Основное тригонометрическое тождество доклад

Обновлено: 04.07.2024

Тригонометрические тождества — это равенства, которые устанавливают связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла, которая позволяет находить любую из данных функций при условии, что будет известна какая-либо другая.

Основные тригонометрические тождества

\[ \sin^\alpha + \cos^ \alpha = 1 \]

\[ tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1 \]

Четность, нечетность тригонометрических функций

\[ \sin \left ( - \alpha \right ) = - \sin \left ( \alpha \right ) \]

\[ \cos \left ( - \alpha \right ) = \cos \left ( \alpha \right ) \]

\[ tg \left ( - \alpha \right ) = - tg \left ( \alpha \right ) \]

\[ ctg \left ( - \alpha \right ) = ctg \left ( \alpha \right ) \]

Зависимость между синусом и косинусом

Данное тождество говорит о том, что сумма квадрата синуса одного угла и квадрата косинуса одного угла равна единице, что на практике дает возможность вычислить синус одного угла, когда известен его косинус и наоборот.

При преобразовании тригонометрических выражений очень часто используют данное тождество, которое позволяет заменять единицей сумму квадратов косинуса и синуса одного угла и также производить операцию замены в обратном порядке.

Нахождение тангенса и котангенса через синус и косинус

Данные тождества образуются из определений синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Ведь если разобраться, то по определению ординатой $ \dfrac=\dfrac $ , а отношение $ \dfrac=\dfrac $ — будет являться котангенсом.

Добавим, что только для таких углов $ \alpha $ , при которых входящие в них тригонометрические функции имеют смысл, будут иметь место тождества $ tg \alpha = \dfrac $ , $ ctg \alpha=\dfrac $ .

Например: $ tg \alpha = \dfrac $ является справедливой для углов $ \alpha $ , которые отличны от $ \dfrac<\pi>+\pi z $ , а $ ctg \alpha=\dfrac $ — для угла $ \alpha $ , отличного от $ \pi z $ , $ z $ — является целым числом.

Зависимость между тангенсом и котангенсом

\[ tg \alpha \cdot ctg \alpha=1 \]

Данное тождество справедливо только для таких углов $ \alpha $ , которые отличны от $ \dfrac<\pi> z $ . Иначе или котангенс или тангенс не будут определены.

Опираясь на вышеизложенные пункты, получаем, что $ tg \alpha = \dfrac $ , а $ ctg \alpha=\dfrac $ . Отсюда следует, что $ tg \alpha \cdot ctg \alpha = \dfrac \cdot \dfrac=1 $ . Таким образом, тангенс и котангенс одного угла, при котором они имеют смысл, являются взаимно обратными числами.

Зависимости между тангенсом и косинусом, котангенсом и синусом

$ tg^ \alpha + 1=\dfrac <\cos^\alpha> $ — сумма квадрата тангенса угла $ \alpha $ и $ \alpha $ , отличных от $ \dfrac<\pi>+ \pi z $ .

$ 1+ctg^ \alpha=\dfrac<\sin^\alpha> $ — сумма $ \alpha $ , равняется обратному квадрату синуса данного угла. Данное тождество справедливо для любого $ \alpha $ , отличного от $ \pi z $ .

Формулы приведения

sin α + 2 π z = sin α , cos α + 2 π z = cos α t g α + 2 π z = t g α , c t g α + 2 π z = c t g α sin - α + 2 π z = - sin α , cos - α + 2 π z = cos α t g - α + 2 π z = - t g α , c t g - α + 2 π z = - c t g α sin π 2 + α + 2 π z = cos α , cos π 2 + α + 2 π z = - sin α t g π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g π 2 + α + 2 π z = - t g α sin π 2 - α + 2 π z = cos α , cos π 2 - α + 2 π z = sin α t g π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g π 2 - α + 2 π z = t g α sin π + α + 2 π z = - sin α , cos π + α + 2 π z = - cos α t g π + α + 2 π z = t g α , c t g π + α + 2 π z = c t g α sin π - α + 2 π z = sin α , cos π - α + 2 π z = - cos α t g π - α + 2 π z = - t g α , c t g π - α + 2 π z = - c t g α sin 3 π 2 + α + 2 π z = - cos α , cos 3 π 2 + α + 2 π z = sin α t g 3 π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g 3 π 2 + α + 2 π z = - t g α sin 3 π 2 - α + 2 π z = - cos α , cos 3 π 2 - α + 2 π z = - sin α t g 3 π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g 3 π 2 - α + 2 π z = t g α

Формулы понижения степени

sin 2 α = 1 - cos 2 α 2 cos 2 α = 1 + cos 2 α 2 sin 3 α = 3 sin α - sin 3 α 4 cos 3 α = 3 cos α + cos 3 α 4 sin 4 α = 3 - 4 cos 2 α + cos 4 α 8 cos 4 α = 3 + 4 cos 2 α + cos 4 α 8

В статье подробно рассказывается об основных тригонометрических тождествах. Эти равенства устанавливают связь между sin , cos , t g , c t g заданного угла. При известной одной функции можно через нее найти другую.

Тригонометрические тождества для рассмотрения в денной статье. Ниже покажем пример их выведения с объяснением.

sin 2 α + cos 2 α = 1 t g α = sin α cos α , c t g α = cos α sin α t g α · c t g α = 1 t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α , 1 + c t g 2 α = 1 sin 2 α

Связь между sin и cos одного угла

Поговорим о важном тригонометрическом тождестве, которое считается основой основ в тригонометрии.

sin 2 α + cos 2 α = 1

Заданные равенства t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α , 1 + c t g 2 α = 1 sin 2 α выводят из основного путем деления обеих частей на sin 2 α и cos 2 α . После чего получаем t g α = sin α cos α , c t g α = cos α sin α и t g α · c t g α = 1 - это следствие определений синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Равенство sin 2 α + cos 2 α = 1 является основным тригонометрическим тождеством. Для его доказательства необходимо обратиться к теме с единичной окружностью .

Пусть даны координаты точки А ( 1 , 0 ) , которая после поворота на угол α становится в точку А 1 . По определению sin и cos точка А 1 получит координаты ( cos α , sin α ) . Так как А 1 находится в пределах единичной окружности, значит, координаты должны удовлетворят условию x 2 + y 2 = 1 этой окружности. Выражение cos 2 α + sin 2 α = 1 должно быть справедливым. Для этого необходимо доказать основное тригонометрическое тождество для всех углов поворота α .

В тригонометрии выражение sin 2 α + cos 2 α = 1 применяют как теорему Пифагора в тригонометрии. Для этого рассмотрим подробное доказательство.

Используя единичную окружность, поворачиваем точку А с координатами ( 1 , 0 ) вокруг центральной точки О на угол α . После поворота точка меняет координаты и становится равной А 1 ( х , у ) . Опускаем перпендикулярную прямую А 1 Н на О х из точки А 1 .

На рисунке отлично видно, что образовался прямоугольный треугольник О А 1 Н . По модулю катеты О А 1 Н и О Н равные, запись примет такой вид: | А 1 H | = | у | , | О Н | = | х | . Гипотенуза О А 1 имеет значение равное радиусу единичной окружности, | О А 1 | = 1 . Используя данное выражение, можем записать равенство по теореме Пифагора: | А 1 Н | 2 + | О Н | 2 = | О А 1 | 2 . Это равенство запишем как | y | 2 + | x | 2 = 1 2 , что означает y 2 + x 2 = 1 .

Используя определение sin α = y и cos α = x , подставим данные угла вместо координат точек и перейдем к неравенству sin 2 α + cos 2 α = 1 .

Основная связь между sin и cos угла возможна через данное тригонометрическое тождество. Таким образом, можно считать sin угла с известным cos и наоборот. Чтобы выполнить это, необходимо разрешать sin 2 α + cos 2 = 1 относительно sin и cos , тогда получим выражения вида sin α = ± 1 - cos 2 α и cos α = ± 1 - sin 2 α соответственно. Величина угла α определяет знак перед корнем выражения. Для подробного выяснения необходимо прочитать раздел вычисление синуса, косинуса, тангенса и котангенса с использованием тригонометрических формул.

Чаще всего основную формулу применяют для преобразований или упрощений тригонометрических выражений. Имеется возможность заменять сумму квадратов синуса и косинуса на 1 . Подстановка тождества может быть как в прямом, так и обратном порядке: единицу заменяют на выражение суммы квадратов синуса и косинуса.

Тангенс и котангенс через синус и косинус

Из определения косинуса и синуса, тангенса и котангенса видно, что они взаимосвязаны друг с другом, что позволяет отдельно преобразовывать необходимые величины.

t g α = sin α cos α c t g α = cos α sin α

Из определения синус является ординатой у , а косинус – абсциссой x . Тангенс – это и есть отношения ординаты и абсциссы. Таким образом имеем:

t g α = y x = sin α cos α , а выражение котангенса имеет обратное значение, то есть

c t g α = x y = cos α sin α .

Отсюда следует, что полученные тождества t g α = sin α cos α и c t g α = cos α sin α задаются с помощью sin и cos углов. Тангенс считаются отношением синуса к косинусу угла между ними, а котангенс наоборот.

Отметим, что t g α = sin α cos α и c t g α = cos α sin α верны для любого значение угла α , значения которого входят в диапазон. Из формулы t g α = sin α cos α значение угла α отлично от π 2 + π · z , а c t g α = cos α sin α принимает значение угла α , отличные от π · z , z принимает значение любого целого числа.

Связь между тангенсом и котангенсом

Имеется формула, которая показывает связь между углами через тангенс и котангенс. Данное тригонометрическое тождество является важным в тригонометрии и обозначается как t g α · c t g α = 1 . Оно имеет смысл при α с любым значением, кроме π 2 · z , иначе функции будут не определены.

Формула t g α · c t g α = 1 имеет свои особенности в доказательстве. Из определения мы имеем, что t g α = y x и c t g α = x y , отсюда получаем t g α · c t g α = y x · x y = 1 . Преобразовав выражение и подставив t g α = sin α cos α и c t g α = cos α sin α , получим t g α · c t g α = sin α cos α · cos α sin α = 1 .

Тогда выражение тангенса и котангенса имеет смысл того, когда в итоге получаем взаимно обратные числа.

Тангенс и косинус, котангенс и синус

Преобразовав основные тождества, приходим к выводу, что тангенс связан через косинус, а котангенс через синус. Это видно по формулам t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α , 1 + c t g 2 α = 1 sin 2 α .

Определение звучит так: сумма квадрата тангенса угла и 1 приравнивается к дроби , где в числителе имеем 1 , а в знаменателе квадрат косинуса данного угла, а сумма квадрата котангенса угла наоборот. Благодаря тригонометрическому тождеству sin 2 α + cos 2 α = 1 , можно разделить соответствующие стороны на cos 2 α и получить t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α , где значение cos 2 α не должно равняться нулю. При делении на sin 2 α получим тождество 1 + c t g 2 α = 1 sin 2 α , где значение sin 2 α не должно равняться нулю.

Из приведенных выражений получили, что тождество t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α верно при всех значениях угла α , не принадлежащих π 2 + π · z , а 1 + c t g 2 α = 1 sin 2 α при значениях α , не принадлежащих промежутку π · z .

Там, где заканчиваются границы привычной и давно знакомой алгебры, начинаются владения тригонометрии. Давайте вооружимся всеми необходимыми формулами, чтобы в полном обмундировании преодолеть любые тригонометрические испытания.

О чем эта статья:

9 класс, 10 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Связь между sin и cos одного угла

Вы уже наверняка знаете, что тождественный — это равный.

Основные тригонометрические тождества — это равенства, которые устанавливают связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла. Это значит, что любую из этих функций можно найти, если известна другая функция.

Ключ к сердцу тригонометрии — основное тригонометрическое тождество. Запомните и полюбите его, чтобы отношения с тригонометрией сложились самым наилучшим образом:

sin 2 α + cos 2 α = 1

Из основного тождества вытекают равенства тангенса и котангенса, поэтому оно — ключевое.

Равенство tg 2 α + 1 = 1/cos 2 α и равенство 1 + сtg 2 α + 1 = 1/sin 2 α выводят из основного тождества, разделив обе части на sin 2 α и cos 2 α.

В результате деления получаем:

sin 2 α + cos 2 α = 1

Сумма квадратов синуса и косинуса одного угла тождественно равна единице.

Чтобы доказать тождество, обратимся к теме единичной окружности.

Единичная окружность — это окружность с центром в начале прямоугольной декартовой системы координат. Радиус единичной окружности равен единице.

Докажем тождество sin 2 α + cos 2 α = 1

Синус угла (sin α) — это отношение противолежащего катета к гипотенузе.
Косинус угла (cos α) — это отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Образовался прямоугольный треугольник OA₁B.

Основное тригонометрическое тождество связывает синус угла и косинус угла. Зная одно, вы легко можете найти другое. Нужно лишь извлечь квадратный корень по формулам:

Как видите, перед корнем может стоять и минус, и плюс. Основное тригонометрическое тождество не дает понять, положительным или отрицательным был исходный синус/косинус угла.

Как правило, в задачках с подобными формулами уже есть условия, которые помогают определиться со знаком. Обычно такое условие — указание на координатную четверть. Таким образом без труда можно определить, какой знак нам требуется.

Тангенс и котангенс через синус и косинус

Синус угла — это ордината y.
Косинус угла — это абсцисса x.
Тангенс угла — это отношение ординаты к абсциссе.
Котангенс угла — это отношение абсциссы к ординате.

Из всего этого множества красивых, но не сильно понятных слов, можно сделать вывод о зависимости одного от другого. Такая связь помогает отдельно преобразовывать нужные величины.

Исходя из определений:

Это позволяет сделать вывод, что тригонометрические тождества

задаются sin и cos углов.

Отсюда следует, что тангенс угла — это отношение синуса угла к косинусу. А котангенс угла — это отношение косинуса к синусу.

Отдельно стоит обратить внимание на то, что тригонометрические тождества

верны для всех углов α, значения которых вписываются в диапазон.

применимо для любого угла α, не равного π * z, где z — это любое целое число.

Курсы подготовки к ОГЭ по математике от Skysmart придадут уверенности в себе и помогут освежить знания перед экзаменом.

Связь между тангенсом и котангенсом

Уж насколько очевидной кажется связь между ранее рассмотренными тождествами, настолько еще более наглядна связь между тангенсом и котангенсом одного угла.

Тождество записывается в следующем виде:
tg α * ctg α = 1.

Такое тождество применимо и справедливо при любых углах α, значение которых не равняются π/2 * z, где z — это любое целое число. В противном случае, функции не будут определены.

Как и любое другое, данное тригонометрическое тождество подлежит доказательству. Доказывать его очень просто.

tg α * ctg α = 1.

Получается, что тангенс и котангенс одного угла, при котором они имеют смысл — это взаимно обратные числа.

Если числа a и b взаимно обратные — это значит, что число a — это число, обратное числу b, а число b — это число, обратное числу a. Кроме того, это значит, что числу a обратно число b, а числу b обратно число a. Короче, и так, и эдак.

Тангенс и косинус, котангенс и синус

Все тождества выше позволяют сделать вывод, что тангенс угла связан с косинусом угла, а котангенс угла — с синусом.

Эта связь становится очевидна, если взглянуть на тождества:

Сумма квадрата тангенса угла и единицы равна числу, обратному квадрату косинуса этого угла.

Сумма единицы и квадрата котангенса угла равна числу, обратному квадрату синуса этого угла.

Вывести оба этих тождества можно из основного тригонометрического тождества:
sin 2 α + cos 2 α = 1.

Для этого нужно поделить обе части тождества на cos 2 α, где косинус не равен нулю.
В результате деления получаем формулу tg 2 α + 1 =
Если обе части основного тригонометрического тождества sin 2 α + cos 2 α = 1 разделить на sin 2 α, где синус не равен нулю, то получим тождество:
1 + ctg 2 α = .
Отсюда можно сделать вывод, что тригонометрическое тождество tg 2 α + 1 = применимо для любого угла α, не равного + π + z, где z — это любое целое число.
А тригонометрическое тождество 1 + ctg 2 α = применимо для любого угла, не равного π * z, где z — это любое целое число.

Хорошо бы выучить все формулы и запомнить формулировки тождеств наизусть. Чтобы это сделать, сохраняйте себе табличку с основными формулами.

Основные тригонометрические тождества

sin 2 α + cos 2 α = 1

tg 2 α + 1 =

1 + ctg 2 α =

Чтобы тратить еще меньше времени на решение задач, сохраняйте таблицу значений тригонометрических функции углов, которые чаще всего встречаются в задачах.

Примеры решения задач

Разберем пару задачек, для решения которых нужно знать основные тождества. Рассмотрите внимательно предложенные решения и потренируйтесь самостоятельно.

Задачка 1. Найдите cos α, tg α, ctg α при условии, что sin α = 12/13.

Задачка 2. Найдите значение cos α,
если:

Подставляем значения sin α:

Как видите, задачи решаются достаточно просто, нужно лишь верно применять формулы основных тождеств.

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ, НАУКИ И МОЛОДЕЖНОЙ ПОЛИТИКИ ВОРОНЕЖСКОЙ ОБЛАСТИ

ИНДИВИДУАЛЬНЫЙ ПРОЕКТ

студентка группы 1КНК

Безрученко Ирина Александровна

Руководитель проекта:

преподаватель математики, ВКК

Данилова Любовь Александровна

Глава I. Тригонометрические тождества, уравнения и функции………….…..5

1.1 Тригонометрические тождества………………………………………. …5

1.2 Тригонометрические уравнения…………………………………………. 6

1.3 Тригонометрические функции …………………………………………………8

Глава II Примеры тригонометрических тождеств, уравнений и функций .….13

2. 1.Разработка заданий и примеров тригонометрических тождеств, уравнений и функций………………………………………………………….. .13

Список использованных источников………………………………….……..…18

Тригонометрия – раздел математики, в котором изучаются тригонометрические функции и их использование в геометрии.

Актуальность : данная тема актуальна, потому что тригонометрия заслуживающий внимания раздел математики, при изучении которого можно узнать много нового.

Предмет исследования: тригонометрические тождества, уравнения и функции.

Цель: изучить тригонометрию как раздел математики, узнать, что входит в нее, также узнать где применяется тригонометрические тождества, уравнения и функции.

- изучить учебный материал тригонометрических тождеств, уравнений и функций;

- найти информацию на вспомогательных ресурсах;

- обобщить и систематизировать изученный материал и создать презентацию для демонстрации конечного результата.

Методы исследования: методом исследования проекта является наблюдение за восприятием объекта, рабочим процессом, и полученными результатами исследования.

Тригонометрия возникла прежде всего из практических нужд. Древние люди наблюдали за движением небесных светил. Ученые обрабатывали данные измерений, чтобы вести календарь и правильно определять время начала сева и сбора урожая, даты религиозных праздников. По звездам вычисляли местонахождение корабля в море или направление движения каравана в пустыне и другое.

В тригонометрии выделяют три вида соотношений:

1) между самими тригонометрическими функциями;

2) между элементами плоского треугольника то есть тригонометрия на плоскости;

3) между элементами сферического треугольника, т.е. фигуры, высекаемой на сфере тремя плоскостями, проходящими через ее центр.

Тригонометрические уравнения – уравнения, которые содержат переменную под знаком тригонометрической функции.

Тригонометрические функции — функции , которые возникли при рассмотрении прямоугольных треугольников и выражали зависимости длин сторон этих треугольников от острых углов при гипотенузе .

Глава I Тригонометрические тождества, уравнения и функции

1.1. Тригонометрические тождества

Используются для решения задач, уравнений тригонометрии.

Обычно при доказательстве тригонометрических тождеств или при упрощении выражений допустимые значения углов не устанавливают, если это не требуется в условии задачи.

Изначально определения тригонометрических функций, аргументом которых является угол, выражались через соотношения сторон прямоугольного треугольника. Формулы тригонометрии (Приложение 1)

Определения тригонометрических функций:

Синус угла (sin αsin α) - отношение противолежащего этому углу катета к гипотенузе.

Косинус угла (cosαcosα) - отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенс угла (tg αtg α) - отношение противолежащего катета к прилежащему.

Котангенс угла (ctg αctg α) - отношение прилежащего катета к противолежащему.

Основное тригонометрическое тождество – соотношение, выполняющееся для произвольного значения α.

Формула основного тригонометрического тождества: sin 2 α + cos 2 α = 1

Основные тригонометрические тождества, наиболее часто используемые при выполнении тригонометрических преобразований.

1.2 Тригонометрические уравнения.

Тригонометрические уравнения - уравнения, которые содержат переменную под знаком тригонометрической функции.

Применяются тригонометрические уравнения при решении задач механики, оптики и радиотехники

Простейшими называются уравнения вида: sinx = a , cosx = a , tgx = a , ctgx = a sinx = a , cosx = a , tgx = a , ctgx = a , где x — угол, который нужно найти, a a — любое число. Пометим для каждого из них формулы корней. [ 9;1 ]

1. Уравнение sinx=a sinx=a .

При |a|>1 |a|>1 не имеет решений.

При |a|≤1 |a|≤1 имеет бесконечное число решений.

Формула корней: x=(−1)narcsina+πn,n ∈ Z x=(-1)narcsina+πn,n ∈ Z

2. Уравнение cosx=a cosx=a

При |a|>1 |a|>1 — как и в случае с синусом, решений среди действительных чисел не имеет.

При |a|≤1 |a|≤1 имеет бесконечное множество решений.

Формула корней: x=±arccosa+2πn,n ∈ Z

3. Уравнение tgx=a tgx=a

Имеет бесконечное множество решений при любых значениях a .

Формула корней: x=arctga+πn,n ∈ Z

4. Уравнение ctgx=a ctgx=a

Также имеет бесконечное множество решений при любых значениях a a .

Формула корней: x=artga+πn,n ∈ Z

Решения тригонометрических уравнений выражаются в градусах или радианах.

х = π/3; х = 5π/6; х = 3π/2; х = 45 градусов; х = 37,12 градусов; х = 178,37 градусов.

Примечание: значения тригонометрических функций от углов, выраженных в радианах, и от углов, выраженных в градусах, равны.

Тригонометрическая окружность с радиусом, равным единице, служит для описания тригонометрических функций, а также для проверки правильности решения основных тригонометрических уравнений и неравенств.

Примеры тригонометрических уравнений:

sin x + sin 2x = 1/2; tg x + ctg x = 1,732;

cos 3x + sin 2x = cos x; 2sin 2x + cos x = 1 .

Примеры решения тригонометрических уравнений:

sin x = 0,866. Используя таблицу преобразования или калькулятор, вы получите ответ: х = π/3. Единичная окружность дает еще один ответ: 2π/3.

Запомните: все тригонометрические функции являются периодическими, то есть их значения повторяются. Например, периодичность sin x и cos x равна 2πn, а периодичность tg x и ctg x равна πn. Поэтому ответ записывается следующим образом:

x1 = π/3 + 2πn; x2 = 2π/3 + 2πn.

соs х = -1/2. Используя таблицу преобразования, вы получите ответ: х = 2π/3. Единичная окружность дает еще один ответ: -2π/3.

x1 = 2π/3 + 2π; х2 = -2π/3 + 2π.

1.3 Тригонометрические функции

Применяются тригонометрические функции для описания колебательных процессов, распространения волн, движения различных механизмов.

Известно, что к каждому действительному числу х соответствует единственная точка единичной окружности, получаемая поворотом точки (1;0) на угол х рад. Для этого угла определены sin x и cos x . Тем самым каждому действительному числу х поставлены в соответствие числа sin x и cos x , тоесть на множестве R всех действительных чисел определены функции y=sin x и y=cos x

Область определения и множество значений тригонометрических функций:

Областью определения функций y=sin x и y=cos x является множество R всех действительных чисел.

Множеством значений функций y=sinx и y=cosx является интервал [− 1 ; 1 ]

Область определения функции y=tgx является всё множество действительных чисел, исключая x=π2+πn,n ∈ Z.

Множеством значений функции y=tgx является множество всех действительных чисел R.

Область определения функции y=ctgx является всё множество действительных чисел, исключая x=πn,n ∈ Z.

Множеством значений функции y=ctgx является множество всех действительных чисел R.

Четность, нечетность, периодичность тригонометрических функций:[1;204]

Каждая из функций у= sin x и y = cos x определена на множестве R , и для любого значения x верны равенства sin (- x )= sin x , cos (- x )= cos x . Следовательно, у= sin x – нечетная функция, а y = cos x – четная функция. Так как для любого значения х из области определения функции у= tg x верно равенство tg (- x )=- tg x , то у= tg х – нечетная функция.

Свойства функции у= cos x и ее график: [18;4]

График функции у=со s х (Приложение 2)

Свойства функции y=cosx

1. Область определения — множество R всех действительных чисел.

2. Множество значений — отрезок [−1;1].

3. Функция y=cosx периодическая с периодом 2π.

4. Функция y=cosx — чётная.

5. Функция y=cosx принимает:

- значение, равное 0, при x=π2+πn,n ∈ Z;

- наибольшее значение, равное 1, при x=2πn,n ∈ Z;

- наименьшее значение, равное −1, при x=π+2πn,n ∈ Z;

6. Функция y=cosx:

- возрастает на отрезке [π;2π] и на отрезках, получаемых сдвигами этого отрезка на 2πn,n ∈ Z;

- убывает на отрезке [0;π] и на отрезках, получаемых сдвигами этого отрезка на 2πn,n ∈ Z.

Свойства функции у= sin x и ее график:

График функции у= sin x (Приложение 3)

3) Период функции равен ;

4) Функция чётная/нечётная;

5) Функция принимает:

· значение, равное 0, при ;

· наименьшее значение, равное –1, при ;

· наибольшее значение, равное 1, при ;

· положительные значения на интервале (0; ) и на интервалах, получаемых

6) Функция

· возрастает на отрезке и на отрезках, получаемых сдвигами этого отрезка на ;

· убывает на отрезке и на отрезках, получаемых сдвигами этого отрезка на

Свойства функции у= tg x и ее график: [19;3]

График функции у= tg x (Приложение 4 )

1. Область определения функции y = tgx все действительные числа, кроме чисел вида

2. Функция периодическая с периодом , т.к.

3. Функция нечётная, т.к. . График нечётной функции симметричен относительно начала координат;

4. Функция возрастает на всём интервале;

5. Функция не ограничена ни снизу, ни сверху. Функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений;

7. Функция принимает:

· значение, равное 0, при ;

· положительные значения на интервале

· отрицательные значения на интервале

Обратные тригонометрические функции:

Арксинус - функция, обратная синусу. То есть, ее аргументом является значение синуса исходного угла, а возвращает она исходный угол

Арккосинус -это функция, обратная к косинусу

Арктангенс – функция, обратная к тангенсу.

Арккотангенс – функция, обратная к котангенсу.

Формулы суммы и разности тригонометрических функций [2;44]

Сумма синусов двух углов равна удвоенному произведению синуса полусуммы этих углов на косинус полуразности.

Формула суммы синусов двух углов : sin α+sin β=2sin α+β/2 cos α−β/2

Разность синусов двух углов равна удвоенному произведению синуса полуразности этих углов на косинус их полусуммы

Формула разности косинусов: sin α−sin β=2 sin α−β/2 cos α+β/2

Сумма косинусов двух углов равна удвоенному произведению косинуса полусуммы этих углов на косинус их полуразности.

Формула суммы косинусов: cos α+cos β=2 cos α+β/2 cos α−β/2

Формула разности косинусов: cos α−cos р =−2 sin α+β/2 sin α−β/2

Глава II Примеры тригонометрических тождеств, уравнений и функций.

2.1 Разработка заданий и примеров тригонометрических тождеств, уравнений и функций.

Решение тригонометрических уравнений:

1) Решить уравнение cos2x - 3sinx = 2.

Воспользуемся формулой удвоенного угла косинуса (cos2a = 1 - 2sin2a) и у нас получится:

1 - 2sin2x - 3sinx = 2.

Используем способ замены, обозначим sinx = y. Уравнение примет вид:

Нашли его корни: y1 = -1, y2 = -1/2.

Возвращаемся к исходной переменной и получаем : sinx = -1 и sinx = -1/2.

Из первого получаем решение - x = -π/2 + 2πn, из второго - x = (-1)m(-π/6) + πm (m, n ∈ Z). Получаем ответ.

Ответ: x = -π/2 + 2πn или x = (-1)m(-π/6) + πm.

2) Решить уравнение cos5x = cos2x.

Перенесем в одну сторону и применим формулу разницы косинусов:

Отсюда получим или sin(7x/2) = 0, или sin(3x/2) = 0.

Из первого решения : 7x/2 = πn или x = 2πn/7 (n ∈ Z).

Из второго решения : 3x/2 = πn или x = 2πm/3 (m ∈ Z).

Ответ: x = 2πn/7 или x = 2πm/3.

Примеры для доказательства тригонометрических тождеств. [17 ;2 ]

Будем преобразовывать левую часть и представим 2x 2x как x+x x+x … : sin2x=2sinx ⋅ cosx

Распишем по формуле для синуса суммы аргументов : sin(x+x)=2sinxcosx

Левая часть равна правой – тождество доказано: 2sinxcosx=2sinxcosx

2) sin^4a + 2sin^2a * cos^2a + cos^4a= 1

Доказательство : sin^4a + 2sin^2a * cos^2a + cos^4a= (sin^2a)^2+2sin^2a * cos^2a + (cos^2a)^2= (sin^2a+cos^2a)^2=1^2=1

Задачи на решение тригонометрических функций [16;3]

Решение: sin( A )=61/11

Решение: tg ( A ) = 60 / 11

1.Что такое тригонометрия?

Ответ : Тригонометрия – раздел математики, в котором изучаются тригонометрические функции

2.Какой ответ получится при решении тригонометрического тождества

sin^4a + 2sin^2a * cos^2a + cos^4a= ?

Решение : sin^4a + 2sin^2a * cos^2a + cos^4a= (sin^2a)^2+2sin^2a * cos^2a + (cos^2a)^2= (sin^2a+cos^2a)^2=1^2=1

3.Отношением косинуса к синусу называют…

4.Основное тригонометрическое тождество?

Ответ: sin²α + cos²α = 1

5. Неизвестное X, неизвестное Y,

Их можно в равенствах повстречать.

И это, ребята, скажу вам, не игры,

Здесь нужно решенье всерьез отыскать.

С неизвестными равенства, без сомнения,

Называем мы как?

В начале нашей работы мы поставили перед собой цель: изучить тригонометрию как раздел математики, узнать что входит в нее, также узнать где применяется тригонометрические тождества, уравнения и функции.

Решения тригонометрических уравнений выражаются в градусах или радианах.

Какой ответ получится при решении тригонометрического тождества

sin^4a + 2sin^2a * cos^2a + cos^4a= ?

Решение : sin^4a + 2sin^2a * cos^2a + cos^4a= (sin^2a)^2+2sin^2a * cos^2a + (cos^2a)^2= (sin^2a+cos^2a)^2=1^2=1

Основное тригонометрическое тождество связывает синус и косинус одного и того же угла. Сформулируем его: для любого угла справедливо:

$<<\sin > ^>\alpha +^>\alpha =1$

Доказательство тождества

Рассмотрим тригонометрическую окружность (рис. 1). Выберем произвольный угол , тогда _>=OB" width="139" height="15" />
, а _>=AB" width="135" height="16" />
. В , как радиус единичной окружности. Так как треугольник прямоугольный, то для него можно записать теорему Пифагора:

$O ^>+A^>=A^>$

Учитывая, что и , получаем

$<<\sin > ^>\alpha +^>\alpha =1$

Что и требовалось доказать.

Следствие 1. Основное тригонометрическое тождество позволяет находить синус угла по известному косинусу или, наоборот, косинус угла по известному синусу. Справедливы формулы

$\cos \alpha =\pm \sqrt<1-<<\sin > ^>\alpha >; \qquad \sin \alpha =\pm \sqrt^>\alpha >$

Но для определения знака искомой тригонометрической функции требуется дополнительная информация о величине угла (например, в какой четверти расположен угол ).

Следствие 2. Из основного тригонометрического тождества можно вывести две формулы, связывающие соответственно косинус с тангенсом и синус с котангенсом.

1. Пусть +\pi n, \quad \left( n\in Z \right)" width="185" height="20" />
тогда . Разделим обе части основного тригонометрического тождества на ^>\alpha" width="45" height="16" />
:

$\frac<<<\sin > ^>\alpha >^>\alpha >+\frac^>\alpha >^>\alpha >=\frac^>\alpha >$

после преобразования получим

$<\text<tg> >^>\alpha +1=\frac^>\alpha >$

$<<\sin > 2. Пусть тогда . Разделим обе части основного тригонометрического тождества на ^>\alpha$
:

$\frac ^>\alpha >^>\alpha >+\frac^>\alpha >^>\alpha >=\frac^>\alpha >$

после преобразования получим

$1+<\text<ctg> >^>\alpha =\frac^>\alpha >$

Примеры решения задач

Задание	Найти значение , если $\sin \alpha =\frac<3>$ и
Решение	По следствию 1 из основного тригонометрического тождества имеем

$\cos \alpha =\pm \sqrt<1-<<\sin > ^>\alpha >$

$\sin \alpha =\frac<3> Подставляя в эту формулу заданное значение$
, получаем

$\cos \alpha =\pm \sqrt<1-<<\left( \frac<3> \right)>^>>=\pm \sqrt>=\pm \sqrt>=\pm \sqrt>=\pm \frac$

Далее для определения знака косинуса, используем дополнительное условие, что . Значит, угол находится в первой четверти тригонометрического круга (рис. 2), а здесь . Таким образом, окончательно получим

$\cos \alpha =\frac<4> $

Задание	Найти значение , если $\cos \alpha =-\frac<1>$ и
Решение	По следствию 1 из основного тригонометрического тождества, для нахождения синуса справедлива формула

$\sin \alpha =\pm \sqrt<1-<<\cos > ^>\alpha >$

$\cos \alpha =-\frac<1> Подставляем в неё заданное значение$
, получим

$\sin \alpha =\pm \sqrt<1-<<\left( -\frac<1> \right)>^>>=\pm \sqrt>=\pm \sqrt>=\pm \sqrt>=\pm \frac<2\sqrt>$

Далее для определения знака искомого значения синуса, воспользуемся дополнительным условием о расположении угла: . Угол лежит во второй четверти тригонометрического круга (рис. 3), поэтому углу соответствуют только положительные значения синуса, поэтому окончательно:

$\sin \alpha =\frac<2\sqrt<2> >$

Задание	Вычислить и , если $\text<tg>\alpha =3$ и
Решение	По следствию 2, тангенс и косинус одного и того же угла связаны соотношением:

$<\text<tg> >^>\alpha +1=\frac^>\alpha >$

Выразим из него косинус:

$<<\cos > ^>\alpha =\frac>^\alpha +1>$

$\text<tg> Подставляя в это равенство заданное значение \alpha =3$
, получим

$<<\cos > ^>\alpha =\frac^>+1>=\frac\quad \Rightarrow \quad \cos \alpha =\pm \frac<\sqrt>$

По первому следствию из основного тригонометрического тождества

$\sin \alpha =\pm \sqrt<1-<<\cos > ^>\alpha >$

$\sin \alpha =\pm \sqrt<1-\frac<1> >=\pm \sqrt>=\pm \sqrt>=\pm \frac<\sqrt>$

Для определения знаков синуса и косинуса, воспользуемся дополнительными условиями. Так как , следовательно, угол лежит в третьей четверти (рис. 4), там косинус и синус отрицательные. Тогда окончательно, получим

$\cos \alpha =-\frac<1> >; \text < >\sin \alpha =-\frac>$

Задание	Вычислить и $\text<tg>\alpha$ , если $\text<tg>\alpha =-\frac$ и
Решение	Сразу можно найти тангенс:

$\text \alpha =\frac\alpha >\quad \Rightarrow \quad \text\alpha =\frac>=-\frac$

По следствию 2 из основного тригонометрического тождества, котангенс и синус связаны соотношением:

$1+<\text<ctg> >^>\alpha =\frac^>\alpha >$

Выразим из него синус:

$<<\sin > ^>\alpha =\frac>^\alpha +1>$

$\text<ctg> Подставляя в это равенство, заданное значение \alpha =-\frac$
, получим

$<<\sin > ^>\alpha =\frac<<<\left( -\frac<5> \right)>^>+1>=\frac+1>=\frac=\frac$

$\sin \alpha =\pm \sqrt<\frac<144> >=\pm \frac$

По первому следствию из основного тригонометрического тождества,

$\cos \alpha =\pm \sqrt<1-<<\sin > ^>\alpha >$

$\cos \alpha =\pm \sqrt<1-\frac<144> >=\pm \sqrt>=\pm \sqrt>=\pm \frac$

Для определения знаков синуса и косинуса, воспользуемся дополнительными условиями. Угол лежит в пределах , следовательно, он принадлежит четвертой четверти (рис. 5), там косинус положительный, а синус отрицательный. Окончательно, получим

$\sin \alpha =-\frac<12> ; \qquad \cos \alpha =\frac$

Основное тригонометрическое тождество, так же используется при тождественных преобразованиях.

Задание	Вычислить $^>\alpha +^>\alpha \cdot ^>\alpha -^>\alpha$
Решение	Сгруппируем первые два слагаемые заданного равенства и вынесем за скобки общий множитель $^>\alpha$ :

$ ^>\alpha +^>\alpha \cdot ^>\alpha -^>\alpha =^>\alpha \cdot \left( ^>\alpha +^>\alpha \right)-^>\alpha$

полученное выражение в скобках есть основное тригонометрическое тождество и равно 1:

$ ^>\alpha +^>\alpha \cdot ^>\alpha -^>\alpha =^>\alpha \cdot 1-^>\alpha =0$

Читайте также: