Симметрия в науке доклад

Обновлено: 02.07.2024

Симметрия – это такая особенность природы, про которую принято говорить, что она охватывает все формы движения и организации материи. Истоки понятия симметрии восходят к древним. Наиболее важным открытием древних было осознание сходства и различия правого и левого. Здесь природными образцами им служили собственное тело, а также тела животных, птиц и рыб.

Можно вспомнить также великолепные памятники архитектуры глубокой древности, где пространственные закономерности проявляются особенно ярко. Это храмы древнего Вавилона и пирамиды Гизы, дворец в Ашшуре. Итак, с глубокой древности, начиная, по-видимому с неолита, человек постепенно осознал и пытался выразить в художественных образах тот факт, что в природе, кроме хаотического расположения одинаковых предметов или их частей, существуют некоторые пространственные закономерности. Они могут быть совсем простыми – последовательное повторение одного предмета, более сложными – повороты или отражения в зеркале. Для того, чтобы точно выразить эти закономерности, нужны были специальные термины. По преданию, их придумал Пифагор Регийский.

Понятие симметрии

Симметрия – от греческого symmetria, что значит соразмерность – отражает универсальные взаимосвязи объектов мира, выражающиеся одновременно в соотношениях их тождества и различия.

Истоки представлений о симметрии своими глубокими корнями уходят в духовный мир народов Древнего Востока, Греции и Рима.

Зеркальная симметрия в геометрии относится к операциям отражения или вращения. Она достаточно широко встречается в природе. Наибольшей симметрией в природе обладают кристаллы (например, симметрия снежинок, природных кристаллов), однако не у всех из них наблюдается зеркальная симметрия. Известны так называемые оптически активные кристаллы, которые поворачивают плоскость поляризации падающего на них света. В общем случае симметрия выражает степень упорядоченности какой-либо системы или объекта. Например, круг более упорядочен и, следовательно, симметричен, чем квадрат. В свою очередь, квадрат более симметричен, чем прямоугольник. Другими словами, симметрия – это неизменность (инвариантность) каких-либо свойств и характеристик объекта по отношению к каким-либо преобразованиям (операциям) над ним. Например, окружность симметрична относительно любой прямой (оси симметрии), лежащей в ее плоскости и проходящей через центр, она симметрична и относительно центра. Операциями симметрии в данном случае будут зеркальное отражение относительно оси и вращение относительно центра окружности.

В широком смысле симметрия – это понятие, отображающее существующий в объективной действительности порядок, определенное равновесное состояние, относительную устойчивость, пропорциональность и соразмерность между частями целого. Противоположным понятием является понятие асимметрии, которое отражает существующее в объективном мире нарушение порядка, равновесия, относительной устойчивости, пропорциональности и соразмерности между отдельными частями целого, связанное с изменением, развитием и организационной перестройкой. Уже отсюда следует, что асимметрия может рассматриваться как источник развития, эволюции, образования нового. Симметрия может быть не только геометрической. Различают геометрическую и динамическую формы симметрии (и, соответственно, асимметрии). К геометрической форме симметрии (внешние симметрии) относятся свойства пространства – времени, такие как однородность пространства и времени, изотропность пространства, эквивалентность инерциальных систем отсчета и т.д.

К динамической форме относятся симметрии , выражающие свойства физических взаимодействий, например, симметрии электрического заряда, симметрии спина и т.п. (внутренние симметрии). Современная физика, однако, раскрывает возможность сведения всех симметрий к геометрическим симметриям.

Виды симметрии

В отличие от искусства или техники, красота в природе не создаётся, а лишь фиксируется, выражается. Среди бесконечного разнообразия форм живой и неживой природы в изобилии встречаются такие совершенные образы, чей вид неизменно привлекает наше внимание. К числу таких образов относятся некоторые кристаллы, многие растения.

В конформной (круговой) симметрии главным преобразованием является инверсия относительно сферы. Для простоты возьмём круг радиуса R с центром в точке O. Инверсия этого круга определяется как такое преобразование симметрии, которое любую точку P переводит в точку P', лежащую на продолжении радиуса, проходящего через точку P на расстоянии от центра:

Конформная симметрия обладает большой общностью. Все известные преобразования симметрии: зеркальные отражения, повороты, параллельные сдвиги представляют собой лишь частные случаи конформной симметрии.

Главная особенность конформного преобразования состоит в том, что оно всегда сохраняет углы фигуры и сферу и всегда переходит в сферу другого радиуса.

Известно, что кристаллы какого-либо вещества могут иметь самый разный вид, но углы между гранями всегда постоянны.

Зеркальной симметрии . Легко установить, что каждая симметричная плоская фигура может быть с помощью зеркала совмещена сама с собой. Достойно удивления, что такие сложные фигуры, как пятиконечная звезда или равносторонний пятиугольник, тоже симметричны. Как это вытекает из числа осей, они отличаются именно высокой симметрией. И наоборот: не так просто понять, почему такая, казалось бы, правильная фигура, как косоугольный параллелограмм, несимметрична. Сначала представляется, что параллельно одной из его сторон могла бы проходить ось симметрии. Но стоит мысленно попробовать воспользоваться ею, как сразу убеждаешься, что это не так. Несимметрична и спираль.

В то время как симметричные фигуры полностью соответствуют своему отражению, несимметричные отличны от него: из спирали, закручивающейся справа налево, в зеркале получится спираль, закручивающаяся слева направо.

Существуют языки, в которых начертание знаков опирается на наличие симметрии. Так, в китайской письменности иероглиф означает именно истинную середину.

В архитектуре оси симметрии используются как средства выражения архитектурного замысла. В технике оси симметрии наиболее четко обозначаются там, где требуется оценить отклонение от нулевого положения, например на руле грузовика или на штурвале корабля.

Симметрия проявляется в многообразных структурах и явлениях неорганического мира и живой природы. В мир неживой природы очарование симметрии вносят кристаллы. Каждая снежинка- это маленький кристалл замерзшей воды. Форма снежинок может быть очень разнообразной, но все они обладают симметрией - поворотной симметрией 6-го порядка и, кроме того, зеркальной симметрией.

Винтовая симметрия. В пространстве существуют тела, обладающие винтовой симметрией, т.е. совмещаемые со своим первоначальным положением после поворота на какой-либо угол вокруг оси, дополненного сдвигом вдоль той же оси. Если данный угол поделить на 360 градусов - рациональное число, то поворотная ось оказывается также осью переноса.

Симметрия кристаллов

Твердые тела природы существуют в двух формах: аморфной и кристаллической. Аморфные тела представлены стеклами, смолами, пластмассами, к ним могут быть причислены также вар, битумы, воск и т.д. Кристаллические тела – большинство тел природы – пески, глины, базальты, граниты, металлы, большинство минералов природы и химических соединений. Часть из них может существовать в виде монокристаллов - тел с правильной геометрической огранкой (каменная соль, горный хрусталь, медный купорос и др.), значительная часть минералов природы - поликристаллические тела.

Результаты исследований свидетельствуют о том, что в основе структуры у аморфных тел и жидкостей лежит так называемый ближний порядок. Расположение частиц тела обнаруживает определенную тенденцию к упорядочению, тогда как структура кристаллических тел обусловлена наличием дальнего порядка. Расположение частиц тела геометрически упорядочено в пределах всего объема. Его принято отображать с помощью геометрической модели - кристаллической решетки.

Рассмотрение кристаллической структуры твердых тел убеждает, что можно произвольно выделить некоторый наименьший объем (элементарную ячейку), параллельными трансляциями которого можно получить весь кристалл. Таким образом, на первое место в структуре кристаллических тел мы поставим трансляционную симметрию.

В качестве примера рассмотрим простую элементарную ячейку (см. рис.4.2). Она определяется тремя векторами а, в, с элементарных трансляций и тремя углами a , b , g .

Рис.4.2. Задание элементарной ячейки

Другие свойства симметрии кристаллов отображаются с помощью так называемой решетки Браве.

Решётка Браве выявляет характерные элементы симметрии в расположении одинаковых и одинаково расположенных атомов. Именно этот геометрический образ характеризует симметрию кристаллов относительно операции зеркальной, осевой, центральной, зеркально-поворотной симметрий. Следует иметь в виду, что часто элемент ячейки представляется не одной решеткой Браве, а суперпозицией двух и более. Ниже (рис.4.3–4.9) представлены все возможные типы решеток Браве. Казалось бы, их может быть значительное множество. Однако это не так. Дело в том, что все операции симметрии должны быть совместны с операцией трансляционной симметрии, и это обстоятельство существенно сужает число возможных решеток, ограничивая их количество до 14 типов, объединенных в 7 пространственных групп (сингоний).

Наиболее существенным является то обстоятельство, что в кристаллах исключаются поворотные симметрии пятого порядка, а также поворотные симметрии порядка выше шестого. Исключение симметрии пятого порядка (пентагональной) представляет замечательный факт природы, который обсудим несколько позже.

Следствием симметрии кристаллов является анизотропия их свойств, другими словами, их асимметрия относительно разных направлений внутри кристалла. Поэтому все свойства кристаллов следует разделить на скалярные, которые не зависят от выбора направления, и векторные. К первым можно отнести теплоемкость, теплоту плавления, температуру плавления и т.д.; ко вторым – электропроводность, теплопроводность, механические, оптические, магнитные свойства. Мы видим, что симметрия тесно связана с асимметрией. Тела, более асимметричные по одному физическому свойств, могут оказаться более симметричными по другом.

Рис.4.3. Решетки кубической системы (a=b=c ; a = b = g =90 o ):

а) простая; б) объемноцентрированная (ОЦК);

в) гранецентрированная (ГЦК)

Рис.4.4. Решетки тетрагональной системы (a=b ¹ c ; a = b = g =90 o ):

а) простая; б) объемноцентрированная

Рис.4.5. Решетки ромбической системы (а ¹ b ¹ с , a = b = g =90 о ): а) простая; б) ОЦК; в) ГЦК; г) базоцентрированная

Рис.4.6. Решетка ромбоэдрической системы

Рис.4.7. Решетки моноклинной системы (a ¹ b ¹ c ; a = g =90 o ¹b ):

а) простая; б) базоцентрированная

Рис.4.8. Решетка триклинной системы(a ¹ b ¹ c ; a ¹ b ¹ g ¹90 o )

Рис. 4.9. Решетка гексогональной системы (a=b ¹ c ; a = g =90 o ; b =120 0 )

Естественно, возникает законный вопрос: какова же природа симметрии кристаллов? Закономерному расположению частиц в кристалле соответствует минимум энергии частиц, составляющих его, а, следовательно, и состояние устойчивого равновесия. Как известно, устойчивость в диалектике мироздания играет огромную роль, формируя конкретное состояние развивающегося мира. Аморфное состояние вещества является неустойчивым, метастабильным, оно обнаруживает тенденцию к переходу в кристаллическое состояние. Таким образом, симметрия кристаллов выступает как форма, в которой неживая природа выражает тенденцию к своему самосохранению посредством фактора структурности со свойствами симметрии.

Симметрия пространства

Представления о симметрии пространства связаны с непосредственным мироощущением человека, которое формирует представления об эквивалентности всех инерциальных систем отчета и эквивалентности направлений в пространстве. Симметрия пространства в житейских представлениях ассоциируется с его безграничностью, неисчерпаемостью, а реализуется она в форме однородности и в форме изотропности. Однородность пространства выражает инвариантность физических явлений и процессов относительно выбора места их наблюдения. Одинаковый физический эксперимент, поставленный в одинаковых условиях, но в разных лабораториях, приведет к тождественным результатам. Таким образом, однородность пространства предлагает физическую инвариантность процессов, явлений относительно пассивного или активного параллельного переноса системы отсчета. Эквивалентность всех точек пространства предполагает, что при преобразовании , где – вектор трансляции, механические свойства любой замкнутой механической системы остаются неизменными.

Пусть материальные точки с массами m₁ , m₂ , . , m_n составляют замкнутую механическую систему ; – импульсы каждого из тел, составляющих эту систему; – силы, с которыми тела системы действуют на отдельное тело m₁ , m₂ и т.д. соответственно. Вследствие однородности пространства расстояния между телами системы , относительные скорости остаются неизменными при преобразовании, а, следовательно, остаются неизменными и внутренние силы . Именно поэтому , откуда и следует известный закон сохранения импульса для замкнутой механической системы:

Сохранение импульса – отображение однородности пространства. Другой аспект симметрии пространства связан с изотропностью пространства. Это фундаментальное свойство пространства выражается в эквивалентности всех направлений в нем. Действительно, мы наблюдаем системы двойных звезд, плоскости движения которых некоторым образом ориентированы относительно плоскости эклиптики, однако физические законы, действующие во всех случаях, одни и те же.

Представим себе однородное массивное сферическое тело. Его гравитационное поле будет обладать сферической симметрией. Любые возможности движения другой материальной частицы в нем описываются одним математическим аппаратом и характерной ситуацией для такой задачи является сохранение векторной величины , называемой моментом импульса. В этом выражении – радиус-вектор частицы относительно центрального тела, – ее импульс. Сохранение момента импульса является отображением изотропности пространства.

Симметрия времени

Симметрия пространства, пожалуй, наиболее противоречивая из всех возможных симметрий. Она отражает сложную логику взаимоотношений прошлого, настоящего, будущего. Эта симметрия определяет мотивацию нашей деятельности сегодня, определяет границы жизненности прошлого опыта и его переноса в настоящее, а также переноса настоящего в будущее. Она так же как и симметрия пространства имеет 2 аспекта. Первый из них - однородность времени - выражается в том, что один и тот же эксперимент, поставленный в разных исторических условиях, приводит к одному и тому же результату. Мы можем воспроизвести любой опыт Ньютона или Фарадея и воспроизвести их результаты. Физически такая возможность обусловлена фундаментальным законом движения материи – законом сохранения энергии. Другой аспект симметрии проявляется в симметрии законов развития процессов относительно инверсии времени t ®- t . Так, в задачах динамики, когда сила зависит только от относительных расстояний между телами системы, основное уравнение движения тела инвариантно относительно преобразования t ®- t . Именно это обстоятельство позволяет нам восстановить хронологию событий по известным документальным данным астрономических явлений: затмений Луны, Солнца, вспышек сверхновых звезд и т.д.

Другие примеры симметрии связаны, в частности, с волновым уравнением Даламбера

где j – параметр, определяющий волновой процесс (сдвиговое смещение, давление, мгновенное значение плотности в точке с координатой х в момент времени t ); – скорость процесса. Замена t на - t не влияет на характер процесса. Аналогичный случай – колебания упругой балки , где – коэффициент упругости. Но как показывает нам жизненный опыт, нет симметрии между прошлым и будущим, процессы, как правило, необратимы. Таким образом, симметрии времени сопутствует его асимметрия. Единство симметрии и асимметрии, их взаимопроникновение является всеобщим, универсальным.

С симметрией мы встречаемся везде – в природе, технике, искусстве, науке. Понятие симметрии проходит через всю многовековую историю человеческого творчества. Принципы симметрии играют важную роль в физике и математике, химии и биологии, технике и архитектуре, живописи и скульптуре, поэзии и музыке. Законы природы, управляющие неисчерпаемой в своём многообразии картиной явлений, в свою очередь, подчиняются принципам симметрии.

Существует множество видов симметрии как в растительном, так и в животном мире, но при всем многообразии живых организмов, принцип симметрии действует всегда, и этот факт еще раз подчеркивает гармоничность нашего мира

Еще одним интересным проявлением симметрии жизненных процессов являются биологические ритмы (биоритмы), циклические колебания биологических процессов и их характеристик (сокращения сердца, дыхание, колебания интенсивности деления клеток, обмена веществ, двигательной активности, численности растений и животных), зачастую связанные с приспособлением организмов к геофизическим циклам. Исследованием биоритмов занимается особая наука - хронобиология.

Помимо симметрии существует также понятие ассиметрии:

Симметрия лежит в основе вещей и явлений, выражая нечто общее, свойственное разным объектам, тогда как асимметрия связана с индивидуальным воплощением этого общего в конкретном объекте.

Список литературы:

1. Карпенков С.Х. Концепции современного естествознания.М.:”ЮНИТИ”,1997

4. Грядовой Д.И. Концепции современного естествознания. Структурный курс основ естествознания. – М.: Учпедгиз, 1999.

5. Дубнищева Т.Я. Концепции современного естествознания. – Новосибирск: ЮКЭА, 1997.

7. Найдыш В.М. Концепции современного естествознания.- М.: АЛЬФА-М, ИНФРА-М.-2003

С давних времен симметрией интересовались строители, врачи и художники, а в теоретическом плане — математики, впоследствии выделившие ее изучение в специальную ветвь своей науки. Симметрия и сегодня остается предметом глубоких исследований и горячих дискуссий в естествознании, инженерии, искусстве и философии.

Вызов здравому смыслу

Ну вот хотя бы понятие зеркальной симметрии: мы же твердо знаем, что наши тела никакими зеркалами не рассекаются, и никакие доводы не заставят нас поверить, что некогда мы существовали в ущербно-половинном виде, имея только одну руку, ногу, пол головы и прочее, а потом некий дизайнер, движимый то ли состраданием, то ли оскорбленным эстетическим чувством, приставил к этим обрубкам зеркальную плоскость, да и отразил в ней нам недостающие части ради полноты комплекта…

Спору нет, здравый смысл ничего похожего в природе не увидит. Все элементы и операции симметрии создаются и совершаются в рамках нами же изобретаемых моделей — от наглядных и простых вроде карманного зеркальца, прислоняемого к сучку или камушку, и до изощренного аппарата математической теории групп. Испытывая эти модели любыми доступными нам способами, мы познаем их закономерности, большинство коих отнюдь не лежит на поверхности и раскрывается лишь в итоге длительных экспериментов — лабораторных или мысленных.

Так мы гораздо эффективнее используем к своей выгоде силы природы, несравненно уверенней заглядываем в глубины материи и узнаем о нашем окружении и о нас самих много такого, о чем мы никогда и помыслить не могли бы, не будь у нас столь верного и проницательного проводника, как паттерны симметрии.

Ярким свидетельством тому — успехи изучения структуры вещества.

Модели невидимого

С незапамятных времен люди восхищались симметрией кристаллов, но лишь около трехсот лет назад было установлено: углы между гранями одного образца минерала в точности равны углам между соответствующими гранями любого другого образца того же минерала. Строгое повторение характерной симметричности наводило на мысль о каком-то едином принципе, управляющем их образованием, и вселяло уверенность в том, что анализ внешней морфологии позволит понять ее причину — невидимую глазом внутреннюю структуру. Последняя же, согласно гипотезе, выдвинутой в конце XVIII века, должна была быть не чем иным, как повторением в трехмерном пространстве неких элементарных кирпичиков, обладающих симметрией того кристаллографического класса, к которому принадлежит минерал.

Разглядывая затем рукотворные произведения собственной фантазии, химики делали определенные выводы о степени устойчивости данной молекулы, о ее способности вступать в реакцию с другими, тем же способом смоделированными молекулами, образовывать новые соединения и т. д. Потом они ставили эксперименты с реальными веществами — проводили реакции, измеряли и взвешивали, делали рентгенокристаллограммы и напряженно всматривались в чередования темных и светлых пятен на снимках, подвергая их все более утонченной и абстрактной математической интерпретации и пытаясь вообразить себе возможные траектории икс-лучей, давших при падении на фотопластинку тот или иной паттерн, а затем — характер препятствий, заставивших эти лучи искривиться при прохождении через вещество именно таким образом.

Получив результаты, в чем-то совпадающие, а в чем-то расходящиеся с предсказанными, химики, работавшие все в более тесном содружестве с кристаллографами и математиками, усложняли и совершенствовали свои модели, добавляя новые шары и стержни, изменяя их конфигурацию, расстояния и так далее, стремясь добиться более адекватного отображения истинной, то есть отвечающей опыту молекулярной структуры. Кое-кто из таких ученых (иногда даже весьма крупных) настолько увлекался этим занятием, что начинал неосторожно принимать свои творения за действительное устройство вещества, и тогда его научное творчество сразу же тормозилось, а то и фатально останавливалось: ведь в реальных молекулах нет решительно ничего похожего на шары, стержни и какие-либо иные доступные нашему восприятию предметы.

В чем же заключена эвристическая мощь этих затейливых симметричных конструкций, напоминающих абстрактные скульптуры, и чем руководствуется исследователь, совершая очередной пробный шаг на пути конструированию того или иного паттерна?

Симметрия остается надежнейшим ориентиром ученых и при переходе от микро- к макромасштабам. Она выступает неотъемлемой частью языка и методов сементологов, изучающих осадочные породы, палеонтологов и геоморфологов, создающих модели гидро-, био- и тектонических явлений и процессов древнейших эпох, а также геофизиков, моделирующих внутреннее строение Земли по паттернам отражения сейсмических волн.

Во всех подобных случаях симметричный дизайн соответствующих моделей вещества, будь то на атомно-молекулярном или глобально-геологическом уровне, позволяет представить в зримых предметных образах то, что в своем естественном бытии либо совсем недоступно прямому наблюдению, либо заслонено от нас какими-то случайными чертами. Это решительно подрывает распространенное мнение о торжестве количественных методов и полном изгнании образных представлений из сегодняшней науки. И то и другое продолжает быть равно важным: чем сложнее проблемы, встающие перед современным исследователем, чем менее они даются ему в непосредственно ощутимой эмпирии, чем абстрактнее делается применяемый для их анализа математический аппарат, тем большая нужда в средствах чувственно-наглядного отображения изучаемой им реальности.

Но чтобы вдохновляться и руководствоваться симметрией при создании моделей и анализе изучаемых фактов, нужно прежде всего уметь находить ее в бесконечной пестроте эмпирической действительности. Лучший же способ приобрести такое умение — вплотную познакомиться с теорией симметрии и в математике, и с ее практикой в искусстве. Те, кто привык считать первую чем-то сухим и чуждым всякой эстетики, а второе — максимально далеким и даже враждебным каким-либо математическим зависимостям, будут немало удивлены не только их кровным родством, но и тем, насколько тесно абстрактные умозрения переплетаются в данном случае с конкретными художественными экспериментами.

Содержание

ВВЕДЕНИЕ 3
СУЩНОСТЬ СИММЕТРИИ 4
2. ПОНЯТИЕ И ХАРАКТЕРИСТИКА АСИММЕТРИИ 8
3. СИММЕТРИЯ – АСИММЕТРИЯ В РАЗЛИЧНЫХ НАПРАВЛЕНИЯХ НАУКИ 11
Симметрия в философии. 11
Симметрия в биологии. 12
Симметрия в физике. 13
Симметрия в математике. 17
Симметрия в химии. 18
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 21
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 23

Работа содержит 1 файл

Симметрия №1.docx

Федеральное агентство по образованию

Южно-Уральский государственный университет

Кафедра физической химии

ВВЕДЕНИЕ 3

СУЩНОСТЬ СИММЕТРИИ 4

2. ПОНЯТИЕ И ХАРАКТЕРИСТИКА АСИММЕТРИИ 8

3. СИММЕТРИЯ – АСИММЕТРИЯ В РАЗЛИЧНЫХ НАПРАВЛЕНИЯХ НАУКИ 11

Симметрия в философии. 11

Симметрия в биологии. 12

Симметрия в физике. 13

Симметрия в математике. 17

Симметрия в химии. 18

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 21

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 23

Симметрия – это такая особенность природы, про которую принято говорить, что она охватывает все формы движения и организации материи.

Истоки понятия симметрии восходят к древним.Наиболее важным открытием древних было осознание сходства и различия правого и левого. Здесь природными образцами им служили собственное тело, а также тела животных, птиц и рыб.

Античные философы читали симметрию, порядок и определенность сущностью прекрасного. Архитекторы, художники, даже поэты и музыканты с древнейших времен знали законы симметрии. Строго симметрично строятся геометрические орнаменты; в классической архитектуре господствуют прямые линии, углы, круги, равенство колонн, окон, арок, сводов. Конечно симметрия в искусстве не буквальная – мы не увидим на картине человека слева и точно такого же справа. Законы симметрии художественного произведения подразумевают не однообразие форм, а глубокую согласованность элементов. Ассиметрия – другая сторона симметрии, ни природа, ни искусство не терпят точных симметрий.

Часто проводят параллели: симметрия и уравновешенность, симметрия и совершенство.

Своим развитием учение о симметрии обязано в первую очередь естествоиспытателям, углубленно изучавшим кристаллические образования, это: И. Кеплер, Н. Стенон, П. Кюри, Лодэаве, рус.Федоров и др.

Понятий симметрии в науке постоянно развивалось и уточнялось. Наука открыла целый мир новых, неизвестных раньше симметрий, поражающий своей сложностью и богатством, - симметрии

Одно из определений понятий симметрии и асимметрии дал В. Готт: симметрия - понятие, отражающее существующий в природе порядок, пропорциональность и соразмерность между элементами какой-либо системы или объекта природы, упорядоченность, равновесие системы, устойчивость, т.е. если хотите, некий элемент гармонии. Асимметрия - понятие, противоположное симметрии, отражающее разупорядочение системы, нарушение равновесия и это связано с изменением, развитием системы. Таким образом и из соображений симметрии-асимметрии мы приходим к выводу, что развивающаяся динамическая система должна быть неравновесной и несимметричной. В ряде случаев симметрия является достаточно очевидным фактом. Например, для определенных геометрических фигур нетрудно увидеть эту симметрию и показать ее путем соответствующих преобразований, в результате которых фигура не изменит своего вида1.

Однако в общем смысле понятие симметрии гораздо шире и ее можно понимать как неизменность (инвариантность) каких-либо свойств объекта по отношению к преобразованиям, операциям, выполняемым над этим объектом. Причем это может быть не только материальный объект, но и закон, математическая формула или уравнения, в том числе и нелинейные, играют большую роль в самоорганизующихся процессах.

В настоящее время в науке преобладают определения указанных категорий на основе перечисления их важнейших признаков. Например, симметрия определяется как совокупность свойств: порядка, однородности, соразмерности, пропорциональности, гармоничности и т. д. Асимметрия же обычно определяется как отсутствие признаков симметрии, как беспорядок, несоразмерность, неоднородность и т. д. Все признаки симметрии в такого рода ее определениях, естественно, рассматриваются как равноправные, одинаково существенные, и в отдельных конкретных случаях при установлении симметрии какого-либо явления можно пользоваться любым из них. Так, в одних случаях симметрия — это однородность, а в других — соразмерность и т. д. Очевидно, что по мере развития нашего познания к определению симметрии можно прибавлять все новые и новые признаки. Поэтому определения симметрии такого рода всегда неполны.

То же можно сказать и о существующих определениях асимметрии. Очевидно, что в определениях понятий, сформулированных по принципу перечисления свойств объектов, ими отражаемых, отсутствует связь между перечисленными свойствами объектов. Такие свойства симметрии, как, например, однородность и соразмерность, друг из друга не следуют. Сказанное, однако, не означает бесполезности вышеуказанных определений симметрии и асимметрии. Наоборот, они весьма полезны и необходимы. Без них нельзя дать и более общее определение категорий симметрии и асимметрии. На основе подобных эмпирических определений симметрии и асимметрии развиваются определения более общего характера, сущность которых — в соотнесении частных признаков симметрии и асимметрии к определенным всеобщим свойствам движущейся материи.

К общим определениям понятий симметрии и асимметрии можно подойти исходя из следующих положений: во-первых, нужно признать, что эти понятия относятся ко всем известным нам атрибутам материи, что они отражают взаимные связи между ними; во-вторых, эти понятия основываются на диалектике соотношения тождества и различия, существующей как между атрибутами материи, так и между их состояниями и признаками; в-третьих, нужно иметь в виду, что единство симметрии и асимметрии представляет собой одну из форм проявления закона единства и взаимоисключения противоположности. Правильность этих отправных положений может быть доказана как выводом их из многочисленных частных определений симметрии и асимметрии, так и правильностью их следствий, т. е. необходимостью и всеобщностью определений симметрии и асимметрии, полученных на их основе 3 .

Непосредственной логической основой для определения понятий симметрии и асимметрии, на наш взгляд, является диалектика тождества и различия. Здесь нужно отметить, что в диалектике тождество и различие рассматриваются лишь в определенных отношениях, во взаимодействии, во включении различия в тождество, а тождества в различие.

Тождество проявляется только в определенных отношениях и в определенных процессах; тождество всегда конкретно. К тождеству можно отнести: равновесие, равнодействие, сохранение, устойчивость, равенство, соразмерность, повторяемость и т. д. Тождество не существует вечно: оно возникает, становится и развивается. Если дать его общее определение, то можно сказать, что оно представляет собой процесс образования сходства в различном и противоположном.

Для того, чтобы имело место тождество, необходимо существование различного и противоположного. Вне различий тождество вообще не имеет смысла, поэтому нельзя говорить о тождественном в тождественном, а только в различном и противоположном.

Характеризуя диалектическое понимание тождества, нужно выделить его следующие стороны: тождество не существует вне различия и противоположности, тождество возникает и исчезает; тождество существует только в определенных отношениях и возникает при определенных условиях, наиболее полным выражением тождества является полное превращение противоположностей друг в друга. Проявления тождества бесконечно многообразны. Поэтому в процессе познания явлений мира нельзя ограничиваться только установлением тождества между ними, но необходимо раскрывать то, как возникает это тождество, при каких условиях и в каких отношениях оно существует. Основываясь на этой характеристике диалектики тождества и различия, можно сформулировать следующие определения симметрии и асимметрии 4 .

Симметрия — это категория, обозначающая процесс существования и становления тождественных моментов в определенных условиях и в определенных отношениях между различными и противоположными состояниями явлений мира.

Как и для определения симметрии, так и для определения асимметрии непосредственной предпосылкой, основанием является диалектика тождества и различия.

Вместе с процессами становления тождества в различном и противоположном происходят процессы становления различий и противоположностей в едином, тождественном, целом. Если основой симметрии можно считать возникновение единого, то основу асимметрии нужно полагать в раздвоении единого на противоположные стороны. Понятие асимметрии, как и понятие симметрии, применимо ко всем атрибутам материи и выражает их различие, их особенность по отношению друг к другу. Поэтому взаимосвязь атрибутов материи выражается не только симметрией, но и асимметрией. Применимо понятие асимметрии и к различным состояниям атрибутов материи и их взаимосвязи. Вообще говоря, где применима симметрия, там применима и асимметрия, и наоборот.

Исходя из сказанного можно дать следующее определение асимметрии: асимметрией называется категория, которая обозначает существование и становление в определенных условиях и отношениях различий и противоположностей внутри единства, тождества, цельности явлений мира.

Весьма общим видом асимметрии является однонаправленность хода времени, полнейшая невозможность фактической замены настоящего прошедшим или будущим, а будущего — прошедшим или настоящим, в свою очередь прошедшего — настоящим и будущим. Все эти три состояния времени не заменяют друг друга — в них на первом плане находится различие. В них нет симметрии. Известная операция обращения времени, рассматриваемая только как математический прием, основана на том положении, что законы движения обладают большей устойчивостью и в обозримых интервалах не изменяются. Мы убеждены, что законы явлений мира являются вечными и поэтому действуют во всех состояниях времени: настоящем, прошедшем и будущем. Значит, операция обращения времени имеет реальный смысл лишь постольку, поскольку в какой-то мере наше убеждение в полной устойчивости, вечности законов явлений мира отвечает действительности 5 .

В реферате рассмотрено понятие симметрии в разных областях: в математике, в искусстве, в архитектуре, в живой и неживой природе.

Вложение	Размер
munitsipalnoe_obshcheobrazovatelnoe_uchrezhdenie.docx	374.75 КБ

Предварительный просмотр:

Муниципальное общеобразовательное учреждение. Павдинская средняя общеобразовательная школа.

Симакова Татьяна Ученица 9 класса Руководитель: Симакова Е.С. Учитель математики 1кв. категория

Симметрия в математике

Симметрия в других науках

Симметрия в искусстве

Греческий скульптор Поликлет, очевидно, был первым, кто использовал этот термин еще в 5 веке до н.э.

Во времена Пифагора(5 век до нашей эры) и пифагорейцев понятие симметрии было оформлено достаточно четко. В то же время они смогли подвергнуть его серьезному анализу и получить результаты универсального назначения.

Отметим некоторые из них:

понятия правого и левого в теории симметрии имеют фундаментальное значение;

б) изучение природы с точки зрения D и L в дальнейшем привело к одной из важнейших проблем естествознания — к проблеме правизны и левизны.

В большой советской энциклопедии (т.23) это понятие определяется так: Симметрия (от греч. symmetria — соразмерность)

симметрия, или отражение относительно плоскости «г в пространстве - преобразования пространства при котором каждая точка М переходит в Ml такую, что отрезок ММ1 перпендикулярен плоскости а и делится ею пополам.
Симметрия - геометрическое свойство фигуры, характеризующее некоторую правильность формы фигуры, неизменность её при действии движений и отражений.

Представьте себе зеркало, но не большое, а точечное: точку, в которой все отображается как в зеркале. Вот эта точка и есть центр симметрии. При таком отображении отражение поворачивается не только справа налево, но и с лица на изнанку.

Г) симметрия переноса

Симметрия в математике

Точки А и А' плоскости называются симметричными относительно точки О, если эта точка является серединой отрезка АА\ Точка О считается симметричной сама себе.

Соответствие, при котором каждой точке А сопоставляется симметричная ей относительно точки О точка А\ называется центральной симметрией. Точка О называется центром симметрии.

Две фигуры F и F' называются симметричными относительно центра О , если каждой точке одной фигуры соответствует симметричная точка другой фигуры.

Фигура F называется симметричной относительно центра О , если она симметрична сама себе.

Установим связь между осевой и центральной симметриями.

Пусть С\, с 2 - перпендикулярные прямые, пересекающиеся в точке О.

Для произвольной точки А рассмотрим точки А\ и А 2 , симметричные точке А относительно прямых с х и с 2 , соответственно. Тогда ОА\ = ОА = ОА 2 и угол А\ОА 2 равен 180 градусов. Значит точки А\ и А 2 симметричны относительно точки О. Таким образом, центральную симметрию относительно точки О, при которой точке А\ сопоставляется точка А 2 , можно получить с помощью двух осевых симметрий — сначала относительно прямой с\ (точка А перейдет в точку A j), а затем относительно прямой с 2 (точка А\ перейдет в точку А 2 ). Поскольку осевые симметрии переводят прямые в прямые и сохраняют расстояния и углы, то из этого следует, что и центральная симметрия переводит прямые в прямые и сохраняет расстояния и углы.

Математически строгое представление о симметрии сформировалось сравнительно недавно - 19 век.

В наиболее простой трактовке известного немецкого математика Германа Вейля (1855-1955) современное определение симметрии выглядит так: симметричным называется такой объект, который можно как-то изменять, получая в результате то же, с чего начали.

Современное представление о симметрии предполагает неизменность объекта по отношению, к каким - то преобразованиям, выполняемым над ними.

Пифагор показал, что отрезок АВ единичной длины можно разделить на две части, что отношение большей части (АС =х) к меньшей (СВ =1-х) будет

равно отношению всего отрезка (АВ =1) к большей части (АС): --- = ------

Такое деление Пифагор назвал золотым делением, или золотой пропорцией, а Леонардо да Винчи - золотым сечением, общепринятым термином. Впоследствии учение о золотом сечении получило широкое применение в математике, эстетике, ботанике, технике.

Поворотную ось можно охарактеризовать с помощью другой величины, называемой порядком оси. Эта величина показывает, сколько раз произойдет совмещение при повороте на 360°. Цветы колокольчика и нарцисса обладают осями пятого и шестого порядка соответственно. Обозначим элементарный угол поворота оси буквой р, а её порядок буквой п. Тогда можно записать

простое соотношение, которое связывает эти две величины: .

Симметрия в других науках

Симметрия в естественных науках

Почему мы находим одни вещи красивыми, а другие нет?

Почему некоторые люди кажутся нам более привлекательными, а другие менее? Кристина Тарлинктон - супермодель, признанная одной из самых красивых женщин в мире, - считает, что по большей части она обязана своим успехом в качестве модели идеальной симметрии своих губ.

Пропорция и симметрия объекта всегда необходимы нашему зрительному

восприятию для того, чтобы мы могли считать этот объект красивым. Баланс и

пропорция частей относительно целого обязательны для симметрии. Смотреть на

симметричные изображения приятнее, нежели на ассиметричные.

Наиболее поразительным примером симметрии в неорганическом мире являются кристаллы.

Кристалл - это твердые вещества, характеризующиеся упорядоченным расположением в пространстве ионов, атомов или молекул. Кристаллы широко используются в науке технике. Отграненные кристаллы драгоценных камней используют как украшения, но многим такие украшения не по карману.

Кристаллографы давно обратили внимание на то, что в кристаллографии запрещена ось пятого порядка. Она полностью исключена из неживой природы. Но эта ось повсюду присутствует в живом мире. То есть ось пятого порядка - симметрия жизни.

Кристаллу может быть присуща не одна, а несколько симметрий. Кристалл кварца совмещается с собой при повороте на угол 120° вокруг оси q, но и при повороте на угол 240° вокруг оси q.

Теперь поговорим о видах симметрии в кристалле. Прежде всего, в кристаллах могут быть оси симметрии только 1, 2, 3, 4 и 6 порядков. Представим плоскость, которую надо полностью покрыть семи-, восьми-, девятиугольниками и т.д., так чтобы между фигурами не оставалось пространства, это не получится, пятиугольниками покрыть плоскость так же нельзя. Очевидно, оси симметрии 5, 7-го и выше порядков не возможны, потому что при такой структуре атомные ряды и сетки не заполнят пространство непрерывно, возникнут пустоты, промежутки между положениями равновесия атомов. Атомы окажутся не в самых устойчивых положениях и кристаллическая структура разрушится.

В кристаллическом многограннике можно найти разные сочетания элементов симметрии - у одних мало, у других много. По симметрии, прежде всего по осям симметрии, кристаллы делятся на три категории. К таким формам относятся куб, октаэдр, тетраэдр и др.

К высшей категории относятся самые симметричные кристаллы, у них может быть несколько осей симметрии порядков 2,3 и 4, нет осей 6-го порядка, могут быть плоскости и центры 6

Им всем присуща общая черта: они примерно одинаковы во все стороны.

У кристаллов средней категории могут быть оси 3, 4 и 6 порядков, но только по одной. Осей 2 порядка может быть несколько, возможны плоскости симметрии и центры симметрии. Формы этих кристаллов: призмы, пирамиды и др. Общая черта: резкое различие вдоль и поперек главной оси симметрии. У кристаллов низшей категории не может быть ни одной оси симметрии 3 4 и 6 порядков, могут быть только оси 2 порядка, плоскости или центр симметрии. Структура данных кристаллов самая сложная.

Из кристаллов к высшей категории относятся: алмаз, квасцы, гранаты германий, кремний, медь, алюминий, золото, серебро, серое олово, вольфрам, железо; к средней категории - графит, рубин, кварц, цинк, магний, белое олово, турмалин, берилл; к низшей - гипс, слюда, медный купорос, сегнетовая соль и др. Конечно в этом списке не были перечислены все существующие кристаллы, а только наиболее известные из них. Категория, к которой принадлежит кристалл, характеризует его физические свойства. Каждый кристаллический многогранник обладает определенным набором элементов симметрии. Полный набор всех элементов симметрии, присущих данному кристаллу называется классом симметрии. Сколько же всего таких наборов? Их количество ограничено. Математическим путем было доказано, что в кристаллах существует 32 вида симметрии.

Симметрия в химических, физических науках.

Симметрия кристаллов связана симметрией частиц, которые его образуют.

У снежинки шесть осей симметрии. Наверное, она была бы совсем другой, если бы молекулы воды не обладали определенной симметрией.

Симметрия в мире атомов и молекул - очень распространенное явление. Например, молекула воды, оксид углерода обладают зеркальной симметрией, молекула метана - поворотной симметрией. Еще Дж. Дальтон считал, что атомы в химическом соединении должны располагаться симметрично. И многие другие ученые полагали, что одинаковые по своим свойствам части химических молекул одинаково симметрично расположены. Эти взгляды нашли отражение в способе написания формул, особенно формул органических соединений.

Не исключено, что атом в неживой природе имеет наиболее компактную упаковку и минимум потенциальной энергии. В случае пятилучевой симметрии такой законченности нет, и появляется определенная степень свободы, в направлении которой возможно движение вещества и осуществление процесса обмена веществ одного из важнейших признаков жизни. Подавляющее большинство живых организмов обладает одним из трех её видов: шаровидной, осевой, а более высокоразвитые существа — зеркальной симметрией.

Симметрия в биологии На явление симметрии в природе обратили внимание еще в Древней Греции пифагорейцы 5 век до нашей эры в связи с развитием учения о гармонии. В 19 веке появились идентичные работы, посвященные симметрии растений, животных, биогенных молекул.

В 20 веке биообъекты изучали с позиции общей теории симметрии и учения о правизне и левизне. После этого выделили - биосимметрику.

Винтовая симметрия, осуществляемая поворотом на некоторый угол вокруг оси, дополняемый переносом вдоль той же оси, наблюдается при расположении листьев у растений.

Встречаются левые и правые винты.

Примерами природных винтов являются: бивень нарвала - левый винт, раковина улитки - правый винт, рога памирского барана закручены по разному один по правому винту, а другой по левому.

Спиральная симметрия не бывает идеальной, например, раковина моллюсков сужается или расширяется на конце.

Спиральную структуру имеют многие важные молекулы, из которых построены живые организмы - белки, дезоксирибонуклеиновые кислоты - ДНК; являющиеся носителем наследственной информации в живом организме. Молекула ДНК имеет структуру правой двойной спирали.

Цветок анютины глазки совместится сам с собой только при повороте на 360. Это значит, что цветок обладает лишь осью первого порядка. А вот плоды (яблоко или груша) достаточно правильной формы могут оказаться совмещенными сами с собой при повороте на любой, в том числе сколь угодно малый угол вокруг оси, идущей вдоль черенка (естественно, при условии некоторой идеализации их формы).

Если внимательно приглядеться к стеблю растения, то окажется, что и здесь действует закон симметрии. Стебель обладает винтовой осью симметрии. У подсолнечника каждый лепесток появляется после поворота на 72. Листья на стебле располагаются по спирали так, чтобы, не мешая друг другу, воспринимать солнечный свет. Сумма двух предыдущих шагов спирали, начиная с вершины, равна величине последующего шага. Оказывается, винтовое расположение листьев составлено из чисел ряда Фибоначчи, которые играют немаловажную роль в природе.

Зеркальной симметрией обычно обладают листья растений. Удивительно симметричны листья дуба, вербы, клена, крапивы.

Многие цветы обладают характерным свойством: цветок можно повернуть на некоторый угол так, что каждый лепесток займет положение соседнего, иными словами, цветок совместится сам с собой. Такой цветок обладает поворотной осью симметрии. Необходимый для совмещения угол поворота в разных случаях неодинаков. Для цветка колокольчика он равен 72, для нарцисса - 60.Минимальный угол, на который нужно повернуть цветок вокруг оси симметрии, чтобы он совместился с самим собой, называют элементарным углом поворота оси.

Симметрия у живых организмов (поворотная симметрия медузы, морские звезды) служит не только для красоты; она, прежде всего, связана с приспособлением их к окружающему миру, с их жизнестойкостью.

Человеческое тело, также как и тело других позвоночных, в основе своей построено зеркально симметрично.

Человек обладает осевой симметрией. Осью симметрии является позвоночник. У человека левая сторона симметрична правой.

Симметрия в искусстве

С симметрией мы часто встречаемся в искусстве, архитектуре, технике, быту. Так, фасады многих зданий обладают осевой симметрией. В большинстве случаев симметричны (относительно оси или центра) узоры на коврах, тканях, обоях.

Симметрия в искусстве получила распространение, как один из видов гармоничной композиции.

Одна из известных фресок Леонардо да Винчи посвящена сюжету из Евангелия, в котором рассказывается, как преследуемый Христос тайно встречается со своими учениками. Пространство в картине организовано строго симметрично. Симметрично расположены и фигуры за столом: 3+3+1 +3+3.

Симметрия свойственна произведениям архитектуры и декоративноприкладного искусства. Она используется в качестве основного приема построения бордюров и орнаментов.

Комбинации симметрии вызывают большой интерес у ученых в различных областях естествознания, например симметрия в биологии.

Симметрия в архитектуре

В архитектуре симметрия очень популярна. Многие архитекторы добиваются симметричности своего построения даже с невыгодой для них. Они говорят, что симметричное здание крепче и красивее.

Кроме симметрии встречается и её противоположность асимметрия.

Кроме симметрии применяют в архитектуре и асимметрию. Средством создания единства в асимметричных композициях является зрительное равновесие частей по массе, фактуре, цвету и пр. Примеры композиционно цельных асимметричных сооружений - Спасо-Преображенский собор Мирожского монастыря в Пскове (XII в.) и жилой дом на Смоленской площади в Москве (И. Жолтовский). Роль асимметрии в композиции

архитектурных форм - в выявлении динамики художественного образа сооружения. В сложных композициях могут сочетаться симметрия и асимметрия. Ярким примером такого сочетания является собор Василия Блаженного в Москве (1555-1561, Барма, Постник Яковле

Дизайнеры не любят симметрию, а предпочитают асимметрию. Но зато ее любят строители и архитекторы!

Работа дизайнера заключается в том, чтобы не испортить смысл дизайном.

Нужно найти идею и донести ее до зрителя так, чтобы она прозвучала и оставила впечатление.

Однако большинство из тех, кто себя считает дизайнерами, придерживается другой точки зрения. Они уверены, что дизайн — это когда не сразу понимаешь, что хотели сказать.

Симметрия помогает дизайнеру все испортить.

Поиск закономерностей, совпадений, общих элементов — один из основных инструментов дизайнера. Но только не в ущерб смыслу.

Стоит учесть, что такие приемы оформления, как симметрия и центрирование , постоянно применялись до начала 1920-х годов. Новая волна принесла нам замечательнейшее изобретение — асимметрию. Ее стоит применять при размещении информации. Асимметоия — не просто художественный прием, это способ добиваться понимания.

С помощью книг и Интернета я убедилась в том, что симметрия встречается во многих науках, почти во всех. Симметрия это все красивое, упорядоченное. Большинство предметов в природе создано по законам симметрии. Асимметрию лучше использовать как художественный прием при размещении информации и рекламе.

Читайте также: