Непрерывность и дискретность в математике доклад
Обновлено: 16.05.2024
Дискретный простыми словами – прерывный, разделенный, зернистый, отдельный
- свойство, противопоставляемое непрерывности.
Каждый способен отличить прерывное от непрерывного.
Но если смотреть глубже, то дискретность можно разделить на наружную и внутреннюю.
И гранат например имеет внутреннюю дискретность (состоит из отдельных зёрен), а так же сам может быть рассмотрен как отдельное зерно. На своей поверхности гранат прервался и дальше уже не гранат.
И здесь тоже все просто.
Но есть определенные подробности и у многих людей с недискретным, с непрерывным возникают трудности. Попробуем пояснить почему.
Представьте человека, который вырос в глухой степи и по случайному стечению обстоятельств ему никто не рассказал про экскаватор.
Степь глухая. Экскаваторов нет. Только суслики везде. Посмотрел направо – суслик. Посмотрел налево – суслик. Положил бутерброд – его утащил суслик. Даже шапка на голове из сусликов.
И человек не задумывается, что кто-либо кроме сусликов может рыть в земле норы.
Для такого человека, наблюдаемая картина мира прекрасно сочетается с сусликом, но не очень сочетается с экскаватором. И у такого человека на все случаи есть привычная пушистая причина.
И вот однажды человек выбирается во внешний мир, стоит на краю кимберлитовой трубки (здоровучая такая яма - карьер в земле где добывают алмазы).
И единственное что у него в голове срабатывает:
- Это какие же здесь суслики водятся, что они такую яму вырыли.
И есть вполне конкретные типы задач, который в определенном смысле навязывает воображаемого кимберлитового суслика.
В этом списке и задача на дискретность.
Все, что человек видит в своей повседневной жизни непрерывно только от сих и до сих, а дальше оно заканчивается, а значит оно в наружном смысле дискретно, конечно - является самостоятельным объектом.
И жизненный опыт подсказывает, что какая бы большая не была эта штука - она где ни будь заканчивается. У любого суслика есть начало и конец - наружная, внешняя дискретность, наличие собственных границ объекта.
И опять же накладываются представления, что все что нас окружает – состоит из атомов, имеет корпускулярную сущность.
Корпускула – это частичка материи и это опять же проявление дискретности (прерывности).
внутренней дискретности - наличия отдельных составных частей.
И человеку психологически трудно воспринимать, что-либо фундаментально непрерывное.
Например, стена её можно пощупать и мы воспринимаем её относительную непрерывность, но жизненный опыт показывает, что у этой непрерывности должен быть внешний край, конец, а значит и стена какая бы длинная она не была в конечном итоге дискретна ( и сама по себе это тоже отдельный элемент). То есть непрерывность (на примере стены) конечна – имеет место наружная дискретность, наружная прерывность.
Первый пример полной безусловной непрерывности это пространство.
Пространство непрерывно во всех направлениях. По всей своей протяженности оно нигде не обрывается. Пространство не имеет ни внутренней ни наружной дискретности. У пространства нет ни внешних границ, ни внутренних составляющих отдельных частичек.
Применительно к пространству необходимо осознавать, что через перемещение вашей руки вы фиксируете пространственную протяженность.
И пока вы перемещаете руку в пространстве, движение не прерывается.
Пространство не исчезает ни в один из моментов движения.
Не появляется конец пространства.
Но человек об этом практически никогда не задумывается, потому что пространства в принципе не видно.
И в психологическом плане некоторым людям комфортней думать, что пространства как бы и нет вовсе, и пространство это что-то типа абстракции (хотя в реальности пространство это физический объект).
И в такие моменты осознать, что пространство непрерывно получается не у всех.
И ряд людей, сами не понимая почему - делают выбор в пользу дискретного решения.
Человеку просто кажется, что и применительно к пространству должны быть какие-то дискретные штуки.
Почему дискретные?
Да хотя бы потому, что на шкуре у суслика каждый волосок растёт отдельно.
Бывают и особые случаи, когда у некоторых людей сочетается несочетаемое - когда пространства в их представлениях нет в принципе (это абстракция), но при этом пространство дискретно.
То есть та штука, которой нет - она прерывна.
Этакая прерывная но отсутствующая нихрена.
И такие представления имеет довольно много людей и некоторые из них пишут учебники.
Применительно к пространству, необходимо четко понимать, что пространство это реальный объект, оно нематериально и присущая ему непрерывность отличается от непрерывности вещественной, присущей осязаемой материи.
И на схеме мы можем для наглядности обозначить эту непрерывность отдельной позицией.
На схеме, позиция №3 будет обозначать непрерывную протяженность (присущую пространству), непрерывную нематериальность.
Итого на схеме
позиция №1
- Наружная дискретность - присуща материи разделенной на отдельные фрагменты (материя имеющая внешние границы).
Позиция № 2
- внутренняя дискретность в рамках некой общей непрерывности
- присуща материи имеющей общую протяженную вещественную непрерывность, и внутреннее дискретное строение в форме отдельных элементов.
В эту категорию попадают все объекты состоящие из вещества, которые внешне воспринимаются как непрерывные, но по своей структуре состоят из более мелких частей.
Позиция № 3
непрерывность нематериальная (присущая пространству) не имеющая внутренней структуры (внутренней дискретности).
И пространство, тот самый объект - осязаемый через перемещение, конкретный пример непрерывности с которым человек постоянно сталкивается в жизни.
Следующая позиция №4
Непрерывность материальная, но не вещественная.
Что у нас в природе вообще есть материальное, но не вещественное?
И что материальное может быть фундаментально непрерывным?
И в физике такая непрерывность известна как физическое поле.
Кто забыл, напомним:
Физическое поле материально, но не вещественно.
Согласно определения:
Поле – особый не обладающий массой вид материи, представляет собой непрерывный объект, расположенный в пространстве, в каждой точке которого на частицу действуют определенные по величине и направлению уравновешенные либо неуравновешенные силы.
В рамках физической концепции вещество и поле традиционно противопоставлялись друг другу, как два вида материи, у первого из которых структура дискретна, а у второго - непрерывна.
И опять же воспринять непрерывное (применительно к полю) получается не у всех.
В такие моменты кое у кого возникают суровые кимберлитовые суслики.
И применительно к полю ряд людей вновь, сами не понимая почему – готовы сделать выбор в пользу дискретного решения.
Человеку просто кажется, что и в этом случае неизменно должны быть какие-то дискретные штуки.
В этих случаях помочь не всегда возможно, но на всякий случай сообщаем.
Справочно:
Кимберлитовые суслики не внесены в красную книгу
не находятся под защитой здравого смысла и их можно смело утилизировать.
Для остальных просто напомним, что поле не имеет массы, не имеет вещественности. У поля нет той самой штуки которая может обеспечить внутреннюю дискретность.
Так же у поля нет наружной дискретности. Потому что поле не ограничивается с расстоянием.
И это мы можем наглядно продемонстрировать через график распределения поля в пространстве.
Если мы расположим в пространстве некий единичный источник воздействия, и окружим его некой сферой, то с расширением этой сферы её площадь будет увеличиваться и следовательно будет уменьшаться доля воздействия выпадающая на единицу площади этой сферы.
Формульно это выражается через площадь поверхности сферы
А поскольку речь идет о рассеивании единичного воздействия на поверхность сферы то мы имеем единицу деленную на площадь поверхности сферы, то есть
данное распределение воздействия соответствует приведенному графику.
Если мы раширяем сферу - воздействие на её внутреннюю поверхность, а значит и конечная сила - уменьшается. И это видно на графике (движение вправо соответствует расширению сферы /удалению от источника воздействия).
Как бы далеко мы нашу сферу не раздвигали сила будет с удалением только уменьшаться, стремиться к нулю, но никогда через этот ноль не перейдет и не обнулится.
И в связи с эти мы должны понимать, что даже поле от маленького комаринного магнитика распространяется бесконечно далеко и не имеет внешних границ.
При этом по мере удаления потенциал поля стремится к нулю но никогда через этот нуль не переходит.
Итого применительно к физике мы можем выделить 4 вида дискретных и недискретных состояний.
позиция №1
- Наружная дискретность. Присуща материи разделенной на отдельные фрагменты. Материя имеющая внешние границы.
Позиция № 2
- внутренняя дискретность в рамках некой непрерывности
- присуща материи имеющей общую протяженную вещественную непрерывность, и внутреннее дискретное строение в форме отдельных элементов.
В эту категорию попадают все объекты состоящие из вещества, которые внешне воспринимаются как непрерывные, но по своей структуре состоят из более мелких частей.
Позиция № 3
непрерывность нематериальная (присущая пространству) не имеющая внутренней структуры (внутренней дискретности).
позиция №4
Непрерывность материальная невещественная (присущая физическому полю).
Данные четыре позиции желательно твёрдо запомнить. Это облегчит понимание физики в целом.
Собственно всё.
С вами был Виктор Катющик.
Подписывайтесь на видеоканал.
Следите за нашими публикациями.
Прочитал несколько ваших статей. Вы показываете хороший пример синтетического способа мышления,синтетической логики. Обычно(физика,математика,естесвенно-научные дисциплины) строятся строго по принипу индуктивного мышления,в философии мы можем увидеть примеры смешанного дедуктивного и индуктивного мышления.но редко кому удается использовать для обьяснения картины мира принципы синтетической логики. В рамках физики вам удалось это хорошо,например,когда вы говорите.что отрицательных значений в математике и физике не должно быть,что гравитация это две положительные силы,а не одна отриательная ,а другая положительная. Но что касается вашей трактовке Бога как ,одновременно,единости и триединости ваша логика захромала и вы попали в *сусликовую яму*.
Портал Проза.ру предоставляет авторам возможность свободной публикации своих литературных произведений в сети Интернет на основании пользовательского договора. Все авторские права на произведения принадлежат авторам и охраняются законом. Перепечатка произведений возможна только с согласия его автора, к которому вы можете обратиться на его авторской странице. Ответственность за тексты произведений авторы несут самостоятельно на основании правил публикации и законодательства Российской Федерации. Данные пользователей обрабатываются на основании Политики обработки персональных данных. Вы также можете посмотреть более подробную информацию о портале и связаться с администрацией.
© Все права принадлежат авторам, 2000-2022. Портал работает под эгидой Российского союза писателей. 18+
Вы можете изучить и скачать доклад-презентацию на тему Дискретная математика. Презентация на заданную тему содержит 34 слайдов. Для просмотра воспользуйтесь проигрывателем, если материал оказался полезным для Вас - поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте наш сайт презентаций в закладки!
ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ Лектор - старший преподаватель кафедры экономической кибернетики и информационных технологий Мерлак Елена Валентиновна
ДИСКРЕТНОСТЬ Дискре́тность (от лат. discretus – разделённый, прерывистый) – свойство, противопоставляемое непрерывности, прерывность. Дискретность – всеобщее свойство материи, под дискретностью понимают: нечто, изменяющееся между несколькими различными стабильными состояниями подобно выключателю, который может быть либо включён, либо выключен; нечто, состоящее из отдельных частей, прерывистость, дробность.
ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА область математики, занимающаяся изучением свойств структур конечного характера, которые возникают как в самой математике, так и в области ее приложений. К числу таких конечных структур могут быть отнесены конечные группы, конечные графы, а также некоторые математические модели преобразователей дискретной информации, такие как конечные автоматы, машины Тьюринга и др. Также дискретная математика рассматривает произвольные дискретные структуры, к которым могут быть отнесены некоторые алгебраические системы, бесконечные графы, некоторые виды вычислительных сред (напр., однородные структуры) и т. п. В качестве синонима дискретной математики иногда употребляется термин конечная математика.
Информация может быть представлена в аналоговой или дискретной форме. При аналоговом представлении физическая величина принимает бесконечное множество значений, причем ее значения изменяются непрерывно. При дискретном представлении физическая величина принимает конечное множество значений, причем ее величина изменяется скачкообразно.
Преобразование графической и звуковой информации из аналоговой формы в дискретную производится путем дискретизации, то есть разбиения непрерывного (аналогового) графического изображения и непрерывного звукового сигнала на отдельные элементы. В процессе дискретизации производится кодирование, то есть присвоение каждому элементу конкретного значения в форме кода.
ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ (основные определения) Под множеством понимают совокупность объектов любой природы, обладающих некоторым общим свойством. Объекты, объединенные одним общим свойством, называют элементами множества и обозначают a, b, c, . x, y, z. Множества обозначают A, B, C, . X, Y, Z. Множество, число элементов которого конечно, называют конечным и бесконечным в противном случае. Конечные множества разделяются на счетные и несчетные. Если элементы бесконечного множества можно пронумеровать с помощью натурального ряда чисел, то оно называется счетным и несчетным в противном случае. Так, множество четных чисел – счетное, множество действительных чисел – несчетное. Конечные и счетные множества называются дискретными множествами.
Следует различать принадлежность множеству и включение. Например, A = <1,3,6,13>, то 3 ∈ A, 6 ∈ A , но ∉ A. Рассмотрим пример. Пусть А, В, С - подмножества множества N: А=; В=; С=. В этом случае А = С; C ⊆ A и A ⊆ C, B ⊂ A.
Основные определения Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается ∅. Пустое множество считают конечным множеством и подмножеством любого множества. Универсальное множество U – множество, содержащее все объекты и все множества, все множества являются подмножествами универсального.
Основные определения Количество элементов в конечном множестве A называется мощностью множества A и обозначается |A|. Множество всех подмножеств, состоящих из элементов множества A, называется булеаном Р(А). Мощность булеана |Р(A)| = 2|A|. Пример: А = <1,2,3>, |A| = 3, Р(A) = = , ,,,,,<1,2,3>>, |Р(A)| = 8.
Способы задания множеств Перечислением. Примеры: множество простых чисел, меньше 10 <2,3,5,7>; множество названий летних месяцев ; множество целых неотрицательных чисел, меньше 100 Множество всех месяцев года .
Способы задания множеств Описание свойств, которыми обладают элементы множества. Общий вид:
Примеры
Операции над множествами: объединение множеств Объединением множеств А и В называется множество, которое состоит из всех тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В. Объединение множеств А и В обозначается А ∪ В. Это определение равносильно следующему: A ∪ B =
Операции над множествами: пересечение множеств Пересечением множеств А и В называется множество, которое состоит из всех тех элементов, которые принадлежат и множеству А и множеству В. Пересечение множеств А и В обозначается А ∩ В. Это определение равносильно следующему: A ∩ B =
Операции над множествами: разность множеств Разностью множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов множества А, которые не принадлежат В. Разность множеств А и В обозначают А-В. Это определение равносильно следующему: A - B =
Операции над множествами: симметрическая разность Симметрической разностью множеств А и В называется множество, состоящее из объединения элементов множества А, которые не принадлежат В с элементами множества В, которые не принадлежат А. Симметрическую разность множеств А и В обозначают А+В. Это определение равносильно следующему: A + B = (A- B) ∪(B - A). Пример. A = <2, 3, 5, 6, 7>, B = . Определить A + B . Решение: A + B = .
Операции над множествами: дополнения множества Дополнением (абсолютным дополнением) множества А называется множество, состоящее из всех элементов универсального множества, которые не принадлежат А. Дополнение множества А обозначается . Это определение равносильно следующему: =U - A =
Диаграммы Эйлера-Венна Для графической иллюстрации отношений между множествами данного универсального множества U используют диаграммы Эйлера-Венна. Диаграмма Эйлера-Венна – это изображение множества в виде геометрического множества, например, круга. Универсальное множество отображают в виде прямоугольника.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДИСКРЕТНОСТИ
Дискре́тность (от лат. discretus — разделённый, прерывистый) — свойство,
противопоставляемое непрерывности, прерывистость. Синонимы к слову дискретный:
корпускулярный, отдельный, прерывистый, раздельный и т. п.
Дискретность — всеобщее свойство материи. Так, дискретным называют процесс,
изменяющийся между несколькими различными стабильными состояниями, например,
процесс перемещения стрелки в механических часах. Дискретные системы (объекты)
рассматриваются как состоящие из чётко отграниченных (логически или физически)
элементов; также дискретными иногда называют и сами элементы дискретной системы
на уровне её рассмотрения.
НЕПРЕРЫВНАЯ И ДИСКРЕТНАЯ
ИНФОРМАЦИЯ
Информация о различных природных явлениях и технологических процессах
воспринимается человеком (при помощи органов чувств и/или различной
измерительной аппаратуры) в виде каких-либо полей. С математической точки
зрения такие поля представляют собой функции , где t – время, x – точка, в которой
измеряется поле, y – величина поля в этой точке. При измерениях поля в
фиксированной точке x=a функция вырождается в функцию времени , которую
можно изобразить в виде графика. В большинстве случаев все скалярные величины,
входящие в соотношение (т.е. t, y и координаты точки x), могут принимать
непрерывный ряд значений, измеряемых вещественными числами.
Под непрерывностью здесь понимается то, что рассматриваемые величины могут
изменяться сколь угодно мелкими шагами. Поэтому представленную таким образом
информацию называют непрерывной информацией. Иногда для этой цели
используется термин аналоговая информация.
НЕПРЕРЫВНАЯ И ДИСКРЕТНАЯ
ИНФОРМАЦИЯ
Если применительно к той же самой информации о поле установить минимальные
шаги изменения всех характеризующих ее скалярных величин, то получим так
называемое дискретное представление информации, или по-другому, говорят –
дискретная информация. Т. к. точность измерений (как и человеческого восприятия)
всегда ограничена, то, даже имея дело с непрерывной информацией, человек
воспринимает ее в дискретном виде. Однако, любая непрерывная информация
может быть аппроксимирована дискретной информацией с любой степенью
точности. Поэтому можно говорить об универсальности дискретной формы
представления информации.
Результаты измерения любых скалярных величин представляются в конечном итоге в
числовом виде. И т.к. при заданной точности измерений эти числа представимы в
виде конечных наборов цифр (с запятой или без нее), то дискретную форму
представления информации часто отождествляют с цифровой информацией.
Абстрактнее, говоря на языке математики, Д. обозначает величины, между отдельными значениями которых заключено лишь какое-то конечное число их других значений. Вместе с тем, на деле, Н. вовсе не монотонно и единообразно, а это все же некое многообразие. В геометрии под Н. обычно понимают совокупность всех точек на прямой или на её отрезке. В теории чисел, - это просто бесконечное множество всех действительных чисел, например, - всех дробей, заключенных между любыми двумя действительными целыми числами (как между 0 и 1 и т.п.) (см.: Большой словарь …, с. 219, 328). В принципе, Д. и Н. – одни из главных понятий математики, например, арифметики и теории чисел, дифференциального и интегрального исчисления (как исчисления бесконечно малых), теории непрерывных функций. В дискретном и интервальном анализе, вычислительной математике и др., как правило, изменение какой-либо физической величины во времени – это изменение, происходящее через определенные промежутки времени (скачками). Д. и Н. - важнейшие понятия наук: от механики и физики до современной теории фракталов, а также и других наук, или они являются прямо их предметами.
Д. и Н. находятся непосредственно в основах философии и наук о материи и движении, в теориях пространства и времени, строения и структуры мира, отношениях вещества и поля, в биологии, социологии, логике и др. В теориях времени посредством Д. и Н. раскрывается объективное строение времени и его общего хода, а также последовательность событий и действии объектов разной природы, операций с ними, хронометрии (измерения хода времени), и т.п. Все концепции времени разделяют на статические и динамические, а также субстанциональные (от лат. substantia – сущность) и реляционные (от лат. relation - отношение). Но из них ни одна до сих пор не признана общепризнанной и доминирующей, они лишь сочетаются в смешанные по типу концепции (см.: Молчанов Ю.Б. Четыре концепции …).
В целом, для понимания вопросов о смысле Д. и Н. и их взаимосвязи в контексте также теорий времени надо выделить три аспекта: 1) философский, 2) общенаучный и специальный научный а, затем уже, 3) собственно темпорологический. В истории философии и естествознания понимание Д. и Н. прошло (или совершает) четыре этапа развития: 1) натурфилософский, 2) механический, 3) химический и физический вместе, 4) современный. В последних двух все это происходило на основе развития электродинамики, теории относительности и квантовой механики, единой теории поля, термодинамики с синергетикой и открытия темной материи и энергии на рубеже XX и XXI вв. Отметим, что в физике и химии мы встретим Д. прежде всего в научной атомистике как теории материи (atomos - по-греч., неделимый), и она представлена исторически в классической механике и оптике, в химической атомистике, в молекулярно-кинетической теории газов в физике, в квантовой механике и др. Кратко о них:
3. На базе диалектической логики возможен синтез этих подходов, и он характерен для современной науки. Но об этом – ниже.
Вообще, история атомизма – это повесть о великих открытиях физики и химии, о триумфах научной мысли в истории человечества. Истоки его - размышления древних о причинах таких явлений, как испарение жидкости и выпадение росы, разбавление жидкостей (например, вина) и растворение в них твердых веществ (например, солей), создание сплавов металлов и многих других явлений. Сам атомизм в своем развитии проделал ряд этапов: это - (1) атомизм натурфилософский, (2) механический атомизм XVII – XVIII вв., (3) химический атомизм XIX в., и (4) современный физический атомизм - ХХ в. Рассмотрим эти этапы.
1) В довольно правдоподобной форме обобщение этих фактов произошло сначала в древней индийской, китайской и греческой философии. В последней (именно, в натурфилософии греков), это обобщение связано с поисками простейших первоначал мира. У Демокрита, мы найдем идеи, точнее, – гипотезы о существовании амеров (мельчайших, точечных частей пространства), атомов (мельчайших частиц вещества, не делящихся дальше), как первоосновы мира. С этого момента начинается развитие и атомизма вообще, – как учения о Д. строения мира. Идеи атомизма продолжили и развили в Греции Эпикур (342/41 – 271/70 гг. до н.э.), позднее, в Риме, - Лукреций Кар (96 г. до н.э. – 55 г. н.э.), и др. (см.: Кедров Б.М. Атомизм // Большая советская …, т. 2, с.395-97). Основные идеи античного атомизма сочетаются с динамизмом. По Демокриту - и душа состоит из атомов. Древние атомисты считали Н. материи кажущейся, приблизительной, условной. Современник Демокрита Платон (427-347 гг. до н.э.) был яростным противником атомизма, он всю жизнь собирал рукописи с работами Демокрита и их сжигал. Не случайно, что о взглядах Демокрита мы знаем лишь из позднейших пересказов, том числе и. Аристотеля, который тоже был против атомистики (см. об этом: Диоген Лаэртский. О жизни, учениях …, с. 213, 371, 373; Аристотель. Метафизика // Соч. в 4-х тт. Т. 1, с. 134, 135, 215, 301, 375-77, 381).
В биологии мы видим, что Ч.Дарвин в своей эволюционной теории в основном придерживается везде принципа Н., но позже Г.де Фриз – объясняя мутации генов, абсолютизирует Д. (Непрерывность // Там же). Она, конечно, играет большую роль в учениях о структуре и эволюции живого (в биологии, - начиная с таксономии и кончая генетикой), в социологии, в экономике, в частных теориях строения и развития знания и познания, языка и мышления, в стандартной логике и др. Но мы найдем в континуальных по смыслу теориях поля Н. и др. Единства в науке насчет сути Д. и Н. не заметно.
A (события реальности) -> B (перцепций) -> C (ментальности) -> D (хронометрии) -> E (логики) (см.: Молчанов Ю.Б. Четыре …, с. 162-66; Разумовский О.С. Время: иллюзия …, и др.).
Читайте также: