Теория вероятности ферма доклад

Обновлено: 04.05.2024

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ история возникновения теории вероятности.docx

Актуальность: Теория вероятностей является одним из классических разделов математики. Вероятностные и статистические методы в настоящее время глубоко проникли в нашу жизнь. Случай, случайность — с ними мы встречаемся повседневно: случайная встреча, случайная поломка, случайная находки, случайная ошибка. Этот ряд можно продолжать бесконечно. Казалось бы, тут нет места для математики - какие уж законы в царстве Случая! Но и здесь наука обнаружила интересные закономерности - они позволяют человеку уверенно чувствовать себя при встреча со случайными событиями. Теория вероятности используются в физике, технике, экономке, биологии и медицине. Особенно возросла её роль в связи с развитием вычислительной техники. Например, для изучения физических явлений и биологических процессов.

Цель исследования : познакомится с историей возникновения теории вероятности определить ее значение в современном мире.

Задачи исследования:

познакомится с понятием теории вероятности;

Рассмотреть решение задач по теории вероятности;

Выявить значение теории вероятности в современном мире

Объект исследования : Теория вероятности

Предмет исследования: рассмотреть историческое развитие и совершенствование теории вероятности в обществе.

Глава 1. Теория вероятности.

История возникновения и развития теории вероятностей.

Математики уже не могли удовлетворяться тем идейным наследием, которое им было получено от прошлого. В то время как физиков, биологов, инженеров интересовал процесс, т.е. изменение изучаемого явления во времени, теория вероятностей предлагала им в качестве математического аппарата лишь средства, позволяющие изучать вероятности случайных событий и случайных величин. Для исследования изменений во времени теория вероятностей конца XIX –начала XX века не имела ни соответствующих понятий, ни общих приёмов, ни разработанных частных схем. А необходимость их разработки ощущалась все острее. Естественно, что в конце концов они были созданы, и ведущим среди них стало понятие случайного процесса. Соответствующая теория была создана усилиями многих математиков и связана прежде всего с именами А.Н. Колмогорова, А. Я. Хинчина, Е.Е. Слуцкого, Н. Винера (1894–1964). Это понятие в наши дни является одним из центральных и широко используется в самых разнообразных областях естествознания, инженерного дела, экономики, организации производства. Теория случайных процессов принадлежит к одним из самых быстроразвивающихся математических дисциплин. Несомненно, что в значительной мере это определяется её глубокими связями с практикой.

Попытки включения элементов теории вероятностей и статистики в программы различных учебных заведений предпринимались в России неоднократно, начиная с первой половины XIX века. В частности, известно, что они некоторое время преподавались в Царскосельском лицее. Периодически появляясь, а затем вновь исчезая, они во второй половине XIX века утвердились в реальных и кадетских училищах России. Хотя в Советском Союзе в те годы работало много крупнейших специалистов с мировым именем в области теории вероятностей и математической статистики, в практику школьного преподавания элементы теории вероятностей так и не были включены. Даже когда в конце шестидесятых годов в нашей стране под руководством А.Н. Колмогорова была осуществлена радикальная реформа школьного математического образования, в новых программах элементам теории вероятностей и статистики так и не нашлось места. Сказывалось отсутствие экспериментально проверенных методик, учебно-методической литературы. Пугало и смутное предчувствие трудностей, с которыми из-за необычности материала неизбежно столкнулись бы учителя и школьники. И все же некоторые подвижки произошли. Было принято решение о включении элементов теории вероятностей и статистики в перечень рекомендуемых факультативных занятий, а также о возможности (по усмотрению учителя) включения этих вопросов в программу школ с углубленным изучением математики. И только в новой России были внесены существенные изменения в программу по математике в стандартах второго поколения.

После того как были открыты границы СССР и наши школьники стали активно принимать участие в международном тестирование TIMSS, PISA (места в третьем и четвёртом десятке), то были обнаружены пробелы российского образования – отсутствие в программе глав по статистике, комбинаторике и теории вероятностей, поэтому министерством образования в 2004 году было принято решение о внесение этих глав в школьную программу. В наших школьных учебниках этих глав ещё не было, активных курсов по этим главам также не было, а решение об их изучении уже начало действовать и пришлось самим сидеть вспоминать программу университета, искать в учебниках, справочниках и других источниках информацию. Теперь это не актуально так, как появилось много литературы, есть образцы решения, поэтому я остановилась на типовых заданиях, которые встречаются в ЕГЭ и нужны нам и нашим ученикам.

Элементы теории вероятности. Основные сведения.

Случайные события и их вероятности . Опытом, или испытанием, называют всякое осуществление комплекса условий или действий, при которых наблюдается соответствующее явление. Возможный результат опыта называют событием.

Случайным называется событие, которое в данном опыте может произойти, а может и не произойти.

Событие называют достоверным в данном опыте, если оно обязательно произойдёт в этом опыте. Событие называют невозможным в данном опыте, если оно в этом опыте произойти не может.

Два события называются совместными в данном опыте, если появление одного из них не исключает появление другого в этом опыте, и несовместными , если они не могут произойти при одном и том же испытании.

Два события называются противоположными , если появление одного из них равносильно не появлению другого.

События считаются равновозможными , если нет оснований полагать, что одно событие является более возможным, чем другие.

Суммой , или объединением двух событий, называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из них. Сумма двух событий A и B обозначается A + B. Аналогично определяется и обозначается сумма n событий: + . Эта сумма означает событие, заключающееся в появлении хотя бы одного из них.

Произведением , или пересечением двух событий, называется событие, состоящее в одновременном их появлении. Произведение двух событий A и B обозначается через AB. Произведение n событий = означает событие, состоящее в появлении всех событий =

Разностью событий A и B называется событие C, которое означает, что наступает событие A и не происходит событие B. Разность событий принято обозначать A – B.

Если при каждом осуществлении комплекса условий, при котором происходит событие A, происходит и событие В, то говорят, что А влечёт за собой В, или А является частным случаем В, и обозначается: Если А ⊂ В и В ⊂ А, то говорят, что А и В равносильны:

Вероятность события.

Классическое определение вероятности. Вероятность события А определяется формулой P(A) = m/n, где n - число всех равновозможных элементарных исходов опыта, m - число элементарных исходов, благоприятствующих событию А.

Относительная частота события А (или просто частота) определяется формулой W(A) = m/n, где m - число опытов, в которых появилось событие А, n - число всех проведённых опытов.

Вероятность P(C) наступления хотя бы одного из двух несовместных событий A и B равна сумме их вероятностей: P(C) = P(A + B) = P(A) + P(B).

Вероятность P ( ) противоположного события : P(

Глава 2. Практическое решение задач.

2.1. Задачи по теории вероятности.

В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно один раз. Ответ: 0,5

В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что оба раза выпадет решка. Ответ: 0,25

В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что один раз выпадет орёл, а другой решка. Ответ: 0,25

В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 3 очка. Результат округлите до сотых. Ответ: 0,06

В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 5 очков. Результат округлите до сотых. Ответ: 0,11

Маша дважды бросает игральный кубик. В сумме у неё выпало 9 очков. Найдите вероятность того, что при первом броске выпало 5 очков. Ответ: 0,25

Саша дважды бросает игральный кубик. В сумме у него выпало 6 очков. Найдите вероятность того, что при первом броске выпало 3 очка. Ответ: 0,2

Наташа и Вика играют в кости. Они бросают кость по одному разу. Выигрывает тот, кто выбросил больше очков. Если очков выпало поровну, то наступает ничья. В сумме выпало 9 очков. Найдите вероятность того, что Наташа проиграла. Ответ: 0,5

Ученик дает верный ответ на вопрос учителя в 85% случаев. С какой вероятностью при очередном ответе ученик ошибается? Ответ: 0,15

Из отрезка a. Найдите вероятность того, что 0,1 геометрическая вероятность

Какова вероятность того, что произвольное решение неравенства 0, принадлежит отрезку ? 0,25 геометрическая вероятность

Капля краски случайным образом падает на круг диаметром 1 метр. С какой вероятностью окрашенная точка окажется на расстоянии не более 20 сантиметров от центра? 0,16 геометрическая вероятность

Бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет чётное число очков, не превосходящее шести. 0,25

В случайном эксперименте симметричную монету бросают три раза. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно два раза. 0,375

В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет не менее 10 очков. Результат округлите до сотых.

В ящике лежат неразличимые на ощупь карточки с буквами К, О, С, М, О, С. Какова вероятность того что, наудачу извлекая карточки и выкладывая их на столе, получится слово КОСМОС? Результат округлите до сотых. 0,01

Завод выпускает насосы. В среднем на выпущенных 100 насосов 91 качественный. Найдите вероятность того, что купленный насос будет со скрытым дефектом. 0,09

Завод выпускает холодильники. В среднем на 100 качественных холодильников приходится 15 холодильников со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленный холодильник окажется качественным. Результат округлите до сотых. Ответ: 0,87

Вероятность того, что в случайный момент времени температура здорового человека окажется ниже чем 36,8 С, равна 0,88. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени у здорового человека температура окажется 36,8 С или выше. Ответ: 0,12

В случайном эксперименте симметричную монету бросают три раза. Найдите вероятность того, что герб выпадет не более двух раз. Ответ: 0,875

В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет менее 7 очков. Результат округлите до сотых. 0,42

На клавиатуре телефона 10 цифр, от 0 до 9. Какова вероятность того, что случайно нажатая цифра будет чётной и больше 5? Ответ: 0,2

Какова вероятность того, что случайно выбранное натуральное число от 4 до 23 делится на три? Ответ: 0,3

Вероятность попадания в мишень стрелком равна 0,7. Какова вероятность хотя бы одного попадания в мишень этим стрелком в результате двух выстрелов? 0,91

Одновременно бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 5 очков. Ответ: 0,03

Футбольную секцию посещают 33 человека, среди них два брата – Антон и Дмитрий. Посещающих секцию случайным образом делят на три команды по 11 человек в каждой. Найдите вероятность того, что Антон и Дмитрий окажутся в одной команде. Ответ округлите до тысячных. 0,3125 Ответ: 0,313

Если майское утро ясное, то вероятность дождя в этот день 0,2. Если майское утро облачное, то вероятность дождя в течение дня 0,6. Вероятность того, что утро в мае будет облачным равна 0,4. Найдите вероятность того, что в случайно взятый майский день дождя не будет. Ответ: 0,64

Если июльское утро ясное, то вероятность дождя в этот день 0,1. Если июльское утро пасмурное, то вероятность дождя 0,5. Вероятность того, что утро будет пасмурным равна 0,2. Найдите вероятность того, что случайный июльский день будет без дождя. Ответ: 0,82

Две фабрики выпускают одинаковые стёкла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 60% этих стёкол, вторая -40%. Первая выпускает 4% бракованных стёкол, а вторая -3%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным. Ответ: 0,036

Симметричная монета – это монета, у которой нет смещения центра тяжести и события выпадения орла или решки будут равновозможными.

ОР, ОР, ОО, РР; m = 2, n = 4 P = Ответ: 0,5

Вероятность того, что выпадет одна решка 0,5, если одновременно, то 0,5·0,5 = 0,25. Ответ: 0,25

Вероятность того, что выпадет решка 0,5. Вероятность того, что выпадет орёл 0,5. Вероятность одновременного выпадения орла и решки 0,5·0,5 = 0,25.

Благоприятных событий два: 1+2, 2+1, всего событий n = 36, P = .

Благоприятных событий четыре: 1+4, 4+1, 2+3, 3+2, всего n = 36, P =

Всего четыре исхода: 3 + 6, 6 + 3, 4 + 5, 5 + 4, благоприятный исход: 5+ 4

n = 4, m = 1, P = Ответ: 0,25

Всего пять исходов: 1+5, 5+1, 4+2, 2+4, 3+3, благоприятный исход: 3+3.

n = 5, m = 1, P = Ответ: 0,2

Всего четыре исхода: 3 + 6, 6 + 3, 4 + 5, 5 + 4, выигрывают 2 случая, проигрывают два случая, n = 4, m = 2, P = Ответ: 0,5

Вероятность считают в дробях: 85% = 0,85, 1 – 0,85 = 0,15;

Геометрическая вероятность: n = 1 – (-4) = 5, m = 0,5,

, a = 0,75 – 0,25 = 0,5, P =

Геометрическая вероятность: решение неравенства х , x = n = 4, m = 3 -2 =1,

P = = 0,25. Ответ: 0,25

Геометрическая вероятность: P = = 0,16, R = 50 см, r = 20 см, Ответ: 0,16

n = 6·6 = 36, m = 9, благоприятные случаи: 1+1, 1+3, 1+5, 2+2, 2+4, 4+2, 5+1, 3+1, 3+3, все случаи: каждой из 6 граней первого кубика может упасть любая из 6 граней второго кубика. P = = 0,25. Ответ: 0,25

Всего 2·2·2 = 8 исходов: РРР, РРО, РОР, РОО, ОРР, ОРО, ООР, ООО. Благоприятных исходов три: РОО, ОРО, ООР, P = = 0,375. Ответ: 0,375

Всего исходов n = 6·6 =36, благоприятных исходов m = 6: 4+6, 6+4, 5+5, 6+6, 6+5, 5+6. P = Ответ: 0,17

Общее число исходов n = 6! = 720, благоприятных исходов m = 4, так как буквы о и с можно поменять местами. P = Ответ: 0,01

n = 100, m = 100 – 91 = 9, P = = 0,09. Ответ: 0,09

n = 100 +15 = 115, m = 100, P = = 0,869565 0,87 Ответ: 0,87

P = 1 – 0,88 = 0, 12 Ответ: 0,87

n = 2·2·2 = 8, событие А – не более 2 раз, событие более 2 раз, P( ) =

P(A) = 1 – 0,125 = 0,875. Все исходы: ООО, ОРР, РОО, РОР, ОРО, РРО, ООР, РРР. Благоприятные исходы: ОРР, РОО, РОР, ОРО, РРО, ООР, РРР. Ответ: 0,75

n = 6·6 = 36, m = 15. Благоприятные исходы: 1+1, 1+2, 1+3, 1+4, 1+5, 2+1,2+2, 2+3, 2+4, 3+1, 3+2, 3+3, 4+1, 4+2. P = Ответ: 0,42

n = 10, m = 2, благоприятные исходы: 6 и 8. P = Ответ: 0,2

n = 20 (23 – 4 = 19; 19 +1 = 20) m = 6 (6,9,12,15,18,21), P = = 0,3

P(попадания) = 0,7; P(промаха) = 0,3; Вероятность попадания при первом выстреле 0,3·0,7 = 0,21; 0,7 + 0,21 = 0,91. Ответ: 0,91

n = 6·6·6 = 216, благоприятных исходов m = 6 это: 1+1+3, 1+3+1, 3+1+1, 1+2+2, 2+1+2, 2+2+1. P = = 0, 027 Ответ: 0,03

P(A) = P(Д) = Ответ: 0,3125

1) 1 – 0,4 = 0,6 вероятность того, что в мае утро ясное

2) 0,6·0,2 = 0,12 вероятность того, что дождь будет, если утро ясное

3) 0,4·0,6 =0,24 вероятность того, что будет дождь, если утро пасмурное

4) 0,12 + 0,24 = 0,36 вероятность того, что в майский день будет дождь

5) 1 – 0,36 = 0,64 вероятность того, что дождя не будет Ответ: 0,64

28. 1) 1 - 0,2 = 0,8 вероятность того, что в июле утро ясное

2) 0,8·0,1 = 0,08 вероятность того, что дождь будет, если утро ясное

3) 0,2·0,5 = 0,1 вероятность того, что будет дождь, если утро пасмурное

4) 0,08 +0,1 = 0,18 вероятность того, что в июльский день будет дождь

5) 1 – 0,18 = 0,82 вероятность того, что дождя не будет Ответ: 0,82

29. 1) 0,6·0,04 = 0,024 вероятность того, что куплено бракованное стекло 1 фабрики

2) 0,4·0,03 = 0,012 вероятность того, что куплено бракованное стекло 2 фабрики

3) 0,024 + 0,012 = 0,036 объединение несовместных событий Ответ: 0,036

2.2. Задачи по статистике.

Мода – значение признака, имеющее наибольшую частоту в статистическом ряду распределения.

Среднее арифметическое (или просто среднее) набора чисел – это сумма всех чисел в этом наборе, делённая на их количество.

Медиана – это такое значение признака, которое разделяет ранжированный ряд (упорядоченный) ряд распределения на две равные части. Для нахождения медианы нужно отыскать значение признака, которое находится на середине упорядоченного ряда. Если упорядоченный ряд состоит из чётного количества чисел, то нужно взять среднее арифметическое тех двух чисел, которые наиболее близки к середине.

На каждые 11 страниц наборщик в среднем допускает 3 ошибки. Сколько ошибок следует ожидать на 1650 страницах?

Найдите медиану ряда чисел 6, 4, 7, 8, 12, 4, 6, 7, 5.

Найдите медиану ряда чисел 61, 12, 54, 104, 37, 49.

Дан ряд чисел: 16, 15, 18, 12, 13, 20, 16, 14, 11. Найдите, на сколько мода этого ряда больше среднего.

На письменном экзамене можно получить от 0 до 10 баллов. Десять учеников получили такие оценки: 10, 4, 5, 7, 7, 6, 9, 4, 8, 5. Определите, насколько размах этого ряда данных меньше его среднего.

Теория вероятностей зародилась в ходе переписки Паскаля с Ферма.
Блез Паскаль в 1653 го¬ду путешествовал со своими друзьями, среди них был шевалье (кавалер) де Мере. Во время этого путешествия де Мере задал Паскалю два вопроса об азартных играх.
Настоящее имя шевалье де Мере было Антуан Гомбо (фр. Antoine Gombaud 1607, 1684, Франция), Он был писателем и в своих произведениях выступал от имени персонажа “шевалье де Мере”. Поэтому в своей переписке с Ферма Паскаль использовал это имя.
Шевалье де Мере, был страстным игроком в кости. Он всячески старался разбогатеть при помощи игры и для этого придумывал разные усложненные правила, которые, как ему казалось, приведут его к цели. В то время стремление разбогатеть при помощи азартных игр охватывало, как болезнь, многих людей.
ПЕРВЫЙ ВОПРОС Шевалье де Мере касался азартной игры в кости.
Де Мере придумал, в частности, такие правила игры. Он предлагал бросить одну кость четыре раза подряд и бился об заклад, что при этом хотя бы один раз выпадет 6; если же этого не случалось, — ни разу не выпадало 6 очков,— то выигрывал его противник. Де Мере предполагал, что он будет чаще выигрывать, чем проигрывать, но все же обратился к Блезу Паскалю с просьбой рассчитать, какова вероятность выигрыша в придуманной им игре.
Паскаль направил это вопрос Ферма и сам начал решать эту задачу. Решение этой задачи у них “изумительно” совпало. Оно заключается в следующем.
При каждом отдельном бросании вероятность выпадения 6 равняется 1/6. Вероятность же того, что не выпадет 6 очков, равна 5/6. Далее, пусть мы бросим кость дважды. Повторим опыт, состоящий в двукратном бросании кости. Тогда наша вероятность в 5/6 увеличится в квадрате и будет составлять 25/36. Точно так же показывается, что вероятность того, что ни разу не выпадет 6 при трехкратном бросании кости, равна 125/216 (уже в кубе). Наконец, вероятность того, что при четырехкратном бросании ни разу не выпадет 6, равна 625/1296 (в четвертой степени). Таким образом, для рыцаря де Мере вероятность проигрыша была равна 625/1296 , то есть меньше 1/2.
Следовательно, вероятность выигрыша была больше половины. Значит, при каждой игре больше половины шансов было за то, что шевалье выиграет; при многократном же повторении игры он почти, наверное, оказывался в выигрыше.
ВТОРОЙ ВОПРОС, был “о разделении ставки”.
Два игрока играют и они договорились, что то, кто первым выиграет 6 партий, получит весь приз. Предположим, то на самом деле игра остановилась, до того, как один из них выиграл приз (например, первый игрок выиграл 5 партий, второй - 3). Как справедливо следует разделить приз? Большинство математиков (16-17в) считали, что в отношении 5:3, один из них - Тарталья считал, что 2:1.
Паскаль и Ферма установили, что 7:1

Хотя Ферма и не удалось дать систематическое изложение теории чисел, все же современным развитием этой науки и присущей ей теперь внутренней связностью мы в значительной мере обязаны его открытиям и вызванным ими стремлениям доказать их справедливость.

Иероним Георг Цейтен

Пьер де Ферма (17 августа 1601 – 12 января 1665) – знаменитый французский математик. Широкой публике юрист по образованию Ферма известен, прежде всего, благодаря Великой теореме, носящей его имя. Однако Ферма занимался не только наиболее любимой им теорией чисел. Но и математическими проблемами, стоявшими в центре внимания ученых XVII века, а именно, задачами определения максимумов и минимумов, нахождения касательных, вычислений площадей, центров тяжести, длины дуг кривых, короче, теми вопросами, которые мы сейчас относим к математическому анализу или дифференциальному и интегральному исчислению. И здесь Ферма принадлежат самые крупные результаты, предшествующие созданию дифференциального и интегрального исчисления Ньютоном и Лейбницем. Кроме того, Ферма первым пришел к идее координат и создал аналитическую геометрию. Он занимался также задачами теории вероятностей.

Пьер Ферма родился в городке Бомон-де-Ломань (Франция). Его отец, Доминик Ферма, был зажиточным торговцем, вторым городским консулом, т.е. чем-то вроде помощника мэра. В семье, кроме Пьера, были ещё один сын и две дочери.

Маленький Пьер учился в родном городе у францисканцев, а заканчивать образование уехал в Тулузу, ближайший университетский город. К сожалению, об университетских годах Пьера Ферма ничего не известно, как неизвестны и его учителя. Можно лишь предполагать, что обучение было основательным: его знания главных европейских языков и литератур были обширными и глубокими; греческая и латинская филология обязаны ему некоторыми важными исправлениями; его познания поражали современников своей широтой и разносторонностью. Он с одинаковой легкостью писал стихи на родном, латинском, испанском языках.

Ферма получил юридическое образование – сначала в Тулузе, а затем в Бордо и Орлеане. Надо думать, выбор факультета не был случайным. Его мать, Клер де Лонг, была из семьи юристов, так что Ферма с детства вращался в судейской среде. По окончании университета оп занялся, и с большим успехом, адвокатурой.

Однако с первых же лет самостоятельной деятельности он не мог ограничить круг интересов своей профессией. Работы над древними авторами и все усиливающийся интерес к математике занимали все его свободное время. Результаты этого не замедлили сказаться.

Уже в 1629 году Ферма справился с задачей своеобразной и трудной. В его распоряжении был латинский перевод математических работ Паппа. В этих работах содержался краткий пересказ предложений Аполлония. Ферма задался целью восстановить ход рассуждений знаменитого автора и исполнил свое намерение.

К 1629 году относится и одно из капитальных открытий Ферма – метод отыскания максимумов и минимумов.

Адвокатская практика Ферма проходила успешно, однако он решил перейти на государственную службу. Актом от 14 мая 1631 года Ферма зачисляется на должность чиновника (советник по приему жалоб) кассационной палаты Тулузского парламента. Парламентами во Франции в ту пору назывались окружные судебные органы. Здесь Ферма и прослужил до конца жизни, поднявшись до звания советника следственной палаты и имея репутацию глубокого знатока права и неподкупно честного юриста.

В этом же году Ферма женился на своей дальней родственнице с материнской стороны – Луизе де Лонг. У Пьера и Луизы было пятеро детей, из которых старший, Самюэль, стал поэтом и учёным.

Быстрый служебный рост позволил Ферма стать членом Палаты эдиктов в городе Кастр (1648). Именно этой должности он обязан добавлением к своему имени признака знатности – частицы de; с этого времени он становится Пьером де Ферма.

При жизни Ферма о его математических работах стало известно главным образом через посредство обширной переписки, которую он вёл с другими учёными. Собрание сочинений, которое он неоднократно пытался написать, так и не было им создано. Да это и неудивительно при той напряжённой работе в суде, которую ему пришлось выполнять. Ни одно из его сочинений не было опубликовано при жизни. Однако нескольким трактатам он придал вполне законченный вид, и они стали известны в рукописи большинству современных ему учёных. Кроме этих трактатов осталась ещё обширная и чрезвычайно интересная его переписка.

В XVII веке, когда ещё не было специальных научных журналов, переписка между учёными играла особую роль. В ней ставились задачи, сообщалось о методах их решения, обсуждались острые научные вопросы.

Корреспондентами Ферма были крупнейшие учёные его времени: Декарт, Этьен и Блез Паскали, Гюйгенс, Торричелли, Валлис. Письма посылались либо непосредственно корреспонденту, либо в Париж аббату Мерсенну (соученику Декарта по колледжу); последний размножал их и посылал тем математикам, которые занимались аналогичными вопросами.

Крупную заслугу Ферма перед наукой видят, обыкновенно, во введении им бесконечно малой величины. Ферма практически по современным правилам находил касательные к алгебраическим кривым. Именно эти работы подтолкнули Ньютона к созданию анализа. В учебниках по математическому анализу можно найти важную лемму Ферма, или необходимый признак экстремума: в точках экстремума производная функции равна нулю.

Ферма сформулировал общий закон дифференцирования дробных степеней и распространил формулу интегрирования степени на случаи дробных и отрицательных показателей.

Ферма одним из первых занялся задачей спрямления кривых, т.е. вычислением длины их дуг. Он сумел свести эту задачу к вычислению некоторых площадей.

И всё же, главная же заслуга Пьера Ферма – создание теории чисел. Если в других работах Ферма исследовал темы, которые были в центре внимания и многих других математиков его времени, – Кеплера, Кавальери, Торричелли, Блеза Паскаля, Валлиса, – то в теории чисел он был первооткрывателем. Никто из его современников и никто из математиков, живших после него, вплоть до Эйлера, не понимал ни значения поднятых им проблем, ни внутренней их связи. Сам Ферма писал:

Арифметика имеет свою собственную область, теорию целых чисел; эта теория была лишь слегка затронута Евклидом и не была достаточно разработана его последователями (если только она не содержалась в тех книгах Диофанта, которых нас лишило разрушительное действие времени); математики, следовательно, должны ее развить или возобновить.

Ферма удалось выделить из хаоса задач и частных вопросов, сразу же возникающих перед исследователем при изучении свойств целых чисел, основные проблемы, которые стали центральными для всей классической теории чисел. Ему же принадлежит открытие мощного общего метода для доказательства теоретико-числовых предложений – так называемого метода неопределённого или бесконечного спуска.

Ферма обнаружил, что если a не делится на простое число p , то число а р –1 –1 всегда делится на p . Это утверждение получило название малой теоремы Ферма. Оно является основным во всей элементарной теории чисел. Эйлер дал этой теореме несколько различных доказательств. Позднее Эйлер дал доказательство и обобщение этого важного результата.

Ферма разработал способ систематического нахождения всех делителей числа, сформулировал теорему о возможности представления произвольного числа суммой не более четырёх квадратов (теорема Лагранжа о сумме четырёх квадратов).

Наоборот, невозможно разложить ни куб на два куба, ни биквадрат на два биквадрата и вообще ни в какую степень, большую квадрата, на две степени с тем же показателем. Я открыл этому поистине чудесное доказательство, но эти поля для него слишком узки.

Для любого натурального числа п>2 уравнение

а п + b п = с п

не имеет натуральных решений а, b и с .

Это и есть знаменитая Великая теорема Ферма.

Теорема эта имела удивительную судьбу. В прошлом веке её исследования привели к построению наиболее тонких и прекрасных теорий, относящихся к арифметике алгебраических чисел. Без преувеличения можно сказать, что она сыграла в развитии теории чисел не меньшую роль, чем задача решения уравнений в радикалах в алгебре.

Сам Ферма опубликовал доказательство частного случая для п=4 , что добавляет сомнений в том, что у него было доказательство общего случая.

Эйлер в 1770 году доказал теорему для случая п=3 , Дирихле и Лежандр в 1825 – для п=5 , Ламе – для п=7 . Куммер показал, что теорема верна для всех простых n , меньших 100 , с некоторыми возможными исключениями.

Ферма не ограничивался одной только математикой, он занимался и физикой, где ему принадлежит открытие закона распространения света в средах. Ферма исходил из предположения, что свет пробегает путь от какой-либо точки в одной среде до некоторой точки в другой среде в наикратчайшее время. Применив свой метод максимумов и минимумов, он нашел путь света и установил, в частности, закон преломления света. При этом Ферма высказал следующий общий принцип:

Природа всегда действует наиболее короткими путями,

который может считать предвосхищением принципа наименьшего действия Мопертюи – Эйлера.

Жизнь Ферма была бедна внешними событиями, но следы, оставленные им в математике, таковы, что интерес к его личности не ослабевает. Наследие Ферма неисчерпаемо по глубине содержания.

Современники характеризуют Ферма как честного, аккуратного, уравновешенного и приветливого человека, блестяще эрудированного как в математике, так и в гуманитарных науках, знатока многих древних и живых языков, на которых он писал неплохие стихи.

Пьер де Ферма умер 12 января 1665 года в городе Кастр, во время выездной сессии суда. Первоначально его похоронили там же, в Кастре, но вскоре, в 1675 году, прах перенесли в семейную усыпальницу Ферма в церкви августинцев в Тулузе.

Это был один из наиболее замечательных умов нашего века, такой универсальный гений и такой разносторонний, что если бы все ученые не воздали должное его необыкновенным заслугам, то трудно было бы поверить всем вещам, которые нужно о нем сказать, чтобы ничего не упустить в нашем похвальном слове.

Неоценимую услугу математике оказал сын Ферма, Самюэль. В 1679 году он издал труды отца под заглавием "Различные математические работы доктора Пьера де Ферма, выбранные из его писем или к нему написанных по математическим вопросам и по физике ученейшими мужами на французском, латинском или итальянском языках". К сожалению, Самюэль Ферма не оставил никаких воспоминаний об отце.

Именем Ферма названы:

лицей Пьера де Ферма в Тулузе
премия Ферма Математического института Тулузы (учреждена в 1989 году, сумма вознаграждения составляет примерно 20 000 евро и присуждается один раз в два года).

Имя Ферма носят следующие математические объекты:

Великая теорема Ферма
Малая теорема Ферма
спираль Ферма
теорема Ферма об условии локального экстремума функции
числа Ферма
точки Ферма
теорема Ферма о многоугольных числах
частное Ферма.

Ровно 350 лет назад во Франции скончался математик Пьер де Ферма, всю жизнь проработавший в судах. Он прославился как создатель Великой теоремы, на поиск доказательства которой ушло более 300 лет.

"Формула аⁿ + bⁿ = cⁿ не имеет не дробных решений для n > 2", – это и есть формулировка одной из самых знаменитых математических теорем, более известной как Великая теорема Ферма (нередко ее же называют Последней теоремой Ферма). Француз Пьер Ферма сформулировал ее в 1637 году, за прошедшее время теорема получила широкую популярность не только среди ученых, но и в массовой культуре.

Но обо всем по порядку. О жизни Пьера Ферма известно не очень много. Он родился 17 августа 1601 года в небольшом городе Бомон–де–Ломань в семье зажиточного торговца, второго городского консула Доминика Ферма и Клер де Лонг, которая происходила из семьи юристов. Своим детям, а их в семье было четверо – два мальчика и две девочки, любящий отец Доминик дал хорошее образование. Пьер закончил колледж в родном городе, а затем обучался в Тулузе, Бордо и Орлеане, где получил степень бакалавра. Истинной страстью Пьера Ферма всю жизнь оставалась математика, но в силу разных обстоятельств ученые в то время не могли полностью посвятить себя любимой науке, и в качестве профессии будущий создатель Великой теоремы избрал юриспруденцию.

В 1630 году Пьер Ферма поселяется в Тулузе, где занимает пост советника парламента, то есть высшего суда. В том же году он женится на дальней родственнице своей матери Луизе де Лонг. Современники отмечали его честность и аккуратность, он "славился как один из лучших юристов своего времени", что позволило ему в 1648 году стать членом Палаты эдиктов в городе Кастр и добавить к своему имени частицу де – признак знатности.

Помимо выдающихся заслуг в качестве юриста Пьер Ферма был известен и как полиглот и знаток античности – еще в колледже он овладел несколькими иностранными языками, впоследствии писал стихи на французском, латинском и испанском, а также консультировал издателей трудов древних греков.

И все же широкую известность Пьер Ферма получил как ученый. Занимался он математикой не по долгу службы, а просто потому, что любил ее. Интересны ему были ее закономерности и загадки. Признанным является его вклад в развитие аналитической геометрии и математического анализа.

Одной из первых математических работ Пьера Ферма стала попытка восстановления по сохранившимся упоминаниям утерянного трактата древнегреческого математика Аполлония "Плоские места".

Ферма первым применяет буквенную алгебру к задачам геометрии, вводит в аналитическую геометрию понятие бесконечно малой величины, предлагает методы нахождения экстремумов и проведения касательных к произвольным кривым, метод вычисления площадей, ограниченных любыми "параболами" и любыми "гиперболами", показывает, что площадь неограниченной фигуры может быть конечной. Он первым занялся проблемой вычисления длины дуг кривых (задача спрямления кривых) и свел эту задачу к вычислению площадей.

По некоторым данным, Пьер Ферма видел взаимно обратную связь между методами определения площадей и нахождения касательных, и был в одном шаге от понятия "интеграл", однако не стал это направление развивать. Уже после смерти Ферма "задачи на площади" и "задачи на касательные" связали Ньютон и Лейбниц, которым и принадлежит право являться основоположниками дифференциального и интегрального исчислений. Ньютон признавался, что работы Ферма имели для него большое значение и подтолкнули к изысканиям в этом направлении.

В то время еще не было регулярно выходивших научных журналов, поэтому большое значение в распространении и обсуждении научных идей имела личная переписка ученых. Ферма вел обширную переписку с Декартом, отцом и сыном Паскалями, Гюйгенсом, Торричелли, де Бесси, Валлисом – величайшими математиками того времени, - либо непосредственно, либо через Марена Мерсенна – богослова и математика, своего рода координатора научной мысли, который занимался размножением писем и рукописей среди ученых, интересовавшихся близкими к обсуждаемым вопросами. В настоящее время Мерсенн известен в основном как исследователь чисел вида 2 n – 1 ("чисел Мерсенна"), играющих важную роль в теории чисел и криптографии.

Ферма закончил несколько научных трактатов, однако ни один из них не был опубликован при его жизни. Тем не менее они стали известны в рукописях в кругу математиков. В частности, в 1636 году Ферма закончил работу "Введение к теории плоских и пространственных мест", где впервые были классифицированы кривые в зависимости от порядка уравнения.

Сегодня даже школьникам, изучающим начала математического анализа, известно, что производная функции в точке экстремума, максимума или минимума, равна нулю. И хотя понятия "производная" тогда еще не существовало, именно об этом говорит лемма Ферма.

Работа "Метод отыскания максимумов и минимумов", переданная Мерсенну в 1636 году, была раскритикована Декартом. Ферма же, вступив в полемику, отвечал своему оппоненту спокойно и сдержанно, хотя и не без иронии, более подробно объясняя суть своего метода, что характеризует его как человека и ученого.

Пьер Ферма стоял у истоков области математики, называемой сейчас теорией вероятностей. В переписке Ферма с Блезом Паскалем было определено понятие математического ожидания, сформулированы теоремы сложения и умножения вероятностей. Результаты этих обсуждений приведены в работе Христиана Гюйгенса "О расчётах в азартной игре" (1657 г.).

Однако главной заслугой Ферма по праву считается создание теории чисел. Ни его современники, ни математики более позднего времени вплоть до Леонарда Эйлера, жившего в XVIII веке, не понимали значения поднятых им проблем.

Изучением свойств целых чисел Пьер Ферма занялся в 40–ые годы. 18 октября 1640 года в письме к французскому математику Бернару Френиклю Пьер Ферма сформулировал следующую теорему: если число a не делится на простое число p, то (а p-1 —1) делится на р. Утверждение это, получившее название Малой теоремы Ферма, было оставлено Ферма без доказательства. Позднее она была доказана и обобщена Леонардом Эйлером, швейцарским, немецким и русским математиком. Здесь стоит отметить, что ученый любил не только создавать новые теоремы, но и поддразнивать своих современников, предлагая им найти доказательства.

Из всего наследия античности да нас дошли две книги, посвященные вопросам теории чисел – "Начала" Евклида и "Арифметика" Диофанта. Вторая книга долгое время была неизвестна, лишь в XVI веке она была обнаружена в библиотеке Ватикана, причем не полностью. Она была посвящена решению неопределенных уравнений в рациональных числах. Теорем, в нашем понимании слова, книга не содержала.

Именно эта книга, изданная во Франции в начале XVII века, стала настольной книгой Ферма. Именно на ее полях в 1637 году Пьер Ферма сделал те самые знаменитые заметки, которые стали Великой теоремой его имени: напротив задачи древнегреческого математика: "Разделить квадратное число на два других квадратных числа", Ферма написал: "Наоборот, невозможно разложить ни куб на два куба, ни биквадрат на два биквадрата и вообще ни в какую степень, большую квадрата, на две степени с тем же показателем. Я открыл этому поистине чудесное доказательство, но эти поля для него слишком узки".

Именно с этой заметки начинается удивительная судьба самой популярной и трудно доказуемой теоремы в мире. Удивительна она хотя бы потому, что теорема без доказательства является гипотезой, однако к этому времени за Ферма уже закрепилась слава человека, который никогда не ошибается. К тому же он оставил доказательство теоремы для четвертых степеней, применив "метод неопределенного или бесконечного спуска", с помощью которого в 1770 году теорему для случая n = 3 доказал Леонард Эйлер. Спустя полвека немецкий математик Иоганн Дирихле совместно с французом Адриеном Мари Лежандром доказал Великую теорему для частного случая n = 5, а в 1839 году Габриэль Ламе – для n = 7. В конце 30–х – начале 40–х годов XVIII века немецкий математик Эрнст Эдуард Куммер нашел доказательство для всех простых чисел n меньше 100.

Многочисленные исследования математиков привели к построению новых теорий в арифметике алгебраических чисел. А популярность теоремы привела к тому, что доказательство ее пытались искать не только ученые, но и дилетанты. И тех, и других стали называть "ферматистами".

В 1908 году математик–любитель Пауль Вольфскель объявил о награде в 100 тысяч немецких марок первому человеку, кто в течение 100 лет докажет Великую теорему Ферма. После Первой мировой войны завещанная сумма обесценилась, впрочем, к этому времени профессиональные математики отказывались тратить свое время на поиск доказательства, так как считали это делом безнадежным, однако среди любителей это стало в некотором роде модой. В 1972 году журнал "Квант" даже предупредил своих читателей, что "письма с проектами доказательств теоремы Ферма рассматриваться (и возвращаться) не будут", а немецкий ученый Эдмунд Ландау поручил своим аспирантам находить ошибки в присланных ему работах "ферматистов" и отсылать их авторам письмо следующего содержания: "Благодарю Вас за присланную Вами рукопись с доказательством Великой теоремы Ферма. Первая ошибка находится на стр. … в строке …"

И все–таки полное доказательство было найдено! Дал его в 1995 году, спустя три с половиной века после того, как теорема была сформулирована, английский и американский математик Эндрю Джон Уайлс. Впервые Уайлс узнал о существовании теоремы Ферма в десятилетнем возрасте. После того, как первая попытка найти доказательство провалилась, он переключился на изучение трудов ученых–"ферматистов", изучал математику и вернулся к теореме спустя годы. Семь лет упорной работы в обстановке абсолютной секретности принесли свои плоды - в 1993 году он впервые представил миру свое доказательство Великой теоремы Ферма. Однако доказательство требовало серьёзной проверки, в результате которой была обнаружена грубая ошибка, хотя эксперты сошлись во мнении, что в целом решение верно. Уайлс, который с детства считал поиск доказательства Великой теоремы Ферма делом своей жизни, призвал на помощь специалиста в теории чисел Ричарда Тейлора, и уже год спустя они опубликовали исправленное и дополненное доказательство. Решение общим объемом в 130 страниц было опубликовано в журнале Annals of Mathematics в мае 1995 года. А в 1997 году Уайлс получил 50 тысяч долларов в качестве премии Вольфскеля. С этих пор Великая теорема Ферма официально считается доказанной.

Между тем, сам Пьер Ферма не оставил никакого наследия. Долгие годы он работал над собранием сочинений, однако напряженная работа в суде, видимо, помешала ему осуществить задуманное. В 1679 году первое собрание трудов Ферма выпустил и опубликовал старший сын ученого Самюэль.

Умер Пьер Ферма 12 января 1665 года во время выездной сессии суда в городе Кастр, через 10 лет прах его был перенесен в семейную усыпальницу Ферма в Тулузе.

Читайте также: