Математика и покер доклад
Обновлено: 05.07.2024
В первую очередь стоит отметить, что математика в покере играет действительно важную роль. Совершая ставки с положительным математическим ожиданием игрок сильно упростит себе жизнь.
Вместе с этим, в ней нет особой сложности или расчетов, требующих колоссального эмоционального и умственного напряжения. Достаточно освоить такие действия как сложение, вычитание, деление и умножение. Если вы успешно овладели этими навыками в школе, то вы не встретите на своем пути непреодолимых преград.
Для хорошей игры нужно усвоить несколько основных правил. После этого вам уже не нужно будет беспокоиться о математической составляющей покера.
Ауты - это карты в колоде, которые могут дать вам выигрышную руку.
На флоп приходят:
Сколько у вас аутов? Давайте посчитаем вместе. Любая десятка даст вам лучший из возможных стритов. И скорее всего лучшую руку за столом.
Если придут туз или король у вас будет топ-пара. Если выпадет король - топ-пара с топ-кикером, поскольку туз - высший кикер.
Итак, считаем. 3 туза + 3 короля + 4 десятки = 10 аутов.
Терн. Теперь общие карты выглядят так:
Как изменилась для вас ситуация?
Вышла еще одна трефа, которая дает вам флеш-дро, что увеличивает количество аутов. Считаем!
3 туза + 3 короля + 4 десятки + 8 треф для флеша (одну мы уже посчитали когда считали 10-ки, поэтому здесь мы ее вычитаем) = 18 аутов.
"А если у кого-то дама и валет?" - спросит нас внимательный читатель. Что же делать!?
Это лишь означает, что топ-пара для вас больше не является комбинацией, дающей вам выигрыш. Следовательно 3 Туза и 3 Короля больше не ваши ауты.
Но как точно узнать руку оппонента? Вопрос очень правильный. И я готов вам дать ответ. Он весьма однозначный и не допускает двойного трактования. Но об этом в конце статьи.
Хочу обратить самое пристальное внимание на то, что ауты - это оставшиеся в колоде карты, которые дают вам натсовую комбинацию, т.е. самую лучшую. Это значит, что как бы оппонент не улучшился на следующих улицах, он в любом случае не сможет побить силу вашей комбинации.
Я останавливаюсь на этом подробно, потому что, неправильный подсчет аутов - распространенная ошибка. Просто будьте чуть внимательнее, чем обычно и у вас не будет подобных проблем.
Пример 2
У Вас:
У вас сет. Но на столе явно есть несколько дро-комбинаций:
Каждая из этих комбинаций бьет вашу руку.
Вы в средней позиции. До вас все делают чек. Вы совершаете ставку, двое коллируют вас.
Логичным здесь выглядит предположение о том, что если бы кто-либо из ваших оппонентов уже имел готовую руку, то он сделал бы рейз. На данный момент, мы можем исходить из того, что они все еще докупают свои руки. Другими словами, у них всего-лишь дро-комбинации.
В данном случае это двухсторонний стрит-дро. Скажем, если у оппонента 55, то для стрита ему нужна либо 6, либо туз. Итого 8 аутов. Так? На самом деле не совсем.
4 туза и 4 шестерки действительно дают 8 аутов. Но в действительности мы должны вычесть крестовые туз и шестерку. Потому что они улучшат флеш-дро до флеша, который сильнее стрита. Если игрок А собрал флеш, в то время как игрок B собрал стрит - у игрока B проблемы. Поэтому на самом деле у игрока, собирающего стрит в данной раздаче всего 6 аутов.
Если кто-то из оппонентов собирает флеш - у него 9 аутов. Судите сами, на столе 3 крести + 1 крести у него на руках = 4 крестовых карты. В колоде, как известно, по 13 карт каждой масти. 13-4=9 крестовых карт в колоде, которые дадут ему флеш.
В колоде 52 карты. Из них на данный момент нам известны 5. Две - наши карманные, и три на флопе. Остается 47 карт из которых 9 дадут возможность докупить флеш и 6 возможность стрита. Итого 15 из 47 карт помогут вашим оппонентам.
С другой стороны, вы все еще можете докупить каре - если придет 2. Если выпадет пара, или любая дублирующая карты вы соберете фулл-хаус, а он как известно сильнее флеша и стрита.
Подобным образом мы будем считать ауты в любой ситуации в будущем. С течением времени, расчет количества ваших аутов станет мгновенным действием. Проведите 3-5 игр, уделяя внимание подсчету аутов и вы запомните, что у флеш-дро 9 аутов, у двухстороннего стрита - 8, а для "гатшота" - 4.
И тут может прийти мысль - все это прекрасно, но с какой вероятностью наступит то или иное событие? Как часто будут приходить именно эти 15 карт из 47, и когда я уже куплю каре?
Итак.
Вероятности
Вероятность того, что вам выпадет та или иная карта выражается в процентах.
Следует отметить, что чтение книг по теории вероятностей, как и ее подраздел - комбинаторика, могут оказаться для вас захватывающим занятием. Я серьезно, вы должны попробовать. Хотя бы дочитайте до условной вероятности и независимости событий - потом сможем обсудим за кружкой чая. Вероятность наступления этого события кстати тоже можно рассчитать.
Каким бы многообразным ни казался покер, даже здесь множество событий конечно. Наш научно-исследовательский отдел провел колоссальную работу. Благодаря чему, у нас есть таблица, которую я регулярно использую и теперь, она доступна вам в любое время дня и ночи.
