Решение показательных уравнений доклад

Обновлено: 04.07.2024

• Для учеников 1-11 классов и дошкольников
• Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Методы решения показательных и показательно- степенных уравнений

Выполнил: Водопьянов Евгений

учащийся 10 класса

Руководитель: Леонова Надежда Васильевна

г. Барабинск 2013

Определение показательного уравнения.

Метод приведения обеих частей уравнения к одному основанию.

Метод вынесения общего множителя за скобки.

Метод замены переменной.

Метод логарифмирования обеих частей уравнения.

Нестандартный метод решения показательных уравнений.

Графический метод решения показательных уравнений.

Я поставил перед собой проблему: В чем заключаются трудности при решении показательных и показательно- степенных уравнений ?

Цель работы: изучение методов решения показательных и показательно степенных уравнений.

Характер работы определил следующие задачи:

- проанализировать литературу по данному вопросу;

- систематизировать сведения о методах решения показательных уравнений;

- изучить методы решения показательно- степенных уравнений;

- совершенствовать технику алгебраических преобразований;

- рассмотреть нестандартные методы решения показательных уравнений.

Объект исследования: показательные и показательно- степенные уравнения

Гипотеза исследования: систематизировать методы решения показательных и показательно-степенных уравнений.

2.1. Определение показательного уравнения.

Уравнение, содержащее переменную в показателе степени, называется показательным.

a x =b , где а > 0, а≠1, b>0

2.2. Метод приведения обеих частей уравнения к общему основанию.

Решение показательных уравнений основано на свойстве степени:

Две степени с одним и тем же положительным основанием а≠1 равны тогда и только тогда, когда равны и показатели .Используя это свойство, уравнение

a x = b , где а>0, а≠1, b >0

Многие показательные уравнения решаются методом приведения обеих частей уравнения к общему основанию.

( ) x -1 =( ) -12 x +10 , так как функция y =() t убывающая при t € R , то данное уравнение равносильно уравнению

2.3. Метод вынесения общего множителя за скобки.

При решении показательных уравнений используется преобразование, состоящее в вынесении общего множителя за скобки.

Пример №2. Решите уравнение:

5 2 x+ 1 - 3*5 2 x -1 =550

Пример№3 Решите уравнение

4 x -3 x-= 3 x+ -2 2x-1

Сгруппируем члены, содержащие степени с основанием 4 и с основанием 3:

4 x +2 2 x -1 =3 x + +3 x -

2 2 x +2 2 x *2 -1 =3 x *3 0,5 +3 x /3 0,5

Вынесем общие множители за скобки:

2 2 x (1+0,5)=3 x (3 0,5 + 1/3 0,5 )

2 2 x * =3 x ( 4/3 0,5 )

2 2 x -1 *3=3 x -0,5 *4

2 2 x -1 /4 =3 x -0,5 /3

(2 2 ) x -1 ,5 =3 x-1,5

Разделим обе части уравнения на

2.4 Метод замены переменной

Уравнение вида f(а х )=0 при помощи замены переменной а х = t сводится к решению равносильной ему совокупности показательных уравнений

где t ₁, t ₂,…, t _k - все корни уравнения f ( t )=0

Пример №4. Решите уравнение.

Пусть 5 x = t , тогда

Таким образом, данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

Уравнение 5 x =-3 решений не имеет, т.к. 5 x >0 при x € R

Рассмотрим показательные уравнения, в которых имеются три степени с различными основаниями, являющимися членами геометрической прогрессии, причем эти основания возводятся в одну и ту же зависящую от x степень.

Такие уравнения имеют вид

α a f( x ) +ß b f( x ) +γ c f( x ) =0

где α ≠0,ß,γ- действительные числа, f( x )- некоторая функция, а основания a , b , c удовлетворяют условию b 2 = ac

Уравнения такого вида решаются приведением к квадратному уравнению

α t 2 +ß t +γ=0 и рассмотрением совокупности показательных уравнений,

где t ₁, t ₂- корни квадратного уравнения.(1,стр. 97)

Пример№5 Решите уравнение

3*16 x +37*36 x =26*81 x

В этом уравнении числа 16,36,81 образуют три последовательных члена геометрической прогрессии со знаменателем q ===.Разделим обе части уравнения на 81 x

3*( ) 2 x +37*( ) x -26=0

Получаем совокупность двух показательных уравнений:

Уравнение вида α a f( x ) +ß b f( x ) +γ=0

где α ,ß,γ- действительные числа, а основания a и b удовлетворяют условию ab =1, можно решать заменой переменной a f( x ) = t , тогда b f( x ) =1/ t и уравнение примет вид at 2 +γ t +β=0, которое приведет к совокупности двух показательных уравнений a f( x ) = t ₁, a f( x ) = t ₂, равносильной исходному уравнению.

Пример №6. Решите уравнение.

Преобразуем уравнение так:

Пусть 2 3 x -3 = t >0

2.5. Метод логарифмирования обеих частей уравнения.

Уравнение вида a f ( x ) = b ,где a >0, a ≠1, b >0 может быть решено при помощи логарифмирования обеих частей уравнения. Логарифмирование обеих частей возможно ,т.к. обе части уравнения положительны. Получаем f( x )= log _a b -уравнение ,равносильное исходному

Пример №7 Решите уравнение:

1 способ. Обе части уравнения положительны. Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 5

log ₅ 5 2 x -1 = log ₅ 7 3- x

2 x -1=(3- x ) log ₅ 7

2 способ. Прологарифмируем обе части по основанию 7.

3 способ. Применим основное логарифмическое тождество 7=5 log ₅ 7

2.6.Нестандартные методы решения показательных уравнений.

Пример №8.Решите уравнение

Никаким из рассмотренных методов это уравнение не решается. Попробуем найти какое-нибудь решение этого уравнения методом подбора. Это x =1. Пока еще нельзя считать, что уравнение решено, оно может иметь и другие решения. Докажем, что других корней нет. Исследуем функции при x >1, x x >1. Тогда функция y =( ) x убывает при x € R , значит при x >1

Функция y =2 x возрастает при x € R ,значит при x >1, 2 x >2 1 , 2 x >2

Получим, при x >1, левая часть уравнения меньше 2, а правая часть уравнения больше 2, значит, данное уравнение не имеет корней, больших, чем 1.

Пусть x y =( ) x убывает (0 x € R , значит при x x >() 1 , ( ) x + > + ,

Функция y =2 x возрастает при x € R ,значит при x x 1 , 2 x x x =1- единственный корень уравнения.

2.7. Графический метод решения показательных уравнений

Пример №9. Решите уравнение:

2.8. Показательно-степенные уравнения

Пример №10. Решите уравнение:

( x +3) x 2-3 =( x +3) 2 x

Выражение в левой части и правой части уравнения представляет собой функцию, содержащую переменную как в основании, так и в показатели степени. Это показательно-степенное уравнение. Для решения этого показательно-степенного уравнения нужно рассмотреть три случая ;когда основание степени равно1;равно 0 и когда оно отлично от указанных значений.

x =-2, то получим 1=1- равенство верное, значит, x =-2- корень уравнения.

x =-3, то получится

0 -6 смысла не имеет.

Поэтому x =-3 не является корнем уравнения.

x +3 1,то приравниваем показатели

При этих значения x получаем соответственно 2 -2 =2 -2 и 6 6 =6 6 –верные равенства, значит x =-1 и x =3 корни уравнения.

Итак, я поставил проблему, провел информационный поиск, систематизировал методы решения показательных уравнений, изучил методы решения показательно- степенных уравнений, нашел пути решения данной проблемы, оформил результат.

1.Крамов В.С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры.

2. Никольский М.К. Алгебра и начало анализа 11 класса – М.: Просвещение, 2007.

4. Семёнов В.А. Ященко А.Н. КИМ ГИА.-М. Просвещение, 2013.

5. Цыпкин А.Г. Пинский А.И. справочное пособие по методам решения задач по математике. -М.: Наука, 1983.

Краткое описание документа:

"Описание материала:

Цель работы: изучить методы решения показательных и показательно степенных уравнений.

Характер работы определил следующие задачи: анализ литературы данного вопроса: систематизирование сведений о методах решения показательных уравнений; изучение методов решения показательно - степенных уравнений; совершенствование техники алгебраических преобразований; рассмотрение нестандартных методов решения показательных уравнений. Объектом исследования являются: показательные и показательно - степенные уравнения. Гипотеза исследования: систематизировать методы решения показательных и показательно-степенных уравнений.

• подготовка к ЕГЭ/ОГЭ и ВПР
• по всем предметам 1-11 классов

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 933 человека из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 683 человека из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Инструменты онлайн-обучения на примере программ Zoom, Skype, Microsoft Teams, Bandicam

• Курс добавлен 31.01.2022
• Сейчас обучается 24 человека из 17 регионов

• ЗП до 91 000 руб.
• Гибкий график
• Удаленная работа

Дистанционные курсы для педагогов

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 611 084 материала в базе

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Другие материалы

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

• 24.06.2014 2431
• DOCX 152.5 кбайт
• 15 скачиваний
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Мельникова Оксана Валерьевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

40%

• Подготовка к ЕГЭ/ОГЭ и ВПР
• Для учеников 1-11 классов

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Минобрнауки и Минпросвещения запустили горячие линии по оказанию психологической помощи

Время чтения: 1 минута

В Россию приехали 10 тысяч детей из Луганской и Донецкой Народных республик

Время чтения: 2 минуты

Рособрнадзор предложил дать возможность детям из ДНР и ЛНР поступать в вузы без сдачи ЕГЭ

Время чтения: 1 минута

Отчисленные за рубежом студенты смогут бесплатно учиться в России

Время чтения: 1 минута

Минпросвещения России подготовит учителей для обучения детей из Донбасса

Время чтения: 1 минута

Время чтения: 2 минуты

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Тех, кто умеет решать квадратные уравнения, не испугает, если одну из переменных нужно будет возвести в степень. Если же искомый x находится не в основании степени, а в ее показателе — значит, нам встретились показательные уравнения. Узнаем о них подробнее и рассмотрим примеры с решениями за 10 класс — они пригодятся на ЕГЭ.

О чем эта статья:

6 класс, 7 класс

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Определение показательного уравнения

Показательными называются уравнения с показательной функцией f(x) = a х . Другими словами, неизвестная переменная в них может содержаться как в основании степени, так и в ее показателе. Простейшее уравнение такого вида: a х = b, где a > 0, a ≠ 1.

Конечно, далеко не все задачи выглядят так просто, некоторые из них включают тригонометрические, логарифмические и другие конструкции. Но для решения даже простых показательных уравнений нужно вспомнить из курса алгебры за 6–7 класс следующие темы:

Если что-то успело забыться, советуем повторить эти темы перед тем, как читать дальнейший материал.

С точки зрения геометрии показательной функцией называют такую: y = a x , где a > 0 и a ≠ 1. У нее есть одно важное для решения показательных уравнений свойство — это монотонность. При a > 1 такая функция непрерывно возрастает, а при a

Показательная функция не может быть отрицательным числом, т. е. выражение у = a x при а ≤ 0 корней не имеет.

Иногда в результате решения будет получаться несколько вариантов ответа, и в таком случае мы должны выбрать тот корень, при котором показательная функция больше нуля.

Свойства степеней

Мы недаром просили повторить свойства степенной функции — на них будет основано решение большей части примеров. Держите небольшую шпаргалку по формулам, которые помогут упрощать сложные показательные уравнения.

Уравнения, содержащие неизвестные в показателе степени, называются показательными уравнениями. Простейшим из них является уравнение а x = b, где а 0, а ≠ 1, b 0.

1) При b и b = 0 это уравнение, согласно определению показательной функции, не имеет решения.

2) При b 0 используя монотонность функции и теорему о корне, уравнение имеет единственный корень. Для того, чтобы его найти, надо b представить в виде b = a с , а x = b с  x = c.

Показательные уравнения путем алгебраических преобразований приводят к стандартным уравнения, которые решаются, используя следующие методы.

1. Метод приведения к одному основанию

Способ основан на следующем свойстве степеней: если равны две степени и равны их основания, то равны и их показатели, т.е. уравнение надо попытаться свести к виду

Примеры. Решить уравнение:

1. 3 x = 81

Представим правую часть уравнения в виде 81 = 3 4 и запишем уравнение, равносильное исходному 3 x = 3 4 ; x = 4.

2.

Представим правую часть уравнения в виде и перейдем к уравнению для показателей степеней 3x+1 = 3 – 5x; 8x = 4; x = 0,5.

3.

Представим правую часть данного уравнения в виде 1 = 5 0 и перейдем к уравнению для показателей степеней x 2 -3x+2 = 0, откуда легко получить решения x = 1 и x=2.

4.

Заметим, что числа 0,2, 0,04, √5 и 25 представляют собой степени числа 5. Воспользуемся этим и преобразуем исходное уравнение следующим образом:

, откуда 5 - x -1 = 5 -2 x -2  - x – 1 = - 2x – 2, из которого находим решение x = -1. Ответ: -1

Перепишем уравнение в виде 3 2 x +4 .2 2 x +4 = 3 2 x .2 x +8 , т.е. далее

2 2 x +4- x -8 = 3 3 x -2 x -4 , т.е. 2 x -4 = 3 x -4 . (Уже ясно, что x = 4). Перепишем уравнение, разделив на 3 x -4 ≠ 0. Отсюда x – 4 =0, x = 4.

6. 2∙3 x +1 - 6∙3 x -2 - 3 x = 9

Используя свойства степеней, запишем уравнение в виде 6∙3 x - 2∙3 x – 3 x = 9, далее 3∙3 x = 9, 3 x +1 = 3 2 , т.е. x+1 = 2, x =1.

2. Метод введения новых переменных

Введение новой переменной (подстановка) обычно производится после преобразований (упрощения) членов уравнения.

Примеры. Решить уравнение:

1.

Перепишем уравнение иначе: . Обозначим 5 x = t 0, тогда т.е. 3t 2 – 2t – 1 =0, отсюда t₁ = 1, -не удовлетворяет условию t 0. Итак, 5 x = 1 = 5 0 x = 0.

2.

Заменим , получим уравнение 2t 2 – 5t +3 = 0, где t₁ = 1, t₂ = . Вернёмся к замене

Ответ: 0; 0,5

3.

Заменим , получим уравнение 8t 2 – 6t +1 = 0, где t₁ = 1, t₂ = . Вернёмся к замене

3. Метод разложения на множители

В левой части уравнения вынести общий множитель за скобки

Примеры. Решить уравнение:

1. 5 x +1 - 5 x -1 = 24

Перепишем уравнение в виде Теперь в левой части уравнения вынесем за скобки общий множитель 5 x . Получим

2. 6 x + 6 x +1 = 2 x + 2 x +1 + 2 x +2

Вынесем за скобки в левой части уравнения 6 x , а в правой части – 2 x . Получим уравнение

6 x (1+6) = 2 x (1+2+4)  6 x = 2 x . Так как 2 x 0 при всех x, можно обе части этого уравнения разделить на 2 x , не опасаясь при этом потери решений. Получим 3 x = 1 x = 0.

Решим уравнение методом разложения на множители (можно решить методом замены переменной)

Выделим квадрат двучлена

В этом видеоуроке мы поговорим о показательных уравнениях. Рассмотрим некоторые виды показательных уравнений и методы их решения.

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобретя в каталоге.

Получите невероятные возможности

Конспект урока "Показательные уравнения"

Показательным называется уравнение, содержащее переменные только в показателе степени.

Рассмотрим простейшее показательное уравнение , где и .

Область значений функции – множество положительных чисел. Поэтому в случае уравнение не имеет решений.

Пусть . Функция на промежутке от возрастает при , убывает при и принимает все положительные значения.

Тогда уравнение при любом , и имеет единственный корень.

Для того, чтобы его найти, надо представить в виде . Очевидно, что является решением уравнения .

Вообще, решение показательных уравнений основано на свойстве степеней: две степени с одним и тем же положительным и отличным от единицы основанием равны тогда и только тогда, когда равны их показатели.

Рассмотрим некоторые виды показательных уравнений и методы их решения.

Метод 1: приведение обеих частей уравнения к одному основанию.

Уравнение 1: .

Решение. 1 в правой части нашего уравнения мы можем представить, как . Тогда исходное уравнение равносильно уравнению .

Так как две степени с одним и тем же положительным и отличным от единицы основанием равны тогда и только тогда, когда равны их показатели, то можем приравнять показатели наших степеней.

Имеем .

Решим это уравнение. Применим теорему Виета.

Тогда наше уравнение имеет два корня и .

Запишем ответ: , .

Уравнение 2: .

Решение. Приведём обе части уравнения к одному основанию.

В свою очередь, .

Тогда наше уравнение примет вид: .

Так как основания наших степеней теперь равны, то .

Упростим последнее уравнение, получим .

Отсюда .

Не забудем записать ответ.

Второй метод: вынесение общего множителя за скобки в уравнениях, в левой части которых записана сумма или разность степеней с одним основанием.

Уравнение 1: .

Решение. Вынесем в левой части уравнения выражение за скобки. Получим уравнение .

Посчитаем значение выражения в скобках. Получим .

Разделим левую и правую части уравнения Получим

– это есть

Видим основания наших степеней равны. Значит, можем приравнять показатели степеней. Имеем .

Отсюда .

Уравнение 2: .

Решение. Вынесем в левой части уравнения, в правой части – за скобки.

Получим уравнение .

Упростим. Получим .

Разделим обе части последнего уравнения на произведение . . Сократим. Имеем уравнение .

Заметим, что в получившемся уравнении равны не основания степени, а показатели. Разделим обе части этого уравнения на . Тогда имеем . Или .

Теперь можем приравнять показатели. Получим .

Отсюда .

Не забудем записать ответ.

Третий метод: решение уравнения при помощи замены, где .

Уравнение 1: .

Решение: Введём замену , .

Тогда исходное уравнение примет вид .

Решим это уравнение.

Видим, что это уравнение имеет следующие корни и .

Корень равный не подходит, так как по условию .

Вернёмся к замене. Тогда или .

Основания степеней равны, значит, можем приравнять показатели. Имеем .

Уравнение 2: .

Решение. Для начала приведём слагаемые в левой части уравнения к одному основанию. Получим или .

Теперь введём замену , .

Тогда исходное уравнение примет вид .

Разложим левую часть уравнения на множители. Для этого из первых двух слагаемых вынесем общий множитель за скобку, а из вторых за скобки.

Имеем .

Затем вынесем общий множитель за скобки. Получим .

Видим, во вторых скобках записана разность квадратов. Воспользуемся формулой

Тогда наше уравнение будет иметь следующий вид .

Чтобы левая часть уравнения была равна 0, нужно чтобы хотя бы один из множителей равнялся 0.

Читайте также:

  
• Технология создания и форматирования документов содержащих таблицы доклад
  
• Доклад о энгельсе powerpoint
  
• Касситский и посткасситский вавилон доклад
  
• Доклад лихачева путину коммерсант доклад
  
• Проявления вежливости в поликультурной среде доклад