Система аксиом гильберта доклад

Обновлено: 02.07.2024

Система аксиом Гильберта естественным образом распадается на пять групп: первая группа содержит восемь аксиом и называется группой аксиом принадлежности, вторая – группа аксиом порядка содержит четыре аксиомы, третья группа – группа аксиом конгруэнтности содержит пять аксиом, четвертая – содержит одну аксиому, которая называется аксиомой параллельности, пятая группа, состоящая из двух аксиом, называется группой аксиом непрерывности. Группы аксиом нумеруются римскими числовыми символами I, II, III, IV, V, а аксиомы в пределах каждой группы - арабскими цифрами от 1 до 8.Таким образом, каждая аксиома нумеруется двойным символом вида I₂, II₄, V₁ и т.п.

Аксиомы раскрывают содержание основных, неопределяемых понятий достаточное для формально логического построения теории. В этом смысле соответствующая совокупность аксиом может рассматриваться как особого вида определение соответствующего базового понятия.

Приводим полный список аксиом всех пяти групп.

I₁. Для любых двух точек А, В существует прямая, принадлежащая каждой из этих двух точек А, В.

I₂. Для двух точек А, В существует не более одной прямой, принадлежащей каждой из точек А, В.

I₃. На прямой существуют по крайней мере две точки. Существуют по крайней мере три точки, не лежащие на одной прямой.

I₄. Для любых трех точек А, В, С не лежащих на одной и той же прямой, существует плоскость a, принадлежащая каждой из трех точек А, В, С. Для любой плоскости всегда существует принадлежащая ей точка.

I₅. Для любых трех точек А, В, С, не лежащих на одной и той же прямой, существует не более одной плоскости, принадлежащей этим точкам.

I₆. Если две точки А, В прямой а лежат в плоскости a, то всякая точка прямой а лежит в плоскости a.

I₇. Если две плоскости a и b имеют общую точку A, то они имеют, по крайней мере, еще одну общую точку В.

I₈. Существуют, по крайней мере 4 точки, не лежащие в одной плоскости.

II₁. Если точка В лежит между точками A и С, то А, В, С суть три различные точки прямой, и В лежит также между С и А.

II₂. Для любых двух точек А и С на прямой АС существует по крайней мере одна точка В такая, что точка С лежит между А и В.

II₃. Среди любых 3 точек прямой существует не более одной точки, лежащей между двумя другими.

Определение: Система двух точек А и В называется отрезком. Такой отрезок обозначается АВ или ВА. Точки, лежащие между А и В, называются внутренними точками отрезка АВ, а точки А и В – концами этого отрезка.

II₄. Пусть А, В, С – три точки, не лежащие на одной прямой, и а – прямая в плоскости АВС, не проходящая ни через одну из точек А, В, С. Если при этом прямая а проходит через одну из внутренних точек отрезка АВ, то она должна пройти через одну из внутренних точек или отрезка АС или отрезка ВС.

Отметим, что аксиому II₄ часто называют аксиомой Паша (нем. Математик 19-20 в.в, известный исследованиями в области оснований геометрии).

III₁. Если А, В суть две точки на прямой а, и А´ – точка на той же прямой или на другой прямой а´, то всегда можно найти точку В´, лежащую по данную от точки А´ сторону прямой а´, и при том такую, что АВ конгруэнтен, иначе говоря, равен отрезку А´B´. Конгруэнтность отрезков АВ и А´B´ обозначается записью:

АВ º А´B´ (в нашей литературе вместо º пишут @).

III₂. Если отрезок A´B´ и A´´B´´ конгруэнтны одному и тому же отрезку АВ, то отрезок A¢B¢ конгруэнтен отрезку A´´B´´. Короче говоря, если два отрезка конгруэнтны третьему, то они конгруэнтны друг другу.

III₃. Пусть АВ и ВС суть два отрезка прямой а, не имеющие ни одной общей точки кроме точки В, и пусть, далее, A´B´ и B´С´ суть два отрезка той же прямой или другой прямой а´, так же не имеющие общей точки, кроме точки В´. Если при этом АВ º A´B´ и BC º B´C´, то и AC º A´C´.

Определение: Пара лучей h и kразличных, не принадлежащих одной прямой, и имеющих общее начало, называется углом. Угол, образованный h и k, обозначается Ð hk.

III_4.Пусть даны Ð hk в плоскости a и прямаяа¢ в плоскости a, или в другой плоскости a¢. Пусть h¢ - луч, принадлежащий прямой а¢. Тогда в плоскости a¢ по заданную сторону от прямой а¢ существует и при том единственный луч k¢, начало которого совпадает с началом луча h¢, такой, что Ðhk конгруэнтен, то есть равен углу Ðh¢k¢. Каждый угол конгруэнтен самому себе. Конгруэнтность углов обозначается также, как и конгруэнтность отрезков: Ðhk º Ðh¢k¢.

Определение: Если три точки А,В, С не принадлежат одной прямой, то совокупность трех отрезков АВ,ВС и СА называют треугольником АВС. Треугольник АВС обозначают : DАВС.

III_5. Если для двух треугольников АВС и А¢В¢С¢ имеют место конгруэнтности: АВºА¢В¢, АСºА¢С¢ и ÐВАСºÐВ¢А¢С¢, то имеет место так же и конгруэнтность ÐАВСºÐ А¢В¢ С¢.

Замечание: ÐАВС - угол образованный лучами ВА и ВС, у которых точка В общее начало.

IV. (аксиома Евклида). Пусть а – произвольная прямая и А – точка, лежащая вне ее. В таком случае в плоскости, определяемой прямой а и точкой А, существует не более одной прямой, проходящей через точку А и не пересекающей прямой а.

Так как такая прямая существует, что доказывается с опорой на то, что два различных перпендикуляра к одной прямой не пересекаются, то вводится понятие параллельности прямых: прямая а параллельна прямой b, если а и b лежат в одной плоскости и не имеют общих точек.

V₁.(аксиома Архимеда ) Пусть АВ и CD – два каких-нибудь отрезка. Тогда на прямой АВ существует конечное число точек A₁, A₂, …, A_n таких, что отрезки AA₁, A₁A₂, A₂A₃,…, A_n_-1A_n конгруэнтны отрезку CD и точка В лежит между точками А и А_n.

V₂.(аксиома линейной полноты) Точки прямой образуют систему, которая при сохранении линейного порядка, первой аксиомы конгруэнтности, и аксиомы Архимеда, т.е. аксиом I₁, I₂, II, III₁ и V₁ не допускает никакого расширения, т.е. к системе точек, отвечающей перечисленным аксиомам, не возможно прибавить еще точки так, чтобы в получающейся системе точек выполнялись все перечисленные аксиомы.

Для следствий аксиом I - IV групп характерно отсутствие понятия о бесконечном множестве. По этой причине ничто не вынуждает нас прибегать к понятиям теории множеств. Развивая геометрию на основе аксиом, мы, опираясь на законы формальной логики, применяем их только к конечным конструкциям. Все рассуждения, благодаря этому, носят совершенно прозрачный характер, обладают большой наглядностью.

Принимая аксиомы группы V мы, напротив, вынуждены иметь ввиду бесконечное множество, что вносит определенную неясность принципиального характера: мы хотим обосновать геометрию, а между тем вынуждены опираться на теорию множеств, которая сама нуждается в обосновании. Возникает необходимость в расширении круга исследования.

Крупнейшим достижением Гильберта в области логического анализа геометрии явилось как раз то, что он обнаружил возможность развивать геометрию во всем основном, не пользуясь аксиомами непрерывности (кстати, такая геометрия носит название неархимедовой геометрии).

С точки зрения педагогической, именно евклидовско-гильбертовский путь построения учебного курса геометрии наиболее полно и естественно обеспечивает решение одной из главных задач общего образования – формирование формально-логического мышления учащихся, позволяет наиболее естественно развивать их наглядные представления и умения в их использовании, обеспечивает реализацию одного из важных общих принципов обучения, принципа историзма, отражения и использования исторического процесса формирования научных знаний.

Приводим полный список аксиом всех пяти групп.

I₁. Для любых двух точек А, В существует прямая, принадлежащая каждой из этих двух точек А, В.

I₂. Для двух точек А, В существует не более одной прямой, принадлежащей каждой из точек А, В.

I₆. Если две точки А, В прямой а лежат в плоскости a, то всякая точка прямой а лежит в плоскости a.

I₇. Если две плоскости a и b имеют общую точку A, то они имеют, по крайней мере, еще одну общую точку В.

I₈. Существуют, по крайней мере 4 точки, не лежащие в одной плоскости.

II₃. Среди любых 3 точек прямой существует не более одной точки, лежащей между двумя другими.

АВ º А´B´ (в нашей литературе вместо º пишут @).

Замечание: ÐАВС - угол образованный лучами ВА и ВС, у которых точка В общее начало.

Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни.

Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой.

Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого.

Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим.

Все точки, прямые и плоскости предполагаются различными, если не оговорено особое.

Аксиомы

Система из 20 аксиом поделена на 5 групп:

аксиомы принадлежности:
- планиметрические:
  1. Каковы бы ни были две точки A и B, существует прямая a, которой принадлежат эти точки.
  2. Каковы бы ни были две различные точки A и B, существует не более одной прямой, которой принадлежат эти точки.
  3. Каждой прямой a принадлежат по крайней мере две точки. Существуют по крайней мере три точки, не принадлежащие одной прямой.
- стереометрические:
  1. Каковы бы ни были три точки A, B и C, не принадлежащие одной прямой, существует плоскость α, которой принадлежат эти три точки. Каждой плоскости принадлежит хотя бы одна точка.
  2. Каковы бы ни были три точки A, B и C, не принадлежащие одной прямой, существует не более одной плоскости, которой принадлежат эти точки.
  3. Если две принадлежащие прямой a различные точки A и B принадлежат некоторой плоскости α, то каждая принадлежащая прямой a точка принадлежит указанной плоскости.
  4. Если существует одна точка A, принадлежащая двум плоскостям α и β, то существует по крайней мере ещё одна точка B, принадлежащая обеим этим плоскостям.
  5. Существуют по крайней мере четыре точки, не принадлежащие одной плоскости.
- линейные:
  1. Если точка B прямой а лежит между точками А и С той же прямой, то А, В и С — различные точки указанной прямой, причем В лежит также и между С и А.
  2. Каковы бы ни были две различные точки А и С, на определяемой ими прямой существует по крайней мере одна точка В такая, что С лежит между А и В.
  3. Среди любых трёх точек, лежащих на одной прямой существует не более одной точки, лежащей между двумя другими.
- конгруэнтность отрезков:
  1. Если А и В — две точки на прямой а, А’ — точка на той же прямой или на другой прямой а’, то по данную от точки А’ сторону прямой а’ найдется, и притом только одна, точка В’ такая, что отрезок А’B’ конгруэнтен отрезку АВ. Каждый отрезок АВ конгруэнтен отрезку ВА.1
  2. Если отрезки А’B’ и А"B" конгруэнтны одному и тому же отрезку АВ, то они конгруэнтны и между собой.
  3. Пусть АВ и ВС — два отрезка прямой а, не имеющие общих внутренних точек, А’B’ и B’C’ — два отрезка той же прямой, или другой прямой а’, также не имеющие общих внутренних точек. Тогда если отрезок АВ конгруэнтен отрезку А’B’, а отрезок ВС конгруэнтен отрезку B’C’, то отрезок АС конгруэнтен отрезку А’C’.
- конгруэнтность углов:
  1. Если даны угол ∠ABC и луч B’C', тогда существует ровно два луча, B’D и B’E такие, что ∠DB’C' ≅ ∠ABC и ∠EB’C' ≅ ∠ABC.
- Следствие. Каждый угол конгруэнтен сам себе.
  1. Треугольники ΔABC ≅ ΔA’B’C', если AB ≅ A’B', AC ≅ A’C', и ∠BAC ≅ ∠B’A’C'.
- 1. аксиома параллельности
21-я аксиома

Гильберт изначально (1899) включил 21-ю аксиому:

англ. ) доказал в 1902 году, что эта аксиома избыточна.

Другие системы аксиом

Создатели догильбертовских систем:

Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке. Оригинальная статья находится по адресу: Аксиоматика Гильберта. Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок. Так же, как и в этом проекте, тексты, размещённые в Википедии, доступны на условиях GNU FDL.

Хотя в современном аксиоматическом изложении геометрии Евклида не всегда пользуются аксиоматикой Гильберта, приведём её, как первую полную, независимую и непротиворечивую систему аксиом.

Все двадцать аксиом системы Гильберта подразделены на пять групп.

· Группа I содержит восемь аксиом принадлежности.

· Группа II содержит четыре аксиомы порядка.

· Группа III содержит пять аксиом конгруэнтности.

· Группа IV содержит две аксиомы непрерывности.

· Группа V содержит одну аксиому параллельности.

Переходим к формулировке аксиом по группам. Одновременно будем указывать некоторые утверждения, вытекающие из формулируемых аксиом.

I. Аксиомы принадлежности

I, 1. Каковы бы ни были две точки A и B, существует прямая a, которой принадлежат эти точки.

I, 2. Каковы бы ни были две точки A и B, существует не более одной прямой, которой принадлежат эти точки.

I, 3. Каждой прямой a принадлежат по крайней мере две точки. Существуют по крайней мере три точки, не принадлежащие одной прямой.

Указанные три аксиомы исчерпывают список аксиом принадлежности планиметрии. Следующие пять аксиом вместе с указанными тремя завершают список аксиом принадлежности стереометрии.

I, 4. Каковы бы ни были три точки A, B и C, не принадлежащие одной прямой, существует плоскость α, которой принадлежат эти три точки. Каждой плоскости принадлежит хотя бы одна точка.

I, 5. Каковы бы ни были три точки A, B и C, не принадлежащие одной прямой, существует не более одной плоскости, которой принадлежат эти точки.

I, 6. Если две принадлежащие прямой a различные точки A и B принадлежат некоторой плоскости α, то каждая принадлежащая прямой a точка принадлежит указанной плоскости.

I, 7. Если существует одна точка A, принадлежащая двум плоскостям α и β, то существует по крайней мере ещё одна точка B, принадлежащая обоим этим плоскостям.

I, 8. Существуют по крайней мере четыре точки, не принадлежащие одной плоскости.

Теорема 1. Две различные прямые не могут иметь больше одной общей точки.

Теорема 2. Две плоскости либо совсем не имеют общих точек, либо имеют общую прямую, на которой лежат все их общие точки.

Теорема 3. Плоскость и не лежащая на ней прямая не могут иметь более одной общей точки.

Теорема 4. Через прямую и не лежащую на ней точку, или через две различные прямые с общей точкой проходит одна и только одна плоскость.

Теорема 5. Каждая плоскость содержит по крайней мере три точки.

II. Аксиомы порядка

II, 1. Если точка B прямой а лежит между точками А и С той же прямой, то А, В и С – различные точки указанной прямой, причем В лежит также и между С и А.

II, 2. Каковы бы ни были две различные точки А и С, на определяемой ими прямой существует по крайней мере она точка В такая, что С лежит между А и В.

II, 3. Среди любых трёх точек, лежащих на одной прямой существует не более одной точки, лежащей между двумя другими.

Сформулированные три аксиомы относятся к расположению объектов на прямой и потому называются линейными аксиомами порядка. Формулируемая ниже последняя аксиома порядка относится к расположению геометрических объектов на плоскости. Для того, чтобы сформулировать эту аксиому, введём понятие отрезка.

Пару различных точек А и В назовём отрезком и будем обозначать символом АВ или ВА. Точки прямой, определяемой А и В, лежащие между ними, будем называть внутренними точками, или просто точками отрезка АВ. Остальные точки указанной прямой будем называть внешними точками отрезка АВ.

II, 4 (Аксиома Паша). Если А, В и С – три точки, не лежащие на одной прямой, и а – некая прямая в плоскости, определяемой этими точками, не содержащая ни одной из указанных точек и проходящая через некоторую точку отрезка АВ, то эта прямая проходит также либо через некоторую точку отрезка АС, либо через некоторую точку отрезка ВС.

Подчеркнём, что из одних аксиом порядка II, 1 – 4 ещё не вытекает, что любой отрезок имеет внутренние точки. Однако привлекая ещё аксиомы принадлежности I, 1 – 3 можно доказать следующее утверждение:

Теорема 6. Каковы бы ни были две различные точки А и В на прямой, ими определяемой, существует по крайней мере одна точка С, лежащая между А и В.

Теорема 7. Среди любых трёх точек одной прямой всегда существует одна точка, лежащая между двумя другими.

Теорема 8. Если точки А, В и С не принадлежат одной прямой и если некоторая прямая а пересекает[1] какие-либо два из отрезков АВ, ВС и АС, то эта прямая не пересекает третий из указанных отрезков.

Теорема 9. Если В лежит на отрезке АС, и С – на отрезке ВD, то В и С лежат на отрезке АD.

Теорема 10. Если С лежит на отрезке АD, а В – на отрезке АС, то В лежит также на отрезке АD, а С – на отрезке BD.

Теорема 11. Между любыми двумя точками прямой существует бесконечно много других её точек.

Теорема 12. Пусть каждая из точек С и D лежит между точками А и В. Тогда если М лежит между С и D, то М лежит и между А и В.

Теорема 13. Если точки С и D лежат между точками А и В, то все точки отрезка СD принадлежат отрезку АВ (в этом случае мы будем говорить, что отрезок СD лежит внутри отрезка АВ).

Теорема 14. Если точка С лежит между точками А и В, то 1) никакая точка отрезка АС не может быть точкой отрезка CВ, 2) каждая отличная от С точка отрезка АВ принадлежит либо отрезку АС, либо отрезку СВ.

Указанные утверждения позволяют упорядочить множество точек любой прямой и выбрать на этой прямой направление.

Будем говорить, что две различные точки А и В прямой a лежат по разные стороны (по одну сторону) от третьей точки О той же прямой, если точка О лежит (не лежит) между А и В.

Из указанных выше утверждений вытекает следующая теорема.

Теорема 15. Произвольная точка О каждой прямой а разбивает все остальные точки этой прямой на два непустых класса так, что любые две точки прямой а, принадлежащие одному и тому же классу, лежат по одну сторону от О, а любые две точки, принадлежащие разным классам, лежат по разные стороны от О.

Таким образом, задание на любой прямой двух различных точек О и Е определяет на этой прямой луч или полупрямую ОЕ, обладающую тем свойством, что любая её точка и точка Е лежат по одну сторону от О.

Выбрав на прямой а две различные точки О и Е, мы можем теперь определить порядок следования точек на прямой по следующему правилу: 1) если А и В – любые точки луча ОЕ, то будем говорить, что А предшествует В, если А лежит между О и В, 2) будем говорить, что точка О предшествует любой точке луча ОЕ, 3) будем говорить, что любая точка, принадлежащая той же прямой и не принадлежащая лучу ОЕ, предшествует как точке О, так и любой точке луча ОЕ, 4) если А и В – любые точки, не принадлежащие лучу ОЕ, то мы будем говорить, что А предшествует В, если В лежит между А и О.

Легко проверить, что для выбранного нами порядка следования точек прямой а справедливо свойство транзитивности: если А предшествует В, а В предшествует С, то А предшествует С.

Аксиомы, приведённые выше, позволяют упорядочить и точки, принадлежащие произвольной плоскости α.

Теорема 16. Каждая прямая а, принадлежащая плоскости α, разделяет не лежащие на ней точки этой плоскости на два непустых класса так, что любые две точки А и В из разных классов определяют отрезок АВ, содержащий точку прямой а, а любые две точки А и А’ из одного класса определяют отрезок АА’, внутри которого не лежит ни одна точка прямой а.

В соответствие с утверждением этой теоремы мы можем говорить, что точки А и А’ (одного класса) лежат в плоскости α по одну сторону от прямой а, а точки А и В (разных классов) лежат в плоскости α по разные стороны от прямой а.

III. Аксиомы конгруэнтности

III, 1. Если А и В – две точки на прямой а, А’ – точка на той же прямой или на другой прямой а’, то по данную от точки А’ сторону прямой а’ найдется, и притом только одна, точка В’ такая, что отрезок А’B’ конгруэнтен отрезку АВ. Каждый отрезок АВ конгруэнтен отрезку ВА.1

III, 2. Если отрезки А’B’ и А”B” конгруэнтны одному и тому же отрезку АВ, то они конгруэнтны и между собой.

III, 3. Пусть АВ и ВС – два отрезка прямой а, не имеющие общих внутренних точек, А’B’ и B’C’ – два отрезка той же прямой, или другой прямой а’, также не имеющие общих внутренних точек. Тогда если отрезок АВ конгруэнтен отрезку А’B’, а отрезок ВС конгруэнтен отрезку B’C’, то отрезок АС конгруэнтен отрезку А’C’.

Сформулированные три аксиомы относятся к конгруэнтности отрезков. Для формулировки следующих аксиом нам понадобятся понятие угла и его внутренних точек.

Пара полупрямых h и k, выходящих из одной и той же точки О и не лежащих на одной прямой, называется углом и обозначается символом или .

Если полупрямые задаются двумя своими точками ОА и ОВ, то мы будем обозначать угол символом или . В силу теоремы 4 любые два луча h и k, составляющие угол , определяют, и притом единственную, плоскость α.

Внутренними точками будем называть те точки плоскости α, которые, во-первых, лежат по ту сторону от прямой, содержащей луч h, что и любая точка луча k, и, во-вторых, лежат по ту сторону от прямой, содержащей луч k, что и любая точка луча h.

III, 4. Пусть даны на плоскости α, прямая а’ на этой же или на какой-либо другой плоскости α’ и задана определённая сторона плоскости α’ относительно прямой а’. Пусть h’ – луч прямой а’, исходящий из некоторой точки О’. Тогда на плоскости α’ существует один и только один луч k’ такой, что конгруэнтен , и при этом все внутренние точки лежат по заданную сторону от прямой а’. Каждый угол конгруэнтен самому себе.

III, 5. Пусть А, В и С – три точки, не лежащие на одной прямой, А’, B’ и С’ – другие три точки, также не лежащие на одной прямой. Тогда если отрезок АВ конгруэнтен отрезку А’B’, отрезок АС конгруэнтен отрезку А’C’ и конгруэнтен , то конгруэнтен и конгруэнтен

Договоримся теперь о сравнении неконгруэнтных отрезков и углов.

Будем говорить, что отрезок АВ больше отрезка А’B’, если на прямой, определяемой точками А и В, найдётся лежащая между этими точками точка С такая, что отрезок АС конгруэнтен отрезку А’В’. Будем говорить, что отрезок АВ меньше отрезка А’B’, если отрезок А’B’ больше отрезка АВ.

Символически тот факт, что отрезок АВ меньше отрезка А’B’ (конгруэнтен отрезку А’B’) будем записывать так:

Будем говорить, что больше , если в плоскости, определяемой , найдётся луч ОС, все точки которого являются внутренними точками , такой, что конгруэнтен . Будем говорить, что меньше , если больше .

С помощью аксиом принадлежности, порядка и конгруэнтности можно доказать целый ряд теорем элементарной геометрии. Сюда относятся: 1) три широко известные теоремы о конгруэнтности (равенстве) двух треугольников, 2) теорема о конгруэнтности вертикальных углов, 3) теорема о конгруэнтности всех прямых углов, 4) теорема о единственности перпендикуляра, опущенного из точки на прямую, 5) теорема о единственности перпендикуляра, проведённого к данной точке прямой, 6) теорема о внешнем угле треугольника, 7) теорема о сравнении перпендикуляра и наклонной.

IV. Аксиомы непрерывности

С помощью аксиом принадлежности, порядка и конгруэнтности мы произвели сравнение отрезков, позволяющее заключить, каким из трёх знаков связаны эти отрезки.

Указанных аксиом, однако, недостаточно 1) для обоснования возможности измерения отрезков, позволяющее поставить в соответствие каждому отрезку определённое вещественное число, 2) для обоснования того, что указанное соответствие является взаимно однозначным.

Для проведения такого обоснования следует присоединить к аксиомам I, II и III две аксиомы непрерывности.

IV, 1 (аксиома Архимеда). Пусть АВ и СD – произвольные отрезки. Тогда на прямой, определяемой точками А и В существует конечное число точек А₁, А₂, . А_n, расположенных так, что точка А₁ лежит между А и А₂, точка А₂ лежит между А₁ и А₃, . точка А_n_-1 лежит между А_n_-2 и А_n, причём отрезки АА₁, А₁А₂, . А_n_-1A_n конгруэнтны отрезку CD и точка В лежит между А и А_n.

Присоединение к аксиомам I, 1 – 3, II и III, 1- 3 аксиомы Архимеда позволяет поставить в соответствие каждой точке произвольной прямой а определённое вещественное число х, называемое координатой этой точки, а присоединение ещё и аксиомы линейной полноты позволяет утверждать, что координаты всех точек прямой а исчерпывают множество всех вещественных чисел. Пользуясь этим, можно обосновать метод координат.

V. Аксиома параллельности

Самая последняя аксиома играет в геометрии особую роль, определяя разделение геометрии на две логически непротиворечивые и взаимно исключающие друг друга системы: евклидову и неевклидову геометрии.

В геометрии Евклида эта аксиома формулируется так.

V. Пусть а – произвольная прямая и А – точка, лежащая вне прямой а, тогда в плоскости α, определяемой точкой А и прямой а существует не более одной прямой, проходящей через А и не пересекающей а.

Долгое время геометры пытались выяснить, не является ли аксиома параллельности следствием всех остальных аксиом. Этот вопрос был решен Николаем Ивановичем Лобачевским, который доказал независимость аксиомы V от аксиом I – IV.

По-другому результат Лобачевского можно сформулировать так: если к аксиомам I – IV присоединить утверждение, отрицающее справедливость аксиомы V, то следствия всех этих положений будут составлять логически непротиворечивую систему (неевклидову геометрию Лобачевского).

Систему следствий, вытекающих из одних только аксиом I – IV обычно называют абсолютной геометрией. Абсолютная геометрия является общей частью как евклидовой, так и неевклидовой геометрий, ибо все предложения, которые могут быть доказаны только с помощью аксиом I – IV, верны как в геометрии Евклида, так и в геометрии Лобачевского.

Доказательство непротиворечивости аксиоматики Гильберта

Чтобы доказать непротиворечивость некоей теории Х, необходимо из материала другой, заведомо непротиворечивой, теории А построить такую модель, в которой выполняются все аксиомы теории Х. Если это удастся, теорию Х можно считать непротиворечивой. Следовательно, для того, чтобы доказать непротиворечивость гильбертовой системы, необходимо построить такую модель евклидовой геометрии, в которой выполнялись бы все аксиомы, предложенные Гильбертом.

Предыстория его открытия

В 1900 году в столице Франции состоялся II Международный конгресс математиков. На заседании секции преподавания и методологии Гильберт читал доклад об основных проблемах математики, решение которых должно быть найдено в наступающем ХХ веке. В том же году был опубликован список 23 проблем Гильберта .

Под вторым номером в его списке значился вопрос - центральная проблема оснований математики: самодостаточна ли математика ? Вторая задача Гильберта сводилась к необходимости строго доказать, что система аксиом — базовых утверждений, принимаемых в математике за основу без доказательств — совершенна и полна, то есть позволяет математически описать всё сущее. Нужно было доказать, что система аксиом взаимно непротиворечива, и из нее можно вывести заключение относительно истинности или ложности любого суждения. Непротиворечивость — это основополагающий научный принцип математики. Математическая теория R является непротиворечивой, если в ней отсутствуют взаимоисключающие предложения.

Непротиворечивость системы означает, что никакое предложение не может быть в ней и доказано, и вместе с тем опровергнуто. Требование непротиворечивости вплоть до середины ХХ века являлось обязательным требованием к научной и, в частности, логической теории.

Давид Гильберт немецкий математик-универсал, внёс значительный вклад в развитие многих областей математики. Член многих академий наук, в том числе Берлинской, Гёттингенской, Лондонского королевского общества, иностранный почётный член Академии наук СССР.

Давид Гильберт немецкий математик-универсал, внёс значительный вклад в развитие многих областей математики. Член многих академий наук, в том числе Берлинской, Гёттингенской, Лондонского королевского общества, иностранный почётный член Академии наук СССР.

Какими были бы для дальнейшего развития науки последствия успеха Гильберта и его школы? Если бы, как он считал, вся математика (и наука в целом) сводилась к системе аксиом, то их можно было бы ввести в вычислительную машину, способную по программе, следующей общим логическим правилам, обосновать любое утверждение (то есть доказать теорему), вытекающее из исходных утверждений.

Сущность аксиоматического метода

Работа Гёделя показала полную несостоятельность такого убеждения. Она представила математикам поразительный и обескураживающий вывод, согласно которому возможности аксиоматического метода определенным образом ограничены, причем ограничения таковы, что даже обычная арифметика целых чисел не может быть полностью аксиоматизирована . Более того, Гёдель доказал, что для весьма широкого класса дедуктивных теорий нельзя доказать их непротиворечивость. Работа Гёделя обусловила существенную переоценку перспектив философии математики и философии науки в целом.

7 сентября 1930 года в Кёнигсберге проходил научный конгресс по основаниям математики, на котором 24-летний австрийский математик Курт Гёдель обнародовал две фундаментальные теоремы о неполноте, показавшие, что программа Гильберта по второму пункту не может быть доказана: при любом выборе аксиом арифметики существуют теоремы, которые одновременно невозможно ни доказать, ни опровергнуть.

Мы находим это парадоксальным. Математический мир был шокирован. Сначала математики надеялись, что его результат зависит от особенностей системы, в которой работал Гедель, то есть формальной арифметики. Но в следующие десятилетия ряд выдающихся математиков, в том числе Стивен К. Клини, Эмиль Пост, Дж. Б. Россер и Алан Тьюринг, показали, что это не так. Теорема Геделя о неполноте работает в любой формальной дедуктивной логической системе.

Рассмотрим существо теоремы по аналогии на языке компьютеров

Теорема Гёделя говорит о том, что существуют правильно поставленные вопросы, на которые Oracle не может ответить. Другими словами, есть утверждения, которые, хотя и правильно введены, Oracle не может оценить, чтобы решить, истинны они или ложны. Такие утверждения называются неразрешимыми и очень сложными.

Английский математик и физик Роджер Пенроуз (Roger Penrose, р. 1931) показал, что теоремы Гёделя можно использовать для доказательства наличия принципиальных различий между вычислениями, которые производит человеческий мозг и компьютер. Смысл его рассуждения прост. Компьютер действует строго логически и не способен определить, истинно или ложно утверждение А, если оно выходит за рамки двузначной дедуктивной логики, а такие утверждения, согласно теореме Гёделя, неизбежно имеются. Человек же, столкнувшись с логически противоречивым суждением, всегда способен интуитивно определить его истинный смысл.

Пример парадоксальных суждений: характер Пиpnoнтa Моргана, которого считали жрецом американского капитализма, был соткан из противоречий — Морган был дружелюбен, общителен и в то же время скромен; осмотрительно-нетороплив, но импульсивен; бесхитростен до простодушной наивности и невероятно практичен; деспотичен и уступчив; расточителен и бережлив; бывал непроницаемо замкнут и глубоко сентиментален.

Читайте также:

Система аксиом гильберта доклад

Аксиомы

21-я аксиома

Другие системы аксиом

Сущность аксиоматического метода