Математика играет фундаментальную роль в покере, поскольку покерная стратегия основывается на вероятностях игровых событий. Знание психологии и особенностей соперников важны, причем иногда критически, но они нужны, чтобы сделать математические предположения точнее.
Математика в покере включает в себя понятия аутов, вероятностей, шансов банка, эквити и фолд-эквити. Каждая из этих тем достойна отдельного рассмотрения и изучения. Данная статья – материал для начинающих игроков, желающих разобраться, где начинается теория покерной математики и как она связана с практикой.
Ауты (Outs) – это карты, помогающие усилить текущую комбинацию. Если мы начнем игру с и увидим флоп , аутами будут восьмерки и короли. Выпав на терне, они дадут собрать стрит от восьмерки до дамы или от девятки до короля.
В колоде осталось 4 восьмерки и 4 короля — 8 аутов на усиление
Если бы две карты флопа были пиковыми, например, — аутов было бы больше. Любая пика на терне закрыла бы флеш.
В колоде 13 карт одной масти. Двойка, десятка, валет, дама уже вышли из колоды. Осталось девять незаигранных карт, помогающих усилиться до флеша.
Сколько аутов мы имеем на флопе? 8 на стрит, 9 на флеш? Неправильно. Две карты пересекаются – пиковые восьмерка и король. Остается 6 на стрит и 9 на флеш. Итого: 15.
Комбинация, которой нужна карта до усиления, называется дро (Draw). В примере одновременно имеем стрит-дро и флеш-дро. Данное сочетание двух дро называется монстр-дро. О том, когда данные комбинации встречаются в игре, читайте в статье Дро в покере.
Дисконтированные ауты
Не все ауты действительно усиливают нашу руку, поэтому часть из них дисконтируют, то есть обесценивают. Представим, что у нас , а на флопе . 8 карт могут дать стрит, но на борде лежат две червовые – у кого-нибудь из соперников может быть флеш-дро.
Червовые карты больше не подходят
Мы удаляем из расчета червовые восьмерку и короля, то есть дисконтируем. Теперь у нас 6 чистых усилителей – если один из них выйдет на терне, комбинация будет самой сильной.
Вероятности
Понимание аутов позволяет перейти к использованию вероятностей в покерной математике. Зная, сколько карт способно усилить нас до сильной комбинации, мы можем узнать, как часто это должно происходить.
Вероятность = Количество аутов / Количество закрытых карт (в колоде и на руках оппонентов).
В покерной колоде 52 карты. Две из них – на руках, три – на флопе. Осталось 48. Нам нужна любая восьмерка или король. Вероятность, что одна из них придет на терне равна 6 / 48 = 1 / 8 или 12.5%.
Если одна из восьмерок или королей не выйдет на терне, остается возможность поймать их на ривере. Правда, расчет изменится, ведь закрытых карт станет на 1 меньше: 6/47 = 12.76%.
Используйте готовую таблицу, чтобы не считать все самостоятельно.
Таблицу можно запомнить, но на практике большинство игроков пользуется простым правилом:
Шанс получить нужную карту из колоды за 1 улицу – примерно 2%, за две улицы – примерно 4%.
По таблице видно, что точные числа чуть ниже, но для быстрых расчетов за столом во время игры формула подходит.
Шансы банка
Разобравшись с вероятностями, мы подходим к тому, как именно используют математику в покере на деньги.
Вероятность завершения комбинации – это соотношение неудачных исходов события (не получили аут) к удачным (получили). Ее часто записывают методом отношений, например, 4:1. Это значит, что в среднем из пяти попыток получить карту 4 будут неудачными, а 1 – удачная. Эту вероятность можно обозначить в процентах — 20%.
Шансы против комбинации в методе отношений
Второй метод записи – процентный. При переводе в процентный метод нужно прибавлять к размеру банка или количеству неудачных исходов единицу. То есть, 4 к 1 соответствует 20% (1 / 5), а 5.5 к 1 соответствует 15.4% (1 / 6.5).
Шансы банка или пот-оддсы (Pot Odds) – это соотношение суммы, которую мы ставим в банк, к его общему размеру. Проще говоря, какую сумму мы вкладываем и сколько получим, если составим комбинацию. Например, шансы банка 4:1 предлагают вложить $1, чтобы выиграть $4.
Чаще всего шансы банка используют в расчете, выгоден колл или нет. Если пот-оддсы выше, чем вероятность завершения, колл выгодный.
- у нас на терне натсовое флеш-дро с 9 аутами. Таблица показывает, что вероятность получить комбинацию – 4.11 к 1;
- в банке $10. Соперник ставит $3. Шансы банка для колла равны $13 к $3;
- для сравнения упрощаем шансы банка, чтобы вторая цифра равнялась 1. Выходит 13 / 3 к 3 / 3, то есть 4.33 к 1;
- для выгодного колла нужно выигрывать чаще, чем 1 раз из 4.33. А вероятность дает победу 1 раз из 4.11. Значит, колл в этой ситуации выгодный.
Расчет можно перевести в проценты по формуле. Шансы банка равны 1 / 5.33 = 18.76%, а вероятность закрытия комбинации 1 / 5.11 = 19.6%.
Ожидаемые шансы банка
Во время игры в покер возникают ситуации, когда чистых пот-оддсов недостаточно для колла, но можно добавить к банку деньги, которые будут выиграны, если комбинация закроется. Данный прием позволяет посчитать потенциальные шансы или имплайд оддсы.
Представим, что сыграли на большом блайнде и увидели флоп . Банк равен $20. Соперник делает ставку $10. Предполагая, что у него готовый флеш, считаем ауты, усиливающие до фулл-хауса или каре. Их 7 – три девятки, три десятки и восьмерка.
Таблица показывает: шанс собрать фулл-хаус или каре на терне – 5.71:1. А шансы банка – 30:10 или 3:1. На выгодный колл не хватает, но после закрытия фулл-хауса мы встретим минимум еще одну ставку не меньше $30.
Добавим эту сумму к расчету оддсов и получим $60 к $10 или 6 к 1. Теперь колл выгодный.
В отличие от обычных пот-оддсов, потенциальные шансы банка – более сложная часть покерной математики. Расчеты тем точнее, чем лучше игрок изучил соперника, чем подробнее статистическая подборка. Использовать потенциальные шансы против неизвестных соперников сложно и опасно. Мало гарантий, что раздача на последующих улицах пойдет по ожидаемому сценарию.
В данной статье приведены примеры математики в покере Холдем. А в книге Дэвида Склански — почти всех других вариантов покера: 7-карточного Стада, 5-карточного Дро, Разза. Не каждая из них пригодится на практике, но широкий обзор помогает глубже понять, как появляются вероятности, как они меняются по ходу раздачи и влияют на решения.
Быстрые советы
Следующая информация поможет быстрее работать с математикой покера во время игры:
- дисконтирование обязательно. Разница между наличием 8 и 6 усиливающих карт бывает критической. На терне это 4.75:1 и 6.67:1;
- помнить таблицы полностью не обязательно. В большинстве раздач у игрока 3-11 аутов;
- переводите отношения в проценты правильно – 5:1 равно не 20%, а 16.67% (1 / 6);
- считайте улицы правильно. Если колл на флопе закрывает ставки в раздаче, используйте вероятности для 2 улицы, то есть умножайте ауты на 4. Если на терне придется делать дополнительный колл – для 1 улицы, то есть умножайте в два раза;
- сотые и десятые процентов можно не учитывать в 99.9% случаев.
Не используйте данные советы, подробно не разобравшись в теме. Любая раздача требует подстройки и учета дополнительных факторов — иначе выгодные действия становятся убыточными.
Тренируйтесь и рассматривайте собственные раздачи, учитесь использовать математику в реальной игре. А после переходите к продвинутым математическим параметрам — эквити и фолд-эквити.
Техасский Холдем — это игра, основанная на теории вероятности. Каждая разыгрываемая вами рука, каждая сделанная вами ставка и каждое принимаемое решение следует оценить с точки зрения шансов этого действия на успех.
Ключевой момент, который следует помнить при использовании математики в покере, заключается в том, что решения, которые вы приняли за покерным столом, не будут иметь влияние на ваш выигрыш в краткосрочной перспективе.
Просто потому, что вы правильно посчитали шансы на выигрыш в конкретной руке и сделали правильный колл, вовсе не означает, что вы должны были выиграть раздачу. Это также не означает, что вы приняли неверное решение, если вы проиграли. Если продолжат принимать правильные решения на основе шансов, вы обязательно будете выигрывать, поэтому постарайтесь не допустить, чтобы результаты в краткосрочной перспективе оказывать влияние на вашу игру.
Эта стратегия требует совершения элементарных математических действий и составления простых уравнений. При этом не обязательно понимать суть производимых расчетов, главное — помнить, что они позволяют вам рассчитать свои шансы и, как следствие, чувствовать себя в игре уверенно.
Принимая решение о том, стоит ли вам коллировать, следует сравнить полученное число шансов банка с расчетным показателем эквити (вероятности взятия банка). Если эквити ниже числа банка, такой колл считается хорошим.
Предположим, что вы играете с банком $40 и игрок перед вами ставит $10. Чтобы продолжить игру вам потребуется заплатить $10, чтобы иметь возможность выиграть $50, что означает шансы банка 5 к 1. Для того, чтобы узнать шансы банка, необходимо разделить текущий размер банка (учитывая все ставки и рейзы до вас) и разделить на сумму, которую вы должны уравнять. Чем больше шансы банка, тем лучше для вас, поскольку чем больше эти шансы, тем более слабыми руками вы можете позволить себе играть.
Математика в покере может быть использована в большом количестве различных ситуаций. Наиболее частая ситуация использования математики в покере — расчет эквити с руками дро (флеш дро или стрит дро). Когда ваш оппонент делает ставку и вы, имея на руках руку дро, не знаете, должны ли сейчас делать колл в надежде получить нужную карту, или же вы должны сбросить свои карты в пасс и отдать этот банк оппоненту.
Особенности и преимущества покер стратегии SSS
Стратегия доказана математически, и работает независимо от того, насколько хорошо играют оппоненты. Против данной стратегии нет.
Данную покер стратегию легко освоить даже новичку, только начинающему знакомиться с покером. Основные решения описываются простыми правилами. После получения определенного опыта, стратегия позволяет совершенствование для повышения выигрышей, но плюсовая игра на дистанции обеспечена уже с самого начала.
Идеальна для многостоловой игры. Поскольку играется лишь небольшое число лучших рук, игрок имеет время для наблюдения особенностей игры оппонентов и повышения числа играемых столов. А значит, за то же время он выигрывает больше, легче отыгрывает бонусы, получает больший кешбек и т. д.
Базовая математическая стратегия
Базовая стратегия основана на простом сравнении шансов выиграть и выгодой от пота — соотношения количества фишек, необходимых вам для того, чтобы доложить их в банк и остаться в игре, к самому банку. Суть тактики заключается в том, что если шанс выиграть больше выгоды от пота, то надо продолжать игру, в противном случае сбрасывать карты.
Однако не рекомендую всецело полагаться на данную стратегию по двум причинам: во-первых, данная тактика в этой статье упрощена, с целью обьяснить новичкам покера суть самой стратегии; во-вторых, опытные игроки, разгадав в вас математика, будут специально ставить такие ставки, чтобы либо выкинуть вас из игры побыстрее, либо наоборот выжать максимум фишек.
Новичку покера не понятно, почему так важна математика в покере? А важна она потому, что важно оценить правильно реальность победы, необходим точный расчет такого шанса. Это помогает решить какую ставку делать или не делать вообще. Шанс собрать нужную комбинацию основывается на математическом ожидании выигрыша.
Что такое математика ожидания в покере?
Математика ожидания в покере — это то количество фишек, которое в среднем выигрывается во время игры. Это количество просчитывается на основе принимаемых решений при аналогичных ситуациях. То есть вы просчитываете, сколько сможете выиграть, если одна и та же ситуация будет повторяться за столом несколько раз. Иными словами игрок за столом должен просчитать, какие комбинации окажутся у него на руках. Это важно — будет та или другая. Но этого мало, необходимо еще просчитать, как в процессе игры эти комбинации улучшить. Данные просчеты должны происходить на основе наблюдений за остальными игроками. Математика покера предполагает, также как и в других областях знаний, определенную закономерность выпадения тех или иных комбинаций. Основана на теории вероятности.
Кроме того, можно просчитать вашу комбинацию на основе первоначальных карт. Конечно же, освоить покерную математику не так-то уж и сложно.Как говорят опытные игроки, для этого достаточно знать азы этой на первый взгляд трудной науки.
КАК НЕ ПРОИГРЫВАТЬ В ПОКЕРЕ?!
В завершении своей статьи хочу добавить что покер — игра глубочайшая, возможно, сложнее шахмат. Поэтому, покер значительно богаче той достаточно простой стратегии, которой я вам рассказываю. Но принимая к действию различные вычитанные советы, не забудьте сначала задуматься об их применимости к вашим условиям игры. Всегда разбирайтесь, идет ли речь о коротких или длинных столах. О кэш игре или турнирах. Поэтому помните, что скрестить бульдога с носорогом не получится, и не все советы следует внедрять в свою игру с коротким стеком.
1. “Покер для начинающих” Автор: Роман Шапошников. Год: 2009
2. “Покер. Курс Техасского Холдема” Автор: Роман Шапошников, Сергей Колыхма. Год: 2008.
Основные термины (генерируются автоматически): игра, покер, игрок, решение, рука, шанс банка, SSS, краткосрочная перспектива, математик ожидания, математика покера.
Похожие статьи
Теория игр: основные понятия, типы игр, примеры
Решение данной игры проводим с позиции игрока , который придерживается максиминной стратегии.
Аналогично, чтобы минимизировать математическое ожидание игрока I, игрок II должен.
Тестирование интернет-страниц как решение задачи о многоруком.
Таким образом, при игре на автомате с номером игрок получает выигрыш с вероятностью и выигрыш 0 с вероятностью .
Фундаментальной работой по теме роли визуализации при обучении математике явилась.
На каждом шаге игры игроки оглашают свои решения с помощью монеты.
Математические методы как основа стратегии игры в покер.
Расчет ожидаемых убытков и создание провизии согласно Базель II
Банком вычисляется математическое ожидание потерь
Основные термины (генерируются автоматически): III, Базель, LCR, NSFR, TIER, банк, основной капитал, краткосрочная ликвидность, CVA, базельский.
Особенности анализа характеристик видеотрафика в системе АМС
Решение любой задачи состоит из трех последовательных этапов: получение исходных данных, процесс обработки и процесс выдачи результатов.
4) dispA() — дисперсия времени обслуживания заявок или разброс значений относительно математического ожидания.
Математическое моделирование банкротства предприятия
При решении игры банкротства можно использовать различные принципы оптимальности такие как C-ядро, NM-решение, вектор Шепли.
Математические методы как основа стратегии игры в покер.
Математическое моделирование оптимальных стратегий.
‒ аспект оптимальных решений — теория математических моделей принятия оптимальных решений вусловиях конфликтов.
игрок, функция распределения, стратегия, конфликтная ситуация, функция
Математические методы как основа стратегии игры в покер.
Актуальность применения теории игр в процессе конкурсного.
Представлены преимущества и также недостатки метода теории игр в практике конкурсного производства коммерческого банка.
Это как раз и позволяет сделать метод теории игр, основанный на математике и позволяющий для каждой из многочисленных сторон — игроков.
Модель оценивания пар игроков в теннис | Статья в журнале.
Исходя из полученных данных можно определить какой из игроков внес больше полезных действий в игру команды за матч.
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ПОКЕРА С ПРИМЕНЕНИЕМ КОМБИНАТОРИКИ, ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И ТЕОРЕМЫ БАЙЕСА
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Прошу обратить Ваше внимание, что я никоим образом не рассматриваю в данной статье какие бы то ни было покерные стратегии, а хочу исключительно доказать, что даже в такой, казалось бы, на первый взгляд, игре на везение, как покер, есть свои математические элементы.
Многие считают, что покер - это игра на удачу: пришла удачная комбинация – выиграл, не пришла – проиграл. Противник сделал ставку, а у тебя ничего нет, то нужно сбрасывать. На самом же деле, если обладать небольшими познаниями в математике, в особенности в теории вероятностей, то можно максимизировать свой выигрыш, просто играя в математически правильную игру, а значит с положительным математическим ожиданием.
Для начала хотелось бы рассмотреть пример спора из реальной жизни, который произошел между двумя игроками в покер, причем оба обладали хорошими познаниями в математике:
Мне пришлось хлопнуть своего друга по плечу, чтобы он поднял голову, и в отчаянии покачал головой, указывая на $300 в фишках, лежащих по другую сторону стола. Его противник только что вскрыл J♥ J♦ 9♥ 7♦ 3♣., но так как они играли в лоуболл, я сразу заинтересовался происходящим.
"Что это было!" - спросил я у друга, когда он все-таки повернулся ко мне.
"Два красных валета. Я предложил ему $300 против $2, что он не сможет получить двух красных валетов до обмена".
"То есть, 150 против 1 ", - сказал я, стараясь, чтобы в голосе не прозвучало недоверие. - "Ты уверен в шансах?"
Он быстро прижал палец к губам, давая понять, что не стоит просвещать оппонента, который все еще возился со своим выигрышем.
"Пошли, надо поговорить", - сказал я.
Когда мы отошли от стола он начал жаловаться: "Он меня просто убивает. Вот уже две недели он у меня постоянно выигрывает на этом пари. Может, у него валет в рукаве?"
"Шансы 136,8 против 1", -сказал я ему.
"Что?" - переспросил он. Его мозг буквально закипел от напряжения. Это был математик высшего класса, и мы часто обменивались с ним покерной информацией. Но в этом случае он ошибался. - "Нет! Шансы 191 против 1. Я фаворит".
"Давай поспорим по-дружески", - предложил я. - "На сотню, что ты ошибаешься".
"Ладно, "Безумный Майк", - сказал он, подчеркивая слово "безумный". — "Ты блефуешь, но я согласен!". И он вытащил сотню из своего бумажника.
Мы пошли выпить по чашке кофе.
Он начал первым. "Существует 89 760 способов получить пару валетов", - сказал он, записывая цифры на салфетке для убедительности. "Мы выяснили это, когда составляли таблицы Распределения комбинаций. Согласен? Хорошо. Существует шесть пар-партнеров, которые образуют два валета: бубновый валет и трефовый валет, трефовый валет и пиковый валет и так далее. Одна из них и есть валет бубновый с валетом червовым. То есть одна шестая от 89 760. То есть 14 960". Он подчеркнул последний результат. "И мы разделим 2 869 685 – общее число возможных комбинаций, - на полученное число. и получим 191,8. То есть шансы 190,8 против 1, как я и сказал".
Теперь пришла моя очередь. "Ты упустил то, что лежит на поверхности. Твои расчеты правильны, когда у противника точно два валета. Но у него также может быть каре, фулл-хаус, сет или две пары, но все же в них может быть пара красных валетов. Вот самый простой способ получить верный ответ. В колоде у нас 53 карты, у тебя есть 5 карт, чтобы получить бубнового валета из 53. После этого у тебя есть четыре шанса из 52, что валет червей все еще в колоде. Один шанс из 10,6 для бубнового валета и один шанс из 13 для червового валета. Перемножив, мы получаем 137,8, то есть один против 136,8".
Он согласно кивнул головой и произнес: "Иногда человек слишком прочно привыкает думать по шаблону и допускает просто детсадовские ошибки вновь и вновь".
Данная статья, взятая из одного журнала, показывает, что человек, имея шансы на победу 136,8:1, принимает пари с шансами 150:1, тем самым, заведомо принимая решение с отрицательным математическим ожиданием.
В данной статье для простоты расчетов я буду рассматривать стандартную игру в техасский холдем с колодой на 52 карты. Вам сдается на руку 2 карты, после чего на стол выкладываются сперва 3 карты (флоп), потом 1 (терн) и после очередной торговли еще одна (ривер), последняя пятая карта.
Всего же при такой игре мы можем получить на руки 1326 возможных комбинаций из двух карт (52∙51=2652, но так как, к примеру, рука A♣K♥ равна руке К♥А♣, то данное число следует разделить на два: 2652/2=1326). При этом 2 конкретные карты образуют 1 комбинацию, непарные карты образуют 16 комбинаций, карманные пары образуют 6 комбинаций.
Таким образом, мы легко можем посчитать свои шансы получить ту или иную карманную руку. К примеру, карманную пару мы будем получать в 5,88% случаев:
, что мы её не получим и соответственно
100 - 94,12=5,88%, что получим, или же в долях 16 к 1, что мы не получим карманной пары.
Какую-то конкретную пару мы будем получать в 5,88/13=0,45% случаев или же с вероятностью 1 к 220 (6 к 1320). Как мы видим, не стоит удивляться, что пара тузов приходит столь редко.
С учетом того, что в покере масть карт не имеет значения, число стартовых рук можно еще сократить до 169 (13∙13=169), так как, например, поначалу рука 9♥6♦ абсолютно равна по силе руке 9♠6♥. Из этих 169 комбинаций парными являются 13, одномастными 78 и разномастными также 78. Число 78 является в данном случае вполне очевидным (169-13)/2=78, но оно также может быть получено путем вычисления суммы арифметической прогрессии: с тузом мы можем составить 12 комбинаций (АК, АQ, AJ и т.д.), с королем уже 11, т.к. одну комбинацию тузом мы уже учли, тогда общее число будет равным .
Ниже представлен рисунок, демонстрирующий возможные комбинации стартовых рук:
Рис.1 Возможные стартовые руки (s – одномастные, о – разномастные)
Теперь рассмотрим такой параметр игры, как шансы банка (pot odds). Шансы банка – это математическое выражение в долях (процентах), показывающее отношение возможного выигрыша банка к ставке, которую необходимо уравнять. К примеру, в банке находится 400 фишек и наш оппонент ставит 150, таким образом, мы получаем шансы банка 1 к 3,7 (мы должны доставить 150 фишек, чтобы получить банк в 550 (400 там уже находится, и плюс 150 поставил наш оппонент), то есть наши шансы 150 к 550). В процентном же выражении мы получаем: , т.е. мы должны уравнять ставку приблизительно в 27% банка, чтобы побороться за все его 100%.
Представленное выше математическое выражение поможет нам вычислять, насколько прибыльным или убыточным будет наше действие при розыгрыше той или иной руки.
Так же для расчетов нам понадобится еще такое понятие как ауты. Ауты – это те карты, которые могут улучшить нашу руку и сделать её выигрышной. В качестве примера скажем, что двустороннее стрит-дро имеет 8 аутов, флэш-дро – 9 аутов, возможность улучшиться с пары до сета – 2 аута. Теперь следует высчитать по теории вероятностей вероятность того, что нужные ауты нам придут. Для этого рассмотрим следующий пример:
Нам сдали руку 10♠J♣, вышел флоп: 5♠9♥Q♦. Посчитаем, какова наша вероятность улучшить конкретную руку до стрита (5 разномастных карт подряд). В данном случае нашу руку могут улучшить 8 карт (8♦, 8♥, 8♠, 8♣, К♦, К♥, К♠, К♣). Соответственно, по теории вероятностей мы получаем, что наша рука будет улучшаться в следующем количестве случаев:
В колоде осталось: 52 (карт в колоде) – 2 (карт в руке) – 3 (карт на столе) = 47.
Из 47 карт 8 улучшат нашу руку, а 39 нет. Значит, мы имеет шанс 8 к 39 или 1 к 4,88 на улучшение, или же . Следует отметить, что данная величина справедлива только при том, что мы увидим еще 1 карту. Впоследствии данная величина будет меняться. Допустим на терне пришла 2♠. Теперь наша вероятность будет уже иной: 38 к 8 или же 1 к 4,75, в процентах мы получим 17,39%. Тут следует учесть один важный момент, что вероятность того, что карта придет, если мы увидим и терн, и ривер ни в коем случае не равна сумме двух предыдущих вероятностей (17,02 + 17,39 = 34,41%). Правильным будет число 31,45%. Казалось бы, разница не велика, но, поверьте, на дистанции убыток при неправильных расчетах будет ощутимым. Рассмотрим, откуда взялась эта вероятность получить требующуюся нам карту, увидев при этом две карты:
Всего мы имеем способ выбрать 2 карты из оставшихся 47 карт. При наших 8 картах мы имеем такую арифметическую последовательность: 1 из 47; 2 из 47; 3 из 47 и т.д. Тогда получаем следующую вероятность:
.Таким образом, вычисляются вероятности для любого количества аутов, и, в целом, таблица вероятностей выглядит следующим образом:
Пример вычисления EV колла. У нас - К ♥10♥, а на флопе - А♥ 4 ♣2♥.
В банке 1000 фишек, и наш единственный противник идёт ва-банк на все свои 600 фишек. Мы предполагаем, что противник имеет на руках туза и сейчас у него топ пара. Позволит ли колл заработать нам фишки на дистанции?
Таким образом, в 65,03% мы проиграем, что будет стоить нам 600 фишек. В оставшихся 34,97% случаев вы выиграете 600 (ставка противника) плюс те 1000, которые уже находятся в банке, всего 1600.
Поэтому ожидание от нашего колла (в фишках) составляет:
Таким образом, коллом вы заработаете некоторое количество фишек на дистанции.
Из данного примера мы видим, что, даже имея проигрышную на данный момент руку, но при этом, принимая математически правильные решения, мы можем выигрывать на дистанции.
Но помимо EV колла существует, также фолд эквити (всегда равно 0) и EV рейза (повышения ставки противника). Рассмотрим пример для вычисления эквити рейза.
Не будем задаваться какими-то картами, просто представим, что на ривере наш соперник делает ставку размером 500 фишек в банк, составляющий 1000 фишек. Мы, блефуя, повышаем его ставку до 1700 фишек. Теперь у нас есть два варианта: либо противник нас заколлирует, и мы потеряем свои 1700 фишек, либо он сбросит, и тогда мы выиграем 1000 фишек банка плюс 500 фишек – ставка противника.
Давайте внесем следующие обозначения: колл или рейз мы будем обозначать как X, а фолд обозначим как Y. Так как соперник в любом случае выберет какое-либо из этих действий, то X+Y = 1. Таким образом, X=1-Y.
EV рейза в 1500 фишек составляет: (1500)∙(Y)+ (-1700)∙ (1-Y) = 3200∙(Y) - 1700
Таким образом, мы будем выигрывать фишки в том случае, если
В общем, если мы думаем, что соперник будет фолдить в более чем 53% случаев, то мы должны здесь делать блеф-рейз в 1700 фишек. При меньшем количестве фолдов мы будем иметь отрицательное математическое ожидание. Из представленного выше решения также видно, что чем выше величина нашего рейза, тем чаще противник должен сбрасывать, чтобы мы имели положительное EV.
Нижеприведенный график также показывает, что размер рейза должен быть не очень большим (примерно до 3 раз от первоначального банка), так как при больших значениях мы получаем довольно-таки плавную зависимость величины процента фолдов от рейза, и рейз в большое количество начальных банков становится нецелесообразным.
Рис.2 График зависимости процента фолда от величины рейза
Ниже также показан график, иллюстрирующий, смещение кривой зависимости, в зависимости от величины начальной ставки. Как видим, изменяется величина изгиба кривой, но в целом её форма остается прежней. Из графика можно сделать вывод, что при меньшей величине начальной ставки, оправдан рейз примерно до 2,5 банков (в данном конкретном примере это было бы до 2500 фишек), а при ставке величиной банк оправдан рейз уже примерно до 3,5 банков. В итоге получаем, что чем больше начальная ставка, тем больший рейз мы можем сделать, который был бы оправдан с точки зрения фолд эквити.
Рис.3 График зависимости процента фолда от величины рейза для различных первоначальных величин ставок (1 - первоначальная ставка в 20% размера банка, 2 – 50% размера банка, 3 – 100% размера банка)
В покере также можно столкнуться с теорией вероятностей умножения независимых событий: P(A∙B) = P(A)∙P(B). Эта ситуация называется раннер-раннер, т.е. когда и по терну, и по риверу должны упасть обе нужные для нас карты. К примеру, у нас на руках 10♣10♦, а у нашего соперника - 9♥9♠. На флоп выходит 10♠2♦6♥. У нас сет, но у противника есть шанс на победу, который равен:
во-первых, если придут еще две девятки, то наш оппонент соберет каре и выиграет; во-вторых, если придет сначала семерка, потом восьмерка (или наоборот), то наш оппонент соберет стрит и вновь выиграет. Рассчитаем вероятность этих событий:
1)для каре – сначала у нас 2 аута, потом 1 аут, тогда:
2)для стрита – сначала у нас 8 аутов, потом 4 аута, тогда:
Всего же имеем: P(A+ B) = P(A) + P(B) = 0,092 + 1,479 = 1,571% на победу.
Байесовские выводы и поиск информации.
Для начала давайте представим ситуацию, что мы покидаем свою квартиру, в спешке закрывая за собой дверь. Внезапно вы задаётесь вопросом: взяли ли вы с собой студенческий билет? Вы стоите на месте, думаете об этом несколько секунд, перед тем как решаете, что да — вы взяли студенческий, поскольку в 80% случаев он у вас действительно есть. Вы также определяете, что существует равный шанс, что он находится либо в правом, либо в левом кармане, а если его нет ни там, ни там, значит он остался дома. Запуская руку в правый карман, вы обнаруживаете, что там студенческого нет. Что сейчас вы должны подумать о вероятности нахождения своего студенческого в левом кармане?
С одной стороны, кажется, что ответ должен быть 40% — вы проверили в одном из своих двух карманов, и сейчас половина ваших шансов улетучилась. Может быть, вероятность по-прежнему должна составлять 80% — вы подумали, что эта вероятность существовала изначально, а вы ещё не завершили свою проверку, так что пока вы её не завершите, вероятность ниже не станет. Или, может быть, ответ лежит где-то посередине, но если так — каким же должно быть это число?
Для ответа на задачу проще всего представить, что после того, как закрылась дверь, мы могли бы оказаться в пяти различных мирах, имея 80% вероятность, что студенческий при нас и равную вероятность того, что он в одном из карманов. В двух из миров студенческий находится в левом кармане, еще в двух — в правом, и еще в одном мире, студенческий остался лежать на столе. Как только мы проверяем правый карман и не находим его там, остается только три потенциально возможных мира, в которых мы можем находиться: два, где мы найдём студенческий в левом кармане, и один, где он дома. Так получается, что в лучшем случае у нас сейчас есть шанс 2/3, что мы ушли со студенческим билетом.
Такой тип вероятностных рассуждений называется Байесовскими выводами.
Теорема Байеса (или формула Байеса) — одна из основных теорем теории вероятностей, которая позволяет определить вероятность того, что произошло какое-либо событие (гипотеза) при наличии лишь косвенных тому подтверждений (данных), которые могут быть неточны.
Формула Байеса выглядит следующим образом:
Р(А) – априорная вероятность гипотезы А;
Р(А│В) – вероятность гипотезы А при наступлении события В (апостериорная вероятность);
Р(В│А) – вероятность наступления события В при истинности гипотезы А;
Р(В) – полная вероятность наступления события В.
Теперь я хочу рассмотреть то, как профессиональные покерные игроки могут определять стоит ли делать 3 бет (повышать рейз соперника) на основе знаний комбинаторики и теоремы Байеса. 3 беты - важная вещь. Один из путей определения диапазона оппонента и решения, делать 3 бет или нет - это комбинаторика. Как было написано выше в холдеме всего 1326 комбинаций рук: по 6 комбинаций для каждой пары и по 16 для каждой непарной руки.
Допустим тайтовый игрок рейзит из позиции УТГ (с первой позиции) с топ 9,3% диапазона рук. Этот диапазон выглядит так (77+,ATs+,KJs+,QJs+,AJo+). Вообще говоря, не стоит 3 бетить тайта, который рейзит из УТГ. У них почти всегда будет сильная рука, но не будем углубляться. Комбинации его рук для этого диапазона выглядит так:
Действительно ли важна математика для игроков в покер? Как использовать простую математику, чтобы принимать лучшие решения за покерным столом? Мы объясним.
Chad Holloway
Лучшие игроки используют математику
Даже игроки с хорошей интуицией могут удивиться, узнав, что некоторые их решения могут стоить им денег. Единственный способ точно узнать является ли то или иное решение правильным, это проверить его при помощи математических подсчетов.
Несмотря на то, что в любительских играх математика необязательна, понимание основ покерасделает нас более сильными игроками. Но если вы хотите принимать участие в онлайн-соревнованиях самого высокого уровня, без математики вам точно не обойтись.
В чем именно помогает математика?
Математика приходит на помощь во всех аспектах игры. Давайте посмотрим, как использование математики поможет нам ответить на два конкретных вопроса.
1. Шансы банка
Вопрос — при игре в хедс-ап на ривере размер банка составляет $10. Соперник делает ставку в $5. Насколько часто нам нужно выигрывать, чтобы позволить себе колл?
В такой ситуации наша интуиция может нас подвести. Нам может показаться, что для того, чтобы заколлировать такую ставку, нам необходимо иметь как минимум 50 % шансы на выигрыш. Но на самом деле, чтобы ответить сопернику нам даже не нужно быть фаворитом.
Подумайте об этом следующим образом:
Предположим, в банке $1 000 000. Наша рука имеет лишь 20 % шансы. Соперник ставит $1. Коллировать или сбросить?
Естественно, в этом случае наша интуиция подсказывает нам сделать колл. Нам совершенно все равно, что в большинстве случаев мы останемся ни с чем. Мы рискуем лишь $1 и в 20 % случаев выиграем миллион. Это очень простое решение, несмотря на то, что в большинстве случаев мы проиграем $1.
И хотя изначально наша ситуация гораздо менее экстремальна и несколько более реалистична, принципы принятия решения остаются неизменными. Нам нет никакой необходимости иметь 50 % шансы выиграть то, что в банке, поскольку на столе уже есть ставка. Так какие же шансы на выигрыш нам необходимы?
Для того, чтобы это вычислить, можно воспользоваться простой формулой:
Процент общего банка, который мы вкладываем = Необходимые шансы на выигрыш
Иногда люди, которым известно немного больше, делают математику покера сложной, однако на самом деле она довольно проста. Так какой же процент от общего банка мы можем вложить в свой колл?
Если мы заколлируем, то вложим $5 из $20 общего банка (не забываем, что общий банк включает как ставку нашего соперника, так и наш потенциальный колл). Получается 25 % от общего банка (5/20). Это означает, что нам нужно лишь 25 % или больше, чтобы сделать реально прибыльный колл.
Коэффициентное или процентное соотношение
Более традиционные игроки предпочитают оценивать шансы банка в виде коэффициентного соотношения. В таком виде мы оцениваем наши шансы, как если бы делали ставку на спорт в букмекерской конторе. Наши шансы в приведенном выше примере также можно описать, как 3:1 (три к одному).
Мы вкладываем $5, чтобы выиграть $15, которые уже находятся на столе. Наши шансы равняются 15:5, что можно упростить до 3:1 (поделив оба числа на 5). Большинство игроков старой школы высчитывают шансы банка именно таким образом, однако намного проще рассматривать шансы банка в процентном соотношении.* Хороший игрок в покер должен понимать оба формата хотя бы для того, чтобы понимать игроков, которые используют разные системы подсчета.
(*N.B. Нет особой разницы, используете вы коэффициентное или процентное соотношение. Причина того, почему удобнее подсчитывать шансы банка в процентах, состоит в том, что в большинстве случаев мы будем сравнивать шансы банка и пот эквити, чтобы выяснить выгодно ли нам делать колл. Пот эквити почти всегда выражается в процентах. Сравнивать две процентные величины проще, чем проценты и коэффициент.)
2. Успешный блеф
Вопрос 2 — на ривере ставки на столе составляют $100. Мы хотим блефовать, поставив $50. Каковы должны быть шансы нашего блефа, чтобы мы могли сорвать банк?
Интуиция снова может подсказывать нам, что мы должны иметь 50 % шансы. Если же это не так, то получится, что наш блеф в большинстве случаев будет проигрышным, а значит, мы не сможем выиграть. Опять-таки, наша интуиция снова нас подводит.
Представьте себе похожий пример. На столе один миллион долларов, и если мы сблефуем, поставив $50, то у нас получится выиграть лишь в 40 % случаев. Стоит ли блефовать? Несомненно! Возможно, наш блеф будет срабатывать не всегда, но мы рискуем лишь $50, и когда блеф окажется удачным, заработаем целый миллион. Угадайте, какой формулой следует воспользоваться для подсчета необходимых шансов блефа!
Процент от суммы общего банка, который мы вкладываем = Необходимые шансы блефа
Выглядит знакомо? А ведь это точно та же формула, что и раньше, лишь с небольшой поправкой.
Но вернемся к изначальной ситуации. Мы вкладываем $50, чтобы сорвать банк, который после нашей ставки составит $150.
Предположив,что наш блеф на ривере сработает в более чем одном случае из трех, мы оказываемся в неимоверно выгодной ситуации, даже несмотря на то, что в большинстве случаев блеф не удастся.
Но это только начало!
Не будем вам врать — ситуации бывают и более сложные. Существует множество других аспектов покера, в которых можно использовать математику, такие как ставки для велью, расчет оптимальных диапазонов и размеров стеков для поздних улиц. Математика покера может бесконечно усложняться, и даже наилучшие игроки не понимают всех ее аспектов.
Тем не менее, на данном этапе такие тонкости нам ни к чему. Даже понимание некоторых основ покерной математики поможет сделать принимаемые нами решения значительно лучше.
Поэтому несмотря на то, что немногие из нас могут похвастаться любовью к математике, если мы относимся к покеру серьезно, можно полюбить то, как математика способна помочь нам раздавить наших соперников за столом.
Читайте также: