Оценка денежного потока с неравными поступлениями доклад

Обновлено: 02.07.2024

Рассмотрим денежный поток С 1 , С 2 , ……., С n , генерируемый в течение ряда временных периодов в результате реализации какого-либо проекта или функционирования какого-либо вида актива. Элементы потока могут быть независимыми, либо связанными между собой определёнными алгоритмом.

Временные периоды чаще всего предполагаются равными. Для простоты изложения материала предполагается, что все элементы денежного потока являются однонаправленными, т.е. нет чередования оттоков и притоков денежных средств.

Денежный поток пренумерандо ( или авансовый) – это денежный поток, у которого все поступления, генерируемые в рамках одного временного периода, сконцентрированы в его начале (рис. 2.1).

Денежный поток постнумерандо – это денежный поток, у которого все поступления сконцентрированы в его конце, т.е. денежные потоки сконцентрированы на одной из границ, а не распределены внутри (рис. 2.1).

0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6

Поток пренумерандо Поток постнумерандо

Рис 2.1. Виды денежных потоков

На практике наибольшее распространение получил поток постнумерандо, именно этот поток лежит в основе методик анализа инвестиционных проектов. Объяснение этому можно дать исходя из общих принципов бухгалтерского учёта, согласно которым принято производить итоги и оценивать финансовый результат по окончании отчётного периода.

Поток пренумерандо имеет значение при анализе различных схем накопления денежных средств для последующего их инвестирования.

Оценка денежного потока может выполняться в рамках решения двух задач:

1. Прямой , т.е. проводится оценка с позиции будущего (реализуется схема наращения).

Данная задача предполагает суммарную оценку наращенного денежного потока, т.е. в его основе лежит будущая стоимость. В частности, если денежный поток представляет собой регулярные начисления % на вложенный капитал (Р) по схеме сложных процентов, то в основе суммарной оценки наращенного денежного потока лежит формула:

F n = Р * (1+r) ⁿ, (2.1)

где F n – будущая стоимость;

Р – текущая стоимость;

r – норма доходности;

n – количество лет вложения капитала.

2. Обратной , т.е. проводится оценка с позиции настоящего (реализуется схема дисконтирования).

Данная задача предполагает суммарную оценку дисконтированного (приведённого) денежного потока.

Поскольку отдельные элементы денежного потока генерируются в различные временные интервалы, а деньги имеют временную ценность, непосредственное их суммирование невозможно. Приведение денежного потока к одному моменту времени осуществляется с помощью формулы:

где r – ставка дисконтирования (в долях единицы).

2. Оценка денежных потоков с неравными поступлениями

Ситуация, когда денежные потоки по годам варьируют, является наиболее распространенной.

Пусть С 1 , С 2 ,…………., С n – денежный поток;

r – ставка дисконтирования.

Поток все элементы которого с помощью дисконтирующих множителей приведены к одному моменту времени, называется приведённым.

Требуется найти будущую стоимость данного денежного потока с позиции будущего и с позиции настоящего.

2.1. Оценка потока постнумерандо

Прямая задача предполагает оценку с позиции будущего, т.е. на конец периода n, когда реализуется схема наращения:

С 1 *(1+r)ⁿ‾¹, С 2 *(1+r)ⁿ‾²,…………С n-1 * (1+r), С n

И будущая стоимость F pst исходного денежного потока постнумерандо может быть оценена как сумма наращенных поступлений:

F pst = C k * (1+ r )ⁿ‾ k (2.3)

Обратная задача подразумевает оценку с позиции текущего момента, т.е. на конец периода О. в этом случае реализуется схема дисконтирования, а расчёты необходимо вести по приведённому потоку.

Приведённый денежный поток для исходного потока постнумерандо имеет вид:

Приведённая стоимость денежного потока постнумерандо Р pst может быть рассчитана следующим образом:

Если использовать дисконтирующий множитель, то формулу (2.4) можно представить в следующем виде:

Р p st = С k * FM2 (r, k) , (2.5)

где FM2 (r, k) – дисконтирующий множитель 2, который равен:

Пример. Рассчитать приведённую стоимость денежного потока постнумерандо (тыс. руб.): 12, 15, 9, 25., если ставка дисконтирования r = 12% годовых.

Для решения воспользуемся данными специальной таблицы, которые можно найти в учебниках и практикумах по финансовому менеджменту (Ковалёв В.В. Введение в финансовый менеджмент и др.). Подставим данные из таблицы в формулу 2.5 и получим приведённый денежный поток.

Денежный поток, тыс. руб.

Дисконтируемый множитель FM2 при r= 12%

Приведённый денежный поток, тыс. руб.

2.2. Оценка потока пренумерандо

Логика оценки денежного потока в этом случае аналогична рассмотренной выше. Некоторое расхождение в вычислительных формулах объясняется сдвигом элементов потока к началу соответствующих подинтервалов.

Для прямой задачи расчёт будущей стоимости исходного денежного потока пренумерандо будет осуществляться по формуле:

F pre = C k * (1+r) n-k+1 (2.6)

F pre = F pst *(1+ r )

Для обратной задачи расчёт приведённой стоимости потока пренумерандо в общем виде может быть определена по формуле:

= (1+r) * Ck* FM2(r, k) (2.7)

P pre = P pst * (1+ r )

Если в предыдущей задаче предположить, что исходный денежный поток пренумерандо, то его приведённая стоимость будет равна : P pre = 44,97*1,12 = 50,37 тыс. руб.

3. Оценка аннуитетов

Аннуитет представляет собой частный случай денежного потока.

Известны два подхода к его определению:

● первый: аннуитет представляет собой однонаправленный денежный поток, элементы которого имеют место через равные временные интервалы.

● второй: накладывает дополнительные ограничения, а именно элементы потока одинаковы по величине. В дальнейшем мы будем придерживаться именно второго подхода.

Если число временных интервалов ограничено, то аннуитет называется срочным. В этом случае:

С 1 = С 2 = …………….. = С n = A

Выделяют два типа аннуитетов: постнумерандо и пренумерандо .

Примером аннуитета постнумерандо являются регулярно поступающие рентные платежи за пользование сданным в аренду земельным участком в случае, если договором предусматривается регулярная оплата аренды по истечении очередного периода.

В качестве аннуитета пренумерандо выступает схема периодических денежных вкладов на банковский счёт в начале каждого месяца с целью накопления достаточной суммы для крупной покупки.

Аннуитет называют финансовой рентой или рентой . Любое денежное поступление называется членом ренты, а величина постоянного временного интервала между двумя последовательными денежными поступлениями называется периодом аннуитета (периодом ренты).

3.1. Оценка аннуитета постнумерандо

Прямая задача. Определение будущей стоимости аннуитета постнумерандо при заданных величинах регулярного поступления А и при процентной ставке r основывается на использовании формулы 2.3, которая трансформируется следующим образом:

F a pst = A * (1+r) n-k = A * FM3 (r, n), (2.8)

где FM 3 ( r , n ) – мультиплицирующий множитель для аннуитета, или коэффициент наращения аннуитета (ренты):

FM 3 ( r , n ) = r (2.9)

Экономический смысл мультиплицирующего множителя FM 3 ( r , n ) заключается в следующем: он показывает, чему будет равна суммарная величина срочного аннуитета в одну денежную единицу к концу срока его действия. Предполагается, что производится только начисление денежных сумм, а их изъятие может быть сделано по окончании срока действия аннуитета. Из формулы 2.8 следует, что FM 3 ( r , n ) показывает во сколько раз сумма аннуитета больше денежного поступления А. в связи с этим множитель FM 3 ( r , n ) называют ещё коэффициентом аккумуляции вкладов .

Пример. Вам предлагают сдать в аренду участок на три года, выбрав один из вариантов оплаты аренды:

а) 10 тыс. руб. в конце каждого года;

б) 35 тыс. руб. в конце трехлетнего периода.

Какой вариант предпочтительнее, если банк предлагает по вкладам 20% годовых?

Первый вариант оплаты – это аннуитет постнумерандо при n = 3 и А = 10 тыс. руб.

В этом случае имеется возможность ежегодного получения арендного платежа и инвестирования полученных сумм на условиях 20% годовых, если вложить эти средства в банк. К концу трёхлетнего периода сумма будет равна:

F a pst = A * FM3 (r, n) = 10* FM3 (20%, 3) = 10*3,640 = 36,4 тыс. руб.

Таким образом, расчёт показывает, что вариант а) более выгоден.

Обратная задача. Формула для расчёта текущей стоимости аннуитета постнумерандо P a pst выводится из формулы 2.4. и имеет вид:

P a pst = A * (1+r) k = A * FM4 (r, n), (2.10)

где FM 4 ( r , n ) – дисконтирующий множитель для аннуитета, или коэффициент дисконтирования аннуитета (ренты), который рассчитывается по формуле:

FM 4( r , n ) = (1+ r ) k

FM 4( r , n ) = r . (2.11)

Экономический смысл дисконтирующего множителя FM 4( r , n ) заключается в следующем: он показывает, чему равна с позиции текущего момента величина аннуитета с регулярными денежными поступлениями в размере одной денежной единицы, продолжающегося n равных периодов с заданной процентной ставкой r .

FM 4 (20%, 3) = 2,106; поэтому P a pst = 10*2,106 = 21, 06 тыс. руб.

3.2. Оценка аннуитета пренумерандо

Соответствующие расчётные формулы для аннуитета пренумерандо можно вывести из формул 2.6 и 2.7.

Так будущая стоимость аннуитета пренумерандо может быть найдена по формуле:

F A pre = F A pst * (1+r) = A*FM3(r, n) * (1+r) (2.12)

или: F A pre = A * r * (1+r) (2.13)

Настоящая стоимость аннуитета пренумерандо может быть найдена по формуле:

P A pre = P A pst * (1+r) = A * FM4(r,n)*(1+r) (2.14)

P A pre = A * 1- (1+r) –n

Пример . Ежегодно в начале года в банк делается взнос в размере 10 тыс. руб. банк платит 20% годовых. Какая сумма будет на счёте через 3 года?

Решение. В данном случае мы имеем дело с аннуитетом пренумерандо. Нам нужно найти будущую сумму по формуле (2.12):

F a pre = 10*(1+0,2)*FM(20%, 3) = 10*1,2*3,640 = 43,68 тыс. руб.

Пример. Вам предложено инвестировать 100 тыс. руб. на срок 5 лет при условии возврата этой суммы частями (ежегодно по 20 тыс. руб.). По истечении 5 лет выплачивается дополнительное вознаграждение в размере 30 тыс. руб. Принимать ли это предложение, если можно безопасно депонировать деньги в банк из расчёта 12% годовых?

Решение. Для принятия решения необходимо рассчитать и сравнить две суммы. Определим сначала, что получим, если депонируем деньги в банк:

F 5 = P* (1+r) 5 = 100*(1+0,12) 5 = 176,23 тыс.руб.

При рассмотрении альтернативного варианта, можно предположить, что возвращаемые суммы по 20 тыс.р. можно немедленно пускать в оборот, получая дополнительные доходы. Если нет других альтернатив, то можно депонировать в банк. Предположим, что вложения будем делать в конце периода, т.е. получим аннуитет постнумерандо с А=20, n=5, r=12%.

F a pst = 20 * FM3 (12%, 5)+30 = 20*6,353 + 30 = 157,06 тыс. руб.

Таким образом, предложение нецелесообразно, так как 176,23 тыс. руб. > 157,06 тыс. руб.

4. Анализ доступности ресурсов к потреблению в условиях рынка

Одной из типовых задач, решаемых на практике с помощью методов дисконтирования, является прогнозный анализ фондов, доступных к потреблению.

Аналитик оценивает свои возможные доходы, а также целесообразность предоставления или, наоборот, получения кредита. Анализ производится в условиях свободного рынка, который предполагает существование возможности размещения временно свободных денежных средств путём предоставления кредита или депонирования их в банке на депозитных счетах, а также возможности получения финансовых ресурсов в требуемых объёмах.

При проведении финансовых и коммерческих расчётов необходимо учитывать следующие моменты:

проводя количественное обоснование той или иной финансовой операции, необходимо контролировать соответствие % ставки продолжительности базисного периода;

необходимо отдавать отчёт в том, в каких единицах (% или долях единицы) следует включать в расчёт данные о % ставках;

реальная эффективность финансовой сделки характеризуется эффективной годовой % ставкой, но во многих контрактах указывается номинальная ставка, которая отличается от эффективной;

заключая контракт, целесообразно уточнять, о какой ставе идёт речь (%, учётной, эффективной);

ни одна из схем начисления % не является универсальной и пригодной на все случаи жизни, всё зависит от конкретных обстоятельств;

при анализе денежных потоков в большинстве случаев его элементы не могут быть просуммированы непосредственно, должен учитываться фактор времени;

начало денежного потока момент, на который делается оценка, могут не совпадать;

приведение денежных потоков в сравнительном анализе в принципе можно делать по отношению к любому моменту времени, однако выбирается либо начало, либо конец периода действия.

Концептуальные основы финансового управления предприятием

. ; Ковалева В.В. “Введение в финансовый менеджмент” раздел “Основы финансовой математики” стр. 335-378; Балабанова И.Т. “Основы финансового менеджмента. Как .

Финансовая математика (6)

Роль финансовой математики в финансах государства

Основы финансовой политики предприятия

. сравнение фактического и планового параметров. Основа финансовой политики – четкое определение единой . математики значительно расширилось. Математика в управлении финансовой деятельностью применяется уже долгое время. Давно используется финансовая математика .

Основы финансовых вычислений (3)

Отчет о наличии и использовании денежных средств - это метод, при помощи которого мы изучаем чистое изменение объема средств между двумя моментами. Эти моменты соответствуют начальной и конечной датам финансового отчета, к какому бы периоду ни относилось исследование - кварталу, году или пятилетию. Отчет об источниках и использовании денежных средств описывает скорее чистые, чем общие изменения в финансовом положении на разные даты. Общие изменения - это все изменения, которые происходят между двумя отчетными датами, а чистые изменения определяются как результат общих изменений.[1]
Целью настоящей работы является исследование методики управления денежными средствами предприятия с использованием анализа денежных потоков, а также выработка путей по оптимизации денежных средств предприятия и совершенствованию путей по их управлению.

Файлы: 1 файл

Управление д.п. 1.doc

Логика действий финансового менеджера по управлению остатком средств на расчетном счете заключается в следующем. Остаток средств на счете хаотически меняется до тех пор, пока не достигает верхнего предела. Как только это происходит, предприятие начинает покупать достаточное количество ценных бумаг с целью вернуть запас денежных средств к некоторому нормальному уровню (точке возврата). Если запас денежных средств достигает нижнего предела, то в этом случае предприятие продает свои ценные бумаги и таким образом пополняет запас денежных средств до нормального предела.

При решении вопроса о размахе вариации (разность между верхним и нижним пределами) рекомендуется придерживаться следующей политики: если ежедневная изменчивость денежных потоков велика или постоянные затраты, связанные с покупкой и продажей ценных бумаг, высоки, то предприятию следует увеличить размах вариации и наоборот. Также рекомендуется уменьшить размах вариации, если есть возможность получения дохода благодаря высокой процентной ставке по ценным бумагам. Реализация модели осуществляется в несколько этапов.

1. Устанавливается минимальная величина денежных средств (Он), которую целесообразно постоянно иметь на расчетном счете (она определяется экспертным путем исходя из средней потребности предприятия в оплате счетов, возможных требований банка и др.).

2. По статистическим данным определяется вариация ежедневного поступления средств на расчетный счет (v).

3. Определяются расходы (Рх) по хранению средств на расчетном счете (обычно их принимают в сумме ставки ежедневного дохода по краткосрочным ценным бумагам, циркулирующим на рынке) и расходы (Рт) по взаимной трансформации денежных средств и ценных бумаг (эта величина предполагается постоянной; аналогом такого вида расходов, имеющим место в отечественной практике, являются, например, комиссионные, уплачиваемые в пунктах обмена валюты).

4. Рассчитывают размах вариации остатка денежных средств на расчетном счете (S) по формуле

5. Рассчитывают верхнюю границу денежных средств на расчетном счете (Од), при превышении которой необходимо часть денежных средств конвертировать в краткосрочные ценные бумаги:

6. Определяют точку возврата (Тв) - величину остатка денежных средств на расчетном счете, к которой необходимо вернуться в случае, если фактический остаток средств на расчетном счете выходит за границы интервала (Он, Ов):

Приведены следующие данные о денежном потоке на предприятии:

минимальный запас денежных средств (Он)- 10 тыс. дол.; расходы по конвертации ценных бумаг (Рт) - 25 дол.; процентная ставка - 11,6% в год; среднее квадратическое отклонение в день - 2000 дол. С помощью модели Миллера - Орра определить политику управления средствами на расчетном счете.

1. Расчет показателя Рх:

отсюда: Рх = 0,0003, или 0,03% в день.

2. Расчет вариации ежедневного денежного потока:

3. Расчет размаха вариации по формуле:

4. Расчет верхней границы денежных средств и точки возврата:

Ов = 10000+18900 = 29900дол.;

ТВ = 10000+1/3*18900 = 16300дол.

Таким образом, остаток средств на расчетном счете должен варьировать в интервале (10000, 18900); при выходе за пределы интервала необходимо восстановить средства на расчетном счете в размере 16300 дол.

ГЛАВА III. СОВЕРШЕНСТВОВАНИЕ УПРАВЛЕНИЯ ДЕНЕЖНЫМИ СРЕДСТВАМИ ПРЕДПРИЯТИЙ

Совершенствование управления денежными средствами предприятий заключается в правильном анализе денежных поступлений и определении их типа. От того насколько верна произведена оценка денежного потока зависит успешность финансового решения. Одним из основных элементов такого финансового анализа является оценка денежного потока С1, С2. Сn, генерируемого в течение ряда временных периодов в результате реализации какого-либо проекта или функционирования того или иного вида активов.

Элементы потока С1 , могут быть либо независимыми, либо связанными между собой определенным алгоритмом. Временные периоды чаше всего предполагаются равными. Кроме того, для простоты изложения материала предполагается, что элементы денежного потока являются однонаправленными, т.е. нет чередования оттоков я притоков денежных средств. Также считается, что генерируемые в рамках одного временного периода поступления имеют место либо в его начале, либо в его конце, т.е. они не распределены внутри периода, а сконцентрированы на одной из его границ. В первом случае поток называется потоком пренумерандо, или авансовым, во втором - потоком постнумерандо (рис. 2.1).

Рис. 2.1. Виды денежных потоков

На практике большее распространение получил поток постнумерандо, в частности, именно этот поток лежит в основе методик анализа инвестиционных проектов. Некоторые объяснения этому можно дать исходя из общих принципов учета, согласно которым принято подводить итоги и оценивать финансовый результат того или иного действия по окончания очередного отчетного периода. Что касается поступления денежных средств в счет оплаты, то на практике око чаще всего распределено во времени неравномерно и потому удобнее условно отнести все поступления к концу периода. Благодаря этому соглашению формируются равные временные периоды, что позволяет разработать удобные формализованные алгоритмы оценки. Поток пренумерандо имеет значение при анализе различных схем накопления денежных средств для последующего их инвестирования.

Оценка денежного потока может выполняться в рамках решения двух задач: а) прямой, т.е. проводится оценка с позиции будущего (реализуется схема наращения); б) обратной, т.е. проводится оценка с позиции настоящего (реализуется схема дисконтирования).

Прямая задача предполагает суммарную оценку наращенного денежного потока, т.е. в ее основе лежит будущая стоимость.[6]

Обратная задача предполагает суммарную оценку дисконтированного (приведенного) денежного потока. Поскольку отдельные элементы денежного потока генерируются в различные временные интервалы, а деньги имеют временную ценность, непосредственное их суммирование невозможно. Основным результатом расчета является определение общей величины приведенного денежного потока. Используемые при этом расчетные формулы различны в зависимости от вида потока - постнумерандо или пренумерандо.

ОЦЕНКА ДЕНЕЖНОГО ПОТОКА С НЕРАВНЫМИ ПОСТУПЛЕНИЯМИ

Ситуация, когда денежные поступления по годам варьируют, является наиболее распространенной. Общая постановка задачи в этом случае такова.

Пусть С1, С2,….Сn - денежный поток; r - коэффициент дисконтирования. Поток, все элементы которого с помощью дисконтирующих множителей приведены к одному моменту времени, а именно - к настоящему моменту, называется приведенным. Требуется найти стоимость данного денежного потока с позиции будущего и с позиции настоящего.

ОЦЕНКА ПОТОКА ПОСТНУМЕРАНДО

Прямая задача предполагает оценку с позиции будущего, т.е. на конец периода и, когда реализуется схема наращения.

Таким образом, будущая стоимость исходного денежного потока постнумерандо может быть оценена как сумма наращенных поступлений, т.е. в общем виде формула имеет вид:

Обратная задача подразумевает оценку с позиции текущего момента, т.е. на конец периода О. В этом случае реализуется схема дисконтирования, а расчеты необходимо вести по приведенному потоку. Элементы приведенного денежного потока уже можно суммировать; их сумма характеризует приведенную, или текущую, стоимость денежного потока, которую при необходимости можно сравнивать с величиной первоначальной инвестиции.

Таким образом, приведенный денежный поток для исходного потока постнумерандо имеет вид:

Приведенная стоимость денежного потока постнумерандо в общем случае может быть рассчитана по формуле:

Если использовать дисконтирующий множитель, то эту формулу можно переписать в следующем виде:

Рассчитать приведенную стоимость денежного потока постнумерандо (тыс. руб.): 12, 15, 9, 25, если коэффициент дисконтирования r = 12%. Год Денежный поток R Привед-й поток

1 12 0,8929 10,71

2 15 0,7972 11,96

4 25 0,6355 15,89

ОЦЕНКА ПОТОКА ПРЕНУМЕРАНДО

Логика оценки денежного потока в этом случае аналогии вышеописанной; некоторое расхождение в вычислительных формулах объясняется сдвигом элементов потока к началу соответствующих подынтервалов. Для прямой задачи приведенная стоимость потока пренумерандо в общем виде может быть рассчитана по формуле:

Приведенный денежный поток пренумерандо имеет вид:

Приведенная стоимость потока пренумерандо в общем виде может быть рассчитана по формуле:

Так, если в предыдущей задаче предположить, что исходный поток представляет собой поток пренумерандо, его приведенная стоимость будет равна: Pvpre = PVpst*(1+r)=44,97*1,12=50,37 тыс. руб.

Одним из ключевых понятий в финансовых и коммерческой расчетах является понятие аннуитета. Логика, заложенная в схему аннуитетных платежей, широко используется при оценке долговых и долевых ценных бумаг, в анализе инвестиционных проектов, а также в анализе аренды.

ОЦЕНКА СРОЧНЫХ АННУИТЕТОВ

Аннуитет представляет собой частный случай денежного потока, а именно, это поток, в котором денежные поступления в каждом периоде одинаковы по величине. Если число равных временных интервалов ограничено, аннуитет называется срочным. В этом случаи:

С1 = С2 = …… = Сn = A

Примером срочного аннуитета постнумерандо могут служить регулярно поступающие рентные платежи за пользование сданным в аренду земельным участком в случае, если договором предусматривается регулярная оплата аренды по истечении очередного периода. В качестве срочного аннуитета пренумерандо выступает, например, схема периодических денежных вкладов на банковский счет в начале каждого месяца с целью накопления достаточной суммы для крупной покупки.

Для оценки будущей и приведенной стоимости аннуитета можно пользоваться рассмотренными вычислительными формулами, вместе с тем благодаря специфике аннуитетов в отношении равенства денежных поступлений эти формулы могут быть существенно упрощены.

Прямая задача оценки срочного аннуитета при заданных величинах регулярного поступления (А) и процентной ставке (r) предполагает оценку будущей стоимости аннуитета. Как следует из логики, присущей схеме аннуитета, наращенный денежный поток имеет вид:

а расчетная формула трансформируется следующим образом:

где (q = 1 -r). Сделав преобразования можно найти, что:

Экономический смысл мультиплицирующего множителя FМ заключается в следующем: он показывает, чему будет равна суммарная величина срочного аннуитета в одну денежную единицу (например, один рубль) к концу срока его действия. Предполагается, что производится лишь начисление денежных сумм, а их изъятие может быть сделано по окончании срока действия аннуитета. Множитель FM часто используется в финансовых вычислениях, и поскольку легко заметить, что значения в общем виде зависят лишь от r и n, их можно табулировать.

Графически процесс наращения по сложной процентной ставке иллюстрируется диаграммой на рис. 7.

Рис. 7 Наращение по сложной процентной ставке

Рассчитайте будущую стоимость 1000 долларов для следующих ситуаций:

а) 5 лет, 8% годовых, ежегодное начисление процентов;

б) 5 лет, 8% годовых, полугодовое начисление процентов;

в) 5 лет, 8% годовых, ежеквартальное начисление процентов;

г) 5 лет, 8% годовых, ежемесячное начисление процентов.

2.2.2. Процесс дисконтирования. Функция настоящей стоимости единицы

Процесс дисконтирования обратен процессу наращения. Примером дисконтирования по схеме простых процентов является уже известный нам учет векселей. В общем случае, математика дисконтирования по простой процентной ставке приведена в табл. 2.2.

Вывод формулы дисконтирующего множителя для схемы простых процентов

Момент времени t

Сумма, накопленная к моменту t (FV)

PV = FV - FV´r = FV´(1-r)

PV = FV - FV´r - FV´r = FV´(1-2r)

PV = FV - FV´r - FV´r - FV´r = FV´(1-3r)

Т – время до момента поступления суммы FV.

– дисконтирующий множитель в условиях действия схемы простых процентов.

В случае действия схемы сложных процентов, по аналогии с процессом наращения, нам придется не умножать, а делить FV на (1+r).

Вывод формулы дисконтирующего множителя для схемы сложных процентов

Момент времени t

Сумма, накопленная к моменту t (FV)

– дисконтирующий множитель для схемы сложных процентов или коэффициент дисконтирования. Множитель показывает, во сколько раз уменьшится ценность суммы FV за t периодов при ставке r. Это вторая стандартная функция сложного процента, также называемая настоящая стоимость единицы. Если сумма, ожидаемая к поступлению через t периодов при ставке r, равна 1, дисконтированная, приведенная ее ценность составит . Во втором приложении к пособию приводятся табулированные значения этой стандартной функции сложного процента.

Графически процесс дисконтирования по сложной процентной ставке иллюстрируется диаграммой на рис. 8.

Рис. 8 Дисконтирование по сложной процентной ставке

У Вас есть возможность выбора между получением 5000 долл. через год или 12000 долл. через 6 лет. Каков Ваш выбор, если ставка доходности составляет: а) 12%; б) 20%?

Следует выбрать второй вариант.

Следует выбрать первый вариант.

2.3. Оценка потоков с неравными поступлениями. Потоки постнумерандо и пренумерандо

Рассмотренный математический аппарат позволяет приводить к выбранному моменту в настоящем или будущем одну отдельно взятую сумму. Денежный поток – это совокупность доходов и расходов, разрозненных на временной оси. Поэтому для оценки потока в целом необходимо каждую из входящих в него сумм продисконтировать (если приведение осуществляется к настоящему) либо нарастить, если критерием оценки потока служит его будущая ценность.

Очевидно, что для целей такой оценки принципиальное значение имеет одно обстоятельство: в какой момент поступают платежи: в начале или в конце временного интервала? Если платежи поступают в начале периода, поток называется пренумерандо. Если платежи осуществляются в конце, поток называется постнумерандо. Схематично их различие представлено на рис. 9.

Рис. 9 Различия потоков постнумерандо и пренумерандо

6.6.1. Оценка потока постнумерандо

Прямая задача предполагает оценку с позиции будущего, т. е. на конец периода и, когда реализуется схема наращения, которую можно представить следующим образом (рис. 6.8).Конец

СР, СР7 СР, СГ, СГс

Приведение элементов денежного потока к моменту окончания финансовой операции, в данном случае - к концу 6-го базисного интервала (года)

Рис. 6.8. Схема наращения элементов денежного потока лостнумерандо

Представим себе, что множество ,к = 1, 2, . п — это совокупность периодических денежных взносов в банк на депозит. Какая сумма будет в концу данной операции? Предполагается, что инвестор безусловно знаком с понятием временной ценности денег и, кроме того, хотел бы получить некоторое вознаграждение за отвлечение своих собственных средств. Простое суммирование элементов потока невозможно, поскольку они находятся в разных временных интервалах, что обусловливает их несопоставимость из-за временной ценности денег. Эта несопоставимость устраняется с помощью наращения по схеме сложных процентов. Поскольку имеем поток постнумерандо, это означает, что финансовая опера- ция заканчивается в конце последнего базисного периода (на рис.

6.8 это конец 6-го периода). Элемент СРamp; уже находится в этой точке, поэтому наращения не требуется; элемент СР$ находится в конце 5-го периода, а потому по истечении 6-го периода на эту сумму будут начислены проценты по ставке г. Сумма СРА требует двукратного начисления, и т.д. После приведения всех элементов потока в точку 6 их можно просуммировать.

Таким образом, общая формула для исчисления будущей стоимости потока постнумерандо имеет следующий вид:

Обратная задача подразумевает оценку с позиции текущего момента, т. е. на начало периода 1. В этом случае реализуется схема дисконтирования, т. е. все элементы ожидаемого денежного потока сводятся к началу финансовой операции — в точку 0. Схема дисконтирования для исходного потока постнумерандо имеет следующий вид (рис. 6.9). Заметим, что в общем случае равенство элементов потока не предполагается, а логика рассуждений такова.

Пусть имеем исходный денежный поток СР], СР2, . СР„. Представим себе, что это совокупность регулярных доходов по ценной бумаге, которую инвестору предлагают купить. Инвестор хочет понять, сколько он готов заплатить за возможность обладания данным потоком. Речь идет о грамотном участнике рынка,

Пусть C₁, C₂,,…, C_n — денежный поток; r – коэффициент дисконтирования. Поток, все элементы которого с помощью дисконтирующих множителей приведены к одному моменту времени, а именно — к настоящему моменту, называется приведенным. Требуется найти стоимость данного денежного потока с позиции будущего и с позиции настоящего.

4.5.1. Оценка потока постнумерандо

Прямая задача предполагает оценку с позиции будущего, т.е. на конец периода n, когда реализуется схема наращения, которую можно представить следующим образом (рис. 4.6).

Таким образом, будущая стоимость исходного денежного потока постнумерандо FV_pst может быть оценена как сумма наращенных поступлений, т.е. в общем виде формула имеет вид:

. (4.15)

Обратная задача подразумевает оценку с позиции текущего момента, т.е. на конец периода 0. В этом случае реализуется схема дисконтирования, а расчеты необходимо вести по приведенному потоку. Элементы приведенного денежного потока уже можно суммировать; их сумма характеризует приведенную, или текущую, стоимость денежного потока, которую при необходимости можно сравнивать с величиной первоначальной инвестиции. Схема дисконтирования для исходного потока постнумерандо имеет следующий вид (рис. 4.7).

C₁ C₂ C₃ . . . C_n-1 C_n

Таким образом, приведенный денежный поток для исходного потока постнумерандо имеет вид:

Приведенная стоимость денежного потока постнумерандо PV_pst в общем случае может быть рассчитана по формуле:

(4.16)

Если использовать дисконтирующий множитель, то формулу (4.16) можно переписать в следующем виде:

. (4.17)

Рассчитать приведенную стоимость денежного потока постнумерандо (тыс. руб.): 12, 15, 9, 25, если коэффициент дисконтирования r = 12%.

Читайте также: