу деления отрезка в заданном отношении, имеем:

По правилу треугольника, имеем:

Задача для самостоятельного решения:

№1. Доказать, что средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

№2. На диагоналях АВ₁ и ВС₁ граней AA₁B₁B и ВВ₁С₁С параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ взяты точки соответственно Н и M так, что отрезки M Н и A₁C параллельны. Найдите отношение длин этих отрезков.

Контрольные вопросы:

1. Приведите примеры задач, которые целесообразно решать с помощью векторов.

АЛГЕБРА Раздел 6. Основы тригонометрии

Практическое занятие

Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение и произведения в сумму. Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного аргумента.

Цель работы:

обучающийся должен:

- формулы двойного угла тригонометрических функций;

- формулы половинного аргумента тригонометрических функций;

- выполнять преобразования тригонометрических выражений, используя формулы двойного угла.

Сведения из теории:

Формулы двойного угла тригонометрических функций:

Подставляя в формулы cos2t=1-2sin 2 t и cos2t=2cos 2 t-1 значение , получаем формулы половинного аргумента:

Разделив на получаем формулу

Пример 1. Выразите функции данного угла через функции вдвое меньшего угла, sin42 0 .

Решение: используя формулу , имеем

sin42 0 =sin(2∙21 0 )=2sin21 0 cos21 0 .

Пример 2. Вычислите 2sin15 0 cos15 0 .

Решение: используя формулу , имеем

2sin15 0 cos15 0 =sin(2∙15 0 )=sin30 0 =0,5.

Пример 3. Вычислите sin(π/12).

Решение: по формуле , имеем

Задания для самостоятельного решения:

1 вариант 1) Выразите функции данного угла через функции вдвое меньшего угла: sin54 0 . 2) Вычислите: .	2 вариант 1) Выразите функции данного угла через функции вдвое меньшего угла: tg . 2) Вычислите: .	3 вариант 1) Выразите функции данного угла через функции вдвое меньшего угла: cos16 0 . 2) Вычислите: .
4 вариант 1) Выразите функции данного угла через функции вдвое меньшего угла: ctg . 2) Вычислите cosα, если и .	5 вариант 1) Выразите функции данного угла через функции вдвое меньшего угла: sin . 2) Вычислите , если и .	6 вариант 1) Выразите функции данного угла через функции вдвое меньшего угла: tg68 0 . 2) Вычислите , если и .
7 вариант 1) Выразите функции данного угла через функции вдвое меньшего угла: cos . 2) Вычислите , если и .	8 вариант 1) Выразите функции данного угла через функции вдвое меньшего угла: ctg 102 0 . 2) Вычислите , если и .	9 вариант 1) Выразите функции данного угла через функции вдвое меньшего угла: tg 162 0 . 2) Вычислите , если и .

Контрольные вопросы:

1. Запишите формулы двойного угла тригонометрических функций.

2. Запишите формулы половинного аргумента тригонометрических функций.

Практическое занятие

Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение и произведения в сумму. Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного аргумента

Цель работы:

обучающийся должен:

- формулыпреобразования суммы тригонометрических функций в произведение;

- формулыпреобразования произведения тригонометрических функций в сумму;

- выполнять преобразования тригонометрических выражений, используя тригонометрические тождества.

Сведения из теории:

Формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение:

Для преобразования произведения тригонометрических функций в сумму применяются формулы:

Пример 1. Преобразуйте в алгебраическую сумму sin5xsin3x.

Решение: по формуле имеем

Пример 2. Вычислите: sin40 0 +sin20 0 .

Решение: по формуле имеем

Задания для самостоятельного решения:

1 вариант 1) Упростите: . 2) Вычислите: sin75 0 +sin15 0 . 3) Вычислите: sin52 0 30’·cos7 0 30’.	2 вариант 1) Упростите: . 2) Вычислите: sin75 0 +sin105 0 . 3) Вычислите: sin37 0 30’·sin7 0 30’.	3 вариант 1) Упростите: . 2) Вычислите: соs75 0 +соs15 0 . 3) Вычислите: 8 cos7α·cos3α.
4 вариант 1) Упростите: . 2) Вычислите: 3) Вычислите: cos75 0 ·cos105 0 .	5 вариант 1) Упростите: . 2) Вычислите: 3) Вычислите: 2 sin(x+α)·cos(x-α).	6 вариант 1) Упростите: . 2) Вычислите: 3) Вычислите: 12 sin(-9α)·sin4α.
7 вариант 1) Упростите: . 2) Вычислите: tg22 0 30’-tg67 0 30’. 3) Вычислите: 4 sin16α·sin4α.	8 вариант 1) Упростите: . 2) Вычислите: tg13 0 30’+tg76 0 30’. 3) Вычислите: 4 cos(α+β)·cos(α-β).	9 вариант 1) Упростите: . 2) Вычислите: tg30 0 +tg60 0 . 3) Вычислите: 4 cos15 0 sin20 0 sin40 0 .

Контрольные вопросы:

1. Перечислите основные тригонометрические тождества.

2. Перечислите формулы двойного угла тригонометрических функций.

3. Какие есть формулы для преобразования суммы тригонометрических функций?

Читайте также: