Числовые системы в школе
Обновлено: 03.07.2024
Основные числовые системы — арифметика натуральных чисел, кольцо целых рациональных чисел, поле рациональных чисел, поле вещественных чисел, поле комплексных чисел и др.— изучаются математиками с древних времен. Многие понятия и идеи, возникшие при изучении этих систем, породили новые направления в науке и сыграли важную роль в развитии математики и ее приложений.
Многогранное исследование числовых множеств, их свойств с 1 по 11 класс изучения математики в теории и методике обучения математике оформлено в виде отдельной содержательно-методической линии – линии развития числа.
Понятие числа на разных этапах обучения в математике расширяется, поглощая предыдущие представления учащихся:
- в 5 классе число – это и натуральное число и обыкновенная дробь, и десятичная дробь;
- в 6 классе число – это и натуральное, и целое, и рациональное число;
- в 7 классе число – это натуральное, целое, рациональное число, которые играют ключевые роли в уравнениях, неравенствах, функциях;
- в 8 классе число – это и рациональные, и иррациональные числа, это действительное число с его геометрической моделью;
- в 9 классе число – это действительное число на числовой прямой, на котором исследуются функции, уравнения, неравенства;
- в 10 – 11 классе число – сформированное представление о действительном числе, множестве R со свойством непрерывности, но котором развиваются элементы математического анализа.
Числовая линия как одна из самых значительных линий школьного курса математики имеет тесные связи с другими содержательно-методическими линиями:
- операции над числами, их свойства преобразуются, обобщаются до операций над буквами – алгебраических преобразований, тем самым из числовой линии выделяется линия тождественных преобразований;
- числа из разных числовых множеств (N, Z, Q, R), операции над ними выступают основой для составления, исследования уравнений, неравенств, что обосновывает связь числовой линии и линии уравнений, неравенств, систем;
- в школьном курсе алгебры и начал анализа изучаются числовые функции – их исследование фиксирует конкретные числа (точки максимума, минимума), числовые промежутки (период, промежутки монотонности), тем самым свойства функций имеют числовую основу, связывая числовую линию и функциональную линию.
Объемный характер числовой линии как по содержанию, так и по времени изучения, высокая значимость понятия числа в формировании математической культуры учащихся объясняют сопоставимость целей изучения числовой линии с целями обучения математике учащихся общеобразовательной школы.
Именно в числовой линии в значительной степени реализуются главные задачи школьного курса математики:
- овладение системой математических знаний и умений;
- формирование представлений об идеях и методах математики;
- формирование и развитие средствами математики интеллектуальных качеств личности.
На каждой из ступеней обучения программа общеобразовательного курса математики указанные задачи детализирует в виде системы последовательных целей:
- на третьей ступени в 10 – 11 классах курса алгебры и начал анализа множество R является основным множеством, на котором исследуются функции и их важнейшие свойства (монотонность, периодичность, непрерывность), имеющие числовые обоснования.
Объект исследования: процесс изучения основных понятий, арифметических действий над числовыми системами в школьном курсе математики.
Предмет исследования: выявление эффективности использования элементов числовых систем в обучении школьного курса математики.
Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:
1) Проанализировать учебники по математике, алгебре, алгебре и начала анализа под редакцией различных авторов.
3) Проанализировать и решить задания С6 ЕГЭ за 2010-2011г.г.
4) Подобрать примеры повышенной трудности.
При решении поставленных задач применялись метод анализа и синтеза.
В первой главе приводится краткое историческое описание расширения понятия числа, определяются основные понятия, развивается теория делимости целых чисел (НОК, НОД, простые, составные числа), арифметические преобразования целых чисел, теория алгебраических преобразований рациональных выражений (обыкновенных и десятичных дробей), теория приближений действительных чисел, формируется свойство непрерывности R, исследуются непрерывные элементарные функции и их графики.
Во второй главе рассматривается только методика введения комплексных чисел. Исследуются различные представления комплексных чисел, операции над ними, все алгебраические уравнения разрешимы, появляются многозначность извлечения корня.
Третья глава посвящена детальному и подробному решению уравнений и неравенств в целых числах и ряда интересных задач.
Основная часть (выдержка)
ГЛАВА 1. МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ ЧИСЛОВЫХ СИСТЕМ В ОСНОВНОЙ ШКОЛЕ
1.1. Различные схемы расширения понятия числа
Понятие натурального числа возникло на заре человеческой цивилизации как отражение простейших потребностей деятельности людей. Современное учение о числе базируется на арифметике натуральных чисел. Дальнейшее развитие числовой линии состоит в последовательном расширении множества натуральных чисел по следующей схеме, которую называют логической, NZQRC.
В школьной практике установилась историческая последовательность развития понятия числа, которая отличается от логической схемы тем, что дроби исторически появились намного раньше отрицательных чисел.
Историческая схема N0Q+QRC уступает логической стройности, но заслуживает предпочтения из дидактических соображений. Школьная схема обычно обосновывается тем, что понятие дроби (положительной) доступнее пониманию учащихся, чем понятие отрицательного числа.
Процесс интеллектуального роста человека с момента рождения и в течение всей жизни во многом повторяет тенденции исторического интеллектуального роста человечества, длящегося тысячелетиями (своего рода соответствие онтогенез – антропогенез). Возможно, поэтому учащимся легче усвоить расширение числовых систем согласно исторической схеме, т. е. так, как это происходило в ходе истории человечества.[5]
В проекте программы по математике 1968 г. предусматривалась реализация в школьном обучении логической схемы развития понятия числа. Были проведены эксперименты по расширению множества натуральных чисел до множества целых чисел уже в IV классе. Однако в дальнейшем принятая программа 1970 г. возвратилась к исторической схеме, предусматривая лишь изучение арифметики десятичных дробей раньше арифметики обыкновенных дробей.
Программа 1996 г. устанавливала следующую последовательность расширения понятия числа в V-VI классах: натуральные числа и нуль, обыкновенные дроби, десятичные дроби, положительные и отрицательные числа и в заключение в виде обобщения целые и рациональные числа. В VII-IX классах подразумевалось изучение иррациональных чисел, общих положений о действительных числах.
Комплексные числа то включались в школьный курс математики, то исключались из него. Программой 1970 г. комплексные числа были исключены из школьного курса, а программа 1981 г. возвратила их, спустя несколько лет комплексные числа снова были исключены из курса. [7]
1.2. Методика изучения натуральных чисел и нуля
Понятие натурального числа формируется у учащихся, начиная с 1 класса. Много внимания уделяется этому и в 5 классе. Изучая это понятие, учащиеся должны ясно осознать, что натуральные числа используются для счета предметов, что множество натуральных чисел Ν бесконечное, упорядочное, дискретное, имеет начальный элемент, но не имеет конечного, замкнутое относительно сложения и умножения и незамкнутое относительно вычитания и деления. Все это делается на понятном для учащихся языке, на доступном материале и в разумных пределах.
Правильная ориентация в методике изучения натуральных чисел в 5 классе предполагает знание, с одной стороны, связи данной темы с курсом 1-4 классов, с другой стороны – знание нового в содержании учебного материала и методике его изложения в 5 классе. Необходимо также учитывать общие особенности учебника математики 5 класса. В учебниках соответствующий теоретический материал излагается в виде небольших фрагментов, после чего приводятся упражнения и задачи. [3]
В 5 классе даются определения (или описания) понятий: натурального числа, десятичной записи числа, миллиарда, координатного луча, координаты точки, суммы двух чисел, слагаемых, числового выражения, значения выражения, разложения числа по разрядам, разрядных слагаемых, разности двух чисел, уменьшаемого, вычитаемого, произведения двух чисел, множителей, частного двух чисел, делителя числа, кратного числа и др. При этом учителю необходимо различать, в каком случае в учебнике приводится полноценное в логическом отношении определение, а в каком – описание понятия, не претендующее на строгость.
Перед изучением действий над натуральными числами необходимо основательно повторить нумерацию многозначных чисел. Учащиеся должны хорошо понимать различие между числом и цифрой, знать разряды и классы, иметь навыки беглого чтения и записи многозначных чисел. При обучении чтению и записи необходимо использовать устные работы и математические диктанты.
Большое внимание уделяется в 5 классе изучению арифметических действий. Надо помнить, понятие сложения не определяется, а другим действиям даются логические определения.
При изучении сложения от учащихся следует требовать хорошего знания названия компонентов, алгоритма выполнения сложения многозначных чисел. Следует обращать внимание учащихся на тот случай, когда одно из слагаемых равно нулю, т.е. показывать, что равенства а+0=а, 0+а=а верны при любом значении а. Переместительный и сочетательный законы сложения изучаются индуктивным методом: к обобщениям a+b=b+a, (a+b)+c=a+(b+c) учащиеся должны приходить путем рассмотрения конкретных примеров. Важно довести до сознания учащихся, что эти законы обычно применяются вместе и служат для упрощения вычислений.
Вычитание также рассматривается, исходя из решения конкретных задач. Затем дается определение: вычесть из числа a число b - значит найти такое число c, которое в сумме с числом b дает a, т.е. b+c=a .
Учащиеся должны знать компоненты, усвоить алгоритм вычитания, понимать смысл равенств: а-0=а, а-а=0.
Выработке прочных навыков сложения и вычитания натуральных чисел, глубокому осознанию учащимися связи между сложением и вычитанием будет способствовать решение уравнений и задач с помощью составления уравнений.
Умножение определяется следующим образом: умножить число a на число b – значит найти сумму b слагаемых, каждое из которых равно a. Но к такому обобщение приходим путем рассмотрения конкретных примеров: 3*5=5+5+5=15; 4*5=20 и т.д.
Заключение (выдержка)
В данной работе сделана попытка разработать методику изучения числовых систем.
В результате исследования были решены следующие задачи:
1) Проанализированы учебники по математике, алгебре, алгебре и начала анализа под редакцией различных авторов.
3) Проанализированы и решены некоторые задания С6 ЕГЭ за 2010-2011г.г.
4) Подобраны примеры повышенной трудности.
Таким образом, после работы с научной и методической литературой по данной теме делаем следующие выводы:
1. Понятие числа является одним из важнейших понятий математики, изучение его в школе составляет базу для рассмотрения других разделов курса математики.
2. Понятие числа в школьном курсе постепенно развивается путем расширения множества натуральных чисел.
3. Каждое расширение понятия числа для учащихся должно быть естественным, вызвано потребностями дальнейшего продвижения вперед в изучении математики.
4. Основными при рассмотрении любой числовой системы являются вопросы сравнения чисел, изучения действий и законов арифметических действий.
5. Выработка прочных вычислительных навыков при изучении каждой числовой системы является первостепенной задачей учителя математики.
Перспективность результатов исследования определяется возможностями использования полученных выводов и рекомендаций для практического использования студентами-практикантами математического факультета и учителями математики.
Список литературы
1. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Алгебра в 6-8 классах. [Текст] - М.:Просвещение, 1988.
2. Калягин Ю.М., Аганясян В.А., Саннинский В.Я., Луканкин Г.Л. Методика преподавания математики в средней школе. Учебное пособие для студентов физико математических факультетов педагогических институтов. [Текст] М.: Просвещение, 1975.
3. Ляпина С.Е. Методика преподавания математики в средней школе. [Текст] - М.: Просвещение, 1975.
4. Рогановский Н. М. Методика преподавания математики в средней школе. [Текст] Мн.: Народная Асвета, 1990.
5. Черкасов Р.С., Столяр А.А. Методика преподавания математики в средней школе. [Текст] - М.: Просвещение, 1985.
6. Программы для общеобразовательных учреждений. Математика: Учебное издание / Под ред. Л.М. Котова. [Текст]– М.: Просвещение, 1996. – 193 с.
7. Государственный образовательный стандарт основного общего образования по математике [Текст] // Математика в школе. - 2004. – Вып. 4 – С. 2-16.
8. Феферман С. Числовые системы. [Текст] – М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1971.
9. А. Шень. Простые и составные числа. [Текст] – М.: МЦНМО, 2005.
10. Алфутова Н. Б., Устинов А. В. Алгебра и теория чисел. Сборник задач для математических школ. 2-е издание. [Текст] – М: МЦНМО, 2005.
11. Дынкин Е.Б., Молчанов С.А., Розенталь А.Л., Толпыго А.К. Математические задачи. [Текст] - М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1965.
12. Математика в школе. [Текст] - 1992. – Вып. 4 – С. 36.
13. Математика в школе. [Текст] – 2001. – Вып. 18 – С. 25, 26.
14. И.А. Чубаров. Математика: задание №6 для 9-х классов (2009-2010 учебный год). [Текст] - М.: МФТИ, 2009, 28с.
15. Н.Н. Воробьев. Признаки делимости. 4-ое издание. [Текст] – М: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1988.
16. Ю.В. Нестеренко. Теория чисел. [Текст] – М: Академия, 2008.
17. Г.В. Дорофеев, Л.Г. Петерсон. Математика. 6 класс. Часть 2. [Текст] - М.: Ювента, 2007.
18. Гладкий, А.В. Действительные числа как последовательности обыкновенных дробей [Текст] / А.В. Гладкий, Ю.Н. Козиоров // Математика в школе. – 1996. – №6. – С.39-48.
19. Жуков, А. Алгебраические и трансцендентные числа [Текст] / А. Жуков // Квант. – 1998. – №4. – С.32-33.
20. Гладкий, А.В. Действительные числа как последовательности обыкновенных дробей [Текст] / А.В. Гладкий, Ю.Н. Козиоров // Математика в школе. – 1996. – №6. – С.39-48.
21. Факультативный курс "Приложение комплексных чисел". [Текст] // Математика. - 2009. – Вып. 4 – С. 10-14.
23. Андронов И.К. Математика действительных и комплексных чисел. [Текст] - М.: Просвещение, 1975.
24. Брадис В.М. Методика преподавания математики в средней школе. [Текст] - М.: 1951.
25. Методика преподавания математики в средней школе. Частная методика: Учеб. пособие для студентов пед. инст. по физ.-мат. спец. /Сост. В.И Мишин. - М.: Просвещение, 1987.
26. Виленкин Н.Я. Алгебра и математический анализ 11. [Текст] - М.: Просвещение, 1995.
27. Методика факультативных занятий в 9-10 классах. Избранные вопросы математики. [Текст] - М.: Просвещение, 1983.
28. А.Г. Корянов. Математика. ЕГЭ 2010. Задания типа С1-С6. Методы решения. [Текст] – Брянск: ГИМЦ, 2010.
29. ЕГЭ по математике. Демонстрационный вариант контрольных измерительных материалов ЕГЭ 2010 года.
30. Математика 5 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений / Н.Я. Виленкин и др. - 22-е изд., стереотип. - М.: Мнемозина, 2007.
31. Математика. 6 класс. Учебник. Виленкин Н.Я.- 25-е изд., стер. [Текст] - М.: Мнемозина, 2009.
32. Алгебра: Учебник для 7кл общеобразов. учреждений. Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Под ред. С. А. Теляковского. -12е издание [Текст]-М.: Просвещение, 2003-223с.
33. Алгебра: Учебник для 7 кл общеобразов. учреждений. Алимов Ш.А. и др. – М.: Просвещение, 1995. - 191с.
34. Алгебра. 8 класс. Учебник для 7 кл общеобразов. учреждений. Алимов Ш.А. и др. - 17-е изд. [Текст] - М.: Просвещение, 2010.
35. Алгебра: Учебник для 8кл общеобразов. учреждений. Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Под ред. С. А. Теляковского. -9е издание [Текст]- М.: Просвещение, 2001-238с.
36. Алгебра: Учебник для 9кл общеобразов. учреждений. Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Под ред. С. А. Теляковского.-10е издание [Текст]- М.: Просвещение, 2003-270с.
37. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. Виленкин Н. Я., Ивашев-Мусатов О. С., Шварцбурд С. И. [Текст] – М.: Мнемозина, 2009.
38. Алгебра и начала анализа 10-11 класс: В двух частях. Ч.1: учебник для общеобразовательных учреждений / А.Г. Мордкович [и др.]; отв. ред. А.Г. Мордкович. [Текст]– М.: Просвещение, 2003.
39. Алгебра и начала анализа 10-11 класс: В двух частях. Ч.2: задачник для общеобразовательных учреждений / А.Г. Мордкович [и др.]; отв. ред. А.Г. Мордкович. [Текст]– М.: Просвещение, 2003.
40. Пратусевич М.Я. и др. ЕГЭ 2011. Математика. Задача С6. Арифметика и алгебра / Под ред. А. Л. Семенова и И. В. Ященко. [Текст] – М.: МЦНМО, 2011.
Одним из основных понятий математики является понятие числа. Изучение математики открывает знакомство с простейшим видом чисел — натуральными, и все последующее ее изучение связано с понятиями различных видов чисел.
Непосредственно связанным с понятием числа является понятие величины. Пожалуй, первые представления о величинах, а именно о частном виде величин — количестве предметов во множестве, было освоено людьми даже раньше, чем представление о числах. А дальнейшее историческое развитие понятия числа связано с развитием понятия величины и обусловлено им. По мере расширения понятия величины, введения новых видов величин, вводились, создавались, изобретались и новые классы чисел.
Математика изучает отдельные виды величин и чисел, дает им определения и устанавливает правила действий с числами и приёмы измерения величин. Но она не дает общего определения числа или величины вообще. Поэтому в школе изучается, главным образом, аппарат действий над разными видами чисел и измерения основных видов величин.
3.1. Различные подходы к введению числовых множеств
Исторически числовые множества расширялись следующим образом: N → N +→ а/в - → Z - → Q → R ., в современной математике порядок изучения чисел другой: : NcZcQcRcC .
В основе построения нового числового множества лежит принцип расширения, формулируемый следующим образом: «Пусть множество А расширяется до множества В, тогда необходимо выполнение следующих условий:
1. А В.
2. Все операции и отношения, выполняемые в А , должны выполнятся в В.
3. В В выполняется та операция, которая не выполняется в А.
4. Расширение идет по минимальности. (Нельзя N сразу расширить до Q).
В школьном курсе число будет считаться введенным, если:
– дано определение этого числа (часто описательного характера),
вытекающее из мотивирования необходимости его введения;
– для введенных чисел определяются отношения: =, >, , с*в = а).
Лучшему усвоению учащимися множества натуральных чисел способствует изучение некоторых вопросов делимости. По отношению делимости на данное натуральное число n множество N разбивается на два непересекающихся класса: натуральные числа, делящиеся на n и натуральные числа, не делящиеся на n. По числу делителей - , , . Рассматриваются признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10 и деление с остатком.
В результате изучения натуральных чисел у учащихся на наглядно-интуитивной основе должно быть сформировано:
1. знание свойств натуральных чисел (множество N - бесконечно, дискретно, упорядоченно, ограничено снизу);
2. понимание того факта, что операция умножения на N не определяется;
3. определение операции вычитание, умножение и деление;
4. умение работать с числами 0 и 1.
Теоретический материал в учебниках излагается в виде фрагментов, а затем идет решение задач и примеров.
В учебнике 5-го класса приводятся определения следующих понятий:
- натуральное число, десятичная запись числа, миллиард,
- сумма, разность, произведение двух натуральных чисел,
- делитель числа, кратные числа,
- совершенное число, простое число, дружественные числа.
3.3.Методика изучения дробных чисел
Основным источником получения дробных чисел является практическая деятельность (дробь, как результат измерения, результат деления целого на равные части, как частное от деления целого числа на другое натуральное число). В учебнике Н.Я. Виленкина приводятся все три способа получения дробных чисел.
Первое знакомство учащихся с обыкновенными дробями происходит в 3 классе параллельно с изучением натуральных чисел. В 5 классе начинается систематическое изучение дробей. Десятичные дроби для учащихся не являются новыми числами по сравнению с обыкновенными дробями. Они представляют лишь другую запись ранее известных обыкновенных дробей со знаменателями 10, 100, 1000, так как в математических расчетах и при проведении практических работ наиболее удобны десятичные числа.
В методике математики существует проблема порядка изучения десятичных и обыкновенных дробей.
Возможные подходы к ее решению:
- сначала изучаются десятичные дроби, а потом – обыкновенные;
- сначала изучаются обыкновенные дроби;
- смешанный вариант изучения дробей.
В существующих учебниках придерживаются третьего варианта.
Порядок изучения дробей
| 5 класс | 6 класс |
| Обыкновенные дроби | Обыкновенные дроби |
| Сравнение, сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями | Сравнение дробей |
| Десятичные дроби | Арифметические действия с дробями |
| Четыре действия с десятичными дробями | Процент (по сути, изучение дес. дробей) |
Важным элементом методики изучения дробных чисел является убеждение учащихся в целесообразности их введения.
Вторым приемом является тот факт, что с их помощью операция деления натуральных чисел делается всегда выполнимой.
Третий прием связан с измерением величин.
3.3.1. Обыкновенные дроби
Методика введения обыкновенных дробей
В 5 классе происходит лишь знакомство учащихся с обыкновенными дробями, их изучение продолжается в 6 классе.
Объектом исследования являются числовые множества.
Предметом - рассмотрение методики преподавания числовых систем в средней школе.
Целью курсовой работы является выявление методических принципов способствующих эффективному усвоению теории числовых систем в школьном курсе математики.
Задачи курсовой работы:
• Анализ литературных источников.
• Анализ школьных программ и учебников
Содержание работы
Введение………………………………………………………………………………….3
Глава 1 . Развитие понятия числа в математике…………………………………..6
1. Натуральные числа……………………………………………………………………6
1.1. Возникновение натурального числа……………………………………..6
1.2. Построение множества натуральных чисел……………………………..7
2. Целые числа……………………………………………………………………………9
2.1. Множество целых чисел…………………………………………………….9
2.2. Отрицательные числа……………………………………………………….10
3. Рациональные числа…………………………………………………………………..11
3.1. Дробные числа………………………………………………………………11
3.2. Десятичные дроби……………………..……………………………………14
4. Действительные числа………………………………………………………………..15
4.1. Иррациональные числа…………………………………………. ………15
5. Комплексные числа………………………………. 17
Глава 2. Методика изучения числовых систем в основной школе………………20
1. Анализ программы по математике…………………………………………………. 20
2. Методика изучения натуральных чисел. 24
3. Методика изучения обыкновенных и десятичных дробей…………………. 29
4. Методика изучения отрицательных чисел…………………………………. 38
5. Построение множества рациональных чисел в школьном курсе математики. 40
6. Методика изучения действительных чисел …………………………………….…. 41
Заключение…………………………………………………………………………..…..44
Использованная литература………………………………………………………. 45
Содержимое работы - 1 файл
курсовая тимом.docx
Министерство образования и науки РФ
Армавирский государственный педагогический университет
Кафедра алгебры, геометрии и МПМ.
Тема: «Методика изучения числовых систем
Глава 1 . Развитие понятия числа в математике……………………………… …..6
1.1. Возникновение натурального числа……………………………………..6
1.2. Построение множества натуральных чисел……………………………..7
2.1. Множество целых чисел……………………… …………………………….9
4.1. Иррациональные числа………………………… ………………. ………15
5. Комплексные числа………………………………. . . 17
Глава 2. Методика изучения числовых систем в основной школе………………20
1. Анализ программы по математике…………………………………………… ……. 20
2. Методика изучения натуральных чисел. . . 24
3. Методика изучения обыкновенных и десятичных дробей…………………. 29
4. Методика изучения отрицательных чисел…………………………………. ..38
5. Построение множества рациональных чисел в школьном курсе математики. 40
6. Методика изучения действительных чисел …………………………………….…. 41
Использованная литература…………………………………………………… …. 45
Приложение №3. Внеклассное мероприятие по математике для 6 класса…..….51
Понятие числа прошло долгий исторический путь развития. Оно сложилось постепенно в процессе решения все более и более сложны вопросов сначала практического, а потом и теоретического характера, и является одним из древнейших понятий математики.
С развитием обмена развивался счет. Уже у древних египтян и вавилонян были системы нумерации. Обе не позиционные. Из позиционных систем нумераций древнейшей из известных является вавилонская шестидесятеричная. Она не имела абсолютного характера, так как в ней не было нуля.
В начале нашей эры , позиционная система счисления появилась у племен майя с основанием системы -20.
Запись в позиционной десятичной системе с употреблением нуля появилась в Индии около 500 г. н.э. эта система через арабские страны дошла до Испании в X веке. Общеупотребительной она стала в Европе в XV-XVI веках, а в России - в XVII веке.
Дробями пользовались уже древние египтяне и вавилоняне. Греческие математики за несколько веков до н.э. установили недостаточность рациональных чисел для строгого решения задач измерения длин и вплотную подошли к понятию действительного числа, создав теорию пропорций.
Представление об отрицательных числах сложилось у индийцев около 500 г. Н.э., которые рассматривали их в связи с расчетами на имущество и долг.
Понятие комплексного числа возникло с развитием алгебры в XVI веке . В середине XIX века Дедекинд построил теорию действительного числа.
В это же время Гамильтон построил первую гиперкомплексную систему – тело кватернионов: множество чисел вида , где
Для математики множество N натуральных чисел является исходным для построения других числовых систем путем последовательного расширения предыдущих. При этом задача расширения понятия числа включает в себя выполнимость таких требований:
- Если множество расширяется до множества то .
- Все отношения и операции для элементов определены также и для элементов множества причем их смысл для элементов , рассматривается как элемента должен совпадать с тем, какой они имели в до расширения.
- Операция, в связи с которой строится расширение , которая в была не выполнима. Или не всегда выполнима, в – всегда выполнима.
- Из всех расширений расширение B должно быть минимальным, то есть таким, которое содержится в любом другом расширении .
В математике логическая схема расширения понятия числа имеет вид:
Как видно, она отличается от исторического пути развития понятия числа.
В школьном курсе математики последовательность расширения понятия числа отлична от принятой в математике. Она ближе к историческому пути развития понятия числа.
В начальной школе и 5 классе рассматривается множество - множество натуральных чисел и нуля. Затем в 5 классе изучается понятие дробного числа и десятичные дроби - множество .
В 6 классе завершается изучение дробных чисел, и изучаются сначала целые числа – множество , а затем рациональные числа – множество .
В 8 классе дается понятие иррационального числа и рассматривается множество действительных чисел R.
Изучение множества комплексных чисел новой программой по математике не предусматривается.
Объектом исследования являются числовые множества.
Предметом - рассмотрение методики преподавания числовых систем в средней школе.
Целью курсовой работы является выявление методических принципов способствующих эффективному усвоению теории числовых систем в школьном курсе математики.
Задачи курсовой работы:
- Анализ литературных источников.
- Анализ школьных программ и учебников.
- подготовка к ЕГЭ/ОГЭ и ВПР
- по всем предметам 1-11 классов
- Курс добавлен 31.01.2022
- Сейчас обучается 29 человек из 18 регионов
- Сейчас обучается 683 человека из 75 регионов
- Для учеников 1-11 классов и дошкольников
- Бесплатные сертификаты учителям и участникам
- ЗП до 91 000 руб.
- Гибкий график
- Удаленная работа
- 13.12.2020 157
- PPTX 263.3 кбайт
- 1 скачивание
- Оцените материал:
- Подготовка к ЕГЭ/ОГЭ и ВПР
- Для учеников 1-11 классов
Структура курсовой работы:
Глава 1 . Развитие понятия числа в математике.
Глава 2. Методика изучения числовых систем в основной школе.
Глава 1 . Развитие понятия числа в математике
1. Натуральные числа
1.1. Возникновение натурального числа
Возникновение понятия натурального числа вызвано потребностью счета предметов. Сведения о результатах счета первоначально хранили при помощи зарубок на дереве или узелков на веревке. Старейшей известной в настоящее время записью числа является запись на кости в вие 55 зарубок, расположенных по 5. Эта кость найдена в Чехословакии в 193 году. Запись на ней сделана в XXX в. до нашей эры. Предполагают, что кость служила для записи трофеев доисторических охотников. В Западной Европе в XVIII веке пользовались зарубками, обозначающими долги на бирках, раскалывающихся на две половины, одна из которых храниться у должника, другая у кредитора. С течением времени для обозначения чисел начали применять различные символы. Сначала числа обозначали черточками на материале, служащими для записей. Затем были введены знаки для чисел. Параллельно с развитием письменности понятие натурального числа приобретает все более отвлеченную форму. Все более закрепляется отвлеченное от всякой конкретности понятие числа, воспроизводимое в форме слов в устной речи и в форме обозначения специальными знаками в письменной.
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
Зарегистрироваться 15–17 марта 2022 г.
Описание презентации по отдельным слайдам:
Числовые системы
Вепренцева Т.А.
Комплексные числа (C)
Действительные - математический объект, возникший из потребности измерения геометрических и физических величин окружающего мира, а также проведения таких вычислительных операций.
Мнимые - это число, квадрат которого равен -1.
Действительные числа (R)
Рациональное — число, которое можно представить обыкновенной дробью (числитель. — целое число, а знаменатель. — натуральное число).
Иррациональное — это вещественное число, которое не является рациональным (то есть не может быть представлено в виде обыкновенной дроби).
Рациональное число (Q)
Целые числа - расширение множества натуральных чисел, получаемое добавлением к нему нуля и отрицательных чисел.
Дробные числа – числа, которые являются или долями, или суммами долей.
Целые числа (Z)
Натуральные числа (N) — числа, возникающие естественным образом при счёте.
Отрицательные
0
Иррациональное число (I)
Отрицательные
Положительные
Мнимые числа
Чи́сто мни́мое число́ — комплексное число с нулевой действительной частью
Фо́рмула Карда́но — формула для нахождения корней канонической формы кубического уравнения
Фо́рмула Карда́но — формула для нахождения корней канонической формы кубического уравнения
над полем комплексных чисел. Названа в честь итальянского математика Джероламо Кардано.
Любое кубическое уравнение общего вида
при помощи замены переменной
может быть приведено к указанной выше канонической форме с коэффициентами
Краткое описание документа:
Презентация на тему "Числовые системы", относится к проектной деятельности учащихся 9 классов. Это пример того, как должна быть выполнена работа. Так же в ней содержится материал, который может быть применён учителем на уроках алгебры в старших классах. Это материал, где описываются числовые системы, которые изучаются в школе на уроках алгебры. Материал приводится в виде презентации, что облегчает учителю в его подаче, а учащимся в его понимании.
Курс повышения квалификации
Дистанционное обучение как современный формат преподавания
Курс повышения квалификации
Инструменты онлайн-обучения на примере программ Zoom, Skype, Microsoft Teams, Bandicam
Курс профессиональной переподготовки
Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
Дистанционные курсы для педагогов
Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
5 611 860 материалов в базе
Материал подходит для УМК
Глава 1. Степень с рациональным показателем
Самые массовые международные дистанционные
Школьные Инфоконкурсы 2022
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
Другие материалы
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
Настоящий материал опубликован пользователем Вепренцева Татьяна Алексеевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Автор материала
40%
Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов
Дистанционные курсы
для педагогов
663 курса от 690 рублей
Выбрать курс со скидкой
Выдаём документы
установленного образца!
Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки
Время чтения: 11 минут
В Госдуме предложили ввести сертификаты на отдых детей от 8 до 17 лет
Время чтения: 1 минута
Рособрнадзор предложил дать возможность детям из ДНР и ЛНР поступать в вузы без сдачи ЕГЭ
Время чтения: 1 минута
Новые курсы: преподавание блогинга и архитектуры, подготовка аспирантов и другие
Время чтения: 16 минут
Отчисленные за рубежом студенты смогут бесплатно учиться в России
Время чтения: 1 минута
Школы граничащих с Украиной районов Крыма досрочно уйдут на каникулы
Время чтения: 0 минут
В Россию приехали 10 тысяч детей из Луганской и Донецкой Народных республик
Время чтения: 2 минуты
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.
Читайте также: