Дистрибутивный закон умножения относительно сложения в начальной школе
Обновлено: 02.07.2024
Умножением натуральных чисел называется алгебраическая операция, определённая на мн.N нат.чисел, ставящая в соответствие каждой паре (а,b) число а *b, удовлетворяющее свойствам (аксиомам): 1. (∀a є N)a∙1 = a; 2. (∀ а,b є N) а∙b' = а∙b + а. Число a∙b называется произведением чисел а и b, а сами числа аиb– множителями. Теорема 1. Умножение натуральных чисел существует, и оно единственно. Пользуясь определение операции умножения, составим таблицу умножения однозначных нат.чисел. а)1×1=1; 2×1=2; 3×1=3; 4×1=4 и т.д. (на основании св-ва 1); б)1×2=1×1’=1×1+1= 1+1=2; 2×2=2×1’= 2×1+1= 2+1=3; 3×2=3×1’= 3×1+1= 3+1=4 и т.д.(на основании св-ва 2).Теорема 2. (∀a,b,с є N)(а+b)∙с = а∙с + b∙c. Доказательство. Пусть натуральные числа а и b выбраны произвольно, а с принимает различные натуральные значения. Обозначим через М множество всех тех и только тех натуральных чисел с, для которых верно равенство (а + b)с = а∙с + b∙c. Покажем, что для с=1 верно равенство (а + b)∙1 = а∙1 + b∙1 Действительно, (a + b)∙1 =a+b=a∙1 + b∙1. Пусть дистрибутивный закон выполняется для произвольно выбранного числа с,т.е.равенство (а+b)∙с = а∙с + b∙c истинно. На основании предположения докажем справедливость равенства: (а + b)∙с' = а∙с' + b∙c' для числа с'. Рассмотрим левую часть равенства и покажем, что она равна правой: (а + b)∙с' = (а + b)∙c + (а + b)=(а∙с+b∙с)+ (а+b)= (а∙с+а)+(b∙с+b)= а∙с’+b∙c’. Данное равенство (а + b)∙с = а∙с + b∙c истинно для любого нат.числа с, а так как числа а и b выбирались произвольно, то это равенство справедливо и для любых а и b. Анологично доказывается левый дистрибутивный закон умножения: (∀а,b,с є N)а ∙(b+с)= а∙b+а∙с. Теорема 3. (∀ а,b,с є N)( а∙b) ∙с= a∙(b ∙с).-ассоциативна. Теорема 4. (∀a,b є N) a∙b = b∙a.- коммуникативна. Операция умножения удовлетворяет двум законам: ab = bа (коммутативный закон умножения), а(bс) = (аb)с (ассоциативный закон умножения). Имеется также закон, связывающий сложение и умножение: а(b + с) = ab + ас (дистрибутивный закон) Переместительный (коммутативный) закон умножения: m · n = n · m . Произведение не меняется от перестановки его сомножителей. Сочетательный (ассоциативный) закон умножения: ( m · n ) · k = m · ( n · k ) = m · n · k . Произведение не зависит от группировки его сомножителей. Распределительный (дистрибутивный) закон умножения относительно сложения: ( m + n ) · k = m · k + n · k . Этот закон фактически расширяет правила действий со скобками
Умножением натуральных чисел называется алгебраическая операция, определённая на мн.N нат.чисел, ставящая в соответствие каждой паре (а,b) число а *b, удовлетворяющее свойствам (аксиомам): 1. (∀a є N)a∙1 = a; 2. (∀ а,b є N) а∙b' = а∙b + а. Число a∙b называется произведением чисел а и b, а сами числа аиb– множителями. Теорема 1. Умножение натуральных чисел существует, и оно единственно. Пользуясь определение операции умножения, составим таблицу умножения однозначных нат.чисел. а)1×1=1; 2×1=2; 3×1=3; 4×1=4 и т.д. (на основании св-ва 1); б)1×2=1×1’=1×1+1= 1+1=2; 2×2=2×1’= 2×1+1= 2+1=3; 3×2=3×1’= 3×1+1= 3+1=4 и т.д.(на основании св-ва 2).Теорема 2. (∀a,b,с є N)(а+b)∙с = а∙с + b∙c. Доказательство. Пусть натуральные числа а и b выбраны произвольно, а с принимает различные натуральные значения. Обозначим через М множество всех тех и только тех натуральных чисел с, для которых верно равенство (а + b)с = а∙с + b∙c. Покажем, что для с=1 верно равенство (а + b)∙1 = а∙1 + b∙1 Действительно, (a + b)∙1 =a+b=a∙1 + b∙1. Пусть дистрибутивный закон выполняется для произвольно выбранного числа с,т.е.равенство (а+b)∙с = а∙с + b∙c истинно. На основании предположения докажем справедливость равенства: (а + b)∙с' = а∙с' + b∙c' для числа с'. Рассмотрим левую часть равенства и покажем, что она равна правой: (а + b)∙с' = (а + b)∙c + (а + b)=(а∙с+b∙с)+ (а+b)= (а∙с+а)+(b∙с+b)= а∙с’+b∙c’. Данное равенство (а + b)∙с = а∙с + b∙c истинно для любого нат.числа с, а так как числа а и b выбирались произвольно, то это равенство справедливо и для любых а и b. Анологично доказывается левый дистрибутивный закон умножения: (∀а,b,с є N)а ∙(b+с)= а∙b+а∙с. Теорема 3. (∀ а,b,с є N)( а∙b) ∙с= a∙(b ∙с).-ассоциативна. Теорема 4. (∀a,b є N) a∙b = b∙a.- коммуникативна. Операция умножения удовлетворяет двум законам: ab = bа (коммутативный закон умножения), а(bс) = (аb)с (ассоциативный закон умножения). Имеется также закон, связывающий сложение и умножение: а(b + с) = ab + ас (дистрибутивный закон) Переместительный (коммутативный) закон умножения: m · n = n · m . Произведение не меняется от перестановки его сомножителей. Сочетательный (ассоциативный) закон умножения: ( m · n ) · k = m · ( n · k ) = m · n · k . Произведение не зависит от группировки его сомножителей. Распределительный (дистрибутивный) закон умножения относительно сложения: ( m + n ) · k = m · k + n · k . Этот закон фактически расширяет правила действий со скобками
В нашей жизни есть законы, которые надо соблюдать. Соблюдение законов гарантирует стабильность и гармоничное развитие. Несоблюдение же законов приводит к печальным последствиям.
У математики есть свои законы, которые тоже следует соблюдать. Несоблюдение законов математики приводит в лучшем случае к тому, что оценка учащегося снижается, а в худшем случае — к тому что падают самолёты, зависают компьютеры, улетают крыши домов от сильного ветра, снижается качество связи и тому подобные нехорошие явления.
Законы математики состоят из простых свойств. Эти свойства нам знакомы со школы. Но не мешает вспомнить их ещё раз, а лучше всего записать или выучить наизусть.
В данном уроке мы рассмотрим лишь малую часть законов математики. Их нам будет достаточно для дальнейшего изучения математики.
Переместительный закон сложения
Переместительный закон сложения говорит о том, что от перестановки мест слагаемых сумма не изменяется. Действительно, прибавьте пятерку к двойке — получите семёрку. И наоборот, прибавьте двойку к пятерке — опять получите семёрку:
Если на одну чашу весов положить пакет, в котором 10 килограмм яблок, и на другую чашу так же положить пакет, в котором 10 килограмм яблок, то весы выровнятся, и не важно что яблоки в пакетах лежат вразброс.
Если мы возьмём пакет с весов и перемешаем яблоки находящиеся в нём, словно шары в лотерейном мешке, пакет всё так же будет весить 10 килограмм. От перестановки мест слагаемых сумма не изменится. Слагаемые в данном случае это яблоки, а сумма это итоговый вес.
Таким образом, между выражениями 5 + 2 и 2 + 5 можно поставить знак равенства. Это будет означать, что их сумма равна:
Полагаем что вы изучили один из предыдущих уроков, который назывался выражения, поэтому мы без тени смущения запишем переместительный закон сложения с помощью переменных:
Записанный переместительный закон сложения будет работать для любых чисел. Например, возьмём любых два числа. Пусть а = 2, b = 3 . Мы присвоили переменным a и b значения 2 и 3 соответственно. Эти значения отправятся в главное выражение a + b = b + a и подставятся куда нужно. Число 2 подставится вместо а , число 3 место b
Сочетательный закон сложения
Сочетательный закон сложения говорит о том, что результат сложения нескольких слагаемых не зависит от порядка действий. Этот закон позволяет группировать слагаемые для удобства их вычислений.
Рассмотрим сумму из трёх слагаемых:
Чтобы вычислить данное выражение, можно сначала сложить числа 2 и 3 и полученный результат сложить с числом 5. Для удобства сумму чисел 2 и 3 можно заключить в скобки, указывая тем самым, что эта сумма будет вычислена в первую очередь:
2 + 3 + 5 = (2 + 3) + 5 = 5 + 5 = 10
Либо можно сложить числа 3 и 5, затем полученный результат сложить с числом 2
2 + 3 + 5 = 2 + (3 + 5) = 2 + 8 = 10
Видно, что в обоих случаях получается один и тот же результат.
Таким образом, между выражениями (2 + 3) + 5 и 2 + (3 + 5) можно поставить знак равенства, поскольку они равны одному и тому же значению:
(2 + 3) + 5 = 2 + (3 + 5)
Запишем сочетательный закон сложения с помощью переменных:
(a + b) + c = a + (b + c)
Переместительный закон умножения
Переместительный закон умножения говорит о том, что если множимое и множитель поменять местами, то произведение не изменится. Давайте проверим так ли это. Умножим пятерку на двойку, а затем наоборот двойку на пятерку.
В обоих случаях получается один и тот же результат, поэтому между выражениями 5 × 2 и 2 × 5 можно поставить знак равенства, поскольку они равны одному и тому же значению:
5 × 2 = 2 × 5
Запишем переместительный закон умножения с помощью переменных:
Для записи законов в качестве переменных необязательно использовать именно буквы a и b . Можно использовать любые другие буквы, например c и d или x и y . Тот же переместительный закон умножения можно записать следующим образом:
Сочетательный закон умножения
Сочетательный закон умножения говорит о том, что если выражение состоит из нескольких сомножителей, то произведение не будет зависеть от порядка действий.
Рассмотрим следующее выражение:
Данное выражение можно вычислять в любом порядке. Сначала можно перемножить числа 2 и 3, и полученный результат умножить на 4:
Либо сначала можно перемножить числа 3 и 4, и полученный результат перемножить с числом 2
Таким образом, между выражениями (2 × 3) × 4 и 2 × (3 × 4) можно поставить знак равенства, поскольку они равны одному и тому же значению:
Запишем сочетательный закон умножения с помощью переменных:
a × b × с = (a × b) × с = a × (b × с)
Пример 2. Найти значение выражения 1 × 2 × 3 × 4
Данное выражение можно вычислять в любом порядке. Вычислим его слева направо в порядке следования действий:
Распределительный закон умножения
Распределительный закон умножения позволяет умножить сумму на число или число на сумму.
Рассмотрим следующее выражение:
Мы знаем, что сначала надо выполнить действие в скобках. Выполняем:
В главном выражении (3 + 5) × 2 выражение в скобках заменим на полученную восьмёрку:
8 × 2 = 16
Получили ответ 16. Этот же пример можно решить с помощью распределительного закона умножения. Для этого каждое слагаемое, которое в скобках, нужно умножить на 2, затем сложить полученные результаты:
Мы рассмотрели распределительный закон умножения слишком развёрнуто и подробно. В школе этот пример записали бы очень коротко. К такой записи тоже надо привыкать. Выглядит она следующим образом:
(3 + 5) × 2 = 3 × 2 + 5 × 2 = 6 + 10 = 16
(3 + 5) × 2 = 6 + 10 = 16
Теперь запишем распределительный закон умножения с помощью переменных:
(a + b) × c = a × c + b × c
Давайте внимательно посмотрим на начало этого распределительного закона умножения. Начало у него выглядит так: (a + b) × c.
Если рассматривать выражение в скобках (a + b), как единое целое, то это будет множимое, а переменная с будет множителем, поскольку соединены они знаком умножения ×
Из переместительного закона умножения мы узнали, что если множимое и множитель поменять местами, то произведение не изменится.
Если множимое (a + b) и множитель c поменять местами, то получим выражение c × (a + b) . Тогда получится, что мы умножаем переменную c на сумму (a + b) . Для выполнения такого умножения, опять же применяется распределительный закон умножения. В данном случае переменную c нужно умножить на каждое слагаемое в скобках:
c × (a + b) = c × a + c × b
Пример 2. Найти значение выражения 5 × (3 + 2)
Умножим число 5 на каждое слагаемое в скобках и полученные результаты сложим:
5 × (3 + 2) = 5 × 3 + 5 × 2 = 15 + 10 = 25
Пример 3. Найти значение выражения 6 × (5 + 2)
Умножим число 6 на каждое слагаемое в скобках и полученные результаты сложим:
6 × (5 + 2) = 6 × 5 + 6 × 2 = 30 + 12 = 42
Если в скобках располагается не сумма, а разность, то сначала нужно умножить множимое на каждое число, которое в скобках. Затем из полученного первого числа вычесть второе число. В принципе, ничего нового.
Пример 4. Найти значение выражения 5 × (6 − 2)
Умножим 5 на каждое число в скобках. Затем из полученного первого числа вычтем второе число:
5 × (6 − 2) = 5 × 6 − 5 × 2 = 30 − 10 = 20
Пример 5. Найти значение выражения 7 × (3 − 2)
Умножим 7 на каждое число в скобках. Затем из полученного первого числа вычтем второе число:
Поговорим о свойствах, или законах умножения.
Переместительный (коммуникативный) закон умножения:
а · b = b · а.
От перемены мест множителей произведение не меняется.
569 · 17 = 17 · 569
Сочетательный (ассоциативный) закон умножения:
а · b · c = а · (b · c).
Произведение не изменится, если какую-нибудь группу рядом стоящих множителей заменить их произведением.
39 · 25 · 4 = 39 · (25 · 4) = 39 · 100 = 3900
Распределительный (дистрибутивный) закон умножения относительно сложения:
(а + b + c) · d = аd + bd + cd.
Произведение суммы нескольких чисел на какое-нибудь число равно сумме произведений каждого слагаемого на это число.
(150 + 75 + 12) · 4 = 150 · 4 + 75 · 4 + 12 · 4 = 600 + 300 + 48 = 948
Как на практике применяется это свойство умножения? К примеру, у нас есть прямоугольник , разбитый на 2 других прямоугольника. Требуется найти его площадь.
Можно сначала найти длину его стороны, а затем перемножить длину и ширину, получится
S = (a + b) * c
А можно найти площади маленьких прямоугольников и сложить их
S = (a * c) + (b * c)
А поскольку мы искали площадь одного и того же прямоугольника, то
(a + b) * c = (a * c) + (b * c)
Распределительный (дистрибутивный) закон умножения относительно вычитания:
(а - b) · c = аc - bc.
Чтобы умножить разность на число, можно умножить на это число отдельно уменьшаемое и вычитаемое, а затем из первого произведения вычесть второе.
(125 – 42) · 8 = 125 · 8 - 42 · 8 = 1000 – 336 = 664
Умножение числа на единицу:
а · 1 = 1 · а = а
При умножении числа на единицу получаем само число.
45 · 1 = 1 · 45 = 45
Умножение числа на ноль:
а · 0 = 0 · а = 0.
При умножении числа на нуль получаем нуль.
6999 · 0 = 0 · 6999 = 0.
Примечание. Если в произведении нескольких множителей хотя бы один из множителей равен нулю, то произведение равно нулю.
В каждой семье свои законы: сладкое — после супа, игры — после приборки. Но если с родителями можно договориться об исключениях, то правила точных наук оспорить никак нельзя. В этой статье узнаем, какие законы есть в математике.
О чем эта статья:
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Переместительный закон сложения
Начнем изучать основные законы математики со сложения натуральных чисел.
Переместительный закон сложения
От перестановки мест слагаемых сумма не меняется. С помощью переменных его можно записать так:
m + n = n + m
Переместительный закон сложения работает для любых чисел.
Если прибавить шестерку к двойке — получим восьмерку. И наоборот, прибавим двойку к шестерке — снова получим восьмерку. Это доказывает справедливость переместительного закона сложения.
Приведем пример с весами, которые используют продавцы в магазинах.
Если мы положим на одну чашу весов 3 килограмма конфет, а на другую — такие же 3 килограмма конфет, то стрелка весов будет на нейтральной позиции. Это говорит нам о том, что чаши действительно весят одинаково.
При этом неважно, как будут лежать конфеты, в каком порядке. Если перемешать конфеты в пакете, как шары в лотерейном мешке — их вес не изменится и будет по-прежнему 3 килограмма. От перестановки мест конфет их сумма, то есть вес, не меняется.
Поэтому, между выражениями 8 + 2 и 2 + 8 можно поставить знак равенства. Это значит, что их сумма равна:
Формула переместительного закона для обыкновенных дробей:
Чтобы сложить две дроби с одинаковым знаменателем, нужно сложить числители, а знаменатель оставить прежним. Вот так:
Сочетательный закон сложения
Сочетательный закон сложения помогает группировать слагаемые для удобства их вычислений.
Сочетательный закон сложения: два способа
- Результат сложения нескольких слагаемых не зависит от порядка действий.
- Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего чисел.
Чтобы лучше запомнить суть этого закона, просто выбирайте формулировку, которая вам больше нравится.
Рассмотрим сумму из трех слагаемых:
Чтобы вычислить это выражение, можно сначала сложить числа 1 и 3 и к полученному результату прибавить 4. Чтобы было удобнее, можно сумму 1 и 3 взять в скобки — так мы поймем, что ими нужно заняться в первую очередь:
Или по-другому: сложим числа 3 и 4 и к результату прибавим 1:
В обоих случаях получается один и тот же результат — что и требовалось доказать.
Между выражениями (1 + 3) + 4 и 1 + (3 + 4) можно поставить знак равенства, так как они равны одному и тому же значению:
Отразим сочетательный закон сложения с помощью переменных:
(a + b) + c = a + (b + c)
Формула сочетательного закона для обыкновенных дробей:
Например, если к сумме одной седьмой и трёх седьмых прибавить четыре седьмых, то в результате получим восемь седьмых.
Переставим скобки — к одной седьмой прибавим сумму трёх седьмых и четырех седьмых. И снова ответ будет восемь седьмых.
Значит, сочетательный закон справедлив и для обыкновенных дробей.
Курсы подготовки к ОГЭ по математике от Skysmart придадут уверенности в себе и помогут освежить знания перед экзаменом.
Переместительный закон умножения
С каждым новым правилом решать задачки по математике все интереснее.
Переместительный закон умножения
От перемены мест множителей произведение не меняется. То есть, если множимое и множитель поменять местами — их произведение никак не изменится.
Проверим, действительно ли это так. Умножим пятерку на двойку, а потом наоборот:
В обоих случаях получили один ответ — значит между выражениями 5 * 2 и 2 * 5 можно поставить знак равенства.
Переместительный закон умножения с помощью переменных выглядит так:
a * b = b * a
Сочетательный закон умножения
Рассмотрим еще один полезный закон в математике.
Сочетательный закон умножения
Если выражение состоит из нескольких сомножителей, то их произведение не зависит от порядка действий.
Другими словами, умножайте числа в любом порядке — как вам больше нравится.
Это выражение можно вычислить в любом порядке. Давайте сначала перемножим числа 2 и 3, а полученный результат умножим на 4:
- 2 * 3 = 6
- 6 * 4 = 24
- 2 * 3 * 4 = 24
А теперь по-другому: перемножим числа 3 и 4, а результат умножим на 2:
- 3 * 4 = 12
- 2 * 12 = 24
- 2 * 3 * 4 = 24
Тот же ответ! Значит между выражениями (2 * 3) * 4 и 2 * (3 * 4) можно поставить знак равенства, так как они равны одному значению.
- (2 * 3) * 4 = 2 * (3 * 4)
- 6 * 4 = 2 * 12
- 24 = 24
Для любых натуральных чисел a, b и c верно равенство:
a * b * с = (a * b) * с = a * (b * с)
Пример
Вычислить: 5 * 6 * 7 * 8.
Это выражение можно вычислять в любом порядке. Вычислим слева направо:
5 * 6 * 7 * 8 = 1680
Распределительный закон умножения
Для умножения есть еще один закон — распределительный. На математике в 6 классе он звучит так:
Распределительный закон умножения
- Чтобы число умножить на сумму чисел, нужно это число умножить отдельно на каждое слагаемое и полученные произведения сложить.
- Чтобы сумму чисел умножить на число, нужно каждое слагаемое отдельно умножить на число и полученные произведения сложить.
То есть при помощи распределительного закона умножения можно умножить сумму на число и число на сумму. Проверим на примере:
Сначала выполним действие в скобках:
В главном выражении (3 + 5) * 2 заменим выражение в скобках на восьмерку:
Получили ответ 16. Этот же пример можно решить с помощью распределительного закона умножения. Для этого каждое слагаемое в скобках, нужно умножить на 2, а потом сложить полученные результаты:
- (3 + 5) * 2 = 3 * 2 + 5 * 2
- 3 * 2 = 6
- 5 * 2 = 10
- 6 + 10 = 16
Отразим распределительный закон умножения с помощью переменных:
(a + b) * c = a * c + b * c
Выражение в скобках (a + b) — это множимое. Тогда переменная с — множитель, так как они соединены знаком умножения.
Из переместительного закона умножения мы знаем, что от перемены мест множимого и множителя произведение не изменится.
Если множимое (a + b) и множитель c поменять местами, то получим выражение c * (a + b). Тогда получится, что мы умножаем переменную c на сумму (a + b). Для такого умножения можно применять распределительный закон умножения. Переменную c можно умножить на каждое слагаемое в скобках:
c * (a + b) = c * a + c * b
Пример 1
Умножим пятерку на каждое слагаемое в скобках и сложим полученные результаты:
5 * (3 + 2) = 5 * 3 + 5 * 2 = 15 + 10 = 25
Пример 2
Найти значение выражения 2 * (5 + 2).
Умножим двойку на каждое слагаемое в скобках и сложим полученные результаты:
2 * (5 + 2) = 2 * 5 + 2 * 2 = 10 + 4 = 14
Если в скобках не сумма, а разность, то сначала нужно умножить множимое на каждое число, которое в скобках. А после из полученного первого числа вычесть второе число.
Пример 3
Умножим четверку на каждое число в скобках. Из полученного первого числа вычтем второе число:
4 * (6 − 2) = 4 * 6 − 4 * 2 = 24 − 8 = 16
Распределительный закон умножения для суммы обыкновенных дробей:
Распределительный закон умножения для разности обыкновенных дробей:
Проверим справедливость этого закона:
Посчитаем, чему равна левая часть равенства.
Теперь посчитаем, чему равна правая часть равенства.
Так мы доказали справедливость распределительного закона.
Задания для самопроверки
Давайте потренируемся! Решите примеры и сравните с ответами — только чур, не подглядывать :)
Задание 1. Найти значение выражения: 8 * (1 + 6).
Задание 2. Применить распределительный закон умножения: 2 * (9 + 5).
Задание 3. Решить в порядке выполнения действий: 3 * (6 + 4) + 7 * (8 + 2).
Задание 4. Решить выражение: 4 * (5 + 4) + 9 * (3 + 2).
Задание 5. Применить распределительный закон умножения: 13 * (3 + 8) + 5 * (4 + 2)
Читайте также: